圖解平面凸多邊形方程式的幾何意義:以三邊形、四邊形、五邊形為例(I)

全文

(1)

圖解平面凸多邊形方程式的幾何意義:

以三邊形、四邊形、五邊形為例(I)

李輝濱

壹、前言

在 研 究 探 討 平 面 凸 多 邊 形 面 積 公 式 時,以 導 入 應 用 角 度 修 正 參 數 法 的 觀 念,來 推 演 尋 求 適 切 可 用 的 邊 長 與 內 角 組 合 關 係,順 利 地 發 現 了 許 多 由 所 有 邊 長 與 各 內 角 組 合 形 成 的 邊 角 方 程 式 ! 仔 細 審 視 這 些 方 程 式 的 結 構 內 涵,在 外 觀 上 它 們 令 人 覺 得 很 複 雜、陌 生。尤 其 是 五 邊 形 以 上 多 邊 形,其 邊 長 與 內 角 的 配 置 在 形 態 上 顯 現 得 很 特 異 且 大 部 份 項 數 都 是 完 全 地 呈 現 出 組 成 凌 亂 紛 雜 , 令 人 疑 惑 ! 第 一 次 獲 得 這 些 方 程 式 時 , 還 真 不 知 道 它 們 的 外 表 形 貌 會 是 如 此 地 毫 無 秩 序 ! 於 是 直 覺 地 嘗 試 利 用 幾 何 作 圖 法,欲 來 實 際 觀 察 這 些 方 程 式 在 幾 何 圖 形 中 所 顯 示 的 實 質 意 義;目 的 是 藉 著 圖 示,作 出 這 些 方 程 式 中 的 每 一 項 出 現 在 圖 形 結 構 中 的 投 影 位 置,並 比 對 它 們 之 間 的 相 互 位 置 關 係 以 間 接 地 瞭 解 這 些 方 程 式 的 真 實 內 容。也 因 為 有 了 幾 何 圖 解 的 詮 釋,使 得 我 們 更 容 易 知 悉 這 些 方 程 式 的 用 處 ! 而 這 所 有 經 過 嚴 謹 理 論 推 導 及 圖 解 驗 證 的 方 程 式 已 成 為 凸 多 邊 形 一 般 化 恆 等 式 了 ! 方 程 式 中 有 些 項 的 內 角 組 合 是 相 異 內 角 和 的 純 加 法 性,這 些 項 在 推 證 面 積 公 式 時 是 有 效 存 在 的;另 一 些 則 是 加 與 減 相 組 合,而 這 些 並 不 存 在 於 面 積 公 式 中。如 此 的 自 然 巧 妙 安 排,使 得 這 些 恆 等 式 方 程 式 在 需 要 被 轉 換 時 可 以 適 宜 地 被 揀 選 出 所 需 要 的 內 角 組 合 項,以 符 合 推 證 的 期 望 , 而 這 些 企 盼 也 都 在 尋 找 面 積 公 式 的 推 理 過 程 中 奇 妙 無 瑕 地 一 一 展 現 。

貳、本文

A. 數學基本性質─引理

利 用 角 度 修 正 參 數 法 在 推 證 尋 求 平 面 凸 多 邊 形 的 邊 角 方 程 式 時,在 過 程 中 必 須 應 用 或 對 照 到 下 述 已 知 的 數 個 輔 助 基 本 數 學 性 質 ; 引 理1. 平 面 凸 多 邊 形 的 向 量 性 質 任 給 一 個 平 面 凸 n 邊 形

A

1

A

2

A

3

A

4

A

n1

A

n,令 邊 長

A

1

A

2=

V

1的 向 量 為  1

V

A

2

A

3=

V

2的 向 量 為  2

V

, ,

A

n

A

1=

V

n的 向 量 為  n

V

,則 此 平 面 凸 n 邊 形 即為 此 n 個 向 量 按 順序 箭 頭 接

(2)

箭 尾 相 加 而 成 的 封 閉 凸n 邊 形 。 依 向 量 加 法 性 質 知;

n m 1

V

m

0

= 1

(

cos

)

1

(

sin

)

