圖解平面凸多邊形方程式的幾何意義：
以三邊形、四邊形、五邊形為例(I)
李輝濱
壹、前言
在 研 究 探 討 平 面 凸 多 邊 形 面 積 公 式 時，以 導 入 應 用 角 度 修 正 參 數 法 的 觀 念，來 推 演 尋 求 適 切 可 用 的 邊 長 與 內 角 組 合 關 係，順 利 地 發 現 了 許 多 由 所 有 邊 長 與 各 內 角 組 合 形 成 的 邊 角 方 程 式 ！ 仔 細 審 視 這 些 方 程 式 的 結 構 內 涵，在 外 觀 上 它 們 令 人 覺 得 很 複 雜、陌 生。尤 其 是 五 邊 形 以 上 多 邊 形，其 邊 長 與 內 角 的 配 置 在 形 態 上 顯 現 得 很 特 異 且 大 部 份 項 數 都 是 完 全 地 呈 現 出 組 成 凌 亂 紛 雜 ， 令 人 疑 惑 ！ 第 一 次 獲 得 這 些 方 程 式 時 ， 還 真 不 知 道 它 們 的 外 表 形 貌 會 是 如 此 地 毫 無 秩 序 ！ 於 是 直 覺 地 嘗 試 利 用 幾 何 作 圖 法，欲 來 實 際 觀 察 這 些 方 程 式 在 幾 何 圖 形 中 所 顯 示 的 實 質 意 義；目 的 是 藉 著 圖 示，作 出 這 些 方 程 式 中 的 每 一 項 出 現 在 圖 形 結 構 中 的 投 影 位 置，並 比 對 它 們 之 間 的 相 互 位 置 關 係 以 間 接 地 瞭 解 這 些 方 程 式 的 真 實 內 容。也 因 為 有 了 幾 何 圖 解 的 詮 釋，使 得 我 們 更 容 易 知 悉 這 些 方 程 式 的 用 處 ！ 而 這 所 有 經 過 嚴 謹 理 論 推 導 及 圖 解 驗 證 的 方 程 式 已 成 為 凸 多 邊 形 一 般 化 恆 等 式 了 ！ 方 程 式 中 有 些 項 的 內 角 組 合 是 相 異 內 角 和 的 純 加 法 性，這 些 項 在 推 證 面 積 公 式 時 是 有 效 存 在 的；另 一 些 則 是 加 與 減 相 組 合，而 這 些 並 不 存 在 於 面 積 公 式 中。如 此 的 自 然 巧 妙 安 排，使 得 這 些 恆 等 式 方 程 式 在 需 要 被 轉 換 時 可 以 適 宜 地 被 揀 選 出 所 需 要 的 內 角 組 合 項，以 符 合 推 證 的 期 望 ， 而 這 些 企 盼 也 都 在 尋 找 面 積 公 式 的 推 理 過 程 中 奇 妙 無 瑕 地 一 一 展 現 。貳、本文
A. 數學基本性質─引理
利 用 角 度 修 正 參 數 法 在 推 證 尋 求 平 面 凸 多 邊 形 的 邊 角 方 程 式 時，在 過 程 中 必 須 應 用 或 對 照 到 下 述 已 知 的 數 個 輔 助 基 本 數 學 性 質 ； 引 理1. 平 面 凸 多 邊 形 的 向 量 性 質 任 給 一 個 平 面 凸 n 邊 形A
1A
2A
3A
4
A
n1A
n，令 邊 長A
1A
2=V
1的 向 量 為 1V
，A
2A
3=V
2的 向 量 為 2V
, ,A
nA
1=V
n的 向 量 為 nV
，則 此 平 面 凸 n 邊 形 即為 此 n 個 向 量 按 順序 箭 頭 接箭 尾 相 加 而 成 的 封 閉 凸n 邊 形 。 依 向 量 加 法 性 質 知；
n m 1V
m 0
= 1(
cos
)
1(
sin
)
0
mnV
m
mi
nmV
m
mj
此 處
m為 mV
在 直 角 坐 標 平 面 上 的 方 位 角。 i
為 正 X 軸方 向 的 單 位向 量， j
為 正 Y 軸 方 向的 單 位 向 量 ， 再 由 平 面正 交 坐 標 系性 質 知 ；0
)
cos
(
1
n mV
m
m 且
1(
sin
)
0
n mV
m
m 現 在 ， 將 頂 點A
1置 於 直 角 坐 標 平 面 上 的 原 點 O， 如 下圖 1， 使A
1A
2 邊 完 全 重 疊 並 貼 置 於 X 軸 ， 以使 此 n 邊 形 完 全 落在 第 1 及 第 2 象 限 區 域內(含 X 軸)， 則 1V
