有限加速時間的安魯輻射

全文

(1)國立臺灣師範大學物理所碩士論文. Unruh radiation for a finite period of acceleration. 柯韋廷. 指導教授:高賢忠. 中華民國一○二年八月.

(2) 摘要在本篇論文中，我們考慮在有限時間內做等加速運動的粒子，利用彎曲空間的量子場論來探討此情況下的安魯(Unruh)效應。. 關鍵詞:安魯效應、微擾理論、黑體輻射、Rindle 空間.

(3) Abstract In this thesis, we consider a particle undergoing a finite period of uniform acceleration. In this case, quantum fields theory in curved space are used to discuss the Unruh effect.. Key Words : Unruh Effect、Perturbation Theory、 Blackbody Emission、Rindle Space.

(4) 目次前言................................1 第一章閔考斯基空間中的場論.........2 1.1 純量場.....................2 1.2 量子化.....................3. 第二章彎曲空間中的場論..............5 2.1 空間結構...................5 2.2 安魯效應...................6. 第三章有限時間內加速的粒子........12 3.1 輻射振幅..................12 3.2 吸收振幅..................14 3.3 輻射率....................15. 第四章結論........................17. 參考文獻...........................18.

(5) 前言安魯(Unruh)效應是由安魯於 1976 年所提出，他發現一個做等加速度運動的粒子會感受到自己置身於一個溫度正比於其加速度𝑎的環境之中。當時安魯所用的方法為 detector method，他考慮一個具有兩個能階的粒子探測器的加速運動，並根據一階的微擾理論來做計算。安魯效應告訴我們，不同坐標系的觀察者對於真空態的描述不盡相同，處於慣性坐標系的觀察者並不會觀察到安魯效應。我們以粒子探測器的概念來解釋這個結果:在閔考斯基空間中，加速中的探測器有可能會放出一個純量粒子(產生輻射)，此時純量場的量子態由真空態|0M ⟩變為單粒子態|1𝒌 ⟩，另一個可能的過程是吸收這個純量粒子而從基態跳到激發態，此時純量場的量子態由單粒子態|1𝒌 ⟩ 變為真空態|0M ⟩。這兩個過程合成的效果會讓探測器感覺像是處於黑體輻射的環境中。相反的，做慣性運動的探測器是無法觀察到的。一般安魯效應討論的情況是加速時間為無限長，而本篇論文的目的則是探討在有限的加速時間內，加速中粒子的輻射振幅與吸收振幅，並與加速時間為無限大的情況下做比較，我們討論的是加速時間的長短、加速度大小以及能階大小對安魯效應的影響。. 1.

(6) 閔考斯基(Minkowski)空間中的場論 1.1 純量場閔考斯基空間中 n 維的純量場φ(t, 𝐱)滿足場方程式:. 𝜂𝜇𝜈. (□+𝑚2 )φ = 0，. (1.1). □ ≡ 𝜂𝜇𝜈 𝜕𝜇 𝜕𝜈 ，. (1.2). 1 0 0 0 0 )。 = (0 −1 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1. (1.3). 𝜂𝜇𝜈 為閔考斯基空間的度規張量， 𝑚為質量。此微分方程式其中的一個解為 𝒖𝒌 (t, 𝐱) ∝ ei𝒌∙𝐱−iωt ，. (1.4). 1. ω ≡ (𝑘 2 + 𝑚2 )2 ，. (1.5) 1. 2 𝑘 ≡ |𝒌| ≡ (∑n−1 𝑖=1 𝑘𝑖 ) 。. (1.6). 接著我們定義純量積: (φ1 , 𝜑2 ) = −i ∫{φ1 (x) ∂t φ∗2 (x) − [∂t φ1 (x)]φ∗2 (x)} dn−1 x， = −i ∫{φ1 (x) ⃡∂t φ∗2 (x)} dn−1 x。. (1.7). 當時間 t 相等時，不同的𝒌值的解彼此正交 (𝒖𝐤 , 𝒖𝐤′ ) = 𝛿 (𝑛−1) (𝒌 − 𝒌′ )。. (1.8). 藉由上述正交的性質，我們可以將𝒖𝒌 正規化 1. 𝒖𝒌 (t, 𝐱) = [2ω(2𝜋)𝑛−1 ]−2 ei𝒌∙𝐱−iωt 。. 2. (1.9).

