100指考數乙-非選

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100 學 年 度 指 定 科 目 考 試

學 年 度 指 定 科 目 考 試

學 年 度 指 定 科 目 考 試

學 年 度 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 非 選 擇 題 考 生 作 答 情 形 分 析

數 學 乙 非 選 擇 題 考 生 作 答 情 形 分 析

數 學 乙 非 選 擇 題 考 生 作 答 情 形 分 析

數 學 乙 非 選 擇 題 考 生 作 答 情 形 分 析

第 一 處 陳 慧 美 每 年 指 考 成 績 單 寄 發 後 ， 總 有 些 考 生 認 為 自 己 的 數 學 乙 非 選 擇 題 ， 答 案 明 明 正 確 ， 為 何 無 法 得 到 該 題 的 滿 分 ， 甚 至 1 分 未 得 ？ 本 文 就 此 一 疑 問 ， 說 明 本 年 度 數 學 甲 非 選 擇 題 僅 得 到 部 分 題 分 或 是 1 分 未 得 的 可 能 情 形，以 及 數 學 科 非 選 擇 題 給 分 的 大 原 則 ， 希 望 能 藉 此 廓 清 部 分 考 生 的 疑 惑 。 以 下 各 題 將 從 兩 方 面 進 行 分 析 ，（ 一 ） 是 正 確 的 解 題 步 驟 ，（ 二 ） 是 考 生 解 題 的 錯 誤 概 念 或 解 法 。 至 於 各 題 的 參 考 解 法 可 詳 見 二 、 參 考 解 法 示 例 。 一 一 一 一 、、、、 正 確 解 題 步 驟 及 錯 誤 解 法 說 明正 確 解 題 步 驟 及 錯 誤 解 法 說 明正 確 解 題 步 驟 及 錯 誤 解 法 說 明正 確 解 題 步 驟 及 錯 誤 解 法 說 明 第 一 題 第 一 題 第 一 題 第 一 題 試題 試題 試題 試題：：： 設： a b, 為實數。已知坐標平面上滿足聯立不等式 0 6 2 0 x y x y x y y ax b + ≥   + ≤   − ≥   ≥ −  的 區 域 是 一 個 菱 形 。 ( 1 ) 試 求 此 菱 形 之 邊 長 。（4 分 ） ( 2 ) 試 求 a b 。（, 8 分 ） 分 析 分 析 分 析 分 析 ：：：： 第 第 第 第 (1)(1)(1)(1) 小 題小 題小 題小 題 （ （ （ （一一一一））））正 確 解 題 步 驟正 確 解 題 步 驟正 確 解 題 步 驟 正 確 解 題 步 驟 本 題 評 量 條 件 不 等 式 ， 試 題 分 為 兩 小 題 ， 因 題 幹 上 的 聯 立 不 等 式 的 區 域 是 一 個 菱 形 ， 故 第(1 )小 題 評 量 該 菱 形 的 邊 長 ； 第(2 )小 題 欲 求 菱 形 另 一 邊 的 直 線 方 程 式 。 第( 1)小 題 的 可 能 解 法 有 兩 種(可 參 考 二 、 參 考 解 法 示 例)： 一 是 找 出 相 鄰 兩 交 點 ， 如 ：O與 A點 ， 或 B與 C點 ， 再 將 這 兩 點 代 入 距 離 公 式 求 解 菱 形 邊 長 。 二 為 先 算 出(0,0)至 _{x+ y}=6的 距 離，再 由 _{x+ y}=6與 2_{x− y}=0之 夾 角θ求 出cosθ（ 或sinθ、tanθ） 後 ， 求 得OA之 值 。