+
mn2V
mcos[(
m
1
)
mk2A
k]
0
··· (1) 且
nm2V
msin[(
m
1
)
mk2A
k]
0
··· (2) 圖 1、 凸 n 邊 形 證 明：由 圖 1 知 凸 n 邊 形 的內 角 依 次 為A
1,A
2,A
3, ,A
n,而V
1的 方 位 角
1為 零，V
2的 方 位 角
2為 π −A
2，V
3的 方 位 角
3為 (π −A
2) + (π −A
3)，V
4的 方 位 角
4為(π −A
2) +(π −A
3) +(π −A
4) , ,V
n的 方 位 角
n為(n−1)π −(A
2+A
3+A
4+· · · +A
n)。 將 這 n 個 方 位 角 全 部 代 入 以 下 方 程 式 中：(
cos
)
0
1
n mV
m
m 且
1(
sin
)
0
n mV
m
m ， 4則
nm1(
V
mcos
m)
0
=
V
1+V
2cos(π−A
2)+V
3cos(2π −A
2−A
3)+ +V
ncos [(n−1) π−]
0
2
n kA
k 將 上 列 等 式 改 寫 成 下 式 ： 得V
1+
nm2V
mcos[(
m
1
)
km2A
k]
0
··· (1) 同 理 ， 再 得sin[(
1
)
]
0
2 2
m k k n mV
mm
A
··· (2) 證 明 完 成 。 引 理 1.的 一 組 方程 式(1)與(2)所顯 示 的 幾何 意 義 是；方程 式(1)代表 此 凸 多 邊形 各 邊 長 在 X 軸 方 向 的 投影 向 量 總 和為 零，方 程式(2)則 表 示凸 多 邊 形 各邊 長 在 Y 軸 方 向的 投 影 向 量 總 和 為 零 。 引 理 1.的 一 組 方程 式(1)與(2)是因 以 線 段A
1A
2=V
1為 底，疊 置 在 水 平 方 向X 軸 所 求 得 的 結 果，若 換 成 以A
2A
3=V
2為 底，將 求 得 類 似 的 另 一 組 方 程 式，以 此 類 推，總 共 會 得 出 n 組。這n 組 方 程式 是 非 常 好應 用 的，尤 其 用在 多 邊形 尋 找 邊 長與 內 角 之 間的 組 合 關 係式 時 至 為 有 效 ！ 引 理 2. 在平 面上 給 定 一 個凸 n 邊 形A
1A
2A
3A
4....
A
n1A
n， 則 此 凸 多 邊 形 所 有 內 角 總 和 為
2
....
1 4 3 2 1
A
A
A
A
A
n
A
n n 證 明 ： 略 。 引 理3. 三角 函數 角 度 的 和差 轉 換 公 式sin α β sin
α cos β cos α sin β
cos α
β
cos α cos β ∓ sin α sin β
B. 圖解平面凸多邊形的邊角方程式
B-1. 三角形的邊角方程式：
(1) 推 證 三 角 形 的 邊 角 方 程 式
圖 2 由 引 理 1.取 n=3 代 入 方程 式(1)與(2)，並 作 內 角轉 換 ， 可 得下 列 兩 式 ； 1
V
=V
2cos A
2+V
3cos A
1 ··· (3-1) 2 2sin A
V
−V
3sin
A
1
0
··· (3-2) 由 引 理 2.並 令
為 角 度 修 正 參 數 ， 且 選 取A
1
A
2
(
/
2
)
，A
3
(
/
2
)
， 分 別 代 入 方 程 式(3-1)式 與(3-2)式中 ， 得 1V
=)
2
cos(
1 2A
V
+V
3cos A
1=
V
2sin(
A
1)
+V
3cos A
1 再 展 開 移項 ， 得1 3 1
V
cos A
V
=sin
(
V
2cos
A
1)
+cos
V
2sin
A
1 ··· (3-1a) 又V
2sin A
2=)
2
sin(
1 2A
V
=V
2cos(
A
1)
=V
3sin A
1 再 展 開移 項 ， 得 1 3sin A
V
=cos
V
2cos
A
1+sin
V
2sin
A
1 ··· (3-2a) 聯 立 解(3-1a) 與 (3-2a)兩 式 ，得 下 列 兩 式；(
