追蹤資料分析中隨時間變動解釋變項平減之研究

溫福星 隨時間變動變項平減 ₇₃ 教育科學研究期刊 第六十卷第一期 2015 年，60（1），73-97 doi:10.6209/JORIES.2015.60(1).03

追蹤資料分析中隨時間變動

解釋變項平減之研究

溫福星

* 東吳大學 國際經營與貿易學系

摘要

利用多層次模式或是階層線性模式進行重複觀測資料的分析，如果個體層次解釋變項包 含隨時間變動解釋變項時，在個體層次方程式對它不平減或是總平減所獲得的迴歸係數是一 個偏誤的結果，因為這個隨時間變動的解釋變項具有追蹤與橫斷面的資料特性，對個體層次 結果變項的影響可以拆解為互斥的組間迴歸係數與組內迴歸係數，因此，必須利用組平減並 將組平均數置回截距項方程式方能獲得正確的估計結果。但在不平減、總平減與組平減三種 方法下都加上組平均數置回截距項方程式，在隨機截距模型下則會獲得等價的估計結果。本 研究整理出這些平減方法之間的統計關係，並利用實徵資料示範分析各種模式，說明之間的 差異與等價關係，最後提出研究的結論與建議。 關鍵字：追蹤資料、組平減、等價、隨機截距模型、總平減 通訊作者：溫福星，E-mail: wenft@scu.edu.tw 收稿日期：2013/12/15；修正日期：2014/07/28、2014/09/11；接受日期：2014/11/28。

74 隨時間變動變項平減 溫福星

壹、緒論

國內兩個大型資料庫「台灣高等教育資料庫」與「台灣教育長期追蹤資料庫」（Taiwan Education Panel Survey, TEPS），最主要的特徵是有非常完善的抽樣架構（中央研究院人社中心 調查研究專題中心，2014；張苙雲，2003），分別是橫斷面的學校、科系與學生，縱貫面的學 校、學生與不同波次的調查，這樣的抽樣架構反映出階層資料結構的特色，也造成資料結構 最底層的資料學生與各波次的調查是巢套於上層結構科系與學生內，這樣的巢套特性使得傳 統的統計分析方法，例如迴歸分析與因素分析等建立在資料來自於獨立的假設被違反，而必 須改採階層線性模式（hierarchical linear modeling, HLM）或是多層次模式（multilevel modeling, MLM）的統計方法（溫福星、邱皓政，2009），使得教育科學的研究範疇逐漸往多層次模式發 展，不管是橫斷面還是縱貫面的實徵研究，MLM 的統計方法持續受到教育科學界的高度重視。

過去教育與心理研究的追蹤資料，大都以重複觀測（repeated measures）的變異數分析取 向進行資料分析，但是這種重複觀測資料在傳統的變異數分析中有兩個限制：第一，必須是 完整的或是平衡的資料結構設計（balanced design），也就是每位受試者都要有相同的重複觀測 個數（Kenny, Bolger, & Kashy, 2002, p. 1）；第二，雖然允許組內的解釋變項進行共變數分析， 但無法納入組間解釋變項，如受試者的特徵或屬性（Heck & Thomas, 2009, p. 35），去解釋重 複觀測資料的變化趨勢。因此，晚近HLM 或混合模式的成長模式（growth model）即克服了 上述變異數分析的限制，可以將不相等個數或不同間距的重複觀測資料與受試者的特徵或屬 性同時放在一個統計模式中進行分析（Wallace & Green, 2002）。不僅如此，更可以擴展到受試 者所屬的環境（context）、組別（group）或實驗處理（treatment），以檢視環境、組別或實驗 處理的因素對受試者追蹤資料變化的影響（Singer & Willett, 2003）。由於教育與心理研究的重 複觀測波次不多，不像財務與經濟的時間數列資料（time series data）經常成百上千，因此以 重複觀測量數描述較為適當，但考慮大部分國內、外研究仍以追蹤資料稱之，因此本文重複 觀測與追蹤資料是指相同的數據，同時這兩個名詞也交互於本文中使用。

