3-3-2平面向量-向量的內積

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(1)3-2 向量的內積【目標】能透過物理學中，施力於一物體上作功的概念，理解向量內積的意涵，進而將向量內積與三角中的餘弦定理緊密的結合，並利用向量的坐標表示，處理內積的運算性質，以便進一步探索向量的性質及相關的幾何應用。例如：柯西不等式﹑三角不等式﹑向量的正射影﹑兩直線的夾角﹑點到直線的距離等等。【討論】 1.. 每個非零向量都指出一個方向，當 a , b 都不是 0 時， a , b 有唯一夾角。在圖中，  即為 a , b 的夾角。 a , b 的夾角  在 0 與 180 之間，當 a , b 同向時，  0，而 a , b 反向時   180，這兩種情形都是 a // b ；當 a. b 時， 0    180 ，其中  為直角（   90 ）時，. 稱 a 與 b 垂直，記為 a  b 。. 2.. 當我們要推開一扇門時，使用的力可以分解成兩部分，其一與門平行，這是無效的力；另一與門垂直，這是有效的力，如圖所示。. 又一個質點在定力 f 作用下移動 d 時，若考慮此力所作的功，則可將 f 分解成兩部分，其一與 d 平行，這是有效的力，另一與 d 垂直，這是無效的力，如圖所示。 3.. 當向量 a  0 時， a 指出一個方向，這時可以考慮另一向量 b 平行於 a 的分量 | b | cos ，及垂直於 a 的分量 | b | sin ，其中 b  0 時，平行於 a 的分量 | b | cos 如圖所示，圖中分成夾角  為銳角﹑鈍角﹑直角三種情形：. 0  90, | b | cos   OH  0   90, | v | cos  OH  0 27.   90, | b | cos  0.

(2) 4.. 由物理學知，定力 f 作用在一質點上，產生位移 d ，所作的功 W 等於 f 平行於 d 的分量 | f | cos 與 | d | 的乘積，即 W  | f | cos  | d |  | f | | d | cos 。在數學上，兩非零向量 a , b 的夾角為  時，稱 | a | | b | cos 為 a 與 b 的內積，記為 a  b ，即 a  b  | a | | b | cos 。當 a , b 中有一為 0 時，定義 a  b  0 。事實上， a , b 有一為 0 時，不妨將夾角  視為任意值。於是， cos 未定，但 | a | | b |  0 ，故 | a | | b | cos  0 。因此， a  b  | a | | b | cos 便可一體適用。由於 | a | | b | cos  (| b | cos ) | a | ，故 a  b 是 b 平行於 a 的分量乘以 a 的長度；又由 | a | | b | cos  ( | a | cos ) | b | 知， a  b 也是 a 平行於 b 的分量乘以 b 的長度。. 28.

(3) 【定義】 1. 向量的平行：         a // b  存在實數 r 使 b  ra 或存在實數 t 使 a  tb 。若不平行，則記為 a // b 。註：零向量與任意向量視為平行。 2. 兩向量夾角(向量形式)：   任意兩非零向量 a, b ，當它們的始點是同一點時，   a 與 b 就有一個夾角  ，規定 0    180 。 3. 向量的夾角(坐標形式)：     設 v1  ( x1 , y1 ), v2  ( x2 , y 2 ) ，且 v1 ,v2 的夾角為  ，   v v x1 x2  y1 y2 則 cos   1 2  。 2 2 2 2 | v1 || v2 | x y x y 1. 4.. 5.. 6.. 1. 2. 2. 向量的垂直：     若兩向量 a, b 的夾角為直角時，我們稱此兩向量垂直，記為 a  b 。註：零向量與任何向量視為垂直。向量的內積：         設  為 a, b 的夾角( 0    180 )，則規定 a 與 b 的內積 a  b | a || b | cos 。註：   (1) a  b 表示向量的外積。兩向量之間沒有乘法，也沒有除法。 (2) 零向量與任何向量之內積為零。 (3) 內積""念成 dot，符號不可省略，且向量內積是實數而非向量。       (4) a  b 為實數， | a  b | 為非負數。 a 2 為無意義符號，但 | a |2 表長度平方。 (5) 內積之物理意義：    物體在定力 f 的作用下，且在力 f 的方向有位移 s ，   則該力對物體所作的功 W | f || s | ；   但當力的方向與位移的方向夾角  時，所作的功 W | f || s | cos 。   (6) 當向量 a 與 b 中有零向量時，   a 與 b 的夾角可視為 0 與 180 之間的任一角  ，       而 | a |,| b | 中至少有一個為 0 ，所以 | a || b | cos 恆為 0 ，規定 a  b  0 。投影量(分量)：      a 與 b 的夾角為  時，則 | b | cos 稱為 b 在 a 方向上的投影量。當   90 時，投影量為正數；當   90 時，投影量為 0 ；當   90 時，投影量為負數。註： (1) 兩向量的內積正負隨著兩向量的夾角而變化，若兩向量的夾角為  時，    (a)  為銳角時， b 在 a 方向上的投影量 | b | cos 為正。    (b)  為直角時， b 在 a 方向上的投影量 | b | cos 為零。    (c)  為鈍角時， b 在 a 方向上的投影量 | b | cos 為負。       (2) a  b | a || b | cos | a | (| b | cos )      即向量 a 與 b 的內積等於( b 在 a 方向上的投影量)乘以( a 的長度)。. 29.