(7) 1.2 量子化在量子化的過程中,我們將純量場φ視為算符,作用在量子態上。在相同時間 t 時滿足以下對易關係 [φ(t, 𝐱), φ(t, 𝐱 ′ )] = 0， [𝜕𝑡 φ(t, 𝐱), 𝜕𝑡 φ(t, 𝐱 ′ )] = 0， [φ(t, 𝐱), 𝜕t φ(t, 𝐱 ′ )] = i𝛿 (n−1) (𝐱 − 𝐱 ′ )。. (1.10). 因此我們可以將φ(t, 𝐱)改寫為 φ(t, 𝐱) = ∑𝐤[𝒂𝒌 𝒖𝒌 + 𝒂†𝒌 𝒖∗𝒌 ]。. (1.11). 𝒂𝒌 與𝒂†𝒌 滿足以下對易關係 [𝒂𝒌 , 𝒂𝒌′ ] = 0， [𝒂†𝒌 , 𝒂†𝒌′ ] = 0， [𝒂𝒌 , 𝒂†𝒌′ ] = 𝛿 (n−1) (𝒌 − 𝒌′ )。. (1.12). 𝑵(𝒌) = 𝒂𝒌† 𝒂𝒌 ， 𝑵(𝒌)|𝑛(𝒌)⟩ = 𝑛(𝒌)|𝑛(𝒌)⟩。. (1.13) (1.14). 我們引進一個算符. 𝑵(𝒌)稱為 particle number operator，當作用在量子態上時可以得到本徵值為(𝜔, 𝒌) 的量子態的粒子數。利用(1.12)的對易關係可以得到: [𝑵(𝒌), 𝒂†𝒌 ] = 𝒂†𝒌 ， [𝑵(𝒌), 𝒂𝒌 ] = −𝒂𝒌 。. (1.15) (1.16). 藉此我們發現 𝑵(𝒌)𝒂†𝒌 |𝑛(𝒌)⟩ = (𝑛(𝒌) + 1)𝒂†𝒌 |𝑛(𝒌)⟩， 𝑵(𝒌)𝒂𝒌 |𝑛(𝒌)⟩ = (𝑛(𝒌) − 1)𝒂𝒌 |𝑛(𝒌)⟩。. (1.17) (1.18). 因此𝒂𝒌 可減少一個本徵值為(𝜔, 𝒌)的粒子，稱之為消滅算符(annihilation operator)。 3.

(8) 當作用在真空態(vacuum)上時: 𝒂𝒌 |0𝑀 ⟩ = 0。. (1.19). 相反的， 𝒂†𝒌 可增加一個本徵值為(𝜔, 𝒌)的粒子，稱之為創生算符(creation operator)。當作用在真空態上時: 𝒂†𝒌 |0𝑀 ⟩ = |1𝒌 ⟩。. 4. (1.20).

(9) 彎曲空間中的場論 2.1 時空結構黎曼(Riemann)幾何提供空間一個數學上的幾何特性,讓我們可以計算彎曲空間的長度。空間的幾何特性以度規張量𝑔𝜇𝜈 來表示，有了度規張量，我們可以定義 n 維空間上的單位長度𝑑𝑠: 𝑑2 𝑠 = 𝑔𝜇𝜈 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝜈 ,. 𝜇, ν = 0,1,2, … , (n − 1)。. (2.1). 例如二維的閔考斯空間可藉由共形變換以潘洛斯圖(Penrose diagram)表示: 𝑑2 𝑠 = 𝑑t 2 + 𝑑x 2 ，. (2.2). 𝑢 = t − x， 𝑣 = t + x，. (2.3). 考慮一變數變換. 則 𝑑 2 𝑠 = 𝑑𝑢𝑑𝑣， 0 1 ]。 1 0. (2.4). 𝑢′ = 2tan−1 𝑢， 𝑣 ′ = 2tan−1 𝑣， −π ≤ 𝑢′ , 𝑣 ′ ≤ 𝜋。. (2.5). 1. 𝑔𝜇𝜈 = 2 [ 引進一新的座標系. 因此我們可以得到度規表示式 1. 𝑢′. 4. 2. 𝑑 2 𝑠 = 𝑠𝑒𝑐 2. 𝑠𝑒𝑐 2. 1. 𝑔𝜇𝜈 (𝑢′ , 𝑣 ′ ) = 8 𝑠𝑒𝑐 2. 𝑢′ 2. 𝑣′ 2. 𝑑𝑢′𝑑𝑣′，. (2.6). 0 [ 1. (2.7). 𝑠𝑒𝑐 2. 𝑣′ 2. 1 ]。 0. 因為 1 0 1 𝑔𝜇𝜈 (𝑢′ , 𝑣 ′ ) = Ω2 (𝑥) 2 [ ] = Ω2 (𝑥)𝑔𝜇𝜈 ， 1 0. 5. (2.8).