0

   

mn

V

m

m

i

nm

V

m

m

j

此 處

mm

V

在 直 角 坐 標 平 面 上 的 方 位 角。 

i

為 正 X 軸方 向 的 單 位向 量, 

j

為 正 Y 軸 方 向的 單 位 向 量 , 再 由 平 面正 交 坐 標 系性 質 知 ;

0

)

cos

(

1

n m

V

m

m

1

(

sin

)

0

n m

V

m

m 現 在 , 將 頂 點

A

1置 於 直 角 坐 標 平 面 上 的 原 點 O, 如 下圖 1, 使

A

1

A

2 邊 完 全 重 疊 並 貼 置 於 X 軸 , 以使 此 n 邊 形 完 全 落在 第 1 及 第 2 象 限 區 域內(含 X 軸), 則 1

V

+

mn2

V

m

cos[(

m

1

)

mk2

A

k

]

0

··· (1) 且

nm2

V

m

sin[(

m

1

)

mk2

A

k

]

0

··· (2) 圖 1、 凸 n 邊 形 證 明:由 圖 1 知 凸 n 邊 形 的內 角 依 次 為

A

1,

A

2,

A

3, ,

A

n,而

V

1的 方 位 角

1為 零,

V

2的 方 位 角

2為 π −

A

2

V

3的 方 位 角

3為 (π −

A

2) + (π −

A

3),

V

4的 方 位 角

4為(π −

A

2) +(π −

A

3) +(π −

A

4) , ,

V

n的 方 位 角

n為(n−1)π −(

A

2+

A

3+

A

4+· · · +

A

n)。 將 這 n 個 方 位 角 全 部 代 入 以 下 方 程 式 中:

(

cos

)

0

1

n m

V

m

m

1

(

sin

)

0

n m

V

m

m , 4

(3)

nm1

(

V

m

cos

m

)

0

=

V

1+

V

2cos(π−

A

2)+

V

3cos(2π −

A

2

A

3)+ +

V

ncos [(n−1) π−

]

0

2

n k

A

k 將 上 列 等 式 改 寫 成 下 式 : 得

V

1+

nm2

V

m

cos[(

m

1

)

km2

A

k

]

0

··· (1) 同 理 , 再 得

sin[(

1

)

]

0

2 2

  m k k n m

V

m

m

A

··· (2) 證 明 完 成 。 引 理 1.的 一 組 方程 式(1)與(2)所顯 示 的 幾何 意 義 是;方程 式(1)代表 此 凸 多 邊形 各 邊 長 在 X 軸 方 向 的 投影 向 量 總 和為 零,方 程式(2)則 表 示凸 多 邊 形 各邊 長 在 Y 軸 方 向的 投 影 向 量 總 和 為 零 。 引 理 1.的 一 組 方程 式(1)與(2)是因 以 線 段

A

1

A

2=

V

1為 底,疊 置 在 水 平 方 向X 軸 所 求 得 的 結 果,若 換 成 以

A

2

A

3=

V

2為 底,將 求 得 類 似 的 另 一 組 方 程 式,以 此 類 推,總 共 會 得 出 n 組。這n 組 方 程式 是 非 常 好應 用 的,尤 其 用在 多 邊形 尋 找 邊 長與 內 角 之 間的 組 合 關 係式 時 至 為 有 效 ! 引 理 2. 在平 面上 給 定 一 個凸 n 邊 形

A

1

A

2

A

3

A

4

....

A

n1

A

n, 則 此 凸 多 邊 形 所 有 內 角 總 和 為

2

....

1 4 3 2 1

A

A

A

A

A

n

A

n n 證 明 : 略 。 引 理3. 三角 函數 角 度 的 和差 轉 換 公 式

sin α β sin

α cos β cos α sin β

cos α

β

cos α cos β ∓ sin α sin β

B. 圖解平面凸多邊形的邊角方程式

B-1. 三角形的邊角方程式:

(1) 推 證 三 角 形 的 邊 角 方 程 式

(4)

圖 2 由 引 理 1.取 n=3 代 入 方程 式(1)與(2),並 作 內 角轉 換 , 可 得下 列 兩 式 ; 1

V

=

V

2

cos A

2+

V

3

cos A

1 ··· (3-1) 2 2

sin A

V

V

3

sin

A

1

0

··· (3-2) 由 引 理 2.並 令

為 角 度 修 正 參 數 , 且 選 取

A

1

A

2

(

/

2

)