V
1
V
3cos A
1)(
sin
)
+V
3sin
A
1cos
=V
2cos A
1 ··· ( 3 - 1 b ) (V
1
V
3cos A
1)cos
+V
3sin
A
1sin
=V
2sin A
1 ··· ( 3 - 2 b ) 同 時 ，
)
cos
2
sin(
sin
A
3
且
sin
)
2
cos(
cos
A
3
， 代 入 之 ， 得 3 1cos A
V
+V
3cos
A
1cos
A
3+V
3sin
A
1sin
A
3=V
2cos A
1 ··· (3-1c)3 1
sin A
V
V
3cos
A
1sin
A
3+V
3sin
A
1cos
A
3=V
2sin A
1 ··· (3-2c) 再 組 合 化 簡 ， 得V
1cos A
3+V
2cos A
1
V
3cos(
A
3
A
1)
= 0 ··· (3-1T)
V
1sin
A
3
V
2sin A
1
V
3sin(
A
3
A
1)
= 0 ··· (3-2T)方 程 式(3-1T)式 與 (3-2T)式 即 為 推 證 出 的 一 組 三 角 形 的 邊 角 方 程 式 ！ 同 理 ， 還 可 得 另 兩 組 邊 角 方 程 式，而 其 外 觀 形 貌 完 全 類 似，不 再 贅 述。當 第 一 次 獲 得 這 兩 公 式 時，還 真 難 接 受 它 們 的 存 在 ， 尤 其 不 易 瞭 解 公 式 中 每 一 項 的 真 正 意 義 。
(2) 圖 解 三 角 形 邊 角 方 程 式 的 意 義 圖 3 接 著 ， 要 以 幾 何 作 圖 來 理 解 方 程 式(3-1T)式 與 (3-2T)式 的 圖 形 意 義 ； 原 則 上 幾 何 作 圖 時，每 一 凸 多 邊 形 圖 形 的 第 一 線 段 邊 長
V
1都 一 致 被 設 定 成 水 平 線 方 向 位 置。觀 察 這 兩 方 程 式，有 兩 個 內 角 的 差，即A
3
A
1，所 以 請 看 上 圖3，當 頂角A
3A
1時，(這 不失 為 一 般 性 作 圖 假 設 ， 若 頂 角A
1A
3時 ， 方 程 式 內 角 差 即 改 換 為A
1
A
3) (a) 在 頂 角A
3 內 側作 一 射 線A
3E， 使
A
2A
3E
恰 等 於 頂 角A
1， 則
A
1A
3E
=A
3
A
1， (b) 自頂 點A
1 對 射線A
3E 作 一 垂直 射 線A
1C， 使 D 點 為 垂直 線 交 點 ， (c) 再 自 頂 點A
2作 一 與 射 線A
3E 平 行 的 平 行射 線A
2C，使 射 線A
1C 與 射線A
2C 垂 直 相 交 於 C 點 。 (d) 再自 頂 點A
2作 一 與 射 線A
3E 相 垂 直 的 射線 ， 使 兩 射線 的 垂 直 交點 為 B 點 。 (e) 請 看
A
2A
3E
與
A
1A
2A
3，兩 者 有 共 同 的 內 角A
2及A
1，故
A
2EA
3=A
3頂 角，因 此 由 平 行 線 內 側 角 性 質 知
A
1A
2C
=A
3頂 角 。 至 此 ， 作 圖 3 完 成 。 (f) 現 在看 方 程式(3-1T)式 的各 項 在 圖 3 中 出現 的 位置 ；V
1cos A
3的 值 就 是 邊 長V
1在 射 線 3A
D 上的 投 影 長度 BD，而V
2cos A
1的 值 就 是 邊 長V
2在 射 線A
3D 上 的投 影 長 度A
3B， 這 兩 項 的 值 相 加 結 果 即 為V
3cos(
A
3
A
1)
的 值 ， 正 是 邊 長V
3在 射 線A
3D 上的 投 影 長 度A
3D。 (g) 再來 看 方 程式(3-2T)式 的各 項 在 圖 3 中 出 現 的 位置；V
1sin A
3的 值 就 是 線 段 長 度A
1C， 1 2sin A
V
的 值 就 是 線 段 長 度A
2B = 長 度 DC，V
3sin(
A
3
A
1)
的 值 就 是 線 段 長 度A
