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從鄔瑞香老師的數學教學前瞻開放式教學在本土實踐的可能性

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Academic year: 2021

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從鄔瑞香老師的數學教學前瞻開放式教學

在本土實踐的可能性

劉祥通

1

* 周立勳

2

黃國勳

3 1國立嘉義大學 數學教育所 2國立嘉義大學 教育學系 3國立高雄師範大學 教育研究所 鄔 瑞 香 老 師 畢 業 於 台 北 市 女 師 , 任 教 於 台 北 市 東 園 國 小 , 一 生 奉 獻 於 小 學 教 育 , 對 於 數 學 教 學 更 是 不 遺 餘 力 , 可 惜 她 五 十 出 頭 即 積 勞 成 疾,2000 年 6 月 揮 別同 道 與 學 生 。 為 了 追 憶 她 的 教 學 風 采 與 熱 忱 奉 獻 , 作 者 特 地 撰 文 描 述 她 的 教 學 轉 折 與 特 色 , 當 憶 起 她 的 教 學 風 格 時 , 也 讓 作 者 聯 想 到 在 日 本 與 美 國 發 展 與 實 踐 的 開 放 式 教 學 , 因 而 藉 此 介 紹 開 放 式 教 學 , 並 前 瞻 開 放 式 教 學 在 本 土 實 踐 的 可 能 性 。

壹、鄔老師的教學轉折

一、研究背景

鄔 老 師 自 師 範 學 校 畢 業 起 , 即 對 國 小 數 學 教 學 有 很 高 的 興 趣 。 她 用 心 的 規 劃 每 一 堂 數 學 課 , 廣 泛 的 為 學 生 蒐 集 許 多 的 題 目 並 加 以 分 類 , 作 為 學 生 精 熟 練 習 的 教 材 。 不 出 幾 年 , 她 果 然 成 為 國 小 數 學 名 師 。 她 所 教 過 的 學 生 , 在 升 初 中 的 數 學 測 驗 上 皆 展 現 傲 人 的 成 績 。 她 認 為 教 好 數 學 的 訣 竅 其 實 很 簡 單 , 那 就 是 仔 細 而 有 系 統 的 講 解 以 及 讓 學 生 反 覆 的 練 習 直 到 精 熟 。 * 為本 文 通 訊 作者 有 一 天 , 鄔 老 師 遇 到 在 中 學 教 英 文 的 過 去 學 生。寒 暄 中,這 位 學 生 對 她 說:「 感 謝 老 師 從 前 用 心 的 教 導 我 們 數 學 , 雖 然 從 前 的 數 學 課 我 都 聽 不 懂 , 但 只 要 將 老 師 讓 我 們 做 過 的 題 目 背 起 來 , 就 能 使 我 在 升 學 考 試 的 競 爭 中 無 往 不 利 。 不 過 後 來 上 高 中 , 我 發 現 數 學 實 在 很 難 背 , 只 好 放 棄 數 學 而 選 擇 讀 文 組 。 」 我 的 天 啊 ! 這 個 當 年 每 次 考 試 都 100 分 的小 孩 ,學 習 數 學 的過 程 竟 是 如 此 的 艱 辛 。 學 生 的 這 番 話 , 對 以 數 學 名 師 自 豪 的 鄔 老 師 而 言 , 無 異 是 一 記 當 頭 棒 喝 。 的 確 , 以 往 的 數 學 教 育 其 實 就 是 講 解 式 的 教 學 , 過 量 的 作 業 與 反 覆 式 的 練 習 。 只 要 求 時 效 性 及 演 算 的 正 確 性 , 不 講 究 思 考 及 反 省 解 題 的 過 程 。 僅 看 表 面 的 考 試 成 績 , 不 注 重 學 生 是 否 真 正 的 瞭 解 , 因 此 學 生 逐 漸 失 去 學 習 數 學 的 興 趣 。 隨 著 年 段 的 提 高 , 不 喜 歡 數 學 的 比 率 也 隨 之 增 加 。 再 者 , 大 多 數 人 都 利 用 背 公 式 、 背 定 理 的 方 式 來 應 付 數 學 , 造 成 學 生 對 於 數 學 的 信 念 是 : 「 除 了 應 付 考 試 之 外 , 數 學 一 點 用 處 都 沒 有 。 」 這 種 現 象 , 著 實 令 鄔 老 師 為 當 時 的 數 學 教 育 品 質 而 擔 憂 。 她 決 心 要 重 新