(10) 1. Ω2 (𝑥) = (4 𝑠𝑒𝑐 2. 𝑢′ 2. 𝑣′. 𝑠𝑒𝑐 2 2 )−1 。. (2.8). 所以此空間變換為共形變換(comformal transformation)。潘洛斯圖可以將閔考斯基空間中無限大的空間表現在有限的區域之中，並且保持光的路徑在 45 度角上。. Future. Past 圖 1. 潘洛斯圖(Penrose diagram). 2.2 安魯(Unruh)效應考慮一個 1+1 維的加速粒子系統，質量為𝑚、電量為𝑞的帶電粒子由靜止狀態受到固定電場𝐸0 加速。由相對論運動方程式: 𝑑𝑝0. = 𝑞𝐸0 𝑢， 𝑑𝜏 { 𝑑𝑥(0) = 0， 𝑑𝜏 𝑝0 =. 𝑚 √1−𝑑𝑥(𝑡). 2. (2.9). ，. (2.10). 𝑑𝜏. 𝑢=. 𝑑𝑥 𝑑𝜏. 。. (2.11). 解微分方程式後可得粒子的運動軌跡. 𝑥=. −𝑚+√𝑚2 +𝑞 2 𝐸0 2 𝑡 2 𝑞𝐸0. 6. 。. (2.12).

(11) 路徑為雙曲線。用固有時間(proper time) τ表示時: 1. 𝑥 = 𝑎 (cosh[𝑎𝜏] − 1)， { 1 𝑡 = 𝑎 sinh[𝑎𝜏]， 𝑎=. 𝑞𝐸0 𝑚. 。. (2.13) (2.14). 重新定義原點之後 1. {. x = 𝑎 cosh[𝑎𝜏]， 1. t = 𝑎 sinh[𝑎𝜏]。. (2.15). 在閔考斯基空間中做等加速運動的觀察者可針對空間中的一點 R 來定義一個新座標。此觀察者在𝜏 = 𝜏1 時發射一道光至 R 點，當 R 點接收到這到光時，將光反射回去，而觀察者在𝜏 = 𝜏2 時接收到。根據以上的資訊，我們可以定義一組新座標: 1. x ′ = 2 (𝜏2 − 𝜏1 )， { 1 t ′ = 2 (𝜏2 + 𝜏1 )。. (2.16). 並引進新變數(u, v) 1. {. u = x + t = 𝑎 𝑒 𝑎𝜏 ， 1. v = x − t = 𝑎 𝑒 −𝑎𝜏 。. (2.17). R 點座標可表示為 1. v𝑅 = v1 = 𝑎 𝑒 −𝑎𝜏1 = xR − t R ，. { 1 u𝑅 = u2 = 𝑎 𝑒 𝑎𝜏2 = xR + t R 。. 7. (2.18).

(12) 𝜏2 R點 𝜏1 圖 2. 等加速度運動者於閔考斯基空間中的運動軌跡將(2.18)式代入(2.16)可得 1. {. x ′ = 𝑎 𝑙𝑛√𝑎2 (x 2 − t 2 )， 1. (2.19). x+t. t ′ = 𝑎 𝑙𝑛√x−t 。. 此座標轉換亦為一共形變換 ′. 2. d𝑠 2 = −dt 2 + dx 2 = 𝑒 2𝑎x (−dt ′ + d′x 2 )。. (2.20). 當固定x ′ 不變時 ′. x 2 − t 2 = 𝑎−2 𝑒 2𝑎x = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡。可以發現x ′ 軸在閔考斯基空間上的軌跡為一雙曲線。. x’=constant. t’=constant. 圖 3. 閔考斯基空間中的 Rindler 坐標系 8. (2.21).