1D， 所 以 由 圖 形 中 的 線 段 分 佈 位 置 可 得 出 線 段 長 度A
1C 恰 等 於 線 段 長度A
2B 加 上 線段 長 度A
1D。 由 以 上 圖 示 解 說 ， 可 確 認 知 方 程 式 (3-1T)式 與 (3-2T)式 兩 式 必 為 早 已 自 然 存 在 的 一般 化 三 角 形 恆 等 式 。 恆 等 式 (3-1T)式 可 改 寫 成 分式 型 ； 1 3 1 3 2 3 2 1 1 3
)
cos
cos
cos(
V
V
A
V
V
A
V
V
A
A
··· (3 -1 F) 恆 等 式 (3-2T)式 可 改 寫 成 分式 型 ； 1 3 1 3 2 3 2 1 1 3)
sin
sin
sin(
V
V
A
V
V
A
V
V
A
A
··· (3 -2 F) 兩 者 相 比 較 是 很 有 趣 的 型 態 。B-2. 平面凸四邊形的邊角方程式：
(1) 推 證 平 面 凸 四 邊 形 的 邊 角 方 程 式 在平 面 上 給定 一 個 凸 四邊 形A
1A
2A
3A
4，如 下 圖4 令 線 段A
1A
2 =V
1，A
2A
3 =V
2， 4 3A
A
=V
3，A
4A
1=V
4， 由 引 理 1.取 n=4 代 入方 程 式(1)與(2)， 並 作 內角 轉 換 ， 可 得 下 列 兩 式 ；
V
1
V
2cos A
2+V
3cos(
A
2
A
3)
V
4cos A
1= 0 ··· (4-1)
V
2sin A
2
V
3sin(
A
2
A
3)
V
4sin A
1= 0 ··· (4-2)由引 理 2.並 令
為 角 度 修 正 參 數 ， 內 角 組 合 的 選 取 恰 有 下 列 2 情 況 ；(Case 1) 選 取
A
1
A
3
,A
2
A
4
, 分 別 代 入方 程 式(4-1) 與(4-2) 中，得
V
1
V
2cos(
A
4)
+V
3cos(
A
4
A
3)
V
4cos(
A
3)
= 0
V
1+V
2cos(
A
4)
V
3cos(
A
4
A
3)
+V
4cos(
A
3)
= 0展 開 ， 化 簡 ， 提 出 公 因 式 ， 得
1
V
+cos
[V
2cos A
4
V
3cos(
A
3
A
4)
+V
4cos A
3] +
sin
[V
2sin A
4+V
3sin(
A
3
A
4)
V
4sin A
3] = 0 ··· (4-1a)另 ，
V
2sin(
A
4)
V
3sin(
A
4
A
3)
V
4sin(
A
3)
= 0
V
2sin(
A
4)
+V
3sin(
A
4
A
3)
V
4sin(
A
3)
= 0展 開 ， 化 簡 ， 提 出 公 因 式 ， 得
sin
[
V
2cos A
4+V
3cos(
A
3
A
4)
V
4cos
A
3] +
cos
[V
2sin A
4+V
3sin(
A
3
A
4)
V
4sin A
3] = 0 ··· (4-2a)聯 立 解(4-1a) 與 (4-2a) 兩 式， 得 下 列 兩式 ；
V
1cos
=
V
2cos A
4+V
3cos(
A
3
A
4)
−V
4cos
A
3=−V
1cos(
A
1
A
3)
V
1cos(
A
1
A
3)
−V
2cos A
4+V
3cos(
A
3
A
4)
−V
4cos A
3= 0
V
1cos(
A
2
A
4)
−V
2cos A
4+V
3cos(
A
3
A
4)
−V
4cos A
3= 0 ··· (4-1T)與
V
1sin
= −V
2sin A
4−V
3sin(
A
3
A
4)
+V
4sin
A
3=V
1sin(
A
1
A
3)
V
1sin(
A
1
A
3)
+V
2sin A
4+V
3sin(
A
3
A
4)
−V
4sin A
3= 0
V
1sin(
A
2
A
4)
−V
2sin A
4−V
3sin(
A
3
A
4)
+V
4sin A
3=0 ··· (4-2T)方 程 式 (4-1T)式 與 (4-2T)式 即 為 推 證 出的 第 一 組 四邊 形 的 邊 角方 程 式 。