A

3

(

/

2

)

, 分 別 代 入 方 程 式(3-1)式 與(3-2)式中 , 得 1

V

=

)

2

cos(

1 2

A

V

+

V

3

cos A

1=

V

2

sin(

A

1

)

+

V

3

cos A

1 再 展 開 移項 , 得

1 3 1

V

cos A

V

=

sin

(

V

2

cos

A

1

)

+

cos

V

2

sin

A

1 ··· (3-1a)

V

2

sin A

2=

)

2

sin(

1 2

A

V

=

V

2

cos(

A

1

)

=

V

3

sin A

1 再 展 開移 項 , 得 1 3

sin A

V

=

cos

V

2

cos

A

1+

sin

V

2

sin

A

1 ··· (3-2a) 聯 立 解(3-1a) 與 (3-2a)兩 式 ,得 下 列 兩 式;

(

V

1

V

3

cos A

1)(

sin

)

+

V

3

sin

A

1

cos

=

V

2

cos A

1 ··· ( 3 - 1 b ) (

V

1

V

3

cos A

1)

cos

+

V

3

sin

A

1

sin

=

V

2

sin A

1 ··· ( 3 - 2 b ) 同 時 ,

)

cos

2

sin(

sin

A

3

sin

)

2

cos(

cos

A

3

, 代 入 之 , 得 3 1

cos A

V

+

V

3

cos

A

1

cos

A

3+

V

3

sin

A

1

sin

A

3=

V

2

cos A

1 ··· (3-1c)

3 1

sin A

V

V

3

cos

A

1

sin

A

3+

V

3

sin

A

1

cos

A

3=

V

2

sin A

1 ··· (3-2c) 再 組 合 化 簡 , 得

V

1

cos A

3+

V

2

cos A

1

V

3

cos(

A

3

A

1

)

= 0 ··· (3-1T)

V

1

sin

A

3

V

2

sin A

1

V

3

sin(

A

3

A

1

)

= 0 ··· (3-2T)

方 程 式(3-1T)式 與 (3-2T)式 即 為 推 證 出 的 一 組 三 角 形 的 邊 角 方 程 式 ! 同 理 , 還 可 得 另 兩 組 邊 角 方 程 式,而 其 外 觀 形 貌 完 全 類 似,不 再 贅 述。當 第 一 次 獲 得 這 兩 公 式 時,還 真 難 接 受 它 們 的 存 在 , 尤 其 不 易 瞭 解 公 式 中 每 一 項 的 真 正 意 義 。

(5)

(2) 圖 解 三 角 形 邊 角 方 程 式 的 意 義 圖 3 接 著 , 要 以 幾 何 作 圖 來 理 解 方 程 式(3-1T)式 與 (3-2T)式 的 圖 形 意 義 ; 原 則 上 幾 何 作 圖 時,每 一 凸 多 邊 形 圖 形 的 第 一 線 段 邊 長

V

1都 一 致 被 設 定 成 水 平 線 方 向 位 置。觀 察 這 兩 方 程 式,有 兩 個 內 角 的 差,即

A

3

A

1,所 以 請 看 上 圖3,當 頂角

A

3

A

1時,(這 不失 為 一 般 性 作 圖 假 設 , 若 頂 角

A

1

A

3時 , 方 程 式 內 角 差 即 改 換 為

A

1

A

3) (a) 在 頂 角

A

3 內 側作 一 射 線

A

3E, 使

A

2

A

3

E

恰 等 於 頂 角

A

1, 則

A

1

A

3

E

=

A

3

A

1, (b) 自頂 點

A

1 對 射線

A

3E 作 一 垂直 射 線

A

1C, 使 D 點 為 垂直 線 交 點 , (c) 再 自 頂 點

A

2作 一 與 射 線

A

3E 平 行 的 平 行射 線

A

2C,使 射 線

A

1C 與 射線

A

2C 垂 直 相 交 於 C 點 。 (d) 再自 頂 點

A

2作 一 與 射 線

A

3E 相 垂 直 的 射線 , 使 兩 射線 的 垂 直 交點 為 B 點 。 (e) 請 看

A

2

A

3

E

A

1

A

2

A

3,兩 者 有 共 同 的 內 角

A

2

A

1,故

A

2

EA

3=

A

3頂 角,因 此 由 平 行 線 內 側 角 性 質 知

A

1

A

2

C

=

A

3頂 角 。 至 此 , 作 圖 3 完 成 。 (f) 現 在看 方 程式(3-1T)式 的各 項 在 圖 3 中 出現 的 位置 ;