(13) 求得了粒子的運動軌跡之後，我們利用 detector method 來計算安魯溫度。考慮一個只有 2 個能階的探測器及一個 1+1 維的外加純量場，兩者間的交互作用為: H𝑖 = 𝑔{𝑒 i ∆𝐸 𝜏 𝜎+ + 𝑒 −i ∆𝐸 𝜏 𝜎− }φ(t(𝜏), x(𝜏))， = 𝑔∫. 𝑑𝑘 √4𝜋𝜔. {𝝈+ 𝑒 i ∆𝐸 𝜏 + 𝝈− 𝑒 −i ∆𝐸 𝜏 }{𝒂𝒌 𝑒 ik∙x−iωt +𝒂†𝒌 𝑒 −ik∙x+iωt }。. (2. 22). 算符𝝈+ 會使探測器從基態躍遷到激發態,而算符𝝈− 則會使探測器從激發態降為基態,∆𝐸為探測器從基態躍遷到激發態所需的能量。考慮吸收振幅時，探測器吸收一個能量為∆𝐸的純量粒子(|1𝒌 ⟩ → |0𝑀 ⟩)，並從基態躍遷到激發態。相反的，考慮輻射振幅時，探測器從激發態降為基態，並放出一個純量粒子(|0𝑀 ⟩ → |1𝒌 ⟩)。用一階的微擾理論計算後可將輻射振幅及吸收振福表示為τ的函數(指數正號為輻射,負號為吸收) ∞. 𝑅± = 𝑔2 ∫−∞ 𝑑∆𝜏 𝑒 ∓i∆𝐸∆𝜏 ⟨0𝑀 |φ(t(𝜏2 ), x(𝜏2 ))φ(t(𝜏1 ), x(𝜏1 ))|0𝑀 ⟩。 (2. 23) 因為我們純量場的頻率為正(ω > 0)，所以 Propagator 為 G+ (𝒙(𝜏2 ), 𝒙(𝜏1 )) ⟨0𝑀 |φ(t(𝜏2 ), x(𝜏2 ))φ(t(𝜏1 ), x(𝜏1 ))|0𝑀 ⟩ = G+ (𝒙(𝜏2 ), 𝒙(𝜏1 ))， 1. = (2𝜋)2 ∫. 𝑒 𝑖k∙(x(𝜏2 )−x(𝜏1 ))−𝑖𝜔(t(𝜏2 )−t(𝜏1 )) 𝜔 2 −|k|2 −𝑚2 1. 𝑑 2 𝜔，. = − 4 𝜋 ln[ (∆t − 𝑖𝜖)2 − (∆x)2 ]。. (2. 24). 因此 Propagator 為 1+1 維的 Wightman function. iG−. iG+ 1. ω = −(|k|2 +. ω = (|k|2 + 𝑚2 )2. 1 𝑚 2 )2. 圖 4. ω的複數平面 9.

(14) 將運動軌跡(2.15)代入(2.24)可得. − =−. 1 ln[(∆𝑡 − iϵ)2 − (∆x)2 ] 4𝜋. 1 ln{𝑎−2 [(sinh 𝑎𝜏2 − sinh 𝑎𝜏1 − i𝜀)2 − (cosh 𝑎𝜏2 − cosh 𝑎𝜏1 )2 ]} 4𝜋 1. = − 4 𝜋 ln[4𝑎 −2 sinh2. 𝑎(∆𝜏−i𝜀) 2. ]。. (2. 25). 由以上結果，我們可以得到加速時間無窮長時的輻射振幅與吸收振幅 𝑔2. ∞. 𝑅± = − 4 𝜋 ∫−∞ 𝑑∆𝜏 𝑒 ∓i∆𝐸∆𝜏 ln[4𝑎−2 sinh2. 𝑎(∆𝜏−i𝜀) 2. ]。. (2. 26). 做分部積分，選擇適當的條件可讓邊界項在∆𝜏 = ±∞時趨近於零. =. 𝑎∆𝜏. cosh( −i𝜀) ∞ 2 ± 4 𝜋 ∆𝐸 ∫−∞ 𝑑∆𝜏 𝑒 ∓i∆𝐸∆𝜏 。 𝑎∆𝜏 sinh( −i𝜀) i𝑔2 𝑎. (2. 27). 2. 當計算吸收振幅時(指數為負號)積分元在下半複數平面上有 poles:∆𝜏 = −. 2πni 𝑎. +. i𝜀(n=1,2,…)，而當計算輻射振幅時(指數為正號)積分元在上半複數平面有上有 poles:∆𝜏 =. 2πni 𝑎. + i𝜀(n=0,1,2,…)。利用留數定理可得. 2𝜋𝑛∆𝐸. − 𝑎 R_ ∑∞ 𝑛=1 𝑒 = 2𝜋𝑛∆𝐸 𝑅+ − 𝑎 ∑∞ 𝑛=0 𝑒. = 𝑒−. 2𝜋∆𝐸 𝑎. 。. (2. 28). 我們將結果與熱平衡狀態的黑體輻射做比較. 𝑒−. 2𝜋∆𝐸 𝑎. −∆𝐸. = 𝑒 𝑘𝐵 𝑇 。. 𝑎為粒子加速度， 𝑘𝐵 為波茲曼常數。 10. (2. 29).