(4) 【討論】如同向量的加法﹑減法﹑係數乘法，向量的內積也可以用坐標處理。假設在坐標平面上， a  (a1 , a2 ), b  (b1 , b2 ) ，令 OA  a , OB  b ，其中 O 是原點。當 O, A, B 三點不共線時，令 a , b 的夾角為  ，如圖所示。在 OAB 中使用餘弦定理， 2. 2. 2. 可得 AB  OA  OB  2OA  OB  cos  ， (a1  b1 )2  (a2  b2 )2  a12  a22  b12  b22  2 | a | | b | cos ，. 整理得 | a | | b | cos  a1b1  a2b2 。故 a  b  a1b1  a2b2 。當 O, A, B 三點共線時， a  b  a1b1  a2b2 仍然成立。【公式】 1. 向量內積的坐標表示：若 a  (a1 , a2 ), b  (b1 , b2 ) ，則 a  b  a1b1  a2b2 。證明：. . . . .  . 已知 | a  b |2 | a |2  | b |2 2a  b ，.  . 則a b .  1  2   (| a |  | b |2  | a  b |2 ) 2. 1 2 2 2 2  ((a1  b1 )  (a2  b2 )  ((a2  b1 ) 2  (a2  b1 ) 2 )) 2 1  (2a1a2  2b1b2 )  a1a2  b1b2 。 2. 30.

(5) 【性質】 1. 由於實數運算有如下的性質： (1) ab  ba （乘法交換性）。 (2) (ab)c  a(bc) （乘法結合性）。 (3) a(b  c)  ab  ac （乘對加的分配性）。 2. 向量內積運算的基本性質： (1) a  b  b  a 。 (2) (k a )  b  k ( a  b ) 。 (3) a  ( b  c )  a  b  a  c 。 3.. 由 a  a  | a | | a | cos0  | a |2 ，或由 a  (a1 , a2 ) 知 a  a  a1a1  a2a2  a12  a22  | a |2。皆可得 a  a  | a |2。註：依此性質可在向量的內積與長度間作轉換，它是代數與幾何間的一個重要橋樑。. 4.. 試證： | a  b |2  | a |2 2 a  b  | b |2 。證明： | a  b |2  ( a  b )  ( a  b )  a  a  a  b  b  a  b  b.  | a |2 2 a  b  | b |2 。. 5.. 試證： | a  b |2  | a |2 2 a  b  | b |2 ，並由圖形說明此等式與餘弦定理的關係。. 6.. 試證： | a  b |2  | a  b |2  2(| a |2  | b |2 ) 。註：此式表明平行四邊形中兩對角線的平方和等於四邊長的平方和(平行四邊形定理)，參閱圖。. 31.