V

1

cos A

3的 值 就 是 邊 長

V

1在 射 線 3

A

D 上的 投 影 長度 BD,而

V

2

cos A

1的 值 就 是 邊 長

V

2在 射 線

A

3D 上 的投 影 長 度

A

3B, 這 兩 項 的 值 相 加 結 果 即 為

V

3

cos(

A

3

A

1

)

的 值 , 正 是 邊 長

V

3在 射 線

A

3D 上的 投 影 長 度

A

3D。 (g) 再來 看 方 程式(3-2T)式 的各 項 在 圖 3 中 出 現 的 位置;

V

1

sin A

3的 值 就 是 線 段 長 度

A

1C, 1 2

sin A

V

的 值 就 是 線 段 長 度

A

2B = 長 度 DC,

V

3

sin(

A

3

A

1

)

的 值 就 是 線 段 長 度

A

1D, 所 以 由 圖 形 中 的 線 段 分 佈 位 置 可 得 出 線 段 長 度

A

1C 恰 等 於 線 段 長度

A

2B 加 上 線段 長 度

A

1D。 由 以 上 圖 示 解 說 , 可 確 認 知 方 程 式 (3-1T)式 與 (3-2T)式 兩 式 必 為 早 已 自 然 存 在 的 一

(6)

般 化 三 角 形 恆 等 式 。 恆 等 式 (3-1T)式 可 改 寫 成 分式 型 ; 1 3 1 3 2 3 2 1 1 3

)

cos

cos

cos(

V

V

A

V

V

A

V

V

A

A

··· (3 -1 F) 恆 等 式 (3-2T)式 可 改 寫 成 分式 型 ; 1 3 1 3 2 3 2 1 1 3

)

sin

sin

sin(

V

V

A

V

V

A

V

V

A

A

··· (3 -2 F) 兩 者 相 比 較 是 很 有 趣 的 型 態 。

B-2. 平面凸四邊形的邊角方程式:

(1) 推 證 平 面 凸 四 邊 形 的 邊 角 方 程 式 在平 面 上 給定 一 個 凸 四邊 形

A

1

A

2

A

3

A

4,如 下 圖4 令 線 段

A

1

A

2 =

V

1

A

2

A

3 =

V

2, 4 3

A

A

=

V

3

A

4

A

1=

V

4, 由 引 理 1.取 n=4 代 入方 程 式(1)與(2), 並 作 內角 轉 換 , 可 得 下 列 兩 式 ;

V

1

V

2

cos A

2+

V

3

cos(

A

2

A

3

)

V

4

cos A

1= 0 ··· (4-1)

V

2

sin A

2

V

3

sin(

A

2

A

3

)

V

4

sin A

1= 0 ··· (4-2)

由引 理 2.並 令

為 角 度 修 正 參 數 , 內 角 組 合 的 選 取 恰 有 下 列 2 情 況 ;

(Case 1) 選 取

A

1

A

3

,

A

2

A

4

, 分 別 代 入方 程 式(4-1) 與(4-2) 中,

V

1

V

2

cos(

A

4

)

+

V

3

cos(

A

4

A

3

)

V

4

cos(

A

3

)

= 0

V

1+

V

2

cos(

A

4

)

V

3

cos(

A

4

A

3

)

+

V

4

cos(

A

3

)

= 0

展 開 , 化 簡 , 提 出 公 因 式 , 得

(7)

1

V

+

cos

[

V

2

cos A

4

V

3

cos(

A

3

A

4

)

+

V

4

cos A

3] +

sin

[

V

2

sin A

4+

V

3

sin(

A

3

A

4

)

V

4

sin A

3] = 0 ··· (4-1a)

另 ,

V

2

sin(

A

4

)

V

3

sin(

A

4

A

3

)

V

4

sin(

A

3

)

= 0

V

2

sin(

A

4

)

+

V

3

sin(

A

4

A

3

)

V

4

sin(

A

3

)