(15) 因此做等加速運動的觀察者可以感受到 Rindler space 的時空性質,並處於溫度 𝑎. 𝑇等於 2𝜋𝑘 的輻射背景之中。 𝐵. 11.

(16) 有限時間內加速的粒子上一章我們計算了加速時間為無窮長的情況，接著我們利用相似的計算方式，將積分的範圍從無窮大改為有限的區域來計算。考慮加速時間為𝜏 = 𝜏0，則有限時間內的輻射振幅與吸收振幅為: 𝜏. 𝜏. 𝑅± = 𝑔2 ∫0 0 𝑑𝜏2 ∫0 0 𝑑𝜏1 𝑒 ∓i∆𝐸(𝜏2 −𝜏1) 𝑊(𝜏2 − 𝜏1 − i𝜖)。. (3. 1). 接下來我們將分開討論輻射振幅與吸收振幅，並將結果與加速時間為無窮大的情況做比較。. 3.1 輻射振幅考慮輻射振幅: 𝑔2. 𝜏. 𝜏. 4. 𝑅+ = − 4 𝜋 ∫0 0 𝑑𝜏2 ∫0 0 𝑑𝜏1 𝑒 i∆𝐸(𝜏2 −𝜏1 ) ln {𝑎2 sinh2 [𝑎. (𝜏2 −𝜏1 −i𝜀). ]}。. 2. (3.2). 為了方便分析，我們將積分式對𝜏1、𝜏2 做分部積分後分為兩部分，包含一個積分項 I+. I+ =. i𝑎𝑒 𝜏 𝜏 − 4 𝜋 ∫0 0 𝑑𝜏2 ∫0 0 𝑑𝜏1 𝑔2. i∆𝐸(𝜏2 −𝜏1 ) coth[𝑎(𝜏2 −𝜏1 −i𝜀) ] 2. ，. ∆𝐸. (3. 3). 和一個邊界項 B+ 𝑔2. B+ = − 4𝜋∆𝐸2 {2ln [− −𝑒 𝜏0. 𝑎. + ∫ 𝑑𝜏2 [ 0. −i∆𝐸𝜏0. ∆𝐸 2. 𝑎(𝜏0 +i𝜀) 2 ] 2 𝑎2. 4 sinh[−. ln [. ]−𝑒. 𝑎𝜀 2 ) 2 𝑎2. 4 sin(. i∆𝐸𝜏0. ln [. ]. 4 sinh[. 𝑎(𝜏0 −i𝜀) 2 ] 2 𝑎2. 𝑎(𝜏2 −i𝜀). 𝑎(𝜏2 −𝜏0 −i𝜀). 2. 2. {𝑒 i∆𝐸𝜏2 coth [. ] − 𝑒 i∆𝐸(−𝜏0 +𝜏2) coth [. 我們先求積分式 I+ 。. I+ =. ]. i𝑎𝑒 𝜏 𝜏 − 4 𝜋 ∫0 0 𝑑𝜏2 ∫0 0 𝑑𝜏1 𝑔2. 12. i∆𝐸(𝜏2 −𝜏1 ) coth[𝑎(𝜏2 −𝜏1 −i𝜀) ] 2. ∆𝐸. ]}]}。(3. 4).