(6) 【討論】 1.. 當 a , b 都不是 0 時，由於 a  b  | a | | b | cos ，其中 | a |  0 且 | b |  0 ，故 a  b  0 的充要條件為 cos  0 ，. 即   90 ，亦即 a 與 b 垂直。所以兩非零向量是否垂直可由其內積是否為零來判定。【公式】 1. 向量垂直的充要條件(向量形式)： 2. 3.. 設 a , b 都不是 0 ，則 a  b  a  b  0 。向量垂直的充要條件(坐標形式)：在坐標平面上，若 a  (a1 , a2 ), b  (b1 , b2 ) ，則 a  b  a1b1  a2b2  0 。正射影： (1) 投影量(分量)：    | b | cos 稱為 b 在 a 方向上的分量(或投影量)。註：不一定為正數。 (2) 正射影(投影)：     設 a, b 為兩非零向量，且  為 a 與 b 的夾角，    a b    則 b 在 a 方向上的正射影為 c  (  2 )a 。 |a| 證明：    設 b 在 a 方向上的投影為 c ，        a b    2  因 (b  c )  a  (b  ta)  a  0  a  b  t | a |  0  t   2 |a|     a b  ∴ c  tb  (  2 )b 。 |b |    a b   註： b 在 a 方向上的正射影 (  2 )a ， |a|        | b | cos  | a || b | cos  a b  a 即 (| b | cos )(  )  a  a  (  2 )a ，   |a| | a |2 |a| |a|    也就是( b 在 a 方向上的分量)乘以( a 方向上的單位向量)。 (3) 正射影長(投影長)：     設 a, b 為兩非零向量，且  為 a 與 b 的夾角，    | a b |  則 b 在 a 方向上的正射影長等於  。 |a| 證明：       | a b | a b  | a b |   | c | |  2 || a |   2 | a |   。 |a| |a| |a|. 32.

(7) 【性質】 1. 內積的基本性質：    對任意向量 a, b , c 與實數  ，有下列性質：       (1) (a)  b  a  (b )   (a  b ) 。     (2) a  b  b  a 。        (3) a  (b  c )  a  b  a  c 。        (4) a  a | a |2  0 ，且 a  a  0  a  0 。     (5) a  b  a  b  0 。證明：     因 a  b | a || b | cos ，       故 a  b  0 | a || b | cos  0  cos  0    90  a  b 。       註： a  (b  c )  (a  b )  c 。         2. 兩向量 a, b 垂直若且為若 a b  0 ，即 a  b  a  b  0 。      3. 設 a // b ，且 x, y  R ，試證：若 xa  yb  0 ，則 x  y  0 。【公式】 1. 展開式：       (1) | a  b |2 | a |2 2a  b  | b |2 。證明：   | a  b |2      (a  b )  (a  b )        a  a  2a  b  b  b     | a |2 2a  b  | b |2   1     (2) a  b  (| a  b |2  | a  b |2 ) 。 4    2 2        (3) | a  b  c | | a |  | b |2  | c |2 2(a  b  b  c  c  a) 。證明：    | a  b  c |2        (a  b  c )  (a  b  c )              a  a  b  b  c  c  2(a  b  b  c  c  a). 33.

(8) 【問題】 1. 如圖正六邊形，   (1) 試用 a  AB , b  AF 兩向量的線性組合表示 AC , AD , AE 等向量。 (2) 試求任兩向量之間的內積。. .  . D. E. F. C. B. A. 2.. .  . 如圖正五邊形，   (1)試用 a  AB , b  AE 兩向量的線性組合表示 AC , AD 等向量。 (2)試求任兩向量之間的內積。 D C. E. B. A. 3.. 在 ABC 中，已知 BC  4, CA  5, AB  6 ，且 P 是 ABC 的外心，試將 AP 寫成 AB 與 AC 的線性組合。解答：設 M , N 分別是 AB, AC 的中點，則 PM  AB, PN  AC 。令 AP  x AB y AC ，則 AP  AB  ( x AB y AC)  AB  x | AB |2  y AB  AC ，其中 AP  AB  AM  AB  3  6  18 ，而 AB  AC  6  5  故 18  36 x . 62  52  42 45 ，  265 2. 45 y， 2. 又 AP  AC  ( x AB y AC)  AC  x AB  AC  y | AC |2 ，故. 25 45  x  25 y ， 2 2 3 7. 聯立解○ 1 ，○ 2 ，得 x  , y  3 7. 故 AP  AB. 4 ， 35. 4 AC 。 35. 34.