= 0

展 開 , 化 簡 , 提 出 公 因 式 , 得

sin

[

V

2

cos A

4+

V

3

cos(

A

3

A

4

)

V

4

cos

A

3] +

cos

[

V

2

sin A

4+

V

3

sin(

A

3

A

4

)

V

4

sin A

3] = 0 ··· (4-2a)

聯 立 解(4-1a) 與 (4-2a) 兩 式, 得 下 列 兩式 ;

V

1

cos

=

V

2

cos A

4+

V

3

cos(

A

3

A

4

)

V

4

cos

A

3=−

V

1

cos(

A

1

A

3

)

V

1

cos(

A

1

A

3

)

V

2

cos A

4+

V

3

cos(

A

3

A

4

)

V

4

cos A

3= 0

V

1

cos(

A

2

A

4

)

V

2

cos A

4+

V

3

cos(

A

3

A

4

)

V

4

cos A

3= 0 ··· (4-1T)

V

1

sin

= −

V

2

sin A

4

V

3

sin(

A

3

A

4

)

+

V

4

sin

A

3=

V

1

sin(

A

1

A

3

)

V

1

sin(

A

1

A

3

)

+

V

2

sin A

4+

V

3

sin(

A

3

A

4

)

V

4

sin A

3= 0

V

1

sin(

A

2

A

4

)

V

2

sin A

4

V

3

sin(

A

3

A

4

)

+

V

4

sin A

3=0 ··· (4-2T)

方 程 式 (4-1T)式 與 (4-2T)式 即 為 推 證 出的 第 一 組 四邊 形 的 邊 角方 程 式 。

(Case 2) 選 取

A

1

A

2

A

3

A

4

, 分 別 代 入 方 程 式(4-1)式與(4-2)式 中 , 得

V

1

V

2

cos(

A

1

)

+

V

3

cos(

A

1

A

3

)

V

4

cos A

1= 0

V

1+

V

2

cos(

A

1

)

V

3

cos(



A

1

A

3

)

V

4

cos A

1= 0

展 開 , 化 簡 , 提 出 公 因 式 , 得

1

V

V

4

cos A

1+

cos

[

V

2

cos A

1

V

3

cos(

A

3

A

1

)

] +

sin

[

V

2

sin A

1

V

3

sin(

A

3

A

1

)

] = 0 ··· ( 4 - 1 b )

另 ,

V

2

sin(

A

1

)

V

3

sin(

A

1

A

3

)

V

4

sin A

1= 0

V

2

sin(

A

1

)

+

V

3

sin(



A

1

A

3

)

V

4

sin A

1= 0

展 開 , 化 簡 , 提 出 公 因 式 , 得

sin

[

V

2

cos A

1

V

3

cos(

A

3

A

1

)

] +

(8)

令 B=

V

2

cos A

1

V

3

cos(

A

3

A

1

)

, C=

V

2

sin A

1+

V

3

sin(

A

3

A

1

)

則 (4-1b)式

V

1

V

4

cos A

1= (−B)

cos

+ C

sin

··· (4-1c) (4-2b)式

V

4

sin A

1= B

sin

+ C

cos

··· (4-2c) 聯 立 解 (4-1c) 與 (4-2c) 兩式 ; 得

(

V

1

V

4

cos A

1)

cos

V

4

sin A

1

sin

=−

V

2

cos A

1+

V

3

cos(

A

3

A

1

)

V

1

cos

V

4

cos A

1

cos

V

4

sin A

1

sin

=−

V

2

cos A

1+

V

3

cos(

A

3

A

1

)

….(4-1d)

cos

(

A

1

A

2) =−

cos

=

cos

(

A

3

A

4),

sin

(

A

3

A

4)= −

sin

, 代 入(4-1d)式

V

1

cos

+

V

4

cos(

A

3

A

4

A

1

)

=−

V

2

cos A

1+

V

3

cos(

A

3

A

1

)

V

1

cos

(

A

1

A

2)+

V

4

cos(

A

3

A

4

A

1

)

=−

V

2

cos A

1+

V

3

cos(

A

3

A

1

)

V

1

cos(

A

1

A

2

)

V

2

cos A

1+

V

3

cos(

A

3

A

1

)

V

4

cos(

A

3

A

4

A

1

)

=0...(4-1G)