(17) 𝑔2. 𝜏. 𝑎. − 4 𝜋 ∫0 0 𝑑𝜏2 {∆𝐸2 [(𝑒 −i∆𝐸(𝜏0 −𝜏2) − 𝑒 i𝜏2 ) −2𝑒 −i∆𝐸(𝜏0 −𝜏2 ) 2 𝐹1 (1, − i∆𝐸. +2𝑒 i∆𝐸𝜏2 2 𝐹1 (1, − 𝐹為 2 1. i∆𝐸 𝑎. ,1 −. ,1 −. 𝑎. i∆𝐸 𝑎. i∆𝐸 𝑎. , 𝑒 𝑎(𝜏2 −𝜏0 +i𝜀) ). , 𝑒 𝑎(i𝜀−𝜏2 ) )]}。. (3. 5). Hypergeometric Function，利用 Kummer relation 1 𝑎 (−1)−𝑎 Γ[−𝑎+𝑏]Γ[𝑐]. 𝐹(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑧) = (𝑧). 1 𝑏 (−1)−𝑎 Γ[−𝑏+𝑎]Γ[𝑐]. (𝑧 ). 1. 𝐹 (𝑎, 1 + 𝑎 − 𝑐, 1 + 𝑎 − 𝑏, 𝑧) +. Γ[𝑏] Γ[−𝑎+𝑐]. Γ[𝑎]Γ[−𝑏+𝑐]. 1. 𝐹(𝑏, 1 + 𝑏 − 𝑐, 1 + 𝑏 − 𝑎, 𝑧)。. (3. 6). 將這兩個 Hypergeometric Function 展開並簡化 i∆𝐸 𝐹 (1, − 𝑎 , 1 2 1. −. 2∆𝐸𝜋. =−. 2𝜋∆𝐸𝑒 𝑎. 2∆𝐸𝜋 𝑎(1−𝑒 𝑎 ). i∆𝐸 𝑎. , 𝑒 𝑎(𝜏2 −𝜏0+i𝜀) ). i∆𝐸. (𝑒 𝑎(𝜏0 +i𝜀−𝜏2 ) ) 𝑎 + i∆𝐸 ∑∞ 𝑛=1. i∆𝐸 𝐹 (1, − 𝑎 , 1 2 1. −. = 1 + ∆𝐸 ∑∞ 𝑛=1. i∆𝐸 𝑎. 𝑒 𝑎𝑛(−𝜏0 −i𝜀+𝜏2 ) 。 (𝑎𝑛+i∆𝐸). (3. 7). , 𝑒 𝑎(i𝜀−𝜏2 ) ). 𝑒 −𝑎𝑛(𝜏2 −𝑖𝜀) ∆𝐸+i𝑎𝑛. 。. (3. 8). 將(3.7)式與(3.8)式代入積分式後對𝜏2 積分，並取𝜀 → 0的極限，求得 𝑔2. I+ = − 4 𝜋 {. 2𝜋∆𝐸. 4𝜋𝜏0 𝑒 𝑎. 2𝜋∆𝐸 ∆𝐸(1−𝑒 𝑎 ). i𝑎. + ∆𝐸3 (𝑒 −i∆𝐸𝜏0 − 𝑒 i∆𝐸𝜏0 ) 8𝑎2 𝑛. 2i𝑎. −i∆𝐸𝜏0 −𝑎𝜏0 𝑛 + ∑∞ − 𝑒 i∆𝐸𝜏0 −𝑎𝜏0 𝑛 ) + (∆𝐸2 +𝑎2 𝑛2 )2 ]}。 (3. 9) 𝑛=1[∆𝐸(∆𝐸−i𝑎𝑛)2 (𝑒. 將B+ 式以類似方式整理可得 𝑔2. i𝑎. 𝐵+ = − 4 𝜋 {∆𝐸3 (2 + 𝑒 −𝑖∆𝐸𝜏0 − 𝑒 𝑖∆𝐸𝜏0 ) 2i𝑎. + ∆𝐸2 ∑∞ 𝑛=1 (. 𝑒 −i∆𝐸𝜏0 −𝑎𝜏0 𝑛 ∆𝐸−i𝑎𝑛. 13. +. 𝑒 𝑖∆𝐸𝜏0 −𝑎𝜏0 𝑛 −∆𝐸−i𝑎𝑛. ).