(9) 4.. 試證：三角形的三高交於一點(此點稱為三角形的垂心)。證明：在 ABC 中，設 BC 上的高與 AC 上的高交於 H ，如圖所示。則 AH  BC ，且 BH  CA ，於是 CH  AB  (CA AH )  (CB CA)  CA  CB CA  CA AH  CB AH  CA  CA  CB CA  CA 0  AH  CA  CA  CB CA  (CA AH )  CA  CB CA  CH  CA  (CB CH )  CA  HB  0 。. 故 CH  AB ，即 AB 上的高也通過 H ，故三高交於一點。 5.. 設 a , b 為非零向量，且 a , b 不垂直，則可將 a 分解為兩向量 d 與 n 的和( a  d  n )，其中 d // b 且 n  b ，試求 d , n (用 a , b 表示)。解答：設 d  t b ，則 n  a  d  a  t b 。又 n  b 0，故 ( a  t b )  b  0 ， a  b  t | b |2  0 ，得t . a  b. ，. | b |2. 故 d . a  b. b ；. | b |2. 又 n  a d  a. a  b. b 。. | b |2. 一般情形，當 b  0 時， d . a  b. b 稱為 a 在 b 上的正射影。. 2. | b |. 特別地，當 a  b 時， a 在 b 上的正射影為 0 。. 35.

(10) 6.. 在坐標平面上，設 a  (2,1), b  (4, 3) 。 (1)設 a 與 b 的夾角為  ，求 cos  。 (2)設 u  b ，且 | u |  1 ，求 u 的坐標。 (3)求 a 在 b 上的正射影。 (4)設 a  d  n ，且 d // b , n  b ，求 d 及 n 。解答： (1) | a |  4  1  5, | b | 16  9  5, a  b  2(4)  1  3  5 ，故 cos . a  b | a || b |. . 5 1 5 。   5 5 5 5  4 x  3 y  0 ， 2 2  x  y  1. (2)設 u  ( x, y) ，則 . 3 3 4 5 5 5 3 4 3 4 即 u  ( , ) 或 ( ,  ) 。 5 5 5 5. 4 5. 解之得 ( x, y)  ( , ) 或 ( ,  ) ，. (3) a 在 b 上的正射影為. a  b. b . | b |2. 5 4 3 (4, 3)  ( ,  ) 。 25 5 5. 4 5. 3 5. (4) d 即 a 在 b 上的正射影，故 d  ( ,  ) ， 4 5. 3 5. 6 8 5 5. 而 n  a  d  (2,1)  ( ,  )  ( , ) 。 7.. 三角形中各心的性質： (1) 外心：設 O 為 ABC 之外心， A, B, C 之對邊長分別為 a, b, c ， 1 1 則 AB  A O  c 2 , AC  A O  b 2 。 2 2 註：外心到三頂點等距離。證明： 1 1 AB  A O | AB || A O | cos BAO | AB |  | AB |  c 2 ， 2 2 1 1 同理 AC  A O | AC || A O | cos CAO | AC |  | AC |  b 2 。 2 2 (2) 垂心：設 H 為 ABC 之垂心，.  .  .      . . . . .                . 則 AB  AC  AB  AH  AC  AH 。證明：. AH  AB  ( AC  CH )  AB  AC  AB  CH  AB.  AB  AC  0  AB  AC 。註：可用投影概念直接說明。 36.

(11) 8.. 平行四邊形定理：平行四邊形中兩對角線的平方和等於四邊的平方和， 2. 2. 2. 2. 2. 2. 即平行四邊形 ABCD 中 AC  BD  AB  BC  CD  DA 。         註：若由 a, b 所展成的平行四邊形，即 | a  b |2  | a  b |2  2(| a |2  | b |2 ) 。證明： D   平行四邊形 ABCD 中，由 AC  AB  BC a b .                                     b. 且 BD  BC  BD  BC  AB ，. 得 | AC | | AB  BC | | AB | 2 AB  BC  | BC | A 及 | BD |2 | BC  AB |2 | BC |2 2 BC  AB  | AB |2 2. 2. 2. 2.  a.   a b. 兩式相加得 | AC |2  | BD |2  2(| AB |2  | BC |2 ) ， 2. 2. 2. 2. 2. 2. 即 AC  BD  AB  BC  CD  DA 。 9.. 設 O 為 ABC 之外心，且 AB  6, BC  2 7 , CA  4 ， A O  x AB  y AC ，求 x, y 之值。解答：. 由 AB  A O  x | AB |2  y AB  AC 且 AC  A O  x AB  AC  y | AC |2 2 2 2 2 1 1 得 AB  x AB  y AB  AC 且 AC  x AB  AC  y AC ， 2 2 4 1 則 18  36 x  12 y 且 8  12 x  16 y ，得 x  , y  。 9 6 10. 設 H 為 ABC 之垂心，且 AB  6, BC  2 7 , CA  4 ， AH  x AB  y AC ，求 x, y 之值。解答：.   .               . AB  AC  12 ，由 AH  x AB  y AC ，. 得 AB  AH  x | AB |2  y AB  AC 且 AC  AH  x AB  AC  y | AC |2 2. 2. 得 AB  AC  x AB  y AB  AC 且 AB  AC  x AB  AC  y AC ， 1 2 則 12  36 x  12 y 且 12  12 x  16 y ，得 x  , y  。 9 3 11. 內積與餘弦定理之間的關係： 2. 2. 2. 於 ABC 中，試證： AB  BC  AC  2BC  AC cosC 。證明：.                              . | AB |2 | AC  CB |2. | AC |2 2 AC  CB  | CB |2 | AC |2 2 CA  CB  | CB |2 2. 2. | AC |2 2 | CA || CB | cos C  | CB |2  BC  AC  2BC  AC cos C 。. 12. 於 ABC 中，試證：若 | AB |2 | BC | 2  | AC | 2 ，則 C 為直角。證明：. 由 | AB |2 | AC  CB |2 | AC |2 2 AC  CB  | CB |2 | BC |2  | AC |2。得 AC  CB  0 ，即 CA  CB  0 ，得 CA  CB ，故 C 為直角。 37. B. C.