(Case 2) 選 取
A
1
A
2
，A
3
A
4
， 分 別 代 入 方 程 式(4-1)式與(4-2)式 中 ， 得V
1−V
2cos(
A
1)
+V
3cos(
A
1
A
3)
−V
4cos A
1= 0
V
1+V
2cos(
A
1)
−V
3cos(
A
1
A
3)
−V
4cos A
1= 0展 開 ， 化 簡 ， 提 出 公 因 式 ， 得
1
V
−V
4cos A
1+cos
[V
2cos A
1−V
3cos(
A
3
A
1)
] +
sin
[
V
2sin A
1−V
3sin(
A
3
A
1)
] = 0 ··· ( 4 - 1 b )另 ，
V
2sin(
A
1)
−V
3sin(
A
1
A
3)
−V
4sin A
1= 0
V
2sin(
A
1)
+V
3sin(
A
1
A
3)
−V
4sin A
1= 0展 開 ， 化 簡 ， 提 出 公 因 式 ， 得
sin
[V
2cos A
1−V
3cos(
A
3
A
1)
] +
令 B=
V
2cos A
1−V
3cos(
A
3
A
1)
, C=V
2sin A
1+V
3sin(
A
3
A
1)
，則 (4-1b)式
V
1−V
4cos A
1= (−B)cos
+ Csin
··· (4-1c) (4-2b)式
V
4sin A
1= Bsin
+ Ccos
··· (4-2c) 聯 立 解 (4-1c) 與 (4-2c) 兩式 ； 得(
V
1−V
4cos A
1)cos
−V
4sin A
1sin
=−V
2cos A
1+V
3cos(
A
3
A
1)
V
1cos
−V
4cos A
1cos
−V
4sin A
1sin
=−V
2cos A
1+V
3cos(
A
3
A
1)
….(4-1d)而
cos
(A
1
A
2) =−cos
=cos
(A
3
A
4),sin
(A
3
A
4)= −sin
， 代 入(4-1d)式
V
1cos
+V
4cos(
A
3
A
4
A
1)
=−V
2cos A
1+V
3cos(
A
3
A
1)
−V
1cos
(A
1
A
2)+V
4cos(
A
3
A
4
A
1)
=−V
2cos A
1+V
3cos(
A
3
A
1)
得
V
1cos(
A
1
A
2)
−V
2cos A
1+V
3cos(
A
3
A
1)
−V
4cos(
A
3
A
4
A
1)
=0...(4-1G)
另 (
V
1−V
4cos A
1)sin
+V
4sin A
1cos
=V
2sin A
1+V
3sin(
A
3
A
1)
V
1sin
−V
4cos A
1sin
+V
4sin A
1cos
=V
2sin A
1+V
3sin(
A
3
A
1)
….(4-2d)
V
1sin
+V
4sin(
A
3
A
4
A
1)
=V
2sin A
1+V
3sin(
A
3
A
1)
V
1sin(
A
1
A
2)
+V
4sin(
A
3
A
4
A
1)
=V
2sin A
1+V
3sin(
A
3
A
1)
， 最 後 得
V
1sin(
A
1
A
2)
−V
2sin A
1−V
3sin(
A
3
A
1)
+V
4sin(
A
3
A
4
A
1)
= 0……(4-2G)方 程 式 (4-1G)式 與 (4-2G)式 即為 推 證 出的 第 二 組 四邊 形 的 邊 角方 程 式 。
(2) 圖 解 四 邊 形 邊 角 方 程 式 的 意 義
(I) 觀 察 (Case 1).中 的 (4-1T)式 與 (4-2T)式 這 兩 方 程 式 ， 有 兩 個 內 角 的 差 ， 即
A
3
A
4， 圖5請 看 上 圖 5 當 頂角
A
3A
4時 ，(這 不失 為 一 般 性作 圖 假 設) (a) 在 頂 角A
3內 側 作 射 線A
3E，使
A
2A
3E
恰 等 於 頂 角A
4，則
A
4A
3E
=θ=A
3
A
4， (b) 自頂 點A
4對 射 線A
3E 作 一 垂直 射 線A