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來 過 , 讓 學 生 真 正 「 學 好 」 數 學 1。 因 此 , 鄔 老 師 開 始 嘗 試 改 變 教 學 方 式 時 , 剛 好 台 大 數 學 系 朱 建 正 教 授 建 議 她 給 學 生 寫 數 學 日 誌 。 她 開 始 要 求 學 生 在 每 個 單 元 後 寫 下 心 得 與 反 思 , 期 望 學 生 藉 由 寫 作 將 學 習 後 心 得 組 織 化 與 精 緻 化 。 她 在 1992 年至 1994 年間 實 施 數學 日 誌 , 藉由 學 生 的 數 學 日 誌 , 反 思 其 教 學 成 效 , 也 給 予 學 生 註 解 、 再 次 佈 題 或 正 面 的 回 饋 。 如 此 的 教 學 模 式 , 不 僅 打 破 傳 統 「 填 鴨 式 」 的 教 學 , 更 重 要 的 是 讓 整 個 教 學 過 程 , 達 到 以 學 生 為 中 心 的 理 想 教 學(註 1)

貳、鄔老師數學教學的特色

鄔 瑞 香 老 師 數 學 教 學 法 的 演 變 , 是 從 傳 統 講 述 、 注 重 演 算 和 解 題 精 熟 的 教 學 取 向 , 轉 向 注 重 學 生 理 解 概 念 與 自 我 建 構 的 教 學 取 向 , 其 轉 變 後 之 教 學 特 色 如 下 ( 改 寫 自,劉 祥 通、鄔 瑞 香 與 黃 瓊 儀,2000)。

一、重視反思而發現的過程

在 傳 統 講 述 教 學 的 數 學 課 室 中 , 大 部 分 的 老 師 都 是 「 一 邊 上 課 , 一 邊 講 解 」 或 「 問 問 題 - 學 生 簡 答 」, 向 學 生 提 問 的 類 型 , 似 乎 只 是 一 種 「 裝 飾 性 的 問 題 ( rhetorical question )」( Brissenden,1988, p.18),例 如 問 學 生「 一 公 尺 等 於 100公 分 , 對 不 對 ? 」,這 樣 封 閉 性 的 問 題,學 生 別 無 選 擇 , 當 然 只 能 依 照 教 師 所 問 的 問 題 , 去 回 答 老 師 所 要 的 標 準 答 案 。 在 鄔 瑞 香 老 師 數 學 教 學 歷 程 中 , 她 善 於 利 用 佈 題 情 境 與 數 學 寫 作 來 提 供 學 生 反 思 的 機 會 , 藉 以 促 進 學 生 的 數 學 思 考 , 進 而 自 我 發 現 數 學 知 識 , 建 立 數 學 概 念 。 例 如:鄔 瑞 香 老 師 佈 題:「 給 一 條 20公 分 的 繩 子 , 畫 出 五 種 不 同 的 長 方 形 , 計 算 面 積 之 後 , 發 現 了 什 麼 ? 」 在 佈 題 之 後 , 請 學 生 實 際 操 作 演 算 , 然 後 將 自 己 的 想 法 寫 出 來 , 目 的 是 讓 學 生 透 過 實 作 , 以 及 數 學 寫 作 反 思 的 過 程 , 能 夠 自 我 發 現 「 長 與 寬 差 距 越 小 的 長 方 形 , 面 積 就 越 大 。 」 此 外 , 她 也 善 於 透 過 演 算 法 的 佈 題 , 來 引 導 學 生 從 不 同 的 路 徑 中 體 認 演 算 法 則 的 意 義 , 例 如 : 已 知 9×12=108 , 90×12=1080 , 900×12=10800, 請 問 如 何 從 以 上 三 個 已 知 的 式 子 計 算 999×12= ? 鄔 老 師 這 樣 的 佈 題 考 驗 學 生 是 否 會 利 用 分 配 律 以 合 併 上 述 三 式 。 這 一 個 佈 題 的 目 的 即 是 希 望 學 生 能 夠 深 刻 地 認 識 演 算 法 的 深 層 意 義 , 再 藉 由 寫 作 轉 化 表 徵 出 來 。 Schoenfeld( 1992)強 調 數 學 教 學 應 以 兒 童 的 直 觀 經 驗 為 素 材 , 希 望 透 過 逐 步 數 學 化 的 過 程 來 促 進 兒 童 重 新 發 現 ( reinvent)數 學 知 識,促 進 學 生 學 得 數 學 化 的 思 考 ( learning to think mathematically)。鄔 瑞 香 老 師 利 用 佈 題 與 寫 作 來 促 使 學 生 反 思 , 甚 而 發 現 數 學 知 識 , 這 樣 的 教 學 歷 程 正 符 應 了 Schoenfeld 所 期 望 的 數 學 教 育 的 目 的 。