(12) 【討論】 1.. 任意向量 a , b ，由 a  b  | a | | b | cos ，其中 1  cos  1 ，得 | a || b |  a  b | a || b | ，上式也可寫成 | a  b |  | a | | b | ，此處 | a | , | b | 分別是 a , b 的長度，而 | a  b | 是 a  b 的絕對值。上式又可改寫成 ( a  b )2  | a |2 | b |2 ，以上的各式意義相同，都稱為柯西不等式。也常寫成 | a | 2| b | 2 ( a  b )2 。當 a , b 線性相依時，若 a // b ，則 a , b 的夾角  為 0 或 180 ，得 cos  1 ，即 cos 2   1 ，故 ( a  b )2  | a | 2| b | 2 cos2   | a | 2 | b | 2 。又若 a , b 中有一為 0 ，則 ( a  b )2  0  | a | 2| b | 2 ；而當 a , b 線性獨立，即 a. b 時，. a , b 的夾角  滿足 0    180 ，. 得 cos 2   1 ，故 ( a  b )2  | a | 2 | b | 2cos2   | a | 2 | b | 2 。 2.. 在坐標平面上，設 a  (a1 , a2 ), b  (b1 , b2 ) ，則 | a | 2  a12  a22 , | b | 2  b12  b22 , ( a  b )2  (a1b1  a2b2 )2 ，於是柯西不等式成為 (a12  a22 )(b12  b22 )  (a1b1  a2b2 )2 ，其中等號在 a , b 線性相依時才成立，即 a1b2  a2b1  0 。從另一方面看 (a12  a22 )(b12  b22 )  (a1b1  a2b2 )2  a12b12  a12b22  a22b12  a22b22  a12b12  2a1b1a2b2  a22b22  a12b22  a22b12  2a1b2a2b1  (a1b2  a2b1 )  0 ，. 故 (a12  a22 )(b12  b22 )  (a1b1  a2b2 )2 ，且其中等號成立的充要條件為 a1b2  a2b1  0 。. 38. 柯西（Augustin Louis Cauchy, 1789~1857，法國數學家）.