另 (

V

1

V

4

cos A

1)

sin

+

V

4

sin A

1

cos

=

V

2

sin A

1+

V

3

sin(

A

3

A

1

)

V

1

sin

V

4

cos A

1

sin

+

V

4

sin A

1

cos

=

V

2

sin A

1+

V

3

sin(

A

3

A

1

)

….(4-2d)

V

1

sin

+

V

4

sin(

A

3

A

4

A

1

)

=

V

2

sin A

1+

V

3

sin(

A

3

A

1

)

V

1

sin(

A

1

A

2

)

+

V

4

sin(

A

3

A

4

A

1

)

=

V

2

sin A

1+

V

3

sin(

A

3

A

1

)

, 最 後 得

V

1

sin(

A

1

A

2

)

V

2

sin A

1

V

3

sin(

A

3

A

1

)

+

V

4

sin(

A

3

A

4

A

1

)

= 0……(4-2G)

方 程 式 (4-1G)式 與 (4-2G)式 即為 推 證 出的 第 二 組 四邊 形 的 邊 角方 程 式 。

(2) 圖 解 四 邊 形 邊 角 方 程 式 的 意 義

(I) 觀 察 (Case 1).中 的 (4-1T)式 與 (4-2T)式 這 兩 方 程 式 , 有 兩 個 內 角 的 差 , 即

A

3

A

4, 圖5

(9)

請 看 上 圖 5 當 頂角

A

3

A

4時 ,(這 不失 為 一 般 性作 圖 假 設) (a) 在 頂 角

A

3內 側 作 射 線

A

3E,使

A

2

A

3

E

恰 等 於 頂 角

A

4,則

A

4

A

3

E

=θ=

A

3

A

4, (b) 自頂 點

A

4對 射 線

A

3E 作 一 垂直 射 線

A

4D, 使 D 點 為 垂直 線 交 點 。 (c) 自 頂 點

A

2對 射 線

A

3E 作 一 垂直 射 線

A

2C, 使 C 點 為 垂直 線 交 點 。 (d) 再自 頂 點

A

2作 一 與 射 線

A

3E 平 行 的 平 行射 線

A

2F, 另自 頂 點

A

1作 一 與 射 線

A

2F 相 垂 直 的 射 線 , 使 兩 射 線 的 垂 直 交 點 為 F 點 。 (e) 再 自 頂 點

A

1作 一 與 射 線

A

3E 平 行 的 平 行射 線

A

1H,使射 線

A

1H 與 線段

A

4D 相 交 於 G 點 , 而 G 點 為 垂直 點 。至 此 , 作 圖 5 完 成 。 (f) 現 在看 方 程式(4-1T)式 的各 項 在 圖 5.中 出 現 的 位置 ; (f-1) 請 看 圖 5 中 的

A

2

A

3

B

,內 角

A

2

A

4,則

cos(

A

2

A

4

)

=

cos

)

sin(

A

2

A

4 =

sin

, 而

V

1

cos(

A

2

A

4

)

=

V

1

cos

即 為 投 影 線 段

A

2F 的 負 值 。

(f-2)

V

2

cos A

4即 為 投 影 線 段

A

3C 的 負 值。 (f-3)

V

3

cos(

A

3

A

4

)

即 為 投 影 線 段

A

3D。

(f-4) 圖 5 中 的

=

A

3, 而

cos

=

cos A

3

sin

=

sin A

3, 所 以 第 四 項 的

3 4

cos A

V

=

V

4

cos

即為 投 影 線 段

A

1G 恰等 於 線 段 ED。 以 上 這 四 項 的 值 恰 好 滿 足 了 方 程 式(4-1T)式 。 (g) 現在 看 方 程式(4-2T)式 的各 項 在 圖 5 中 出 現 的 位置 ; (g-1)

V

1

sin(

A

2

A

4

)

的 值 即 為 線 段

A

1F。 (g-2)

V

2

sin A

4 的值 即 為線 段

A

2C 的 負值 。 (g-3)

V

3

sin(

A

3

A

4

)

的 值 即 為 線 段

A

4D 的 負值 。 (g-4)

V

4

sin A

3=

V

4

sin

的 值 即為 線 段

A

4G 的 正 值. 以 上 這 四 項 的 值 恰 好 滿 足 了 方 程 式 (4-2T)式 。 圖6 圖7

(10)