二、重視自然解法與討論

鄔 瑞 香 老 師 的 教 學 通 常 是 先 佈 題 , 然 後 請 學 生 解 題 , 同 時 請 學 生 將 解 題 的 想 法

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寫 出 來 或 說 出 來 。 例 如 鄔 瑞 香 的 一 個 教 學 案 例 (1994.5.24) 有 一 個 蛋 糕 它 有 多 大 ? 怎 樣 描 述 才 合 理 ? ( 引 自 劉 祥 通 和 黃 國 勳 , 2003) 。 汪 生 的 作 法 是 : 先 量 一 量 基 本 資 料 長、寬、高 的 長 度,例 如 長( 4公 分 )寬( 4 公 分 )高( 15公 分 )。4×4=16;16×15=240 ( 立 方 公 分 )。說 明:先 算 出 一 層 的 答 案,用 邊 長 ×邊 長 ; 知 道 一 層 的 答 案 後 , 因 為 有 15 層,所 以 乘 以 15。最 後 發 現:體 積 是 由 長 、 寬 與 高 組 成 的 。 請 見 圖 一 。 基 本 上 , 體 積 不 應 只 是 長 ×寬 ×高 的 刻 版 印 象 , 體 積 是 物 體 佔 有 空 間 的 量 , 體 積 的 測 量 是 堆 疊 活 動 數 值 化 的 結 果 。 體 積 概 念 的 啟 蒙 可 用 多 種 表 徵 方 式 加 以 描 述 , 以 獲 得 物 體 佔 有 空 間 大 小 的 經 驗 , 最 後 , 才 是 用 數 值 化 的 方 式 表 示 。 鄔 老 師 佈 這 一 個 題 目 的 用 意 是:「 探 討 學 生 對 一 個 物 體 大 小 的 初 始 想 法 ? 也 想 看 看 有 多 少 學 童 會 利 用 課 堂 已 學 過 的 體 積 來 描 述 。 」 由 這 位 學 生 的 寫 作 內 容 來 看 , 確 實 可 以 幫 助 老 師 了 解 學 生 如 何 描 述 一 個 物 體 的 大 小 , 以 及 是 否 會 利 用 已 學 過 的 數 值 化 的「 體 積 」來 描 述。 從 學 生 的 表 徵 中 會 呈 現 出 許 多 的 自 然 解 法 , 鄔 瑞 香 老 師 再 根 據 他 們 的 自 然 解 法 去 追 問 學 生 , 請 學 生 解 釋 理 由 。 學 生 為 了 詮 釋 她 們 的 自 然 解 法 , 便 要 設 法 整 理 自 己 的 思 緒 , 然 後 將 思 考 表 徵 出 來 , 於 是 教 室 裡 的 對 話 、 討 論 、 爭 辯 與 質 疑 就 自 然 而 然 發 生 了,也 因 而 激 發 兒 童 不 斷 省 思、論 證, 最 後 使 得 學 童 的 迷 思 概 念 獲 得 澄 清 , 修 正 原 始 的 想 法 , 正 確 或 格 式 化 的 數 學 知 識 能 夠 藉 此 傳 播 出 去 。 圖 一

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這 樣 的 活 動 不 同 於 紙 筆 評 量 活 動 , 具 有 開 放 式 評 量 的 特 質 , 它 是 沒 有 標 準 答 案 的 , 不 同 程 度 的 學 生 會 有 不 同 層 次 的 回 答 , 教 師 可 以 根 據 學 生 的 自 然 解 法 了 解 學 童 的 認 知 層 次 , 也 可 以 判 斷 學 生 對 課 堂 的 了 解 與 應 用 能 力 。 另 一 方 面 , 藉 由 數 學 寫 作 單 的 習 作 , 學 生 也 可 以 將 心 中 解 題 的 想 法 和 作 法 , 透 過 文 字 和 圖 形 描 述 出 來 , 如 此 不 僅 讓 老 師 瞭 解 學 生 的 算 式 過 程 , 也 能 更 進 一 步 掌 握 學 生 解 題 的 邏 輯 和 所 應 用 的 數 學 知 識 是 否 正 確 。 總 之 , 在 這 樣 佈 題 、 解 題 、 表 徵 與 討 論 的 歷 程 中 , 藉 由 互 相 討 論 各 自 的 自 然 解 法 , 學 生 有 機 會 透 過 省 思 自 己 的 經 驗 來 產 生 學 習 , 不 斷 將 自 然 解 法 發 展 成 格 式 化 的 數 學 , 重 組 自 己 的 數 學 知 識 體 系 , 建 構 自 己 的 數 學 概 念 。