（ （ （ （二二二二））））錯 誤 概 念 或 解 法錯 誤 概 念 或 解 法錯 誤 概 念 或 解 法 錯 誤 概 念 或 解 法 以 下 依 據 上 述 的 解 題 ， 分 析 此 小 題 得 部 分 分 數 或 未 得 分 的 幾 種 情 形 。 (A 1)將 邊 長 誤 算 成 菱 形 的 周 長 。 (A 2)不 曉 得 菱 形 的 四 邊 相 等 ， 經 過 計 算 後 ， 常 得 到 不 等 長 的 邊 長 。 (A 3)將 邊 長 算 成 平 行 線 的 距 離 。 (A 4)並 非 利 用O與 A點 ， 或 B與C點 ， 而 是 利 用O、C兩 點 求 解 距 離 ， 以 致 無 法 求 解 。 第 第 第 第 (2)(2)(2)(2) 小 題小 題小 題小 題 （ （ （ （一一一一））））正 確 解 題 步 驟正 確 解 題 步 驟正 確 解 題 步 驟 正 確 解 題 步 驟 a值 解 法 ， 因 菱 形 的 兩 對 邊 分 別 平 行 ， 又 直 線 _{x+ y}=0與 _{x+ y}=6平 行 ， 故 直 線 b ax y = − 必 與 _y=2_x平 行 ， 得 _a =2。 b值 解 法 有 四，解 一 與 解 二 是 利 用 兩 直 線    = + − = 0 2 y x b x y 的 交 點 ) 3 , 3 (b b C − 或 C(t,−t)與_O 點 的 距 離 為 2 5求 解。解 三 是 由(0,0)至 _{x+ y}=6與 到 _y =2_x−_b的 距 離 相 等 來 求 解。解 四 是 由 菱 形 對 角 線 相 互 垂 直 ， 可 利 用 斜 率 或 內 積 相 乘 得 解 。 （ （ （ （二二二二））））錯 誤 概 念 或 解 法錯 誤 概 念 或 解 法錯 誤 概 念 或 解 法 錯 誤 概 念 或 解 法 以 下 依 據 上 述 的 解 題 ， 分 析 此 小 題 得 部 分 分 數 或 未 得 分 的 幾 種 情 形 。 ( B1 )不 曉 得 利 用 兩 對 邊 平 行 求 出 _a=2。 ( B2 )因 利 用    = + − = 0 y x b ax y 的 交 點 ( , ) 1 1 b b a a − + + ， 與 _  = + − = 6 y x b ax y 的 交 點( 6 6, ) 1 1 b a b a a + − + + 之 距 離 為 20， 多 求 出 2 1 = a 的 解 。 此 外 ， 有 考 生 僅 求 得_a =2後 ， 就 不 知 該 如 何 求 _b值 。 ( B3 )因 利 用 2 0 0 x y x y − =   + =  的 交 點(0, 0)， 與   = + = − 0 2 y x b y x 的 交 點( , ) 3 3 b −b 之 距 離 為 20， 得 到 10 3 ± = b 。有 些 考 生 未 能 排 除 負 不 合，如：考 生 誤 將 菱 形 區 域 畫 在 直 線 2x−y=0 的 左 上 方 ， 而 得 到b值 為 負 值 。 ( B4 )無 任 何 算 式 或 理 由 ， 直 接 寫_b=3 10， 依 作 答 說 明 規 定 「 必 須 寫 出 演 算 過 程 或 理 由 ， 否 則 將 予 扣 分 」， 故 無 法 得 分 。