國內有關於追蹤資料的資料庫不少，除了 TEPS 外，臺灣青少年成長歷程研究（Taiwan Youth Project, TYP）亦蒐集臺北市、新北市與宜蘭縣國中生國中 3 年的固定樣本追蹤資料，使 得國內教育科學研究者得以有追蹤資料可以進行分析，探討這些樣本資料背後國中生母體的 成長學習相關的歷程變化。此外，政府在1997 年修訂《特殊教育法》後，接受特殊教育的身 心障礙學生明顯增加，因此，研究小組針對國內身心障礙重要議題進行研究，蒐集各教育階 層身心障礙學生與其家庭、就讀學校以及所居住縣市之相關資料，探討身心障礙學生受教情 形與其學業成就表現的影響因素，從 2007 年起開始建構特殊教育長期追蹤資料庫（Special Needs Education Longitudinal Study, SNELS）。

溫福星 隨時間變動變項平減 ₇₅ 在橫斷面的MLM 中，很重要的兩個議題是組織層次截距項方程式是否有意義，以及組間 迴歸係數與組內迴歸係數的問題。首先，如果個體層次的所有解釋變項沒有包含 0 的範圍， 則個體層次方程式的截距項就沒有意義，連帶在組織層次的截距項方程式也就沒有解釋上的 意義，這連帶影響到截距項方程式誤差項變異數的解釋。其次，MLM 如同變異數分析存在組 內與組間資料結構，也因此在個體層次解釋變項對個體層次結果變項的影響，可以區分出組 內迴歸係數與組間迴歸係數的差異，如果不進行對個體層次解釋變項適當的處理，則多層次 分析所估計出的迴歸係數可能是一個偏誤的結果。鑑於上述這兩個理由，不少學者例如 Edwards 與 Lambert（2007）、Hofmann 與 Gavin（1998）、Kreft、de Leeuw 與 Aiken（1995）、 Raudenbush 與 Bryk（2002）都在探討 MLM 下個體層次解釋變項的平減問題，不同的平減方 法（centering），例如組平均數平減、總平均數平減與不平減在解釋上的不同意義，以及這些 不同平減方法在什麼條件下可以是等價關係。 相對在追蹤資料的MLM 分析中，國內研究都顯少觸及這個平減議題，不是不平減就是採 取總平減策略（巫博瀚、陸偉明、賴英娟，2012；李靜芳、溫福星，2008；周玉慧，2011；楊 惠卿，2010；蕭佳純，2011；蕭佳純、董旭英，2011；謝雨生、周玉慧，2012）。重複觀測資 料或是追蹤資料與橫斷面資料最大的不同，在於存在同時具有橫斷面與縱貫面資料的特色， 因此財務經濟學者稱為縱橫或是混合時橫資料（panel date），採用 MLM 分析重複觀測資料， 如同橫斷面分析一樣，隨時間變動的（time-varying）解釋變項對結果變項的影響可以拆解為 組內（within person）迴歸係數與組間（between person）迴歸係數。Allison（2005）、Bolger 與 Laurenceau（2013）、Kenny 等（2002）及 Twisk（2003）都建議要對追蹤資料隨時間變動 解釋變項進行適當的組平均數平減建議，以避免混淆組內與組間迴歸係數。 鑑於國內學者大都採用不平減與總平減策略來處理追蹤資料的隨時間解釋變項，由於在 統計模式上這兩個方法是等價模式，所以這兩種方法估計的結果其斜率的意義可能存在偏 誤，再加上上述國外學者鮮少介紹各種平減方法其背後的原理，因此本研究目的即在追蹤資 料在MLM 下，以統計模式探討有關隨時間變動解釋變項在各種平減方法下對斜率估計的原理 及其所代表的涵義，並以實證資料演示示範說明各種平減策略，以及置回組平均數對組間與 組內迴歸係數的影響，包含隨機截距模式、引進時間變項與隨機係數模式三種情況。