三、重視數學連結與生活應用

從 學 生 的 數 學 寫 作 可 以 發 現 , 鄔 瑞 香 老 師 特 別 重 視 數 學 的 連 結 與 生 活 的 應 用 。 例 如 , 她 佈 了 一 個 相 當 生 活 化 與 實 用 性 的 題 目:「 當 你 沒 有 尺 的 時 候 如 何 度 量 東 西 的 長 度 ? 」 學 生 在 鄔 老 師 的 教 導 下 , 也 能 以 實 際 生 活 的 例 子 來 解 題 :「 當 沒 有 量 尺 時 , 我 就 拿 長 大 約 3公 分 的 迴 紋 針 或 大 約 7公 分 長 的 牙 籤 來 測 量 小 物 品 。 那 大 一 點 的 東 西 要 測 量 時 就 用 我 的 鞋 子 ( 大 約 25公 分 ) 來 量 了。我 的 床 原 來 有 8隻 鞋 子 那 麼 長,25公 分 乘 以 8等 於 200公 分 。 」 由 這 個 佈 題 與 解 題 的 結 果 , 說 明 了 鄔 瑞 香 老 師 的 數 學 取 材 是 與 日 常 生 活 相 關 聯 的 , 同 時 藉 著 生 活 的 應 用 以 檢 驗 學 生 的 學 習 成 果 。 數 學 的 連 結 是 希 望 幫 助 學 童 搭 起 具 體 物 與 抽 象 概 念 之 間 的 關 連 , 以 及 做 為 各 種 不 同 表 徵 方 法 之 間 的 橋 樑 。 而 提 供 機 會 使 生 活 經 驗 與 正 式 的 數 學 作 連 結 , 也 可 以 幫 助 學 童 不 會 將 數 學 看 成 只 是 一 些 概 念 的 組 合 而 已 ( NCTM, 1989, p. 33)。 另 外 , 學 習 數 學 與 使 用 數 學 ( using mathematics) 也 是 學 校 數 學 課 程 很 重 要 的 兩 個 面 向 ( NCTM, 1989, p. 32)。 鄔 瑞 香 老 師 的 數 學 教 學 強 調 數 學 的 連 結 與 生 活 的 應 用,即 符 合 NCTM所 強 調 數 學 教 學 的 精 神 。

四、鼓勵學生與豎立標竿

很 少 有 學 生 天 生 下 來 就 善 於 進 行 數 學 表 徵 ( 包 括 口 語 表 達 與 數 學 寫 作 )。 那 麼 , 為 何 鄔 瑞 香 老 師 的 學 生 那 麼 「 願 意 寫 」 與 「 樂 意 寫 」 呢 ? 其 中 秘 訣 在 於 鄔 瑞 香 老 師 為 了 鼓 勵 學 生 繼 續 探 討 , 經 常 有 「 再 次 佈 題 」 出 現 , 例 如 : 課 堂 中 提 出 :「 還 有 沒 有 別 的 瓶 子 或 罐 子 是 一 公 合 或 一 公 升 的 嗎 ? 」 或 「 做 好 以 後 有 沒 有 驗 證 看 看 可 行 不 可 行 ? 」 等 問 題 。 除 此 之 外 , 鄔 瑞 香 老 師 也 不 吝 於 給 學 生 鼓 勵 , 她 在 每 篇 數 學 日 記 後 面 都 給 學 生 相 當 大 的「 鼓 舞 與 勉 勵 」! 例 如:「 這 篇 日 記,對 於 同 學 的 作 品 都 有 恰 當 的 批 評 , 可 見 妳 更 高 明 」,「 ○ ○ 妳 會 找 問 題 來 證 明 對 或 錯 可 見 妳 又 更 進 步 了 」,與 「 說 得 頭 頭 是 道 , 越 來 越 像 小 數 學 家 了 」。 如 此 持 續 不 斷 的 激 勵 , 正 是 學 生 們 樂 於 寫 作 的 動 力 來 源 。 再 者 , 鄔 瑞 香 老 師 也 給 予 學 生 具 體 明

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確 的「 學 習 標 竿 」,來 做 為 努 力 的 目 標 與 準 則 。 有 三 位 學 生 在 記 錄 簿 上 這 樣 寫 著 : 鄔 老 師 最 欣 賞 的 學 生 是 「 1. 會 檢 驗 答 案 , 2. 錯 了 再 重 新 算 算 看,3.努 力 不 懈 不 怕 失 敗 、 接 受 挑 戰 不 怕 失 敗 , 請 問 你 做 到 了 嗎 ? 」, 學 生 能 夠 明 瞭 鄔 老 師 對 他 們 的 期 許 , 學 生 也 無 形 中 依 循 她 所 「 設 計 的 數 學 」 學 習 , 這 一 點 也 是 學 生 在 課 室 裡 能 「 解 數 學 」 與 「 談 數 學 」,在 課 後 能「 寫 數 學 」的 重 要 原 因 。 Becker與 Shimada ( 1997 ) 曾 提 出 開 放 式 教 學 ( open ended approach) 的 步 驟 , 作 者 認 為 此 教 學 方 式 , 簡 而 言 之 即 是 教 學 者 「 設 計 數 學 」,給 學 習 者「 解 數 學 」、「 談 數 學 」 與 「 寫 數 學 」 的 歷 程 。 而 期 望 學 生 的 數 學 概 念 或 能 力 在 前 述 的 過 程 中 發 展 , 這 樣 的 教 學 理 念 曾 在 日 本 與 美 國 發 展 與 實 踐 , 顯 然 , 鄔 老 師 數 學 教 學 的 特 色 正 與 開 放 式 教 學 的 理 念 符 合 。 以 下 分 別 介 紹 開 放 式 教 學 的 背 景 與 類 型,設 計 原 則 與 實 施 步 驟,以 及 評 量 方 式 , 並 且 前 瞻 開 放 教 學 在 本 土 實 踐 的 可 能 性 。