(13) 【公式】 1. 三角不等式：       試證： | a |  | b || a  b || a |  | b | 。證明： | a  b | 2  | a | 2 2 a  b  | b | 2  | a | 2 2 | a  b |  | b | 2  | a | 2 2 | a | | b |  | b | 2  (| a |  | b |)2 ，. 2.. 故| a  b | | a |  | b | 。柯西不等式(Cauchy's Inequality)(向量形式)：.       任意向量 a , b 恆滿足 | a | 2 | b | 2  ( a  b )2 (或  | a || b || a  b | a || b | )，     其中等號成立的充要條件為 a , b 線性相依( a // b 或 a, b 中有零向量)。證明：.  .  .  . 因為 | a  b ||| a || b | cos || a || b | ,  為其夾角( | cos | 1)，. . . 等號成立 | cos | 1  θ  0 或   a // b 。. 3.. 柯西不等式(二維坐標形式)：   設 a1 , a2 , b1 , b2 為任意實數，令 a  (a1 , a2 ), b  (b1 , b2 ) ，則 (a1  a2 )(b1  b2 )  (a1b1  a2b2 )2 ，其中等號成立的充要條件為 a1b2  a2b1  0 ( a1 : b1  a2 : b2 或 a1b2  a2b1 )。 2. 2. 2. 2. 證明：.  . 設 a, b 的夾角為  ，.     a b 2 a b 2 則 cos      cos   (   )  1 | a || b | | a || b |   2 2 2 2 2 2 2  (a  b ) | a | | b |  (a1b1  a2b2 ) 2  (a1  a2 )(b1  b2 )   而等號成立 | cos | 1  θ  0 或   a // b  a1b2  a 2 b1 。註： (1) 可將上式兩邊平方相減以證明之。 (2) 柯西不等式一般用來求最大值或最小值的問題。 (3) 注意兩邊何處為平方，何處為一次方。 (4) 可以推廣到一般情形： (a1  a2    an )(b1  b2    bn )  (a1b1  a2b2    anbn ) 2 ， 2. 2. 2. 2. 2. 2. 且等號成立的充要條件為兩向量 (a1 , a2 ,, an ), (b1 , b2 ,, bn ) 成比例。 4.. 柯西不等式 (a12  a22 )(b12  b22 )  (a1b1  a2b2 )2 中等號成立的充要條件為 a1b2  a2b1  0 。又 b1 , b2 皆不為 0 時， a1b2  a2b1  0 與. a1 a2  同義。 b1 b2. 因此，也可以說柯西不等式中等號成立的充要條件為 a1 , a2 與 b1 , b2 成比例。. 39.

(14) 5.. 另證：令 f ( x)  (a1x  b1 )2  (a2 x  b2 )2 ，知 f ( x)  0 恆成立，故 D  4[(a1  a2 )(b1  b2 )  (a1b1  a2b2 ) 2 ]  0 。另證： 2. 6.. 2. 2. 2. (a1  a2 )(b1  b2 )  (a1b1  a2b2 )2 2. 2. 2.  a1 b2  a2 b1  2a1b1a2b2  (a1b2  a2b1 )2  0 。畫出邊長為 a1  a2 及 b1  b2 的長方形，當內部四邊形為長方形時，等號成立。 2. 7.. 2. 2. 2. 2. 40.

(15) 【問題】 1. 設 x, y 是實數，已知 3x  4 y  10 ，求 x2  y 2 的最小值，並求當 x2  y 2 最小時， x, y 的值。解答：由柯西不等式知 (32  42 )( x2  y2 )  (3x  4 y)2 ， 25( x2  y2 )  102  100 ， x2  y2  4 ，當等號成立時， 3 y  4 x  0 。 3x  4 y  10 6 8 ，得 x  , y  ，故 x2  y 2 的最小值為 4 。 5 5 3 y  4 x  0. 解 2.. 3.. 設 x, y 是實數，已知 4x2  y2  5 ，求 2 x  3 y 的範圍。解答：由柯西不等式知 [(2x)2  y2 ](12  32 )  (2x  3 y)2 ， 10(4x2  y 2 )  (2x  3 y)2 ， (2x  3 y)2  50 ， | 2x  3 y |  50  5 2 ，故 5 2  2x  3 y  5 2 。設 k 是實數，已知直線 L : 3x  4 y  k 與圓 C : x2  y 2  4x  2 y  4  0 有交點(相割或相切)，求 k 的範圍。解答：圓 C 方程式配方成為 ( x  2)2  ( y 1)2  9 。設點 ( x0 , y0 ) 是直線 L 與圓 C 的交點，則 3x0  4 y0  k ，且 ( x0  2)2  ( y0 1)2  9 。由柯西不等式得 [( x0  2)2  ( y0 1)2 ](32  42 )  [3( x0  2)  4( y0 1)]2 ， 9  25  (3x0  4 y0  2)2 ， 15  3x0  4 y0  2  15 ， 15  k  2  15 ， 17  k  13 。. 41.