4D， 使 D 點 為 垂直 線 交 點 。 (c) 自 頂 點A
2對 射 線A
3E 作 一 垂直 射 線A
2C， 使 C 點 為 垂直 線 交 點 。 (d) 再自 頂 點A
2作 一 與 射 線A
3E 平 行 的 平 行射 線A
2F， 另自 頂 點A
1作 一 與 射 線A
2F 相 垂 直 的 射 線 ， 使 兩 射 線 的 垂 直 交 點 為 F 點 。 (e) 再 自 頂 點A
1作 一 與 射 線A
3E 平 行 的 平 行射 線A
1H，使射 線A
1H 與 線段A
4D 相 交 於 G 點 ， 而 G 點 為 垂直 點 。至 此 ， 作 圖 5 完 成 。 (f) 現 在看 方 程式(4-1T)式 的各 項 在 圖 5.中 出 現 的 位置 ； (f-1) 請 看 圖 5 中 的
A
2A
3B
，內 角
=πA
2A
4，則cos(
A
2
A
4)
=
cos
，)
sin(
A
2
A
4 =sin
， 而V
1cos(
A
2
A
4)
=
V
1cos
即 為 投 影 線 段A
2F 的 負 值 。(f-2)
V
2cos A
4即 為 投 影 線 段A
3C 的 負 值。 (f-3)V
3cos(
A
3
A
4)
即 為 投 影 線 段A
3D。(f-4) 圖 5 中 的
=
A
3， 而cos
=
cos A
3，sin
=sin A
3， 所 以 第 四 項 的3 4
cos A
V
=V
4cos
即為 投 影 線 段A
1G 恰等 於 線 段 ED。 以 上 這 四 項 的 值 恰 好 滿 足 了 方 程 式(4-1T)式 。 (g) 現在 看 方 程式(4-2T)式 的各 項 在 圖 5 中 出 現 的 位置 ； (g-1)V
1sin(
A
2
A
4)
的 值 即 為 線 段A
1F。 (g-2)
V
2sin A
4 的值 即 為線 段A
2C 的 負值 。 (g-3)
V
3sin(
A
3
A
4)
的 值 即 為 線 段A
4D 的 負值 。 (g-4)V
4sin A
3=V
4sin
的 值 即為 線 段A
4G 的 正 值. 以 上 這 四 項 的 值 恰 好 滿 足 了 方 程 式 (4-2T)式 。 圖6 圖7(II) 觀 察(Case 2)中 的 (4-1G)式與 (4-2G)式這 兩 方 程式，有 兩 個內 角 的 差，即
A
3
A
1，請 看 上 圖7 當 頂 角A
3A
1時 ，(這 不 失為 一 般 性 作圖 假 設)。 (a) 在 頂 角A
3內 側 作 射 線A
3E，使
A
2A
3E
恰 等 於 頂 角A
1，則
A
4A
3E
=
=A
3
A
1， (b) 自頂 點A
2對 射 線A
3E 作 一 垂直 射 線A
2B， 使 B 點 為 垂直 線 交 點 。 (c) 自 頂 點A
4對 射 線A
3E 作 一 垂直 射 線A
4C， 使 C 點 為 垂直 線 交 點 。 (d) 再自 頂 點A
2作 一 與 射 線A
3E 平 行 的 平 行射 線A
2G，另 自頂 點A
1作 一 與 射 線A
2G 相 垂 直 的 射 線 ， 使 兩 射 線 的 垂 直 交 點 為G 點 。 (e) 再 自 頂 點A
1作 一 與 射 線A
3E 平 行 的 平 行射 線A
1H，使 射線A
1H 與 線段A
4C 相 交 於 H 點 ， 而 H 點 為 垂直 點 ，至 此 ， 作 圖 7 完 成 。 (f) 現 在看 方 程式(4-1G)式 的各 項 在 圖 7 中 出 現 的 位置 ； (f-1) 請 看 圖 7 中 的
A
2A
3D
， 內 角
=πA
2A
1， 則cos(
A
1
A
2)
=
cos
，)
sin(
A
1
A
2 =sin
，而V
1cos(
A
1
A
2)
=
V
1cos
即 為 投 影 線 段A
2G 的 負 值 。(f-2)
V
2cos A
1即 為 投 影 線 段A
3B 的 負 值。 (f-3)V
3cos(
A
3
A
1)
即 為 投 影 線 段A
3C。(f-4) 圖 7 中 的