參、開放式教學的背景與類型

Schoenfeld( 1988)認 為,傳 統 教 育 過 分 強 調 算 則 及 程 序 性 知 識 等 封 閉 性 的 問 題 , 使 得 學 生 的 思 考 失 去 彈 性 , 無 法 有 效 的 將 學 生 的 所 學 應 用 在 非 學 校 的 情 境 , 因 此 促 使 了Open approach 的 產 生 ( Boaler, 1998) 。 研 究 者 也 認 為 開 放 式 教 學 法 的 確 可 以 給 學 生 更 多 獨 立 思 考 的 機 會 , 而 鼓 勵 多 元 的 方 式 及 途 徑 來 完 成 老 師 所 給 予 的 任 務 , 使 學 生 更 懂 的 運 用 所 學 , 思 考 也 靈 活 許 多 。 因 此 , 研 究 者 十 分 同 意 應 該 在 學 校 的 教 學 中 加 入 開 放 式 教 學 法 , 即 便 在 課 程 進 度 壓 力 很 大 情 況 下 , 老 師 也 可 以 嘗 試 在 每 學 期 中 抽 出 一 些 時 間 進 行 開 放 式 教 學 , 使 學 生 更 能 靈 活 地 思 考,使 腦 筋 不 致 僵 化。 「 老 師 教 什 麼 ? 以 及 學 生 如 何 體 驗 ? 是 塑 造 學 生 理 解 數 學 到 底 是 什 麼 的 主 要 因 素 」 (NCTM,1989 )。Schoenfeld (1991;1992) 也 強 調 : 學 生 從 他 們 的 課 室 活 動 與 學 習 經 驗 中 吸 取 了 對 數 學 的 意 義 ; 如 果 老 師 把 數 學 科 分 解 成 片 段 的 知 識 然 後 給 學 生 一 點 一 滴 地 且 逐 步 的 精 熟 , 那 麼 我 們 就 可 以 預 期 這 種 教 學 法 的 學 習 結 果。因 此Schoenfeld又 重 申:創 造 一 個 做 數 學(doing mathematics) 的 教 學 環 境 以 適 合 學 生 的 學 習 的 重 要 ; 也 因 此 引 發 了 選 擇 在 課 室 裡 選 擇「 數 學 文 化 」 的 方 向 。 又 , 開 放 式 教 學 將 學 生 放 在 解 題 過 程 的 中 心,此 教 學 法 讓 學 生 做 數 學(doing mathematics ) 與 強 調 數 學 化 思 考 (mathematically thinking)。 開 放 式 教 學 大 抵 分 成 三 種 類 型 (Becker and Shimada,1997),簡 略 的 介紹 如 下 :

一、過程的開放(

The process is open)

為 了 創 造 學 習 興 趣 與 增 進 創 造 性 的 數 學 活 動 , 在 答 案 是 唯 一 的 問 題 情 境 , 發 展 一 種 不 同 方 式 解 題 的 問 題 , 這 種 問 題 稱 之 為 過 程 開 放 。 唯 一 答 案 的 傳 統 問 題 , 解 題 過 程 也 是 多 元 的 , 只 是 過 去 的 教 學 注 重 答 案 的 正 確 與 否 , 忽 視 過 程 是 否 多 元 , 也 很

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少 強 調 不 同 解 題 途 徑 的 分 享 。 限 於 篇 幅 , 在 此 不 另 舉 例 。

二、結果的開放(The end is open)

問 題 設 計 成 有 許 多 正 確 答 案 稱 之 為 結 果 的 開 放 (Shimada,1977;Becker & Shimada,1997)。例如 題 目:尋 找數 的 規律, 生 活 中 有 許 多 按 照 順 序 排 列 的 數 字 , 都 可 以 找 出 它 的 規 律 性 。 例 如 : 我 們 可 以 在 月 曆 上 任 意 框 出 含 有 九 個 數 的 矩 形( 如 表 一 ), 我 們 可 以 找 出 哪 些 規 則 ? 上 述 問 題 可 衍 生 出 許 多 不 同 的 答 案 , 例 如 矩 形 內 數 字 和 必 為 九 之 倍 數 、 矩 形 內 數 字 和 與 左 上 角 之 數 間 的 關 係 或 以 代 數 方 式 表 徵 九 個 數 間 的 關 係,或 者 矩 形 對 角 線 的 兩 組 數(2,18) 與(4,16)之 和 相等,但 是 相乘 相 差28, 其 他 變 換 矩 形 的 位 置 , 也 會 有 相 同 的 差 ,… 等 。

三 、 形 成 議 題 的 開 放 (The problem

formulating is open)