(16) 【討論】 1.. 設 d 是直線 L 的一個方向向量，若 n  d ，則稱 n 是直線 L 的一個法向量，如圖所示。. 換句話說，一直線的法向量就是垂直於該直線的向量。法向量可長可短，且可指向相反的兩方向， 2.. 但當 n1 , n2 都是直線 L 的法向量時，必然 n1 // n2 。設直線 L : ax  by  c  0 ，其中 a, b, c 是實數，且 a, b 不皆為 0 。取 n  (a, b)  0 ，又令 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 是直線 L 上相異兩點，則 d  ( x2  x1 , y2  y1 ) 是 L 的一個方向向量。於是 n  d  a( x2  x1 )  b( y2  y1 )  (ax2  by2 )  (ax1  by1 )  (c)  (c)  0 。所以 n  d ，即 n  (a, b) 是直線 L : ax  by  c  0 的一個法向量。例如 L1 : 2 x  5 y  4  0 有法向量 n1  (2, 5) ， L2 : 3x  y  7  0 有法向量 n2  (3,  1) ， L3 : 2 x  3  0 有法向量 n3  (2, 0) 。. 3.. 由法向量的意義可知：兩直線平行的充要條件為其法向量平行，而兩直線垂直的充要條件為其法向量垂直。一般而言，考慮兩直線 L1 , L2 的交角時，可令 n1 是 L 1 的法向量， n2 是 L2 的法向量，如圖所示。. 圖中顯示     90     ，故    ，所以法向量 n1 與 n2 的夾角等於直線 L1 與 L2 的一個交角。兩直線相交時共有四個交角，其中對頂角相等，相鄰角互補，因此四個交角中若有一個角確定，所有交角也就都確定了。. 42.

(17) 【公式】 1. 兩直線的夾角：設坐標平面上直線 L1 : a1 x  b1 y  c1  0 與直線 L2 : a2 x  b2 y  c2  0 ，若兩直線的夾角為  (共有兩個夾角，一個為  ，令一個則為    )， (1) 方向向量形式：   v v   L1 與 L2 的方向向量為 v1 , v2 ，得 cos   1 2 ， | v1 || v2 | 則  與    為 L1 與 L2 的兩組交角，其中 0     。 (2) 法向量形式：   n1  n2   兩直線的夾角即為兩直線法向量 n1 , n 2 的夾角，即 cos    ， | n1 || n2 | 則  與    為 L1 與 L2 的兩組交角，其中 0     。 (3) 直線方程式係數形式：   取兩直線法向量 n1  (a1 , b1 ), n2  (a2 , b2 ) ， a1a2  b1b2 得 cos  ， 2 2 2 2 a1  a2 b1  b2 則  與    為 L1 與 L2 的兩組交角，其中 0     。 L2  n1. .  v2. .  n2  v1. L1. 43.

(18) 【討論】 1. 坐標平面上，給定點 P( x0 , y0 ) ，直線 L : ax  by  c  0 時，點 P 到直線 L 的距離 d ( P, L) 便可確定。首先，令 n  (a, b) ，並設過 P 且垂直於 L 的直線交 L 於點 T ，如圖所示，則 n 是 L 的法向量，也是直線 PT 的方向向量。由直線 PT 的參數式，可令 T ( x0  at , y0  bt ) ，又點 T 在直線 L 上，故 a( x0  at )  b( y0  bt )  c  0 ， (a 2  b2 )t  ax0  by0  c ， t   得到 d ( P, L)  PT  a 2t 2  b2t 2  | t | a 2  b2  2.. | ax0  by0  c | a 2  b2. ax0  by0  c ， a 2  b2. 。. 當給定兩平行直線 L1 , L2 時， L1 上的任意點 P 到 L2 的距離 d 是定值，如圖所示。此距離 d 稱為平行線 L1 與 L2 的距離，記為 d ( L1 , L2 ) 。假設直線 L1 : ax  by  c1  0, L2 : ax  by  c2  0 ，則 L1 與 L2 有相同的法向量 n  (a, b) ，故 L1 // L2 。令 P( x0 , y0 ) 為 L1 上一點，即 ax0  by0  c1  0 ，則 d ( L1, L2 )  d ( P, L2 ) . | ax0  by0  c2 | a b 2. 2. . | c1  c2 | a b 2. 2. . | c1  c2 | a 2  b2. 。. 【公式】 1. 點到直線的距離公式：點 P( x0 , y0 ) 到直線 L : ax  by  c 的距離為 d ( P, L)  證明：. | ax0  by0  c | a 2  b2. . . . 。. 設 A( x, y ) 為 L 上任一點， n  (a, b) 為 L 之法向量，  表 n 與 A P 之夾角，則. .   . d ( P, L) || A P | cos |  n  AP || A P |   | | n || A P |  | n  AP |   |n| | (a, b)  ( x0  x, y0  y ) |  a2  b2 | ax0  by 0  (ax  by ) |  a2  b2 | ax0  by0  (c) |  a2  b2 | ax0  by 0  c |  。 a2  b2.  n. A. 44. P.  L.