(18) 1. − ∆𝐸2 (𝑒. i∆𝐸𝜏0. 𝑎𝜏 2 4Sinh[ 0 ] 2. ln [. 𝑎2. ]+𝑒. −i∆𝐸𝜏0. 𝑎𝜏 2 4Sinh[ 0 ] 2. ln [. +4EulerGamma − 2𝜋i + 4ln[i𝑎] + 4PolyGamma [0,. 𝑎2 𝑖∆𝐸 𝑎. ] 4𝜋i. ]+. 2𝜋∆𝐸. 1−𝑒 𝑎. )}。 (3. 10). 3.2 吸收振幅考慮吸收振幅: 𝑔2. 𝜏. 𝜏. 4. 𝑅− = − 4 𝜋 ∫0 0 𝑑𝜏2 ∫0 0 𝑑𝜏1 𝑒 i∆𝐸(𝜏2 −𝜏1 ) ln[ 𝑎2 sinh2 𝑎. (𝜏2 −𝜏1 −i𝜀). ]。. 2. (3. 11). 同樣的，我們將積分式分成積分項與邊界項。利用和上一小節類似的過程，我們可以得到積分項 𝑔2. I− = − 4 𝜋 {. 4𝜋𝜏0. i𝑎. 2𝜋∆𝐸 ∆𝐸(1−𝑒 𝑎 ). + ∆𝐸3 (𝑒 −i∆𝐸𝜏0 − 𝑒 i∆𝐸𝜏0 ) 8𝑎2 𝑛. 2i𝑎. −i∆𝐸𝜏0 −𝑎𝜏0 𝑛 + ∑∞ − 𝑒 i∆𝐸𝜏0 −𝑎𝜏0 𝑛 ) + (∆𝐸2 +𝑎2 𝑛2 )2 ]}， 𝑛=1[∆𝐸(∆𝐸−i𝑎𝑛)2 (𝑒. (3. 12). 和邊界項 𝑔2. i𝑎. B− = − 4 𝜋 {∆𝐸3 (−2 + 𝑒 −i∆𝐸𝜏0 − 𝑒 i∆𝐸𝜏0 ) 2𝑎i. − ∆𝐸2 ∑∞ 𝑛=1 ( 1. − ∆𝐸2 (𝑒. i∆𝐸𝜏0. 𝑒 −i∆𝐸𝜏0 −𝑎𝜏0 𝑛 −∆𝐸+i𝑎𝑛. 𝑎𝜏 2 4Sinh[ 0 ]. ln [. 2. 𝑎2. ]+𝑒. +. 𝑒 i∆𝐸𝜏0 −𝑎𝜏0 𝑛 ∆𝐸+i𝑎𝑛. −i∆𝐸𝜏0. 𝑎𝜏 2 4Sinh[ 0 ]. ln [. +4EulerGamma − 2𝜋i + 4ln[i𝑎] + 4PolyGamma [0, −. 14. ) 2. 𝑎2 i∆𝐸 𝑎. ] 2𝜋∆𝐸. ]+. 4𝜋i𝑒 𝑎. 2𝜋∆𝐸. 1−𝑒 𝑎. )}。(3. 13).