。 牙 籤 被 放 置 成 下 圖 中 的 正 方 形 , 如 果 有 五 個 正 方 形 , 需 要 用 多 少 牙 籤 ? 就 以 上 的 問 題 , 你 認 為 還 可 以 如 何 出 題 呢 ? 預 測 學 生 可 能 的 答 案 : 1. 學 生可 能 的 解 答為 改 變 正 方形 的 數 量。 2. 改 變正 方 形 的 列數,如 變 成兩 列、三 列 等 等 。 3. 改 變圖 形 , 如 可將 正 方 形 改為 三 角 形、 五 邊 形 等 等 。 4. 將 二維 空 間 改 成三 維 空 間 。 5. 寫 反面 的 問 題,例 如10根 牙籤 可 拼 成 幾 個 正 方 形 。 由 學 生 對 於 命 題 的 修 改 , 從 改 變 「 正 方 形 的 數 目 」 , 「 正 方 形 的 列 數 」 「 三 角 形 或 五 邊 形 」 的 答 案 , 可 以 發 現 學 生 思 考 的 多 元 , 甚 至 從 學 生 改 變 為 「 三 維 空 間 」 的 答 案 , 更 可 以 發 現 學 生 的 創 意 。 再 者 , 若 有 學 生 以 反 面 問 題 , 「 請 問10根 牙 籤 可 拼 成 幾 個 正 方 形 ? 」 , 更 可 以 發 現 學 生 擁 有 可 貴 的 「 逆 向 思 考 」 能 力 。 表 一(引 自 洪有 情 , 2008) 2007 年12月 星 期 日 星 期 一 星 期 二 星 期 三 星 期 四 星 期 五 星 期 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

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肆、開放式教學的設計原則與實施步驟

Kabiri和Smith(2003)強 調 實施 開 放 式 教 學 最 重 要 的 是 要 思 考 以 下 問 題: 1. 是 否有 引 發 學 生更 高 層 次 的概 念 。 2. 是 否能 鼓 勵 學 生有 更 多 批 判性 的 思 考。 3. 可 否 讓 更 多 的 學 生 引 發 更 多 的 解 題 途 徑 及 更 多 的 解 釋 。 作 者 認 為 給 學 生 獲 得 高 層 次 的 數 學 概 念 、 培 養 批 判 性 思 考 的 能 力 , 以 及 引 發 與 觀 摩 更 多 元 的 解 題 途 徑 等 作 為 , 是 數 學 教 育 的 最 高 目 標 , 開 放 式 問 題 因 以 此 原 則 設 計 。 接 著 ,Becker和Shimada(1997)提 出 實 施 開 放 式 教 學 時 課 堂 準 備 應 注 意 的 事 項 : 1. 選 擇一 個 問 題 情境 。 2. 發 展一 個 詳 細 教學 計 劃 。 3. 寫 下 所 有 學 生 對 此 問 題 情 境 的 預 期 反 應 , 當 做 課 程 計 畫 的 一 部 份 。 4. 提 供 學 生 能 以 其 最 自 然 的 數 學 方 式 來 思 考 這 問 題 情 境 。 作 者 認 為 所 謂 的 選 擇 適 當 的 問 題 情 境 , 就 是 給 學 生 設 計 有 情 境 的 應 用 問 題 , 以 給 學 生 學 習 解 決 問 題 的 機 會 , 再 者 , 老 師 也 要 預 估 學 生 可 能 的 解 題 表 現 , 以 思 考 問 題 的 合 理 性 與 難 易 程 度 , 最 後 , 要 評 估 學 生 的 先 備 經 驗 是 否 足 夠 , 是 否 能 用 自 發 性 的 方 法 來 解? 最 後 ,Becker和Shimada也 提出 了 開 放 式 教 學 具 體 的 的 實 施 步 驟 (Becker & Shimada, 1997): 1. 老 師設 計 與 介紹 題 目 2. 學 生 了 解 問 題 及 發 問 3. 學 生 解 題 ( 個 別 作 答 或 小 組 合 作 ) 4. 討 論 與 分 享 5. 老 師 作 總 結 6. 學 生 寫 出 課 後 心 得 7. 發 課 後 學 習 單 ( 延 伸 問 題 ) 上 述 的 第 1 步 驟 是 先 將 傳 統 的 問 題 改 設 計 成 開 放 式 的 問 題 , 之 後 在 課 堂 介 紹 給 學 生 , 第 4步 驟 加 入 討 論 與 分 享 , 第 6步 驟 寫 出 課 後 心 得 , 以 數 學 日 誌 促 進 反 思 , 最 後,第 7步 驟 延 伸 課 堂 問 題 之 課 後 學 習,使 學 生 能 舉 一 反 三 的 類 化 思 考 。 開 放 式 教 學 實 施 過 程 雖 有 明 確 的 步 驟 , 但 也 可 以 根 據 學 生 的 需 求 與 時 間 的 多 寡,選 擇 性 的 實 施。 從 以 上 的 教 學 步 驟 , 研 究 者 不 禁 憶 起 上 數 學 科 教 材 教 法 時 , 一 起 與 師 資 生 觀 摩 鄔 老 師 的 教 學 影 帶 , 她 的 數 學 教 學 , 從 設 計 與 安 排 解 題 情 境 著 手 , 引 導 學 生 發 問 , 給 學 生 小 組 討 論 與 發 表 解 題 想 法 , 鄔 老 師 再 做 課 堂 的 總 結 。 課 堂 結 束 後 , 學 生 針 對 每 一 個 單 元 寫 數 學 日 誌 , 甚 至 有 很 多 學 生 又 延 伸 問 題 在 日 誌 本 上 發 表 高 論 。 因 此 , 我 們 可 以 說 鄔 老 師 的 數 學 教 學 與 開 放 式 教 學 步 驟 是 一 致 的 。