(19) 平行線的距離公式：設直線 L1 // L2 ，且 L1 : ax  by  c1  0, L2 : ax  by  c2  0 ， |c c | 則 d ( L1 , L2 )  1 2 。 a2  b2 證明：設 P( x0 , y0 ) 為 L1 上任一點，則 ax0  by0  c1  0 ，故 d ( L1 , L2 )  d ( P, L2 ) | ax0  by0  c2 | | c1  c2 | | c1  c2 |   。  a2  b2 a2  b2 a2  b2 3. 角平分線方程式：坐標平面上兩直線 L1 : a1 x  b1 y  c1  0 與 L2 : a2 x  b2 y  c2  0 交角 a x  b y  c1 a x  b2 y  c2 的角平分線方程式為 1 1 (兩條)。  2 2 2 2 2 a1  b1 a2  b2 證明：由 d ( P, L1 )  d ( P, L2 ) a x  b1 y  c1 a2 x  b2 y  c2 | 1 || | 2 2 2 2 a1  b1 a2  b2 a x  b1 y  c1 a x  b2 y  c2  1 。  2 2 2 2 2 a1  b1 a2  b2 註： (1)若要判別為銳角角平分線，或鈍角角平分線時，畫出圖形即可。 (2)若平面上兩直線 L1 : a1 x  b1 y  c1  0 與直線 L2 : a2 x  b2 y  c2  0 平行， a x  b1 y  c1 a x  b2 y  c2 則 1 的圖形為一直線。  2 2 2 2 2 a1  b1 a2  b2 【問題】 1. 試就實數 t 討論直線 L : 3x  4 y  t 與圓 C : x2  y 2  4x  2 y  4  0 的相交關係。解答：將圓 C 的方程式配方成為 ( x  2)2  ( y 1)2  9 ， 2.. 圓心為 K (2,1) ，半徑 r  3 ， d ( K , L) . | 3(2)  4  1  t |. . |t  2| 。 5. 3 4 |t  2| (1)當 d ( K , L)  r ，即  3 ， | t  2 |  15 ， 15  t  2  15 ， 17  t  13 ， 5 2. 2. 直線 L 與圓 C 相割(交於相異兩點)。 (2)當 d ( K , L)  r ，即. |t  2|  3 ， t  17 或 t  13 ， 5. 直線 L 與圓 C 相切(恰交於一點)。 (3)當 d ( K , L)  r ，即. |t  2|  3 ， t  17 或 t  13 ， 5. 直線 L 與圓 C 相離(沒有交點)。. 45.

(20) 【公式】 1. 同側、異側：設 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y 2 ) ，直線 L : ax  by  c  0 ， (1) P, Q 在 L 同側  (a1 x  b1 y  c1 )(a2 x  b2 y  c2 )  0 。 (2) P, Q 在 L 異側  (a1 x  b1 y  c1 )(a2 x  b2 y  c2 )  0 。 2. 向量的線性組合：     ru  sv 之形式稱為 u , v 的線性組合。 3. 斜角坐標系：.  .     . 若 OA // OB ，將點 O 定成 (0,0) ，點 A 取成 (1,0) ，點 B 取成 (0,1) ，則坐標平面上任一點 P ， P 的坐標為 ( a, b)  A P  a AB  b AC 。如此構成了一個斜角坐標系。註：斜角坐標系兩坐標軸不一定垂直，且 | O A |, | O B | 不一定相等。註： y P ( a, b ). B (0,1). x. O A(1,0). 【問題】 1. 如下圖所示，兩射線 OA 與 OB 交於 O 點，試問下列選項中哪些向量的終點會落在陰影區域內？.          . (1) OA  2 OB (2). 3 3 3 1 1 1 O A  O B (3) O A  O B (4) O A  O B 4 4 4 3 5 3. 3 1 OA  OB 4 5 答案：取一坐標系 O(0,0), A(0,1), B(1,0) ，令陰影區域為 S. (5). ∴直線 AB 為 x  y  1  S  {( x, y) | x  y  1, x  0, y  0}.   .  {P | OP  x OA  y OB , x  y  1, x  0, y  0} ，故選(1)(2)。. 46.

(21)