(II) 觀 察(Case 2)中 的 (4-1G)式與 (4-2G)式這 兩 方 程式,有 兩 個內 角 的 差,即

A

3

A

1,請 看 上 圖7 當 頂 角

A

3

A

1時 ,(這 不 失為 一 般 性 作圖 假 設)。 (a) 在 頂 角

A

3內 側 作 射 線

A

3E,使

A

2

A

3

E

恰 等 於 頂 角

A

1,則

A

4

A

3

E

=

=

A

3

A

1, (b) 自頂 點

A

2對 射 線

A

3E 作 一 垂直 射 線

A

2B, 使 B 點 為 垂直 線 交 點 。 (c) 自 頂 點

A

4對 射 線

A

3E 作 一 垂直 射 線

A

4C, 使 C 點 為 垂直 線 交 點 。 (d) 再自 頂 點

A

2作 一 與 射 線

A

3E 平 行 的 平 行射 線

A

2G,另 自頂 點

A

1作 一 與 射 線

A

2G 相 垂 直 的 射 線 , 使 兩 射 線 的 垂 直 交 點 為G 點 。 (e) 再 自 頂 點

A

1作 一 與 射 線

A

3E 平 行 的 平 行射 線

A

1H,使 射線

A

1H 與 線段

A

4C 相 交 於 H 點 , 而 H 點 為 垂直 點 ,至 此 , 作 圖 7 完 成 。 (f) 現 在看 方 程式(4-1G)式 的各 項 在 圖 7 中 出 現 的 位置 ; (f-1) 請 看 圖 7 中 的

A

2

A

3

D

, 內 角

A

2

A

1, 則

cos(

A

1

A

2

)

=

cos

)

sin(

A

1

A

2 =

sin

,而

V

1

cos(

A

1

A

2

)

=

V

1

cos

即 為 投 影 線 段

A

2G 的 負 值 。

(f-2)

V

2

cos A

1即 為 投 影 線 段

A

3B 的 負 值。 (f-3)

V

3

cos(

A

3

A

1

)

即 為 投 影 線 段

A

3C。

(f-4) 圖 7 中 的

=

A

3

A

4

A

1,而

cos

=

cos(

A

3

A

4

A

1

)

,所 以 第 四 項 的

V

4

cos(

A

3

A

4

A

1

)

=

V

4

cos

即 為 投 影線 段

A

1H 恰 等於 線 段 EC, 以 上 這 四 項 的 值 恰 好 滿 足 了 方 程 式(4-1G)式。 (g) 現在 看 方 程式(4-2G)式 的各 項 在 圖 7 中 出 現 的 位置 ; (g-1)

V

1

sin(

A

1

A

2

)

的 值 即 為 線 段

A

1G。 (g-2) −

V

2

sin A

1 的值 即 為線 段

A

2B 的 負值 。 (g-3) −

V

3

sin(

A

3

A

1

)

的 值 即 為 線 段

A

4C 的 負值 。 (g-4)

V

4

sin(

A

3

A

4

A

1

)

=

V

4

sin

的 值 即 為 線 段

A

4H 的 正值 。 以 上 這 四 項 的 值 恰 好 滿 足 了 方 程 式 (4-2G)式。 由 上 述 圖 示 解 說,可 確 認 知 方 程 式 (4-1T)式,(4-2T)式,(4-1G)式 與 (4-2G)式 四式 必 為 早 已 自 然 存 在 的 一 般 化 四 邊 形 恆 等 式 。 (待 續)

數據

圖 2 由 引 理 1.取 n=3 代 入 方程 式(1)與(2),並 作 內 角轉 換 , 可 得下 列 兩 式 ;   1V = V 2 cos A 2 + V 3 cos A 1  ··························································  (3-1)  22sin AV − V 3 sin A 1  0  ·························································· (3-2)  由

圖 2

由 引 理 1.取 n=3 代 入 方程 式(1)與(2),並 作 內 角轉 換 , 可 得下 列 兩 式 ; 1V = V 2 cos A 2 + V 3 cos A 1 ·························································· (3-1) 22sin AV − V 3 sin A 1  0 ·························································· (3-2) 由 p.4

參考文獻

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