伍、開放式教學的評量

問 題 變 成 開 放 後 , 答 案 並 不 唯 一 , 答 案 也 不 可 預 期,如 何 評 分 呢 ? Conway (1999) 發 展 出 三 個 面 向 的 評 分 方 式,茲 說 明 如 下 : 1. 流 暢 性 ( Fluency) : 其 中 流 暢 性 是 指 總 共 能 寫 出 的 答 案 個 數 ; 2. 靈 活 性 ( Flexibility) : 能 寫 出 的 種 類

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個 數 ; 3. 創 造 性( Originality):具 原 創 意 的 答 案 個 數 。 為 了 舉 例 說 明 開 放 性 問 題 評 分 的 三 個 面 向 , 下 列 以 「 畫 出 五 個 正 方 形 」 的 例 題 來 做 說 明( Conway, 1999;高 碧 卿,2008)。 下 圖(a)是 學 生阿 肯 的 學 習單,因 為 他 畫 出5個 排 列 方法,所 以 在流 暢 性 的 得分 是5; 而 他 排 出 的圖 形 中 , 分成 橫 式 排 列 、 直 式 橫 式 混 合 排 列 及 正 方 形 中 有 正 方 形 三 種 種 類,所 以 在 靈 活 性 的 得 分 是3;另 外因 正 方 形 中 有 正 方 形 是 屬 於 較 有 創 意 的 種 類,所 以 在 創 造 性 的 得 分 是1。若是 阿 肯的 學 習 單 又 再 加 入 圖(b),那畫 出 圖 形 的總 數 是6, 所 以 在 流 暢 性 的 得 分 是 6; 再 來 他 排 出 的 圖 形 中 , 又 多 了 立 體 圖 形 一 種 , 因 畫 出 的 種 類 有 四 種 , 所 以 在 靈 活 性 的 得 分 是4;而 在創 造 性的 評 分 中,因 為立 體 圖形 也 屬 於 頗 具 創 意 的 圖 形 , 因 此 創 造 性 的 項 目 得 分 為2。 研 究 者 也 十 分 認 同 分 此 三 面 向 來 個 別 評 分 : 流 暢 性 的 評 分 是 為 了 鼓 勵 同 學 能 儘 量 作 答 , 而 靈 活 性 則 是 希 望 學 生 除 了 儘 量 作 答 之 外 , 能 有 更 多 變 化 , 不 侷 限 於 相 似 的 答 案 , 當 然 若 是 作 出 的 答 案 能 具 有 創 意 , 這 也 是 我 們 最 期 待 的 。 有 了 這 三 面 向 的 評 分 , 就 更 容 易 促 進 學 生 活 化 思 考 、 發 揮 想 像 力 及 激 發 創 造 力 。 最 後 , 要 提 醒 讀 者 的 是 此 項 評 分 並 非 適 用 於 每 一 個 題 目 , 如 應 用 問 題 的 解 題 , 其 可 能 的 解 答 方 式 若 不 多 , 用 此 三 評 分 面 向 就 不 恰 當 了 。

陸、國內數學教學創新與實踐(代結

論)