本 題 出 自 高 三 選 修 數 學( I)的 範 圍 ， 考 生 若 能 將 不 等 式 圖 形 繪 出 ， 此 題 所 運 用 的 解 題 概 念 與 運 算 並 不 複 雜 ， 應 不 難 正 確 作 答 。 不 過 數 學 科 非 選 擇 題 主 要 評 量 用 數 學 式 清 楚 表 達 解 題 過 程 的 能 力 ， 因 此 列 式 、 推 理 過 程 是 否 正 確 、 邏 輯 判 斷 是 否 合 理 ， 均 為 評 定 分 數 的 重 要 依 據 。 第 第 第 第 二二二二 題題題題 試題 試題 試題 試題：：： 設： A a b c d   =    為二階實係數方陣。 ( 1 ) 當 A為 轉 移 矩 陣 時 ， 試 敘 述 實 數 a、 b、 c、 d 須 滿 足 的 條 件 。（6 分 ） ( 2 ) 試 證 ： 當 A為 轉 移 矩 陣 時 ， A2也 是 轉 移 矩 陣 （ 式 中 A2代 表 A與 A的 乘 積 ）。（6 分 ） 分 析 分 析 分 析 分 析 ：：：： 第 第 第 第 (1)(1)(1)(1) 小 題小 題小 題小 題 （ （ （ （一一一一））））正 確 解 題 步 驟正 確 解 題 步 驟正 確 解 題 步 驟 正 確 解 題 步 驟 本 題 評 量 矩 陣 單 元 ，試 題 分 為 二 小 題 ，第(1 )小 題 是 評 量 轉 移 矩 陣 的 定 義 ； 第 (2 )小 題 是 證 明 當A為轉移矩陣時，A2也是轉移矩陣。在第(1)小題中，轉 移 矩 陣 的 定 義 為 1 , , , 0≤_{a b c d} ≤ 、_{a+ c}=1、_{b+ d} =1， 其 中 若 有 寫 出_{a+ c}=1與_{b+ d} =1， 則_a,_b,_c,_d的 條 件 可 寫 成 _a,_b,_c,_d ≥0或_a,_b,_c,_d ≤1即 可。此 外，所 有 條 件 中 行 列 互 換，寫 成0≤_a,_b,_c,_d ≤1、 1 = + b a 、 _{c+ d} =1亦 可₍參 閱 二 、 參 考 解 法 示 例₎。 （ （ （ （二二二二））））錯 誤 概 念 或 解 法錯 誤 概 念 或 解 法錯 誤 概 念 或 解 法 錯 誤 概 念 或 解 法 以 下 依 據 上 述 的 解 題 ， 分 析 此 小 題 得 部 分 分 數 或 未 得 分 的 幾 種 情 形 。 (C1 )無 法 列 出 完 整 條 件 ， 僅 能 寫 出 1 ~ 2 個 正 確 條 件 ， 常 出 現 的 錯 為 少 列 等 號 ， 寫 成 0<a b c d, , , <1。 (C2 )無 法 完 整 寫 出 任 一 條 件 ， 如 寫 成 a,b,c,d∈R， 或_{ad − bc}≠0等 ， 因 此 無 法 得 分 。 (C3 )寫 出 1~2 個 正 確 條 件 後 ， 又 多 寫 了 與 轉 移 矩 陣 無 關 的 條 件 ， 如 a,b,c,d∈R， 或 0 ≠ − bc ad 等 ， 將 酌 予 扣 分 。 第 第 第 第 (2)(2)(2)(2) 小 題小 題小 題小 題 （ （ （ （一一一一））））正 確 解 題 步 驟正 確 解 題 步 驟正 確 解 題 步 驟 正 確 解 題 步 驟 此 題 的 解 法 為 將 2 A 乘 開 後 ， 得       + + + + 2 2 d bc cd ac bd ab bc a ， 並 說 明 因 A的 各 元 都 是 非 負 實 數 ， 故 2 A 的 各 元 也 都 是 非 負 實 數 。 再 經 由 計 算 說 明 第 一 行 的 和 為 1， 第 二 行 的