(19) 3.3 輻射率當𝜏0 ≫ 𝑎−1 時，我們可以做以下簡化。將 n 保留至第一項後可得: 𝝉𝟎 ≫ 𝒂−𝟏. 𝐈+. 𝑔2. − +. 𝐁+. −. 𝑔2. {. 4𝜋. 2𝜋∆𝐸. [. 2i𝑎. 4 𝜋 ∆𝐸 3. 2𝜋∆𝐸. +. ∆𝐸(1−𝑒 𝑎 ). ∆𝐸(∆𝐸−i𝑎)2. i𝑎. 4𝜋𝜏0 𝑒 𝑎. i𝑎 ∆𝐸 3. (𝑒 −i∆𝐸𝜏0 − 𝑒 i∆𝐸𝜏0 ). (2 + 𝑒 −i∆𝐸 𝜏0 − 𝑒 i∆𝐸 𝜏0 ) +. 2i𝑎 ∆𝐸 2. (. −. ∆𝐸 2. (𝑒. i∆𝐸 𝜏0. 𝑎𝜏 4Sinh[ 20 ] ln [ 2 𝑎. (∆𝐸 2 +𝑎2 )2. 𝑒 −i∆𝐸𝜏0 −𝑎𝜏0. −. +. 𝐁−. −. 𝑔2. {. 𝑔2 4𝜋. [. 2i𝑎 ∆𝐸(∆𝐸−i𝑎)2. i𝑎. 4 𝜋 ∆𝐸 3. 4𝜋𝜏0. 2𝜋∆𝐸. +. ∆𝐸(1−𝑒 𝑎 ). ]+𝑒. i𝑎 ∆𝐸 3. 1 ∆𝐸. −∆𝐸−i𝑎. 𝑎𝜏 4Sinh[ 20 ] ln [ 2 𝑎. i∆𝐸 𝑎. 𝑎𝜏 2 4Sinh[ 20 ] ] 𝑎2. ] 4𝜋i. ]+. 2𝜋∆𝐸. 1−𝑒 𝑎. 8𝑎2. (𝑒 −i∆𝐸 𝜏0−𝑎𝜏0 − 𝑒 i∆𝐸𝜏0−𝑎𝜏0 ) + (∆𝐸2. i∆𝐸 𝜏0 ln [ 2 (𝑒. ). )}。 (3. 15). (𝑒 −i∆𝐸 𝜏0 − 𝑒 i∆𝐸𝜏0 ). (−2 + 𝑒 −i∆𝐸𝜏0 − 𝑒 i∆𝐸𝜏0 ) −. −. (3. 14). 2. −i∆𝐸 𝜏0. +4EulerGamma − 2𝜋i + 4ln[i𝑎] + 4PolyGamma [0,. 𝐈−. ]。. 𝑒 i∆𝐸𝜏0 −𝑎𝜏0. +. ∆𝐸−i𝑎. 2. 1. 8𝑎2. (𝑒 −i∆𝐸 𝜏0−𝑎𝜏0 − 𝑒 i∆𝐸𝜏0−𝑎𝜏0 ) +. 2𝑎i ∆𝐸 2. (. +𝑎2 )2. 𝑒 −i∆𝐸𝜏0 −𝑎𝜏0 −∆𝐸+i𝑎. +. ]。. (3. 16). 𝑒 i∆𝐸𝜏0 −𝑎𝜏0 ∆𝐸+i𝑎. ). 𝑎𝜏 2 4Sinh[ 20 ] ] 𝑎2. + 𝑒 −i∆𝐸𝜏0 ln [. +4EulerGamma − 2𝜋i + 4ln[i𝑎] + 4PolyGamma [0, −. i∆𝐸 𝑎. 2𝜋∆𝐸. ]+. 4𝜋i𝑒 𝑎. 2𝜋∆𝐸. )}。 (3. 17). 1−𝑒 𝑎. 表 1. 將上述計算的結果與文獻做比較我們可以發現，對有限的加速時間來說，輻射與 𝑎. 吸收振幅內，安魯效應的貢獻正比於𝜏0 ，而額外的項則主要正比於∆𝐸2 。因此當 𝑎. 𝜏0 ≫ ∆𝐸2時，我們只需要考慮I+ 與I− 中正比於𝜏0 的項。而在這樣的極限下，邊界項只剩下∆𝐸1 2 (𝑒 i∆𝐸𝜏0 ln [. 𝑎𝜏 2 4Sinh[ 20 ] ] 𝑎2. 𝑎𝜏 2 4Sinh[ 20 ] ]) 𝑎2. + 𝑒 −i∆𝐸𝜏0 ln [. 15. 有貢獻，而在𝜏0 ≫ 𝑎−1 , ∆𝐸 −1 時，.

(20) 𝑎𝜏. 可以簡化為 ∆𝐸02 (𝑒i∆𝐸𝜏0 + 𝑒−i∆𝐸𝜏0 )。這是個震盪項，在平均時間下對振幅的影響不大，因此我們可以得到與文獻相同的結果. 𝑅− 𝑅+. =. −1 2𝜋∆𝐸 1−𝑒 𝑎 2𝜋∆𝐸 𝑒 𝑎 2𝜋∆𝐸 1−𝑒 𝑎. = 𝑒−. 2𝜋∆𝐸 𝑎. 這個時候做等加速度運動的粒子感覺自己處於𝑇 =. 16. (3. 18). 𝑎 2𝜋𝑘𝐵. 的輻射背景之中。.

(21) 結論我們考慮一個做等加速度運動的粒子，在閔考斯基空間中其運動軌跡為一雙曲線。在這段運動過程之中我們可以求得此量子系統的輻射與吸收振福，而我們可以發現在這段有限的加速時間下，一開始系統並未達到熱平衡，但隨著時間的 𝑎. 增加，使得p ≫ 𝑎−1 , ∆𝐸 −1 之後，此量子系統達到熱平衡，並處於溫度𝑇 = 2𝜋𝑘 的 𝐵. 輻射背景之中。. 17.

(22) 參考文獻 [1].N.D.Birrell and P.C.W.Davies,Quantum fields in curved space,Cambridge [2].R.Brout et al./Physics Report 260(1995) 329-446 [3].Haret C. Rosu,Unruh effect:Detection proposals [4]. Ramat Gan, Israel, Quantum field theory and dense measurement,Department of physics, Bar Ilan University. 18.

(23)