前 述 提 到 了 鄔 老 師 數 學 教 學 的 特 色 : 重 視 反 思 而 發 現 的 過 程 、 重 視 自 然 解 法 與 討 論 、 重 視 數 學 連 結 與 生 活 應 用 , 以 及 鼓 勵 學 生 與 豎 立 標 竿 。 教 學 的 步 驟 則 以 佈 題 的 方 式 作 為 開 始 , 進 而 激 發 學 生 高 層 次 的 思 考 。 綜 合 來 說 , 鄔 老 師 的 教 學 顯 然 與 開 放 式 教 學 精 神 一 致 , 二 者 的 目 標 都 在 引 發 學 生 的 數 學 思 考 上 , 在 實 施 步 驟 上 也 大 多 雷 同 。 此 外 , 開 放 式 教 學 從 課 程 設 計 、 教 學 實 施 到 評 量 , 提 供 了 一 個 具 體 明 確 的 程 序 與 策 略 。 鄔 老 師 的 教 學 實 踐 智 慧 — 從 生 活 中 尋 找 佈 題 的 素 材 、 積 極 鼓 勵 學 生 、 為 學 生 豎 立 標 竿 、 引 導 課 堂 的 討 論 與 發 表 , 以 及 數 學 日 誌 的 寫 作 等 , 則 提 供 了 實 施 開 放 式 教 學 參 考 的 楷 模 。 台 大 數 學 系 的 退 休 教 授 朱 建 正 先 生 曾 引 述 美 國 數 學 教 師 協 會 ( NCTM ) 的 一 段 話 , 優 秀 的 數 學 教 師 就 像 熊 貓 、 白 鯨 等 瀕 臨 絕 種 的 動 物 一 樣 少 , 像 鄔 老 師 這 樣 專 業 與 投 入 的 老 師 真 的 是 很 少 。 鄔 老 師 教 學 典 範 的 確 不 容 易 做 到 。 到 底 哪 一 種 教 學 可 以 較 容 易 推 廣 與 實 踐 呢 ? 幾 年 前 , 建 構 式 數 學 教 學 遭 到 質 疑 與 誤 解 , 建 構 式 教 學 不 好 嗎 ? 實 際 上 , 建 構 (a) (b)

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式 教 學 的 精 神 是 不 易 掌 握 的 , 教 學 者 要 擁 有 數 學 的 內 容 結 構 知 識 才 能 掌 握 教 學 活 動 的 目 標 , 也 要 有 兒 童 的 數 學 知 識 才 能 了 解 學 習 者 的 想 法 , 且 要 有 數 學 教 學 知 識 才 能 做 出 適 當 的 教 學 安 排 , 也 就 是 所 謂 的 佈 題 。 此 外 , 有 人 說 建 構 式 教 學 只 是 一 種 精 神 , 並 沒 有 一 套 固 定 的 教 學 程 序 , 因 此 , 如 何 實 踐 建 構 式 數 學 對 於 基 層 老 師 而 言 缺 乏 有 效 的 參 照 基 準 。 總 之 , 不 是 建 構 式 教 學 好 不 好 的 問 題 , 而 是 能 否 做 到 建 構 式 教 學 的 問 題 ( 劉 祥 通 , 2003) 。 鄔 瑞 香 老 師 以 執 著 的 精 神 , 全 力 投 入 數 學 教 學 的 研 究 、 學 習 與 教 學 , 如 果 說 鄔 老 師 像 是 做 到 了 建 構 式 教 學 的 精 神 , 但 是 , 我 們 不 禁 要 問,又 有 多 少 老 師 像 鄔 老 師 ?這 也 許 是 國 內 建 構 式 數 學 教 學 無 法 成 功 普 遍 實 施 的 原 因 吧 ! 反 觀 , 實 踐 開 放 式 教 學 , 有 具 體 的 步 驟 與 策 略 , 第 一 線 的 老 師 可 以 依 照 步 驟 揣 摩 與 實 踐 , 也 可 以 根 據 時 間 的 多 寡 , 重 點 式 的 選 擇 所 要 強 調 的 重 點 , 可 以 強 調 分 享 、 辨 正 、 論 證 、 反 思 或 一 般 化 等 數 學 化 的 過 程 。 過 去 多 位 數 學 教 育 學 者 勇 敢 地 提 倡 建 構 式 數 學 教 學 並 改 編 教 科 書 , 但 是 也 許 是 師 資 培 育 未 就 緒 , 也 許 是 配 套 措 施 不 夠 , 也 許 是 建 構 式 教 學 太 抽 象 , 沒 有 具 體 的 步 驟 與 方 法 可 以 依 循 , 總 之 遭 受 很 多 批 評 與 誤 解 , 至 今 依 然 存 在 也 未 見 改 善 。 開 放 式 教 學 已 有 了 設 計 原 則 、 課 堂 計 畫 的 要 領 、 評 分 的 準 則 、 以 及 實 施 的 步 驟 。 關 心 數 學 教 育 的 同 道 可 以 嘗 試「 設 計 數 學 」,期 待 「 解 數 學 」、「 談 數 學 」 與 「 寫 數 學 」 的 氣 氛 在 數 學 課 室 裡 瀰 漫 。

註解:

註 1:2000 年 本文 第 二 作 者帶 數 理 教 育系 學 生 環 島 教 育 參 觀,行 程 安 排 拜 訪 在 屏 東 檳 榔 園 中 老 家 養 病 的 鄔 老 師。在 會 客 大 廳 中 鄔 老 師 頭 包 絲 巾 神 采 奕 奕 的 向 圍 坐 身 旁 的 學 生 及 筆 者 暢 談 其 數 學 教 學 的 心 路 歷 程。此 段 為 作 者 藉 由 回 憶 摘 述 談 話 部 分 內 容 。

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參考文獻

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