和 為 1 ， 故 2 A 也 是 轉 移 矩 陣 。 亦 可 將 A中 的 c以1−a代 入 ， d 以 1−b代 入 ， 得       − + − − − + − − + − + = 2 2 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( b a b b a a a b b ab a b a A ， 再 說 明 A2為 轉 移 矩 陣 的 理 由 。 （ （ （ （二二二二））））錯 誤 概 念 或 解 法錯 誤 概 念 或 解 法錯 誤 概 念 或 解 法 錯 誤 概 念 或 解 法 以 下 依 據 上 述 的 解 題 ， 分 析 此 小 題 得 部 分 分 數 或 未 得 分 的 幾 種 情 形 。 (D 1)考 生 在 進 行 2 A 矩 陣 運 算 時 ， 常 會 發 生 矩 陣 中 的 某 元 乘 錯 ， 以 致 於 無 法 得 到 該 運 算 的 分 數 。 (D 2)部 分 考 生 會 將 a,b,c,d以 數 字 代 入 證 明 之 ， 與 原 題 目 不 符 ， 因 此 無 法 得 分 。 (D 3)說 明 第 一 行 的 和 為 1 或 第 二 行 的 和 為 1 時 ， 並 無 任 何 計 算 過 程 ， 酌 予 扣 分 。 (D 4)僅 會 進 行 2 A 矩 陣 運 算 ， 無 法 完 整 說 明 A2為 轉 移 矩 陣 的 原 因 。 除 上 述 情 形 外，發 現 有 部 分 考 生 直 接 放 棄 第 二 題 的 證 明 題， 連 2 A 的 矩 陣 運 算 都 不 願 下 筆 計 算 ， 以 致 1 分 未 得 。 若 將 矩 陣 運 算 寫 成 行 列 式 運 算 ， 亦 1 分 未 得 。 數 學 甲 與 數 學 乙 的 題 型 有 選 擇 、 選 填 與 非 選 擇 題 。 選 擇 題 與 選 填 題 ， 只 要 答 案 正 確 ， 即 可 得 到 全 部 分 數 。 但 非 選 擇 題 主 要 評 量 考 生 是 否 能 夠 清 楚 表 達 推 理 過 程 ， 答 題 時 應 將 推 理 或 解 題 過 程 說 明 清 楚 ， 且 得 到 正 確 答 案 ， 方 可 得 到 滿 分 。 如 果 計 算 錯 誤 ， 則 酌 給 部 分 分 數 。 如 果 只 有 答 案 對 ， 但 觀 念 錯 誤 ， 或 過 程 不 合 理 ， 則 無 法 得 到 分 數1 。本 文 說 明 正 確 的 解 題 概 念 與 步 驟，以 及 得 部 份 分 數 與 無 法 得 分 的 可 能 情 形 ， 以 提 供 老 師 教 學 或 學 生 平 常 練 習 時 的 參 考 。 二 二 二 二 、、、、 參 考 解 法 示 例參 考 解 法 示 例參 考 解 法 示 例參 考 解 法 示 例 數 學 科 試 題 的 解 法 不 只 一 種 ， 故 以 下 提 供 多 數 考 生 可 能 採 用 的 解 法 ， 未 列 的 解 法 ， 只 要 推 論 或 解 題 過 程 正 確 ， 仍 可 得 分 。 1 吳家怡(民 93)，我的數學甲非選擇題得分了嗎。選才通訊，第 120 期。

第一題 第一題 第一題 第一題 第 第 第 第 (1)小 題小 題小 題 小 題 解法一 解法一 解法一 解法一 兩直線 2 0 0 x y x y − =   + =  的交點為O(0, 0)，兩直線 2 0 6 x y x y − =   + =  的交點為A(2, 4) 故菱形邊長為 2 2 2 4 ( 20) ( 2 5) OA = + 或= 或= (或 2 2 (2 ) (4 ) 2 5 3 3 3 3 b b b b BC = + − + − + = ₎ 解法二 解法二 解法二 解法二 (0, 0)到x+ y=6之距離=3 2 6

x+y= 與2x−y=0之夾角θ滿足cos 1 ( sin 3 ) ( tan 3)

10 10 θ = ± _或 θ = _或 θ= ± ，_，，，則 3 2 20 ( 2 5) 3 10 OA = = 或= 第 第 第 第 (2)小 題小 題小 題 小 題 直線x+y=0與x+y=6平行 故直線 y=ax−b必與 y=2x平行； 得知a =2

解法一 解法一 解法一 解法一 兩直線 2 0 y x b x y = −   + =  的交點 ( ,3 3) b b C − ， 2 2 ( ) ( ) 2 5 3 3 b b OC= + − = ，得到b =2 90 又直線 y=2x−b 的_y 截距−b<0 ₍或 x 截距 0 2 b > ₎，即b >0， 故b = 90 (或=3 10) ※ ※ ※ ※註註註註：：：：也可用也可用也可用也可用 2 6 y x b x y = −   + =  的交點的交點的交點的交點 (2 3, 4 3) b b B + − ，，，， ( )2 ( )2 2 5 3 3 b b AB= + − = 。。。。 解法二 解法二 解法二 解法二 兩直線 x y 0 y ax b + =   = −  的交點C t( , t) − ，t >0，(0, 0)到( ,t −t)的距離為 2 2 ( ) 2 5 t + −t = (或t = 10) 將( 10,− 10 )代入 y=2x−b，得b =3 10 ※ ※ ※ ※註註註註：：：：也可用也可用也可用也可用 x y 6 y ax b + =   = −  的交點的交點的交點的交點B t( , 6 t) − ，，得到，，得到得到得到B(2+ 10, 4− 10)，，再代入，，再代入再代入再代入y=2x−b，，得，，得得得b =3 10。。 。。 解法三 解法三 解法三 解法三 (0, 0)到x+y=6的距離為 6 2 ，(0, 0)到 y 2x b = − 的距離為 ( ) 5 5 b b 或 6 6 ( ) 2 5 2 5 b b = 或 = ，，，，又b >0，得b =3 10 解法四 解法四 解法四 解法四 由OB⊥AC，得 4 12 ₃ 1 ( (2 )(2 ) (4 )(4 ) 0) 6 3 3 3 3 2 3 b b b b b b b b + − ⋅ = − − + + + − = + − 或內積 即 2 2 144−b = −(36−b )，得到b =2 90 又b >0，得知b = 90=3 10

第二題 第二題 第二題 第二題 以行來看 以行來看 以行來看 以行來看 第 第 第 第 (1)小 題小 題小 題 小 題 0 , , , 1 1 1 a b c d a c b d ≤ ≤   + =   _{+ =}  ※ ※ ※ ※註註註註：：：：已已已已寫出寫出寫出寫出a+c=1及及及及b+d =1者，者者者，，，僅需寫出僅需寫出僅需寫出僅需寫出a b c d ≥, , , 0 (或或或或a b c d ≤, , , 1)，，，，即可得分即可得分即可得分即可得分。。。。 第 第 第 第 (2)小 題小 題小 題 小 題 解法一 解法一 解法一 解法一：：：： 2 2 2 a b a b a bc ab bd A c d c d ac cd bc d  + +      =_{   =  } + +       因為A的各元都是非負實數，所以 2 A 的各元也都是非負實數 第一行： 2 2 (a +bc)+(ac+cd)=(a +ac)+(bc+cd)=a a( +c)+c b( +d)=a+c=1 第二行： 2 2 (ab+bd)+(bc+d )=(ab+bc)+(bd +d )=b a( +c)+d b( +d)=b+d =1 故 2 A 也是轉移矩陣 解法二 解法二 解法二 解法二：：：： 2 1 1 1 1 a b a b A a b a b     =  _{− −}   _{− −}      2 2 (1 ) (1 ) = (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) a b a ab b b a a a b b a b  + − + −    − + − − − + −   或 2 2 2 2 1 1 a b ab ab b b a b ab ab b b  + − + −  =   − − + − − +   因為A的各元都是非負實數，所以A2的各元也都是非負實數 第一行： 2 2 (a +b−ab)+(1−a −b+ab)=1 第二行： 2 2 (ab+b b− )+(1−ab−b+b )=1 故 2 A 也是轉移矩陣。

以列來看 以列來看 以列來看 以列來看 第 第 第 第 (1)小 題小 題小 題 小 題 0 , , , 1 1 1 a b c d a b c d ≤ ≤   + =   _{+ =}  ※ ※ ※ ※註註註註：：：：已已已已寫出寫出寫出寫出a+b=1及及及及c+d=1者，者者者，，，僅需寫出僅需寫出僅需寫出僅需寫出a b c d ≥, , , 0 (或或或或a b c d ≤, , , 1)，，，，即可得分即可得分即可得分即可得分。。。。 第 第 第 第 (2)小 題小 題小 題 小 題 解法一 解法一 解法一 解法一：：：： 2 2 2 a b a b a bc ab bd A c d c d ac cd bc d  + +      =_{   =  } + +       因為A的各元都是非負實數，所以A2的各元也都是非負實數 第一列： 2 2 (a +bc)+(ab+bd)=(a +ab)+(bc+bd)=a a( +b)+b c( +d)=a+b=1 第二列： 2 2 (ac+cd)+(bc+d )=(ac+bc)+(cd+d )=c a( +b)+d c( +d)=c+d =1 故 2 A 也是轉移矩陣 解法二 解法二 解法二 解法二：：：： 2 1 1 1 1 a a a a A c c c c − −     =  ₋   ₋      2 2 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) = (1 ) (1 ) (1 ) a c a a a a c ac c c c a c  + − − + − −    + − − + −   或 2 2 2 2 1 1 a c ac a c ac ac c c ac c c  + − − − +  =   + − − − +   因為A的各元都是非負實數，所以 2 A 的各元也都是非負實數 第一列： 2 2 (a +c−ac)+(1−a −c+ac)=1 第二列： 2 2 (ac+c−c )+(1−ac−c+c )=1 故 2 A 也是轉移矩陣。