貳、統計模式

為了簡化模式的複雜度與介紹的清晰度，本研究僅以線性關係的MLM 來示範說明。在這 個MLM 中，個體層次資料分別是受試者在各波次調查的依變項 Y、解釋變項 X，在組織層次 是受試者的性別 Z，在隨機效果設定中以隨機截距模型為說明重點。解釋變項 X 即為隨時間變 動的解釋變項，它也可以包含時間變項，而 Z 則為非隨時間變動的解釋變項，其 MLM 方程式

76 隨時間變動變項平減 溫福星 如下所示： Level 1： 0 1 ti i i ti ti

Y

= β + β

X

+

e

(1) Level 2： 0i 00 01

Z

i

u

0i

β = γ + γ

+

(2) 1i 10

β = γ

(3) 方程式(1)至(3)中，下標 t 代表波次、i 代表受試者，方程式(1)中的 eti為個體層次誤差項，也 就是各波次調查結果變項 Y 的殘差項，假設其服從常態分配，平均數為 0、變異數為 σ2；方程 式(2)的 u0i則為組織層次，也就是受試者層次的誤差項，亦假設其服從常態分配，平均數為0、 變異數為τ；γ 則為所預估計的固定效果迴歸係數。方程式(2)的結果變項與方程式(1)的截距項 β0i要能有意義的解釋，取決於隨時間變動的解釋變項 X。如果 X 的範圍不包含 0，則方程式(1) 的截距項或是方程式(2)的結果變項充其量只是一個輔助項截距的意思；如果 X 的範圍包含 0， 則方程式(1)的截距項或是方程式(2)的結果變項是指當 X 為 0 時的依變項 Y。如果 X 經過組平 均數平減，則方程式(1)的截距項或是方程式(2)的結果變項就是依變項的組平均數，在追蹤資 料中就是受試者各波調查依變項的平均數，此時方程式(2)就有意義，因為結果變項是受試者 依變項的平均數。 將方程式(2)與(3)代回方程式(1)可獲得組合或混合模式（composite/mixed model），這個方 程式(4)是一般多層次軟體執行估計的模式： 00 01 10 0 ti i ti i ti

Y

= γ + γ

Z

+ γ

X

+

u

+

e

(4) 方程式(4)是對 Level 1 隨時間變動的解釋變項不進行任何平減的動作。

一、總平減策略

如果對Level 1 隨時間變動的解釋變項進行總平均數平減的動作，則方程式(4)可演變為方 程式(5)：

(

)

' 00 01 10 0 ti i ti i ti Y = γ + γ Z + γ X −X +u +e (5) 其中方程式(5)新的截距項 ' 00 γ 是方程式舊的截距項γ 加上00 γ10X ，其他的參數都不會改變，包 含固定效果與隨機效果，因此不平減與總平減的動作是等價的結果，唯一的差異在於截距項 估 計 值 與 截 距 項 相 關 的 估 計 變 異 數 和 共 變 數 。 此 時 方 程 式( 5 ) 中 的 解 釋 變 項 Z 與 _i

(

Xti−X

)

可能存在相關，因此所獲得的迴歸係數γ 與01 γ 是解釋變項10 Z 與i

(

Xti−X

)

互為控制

溫福星 隨時間變動變項平減 ₇₇ 下的估計結果。

二、組平減策略

如果對Level 1 隨時間變動的解釋變項進行組平均數平減的動作，則方程式(4)可演變為方 程式(6)：

(

)

* * * 00 01 10 0 ti i ti i i ti

Y

= γ + γ

Z

+ γ

X

−

X

+

u

+

e

(6) 此時方程式(6)中的所有迴歸係數都與方程式(4)的迴歸係數不同，包含隨機效果在內。其中最 重要的是解釋變項Z 與_i

(

X_ti−X_i

)

的迴歸係數γ 與*₀₁ * 10 γ ，因為解釋變項Z 與i

(

Xti−Xi

)

，一個是 受試者間變項、一個是受試者內離均差變項，兩者的共變數與相關都為0，所以迴歸係數 * 01 γ 與 * 10 γ 是解釋變項Z 與i

(

Xti−Xi

)

互斥下所估計的結果。換言之，若MLM 分別估計解釋變項Z 與i 解釋變項

(

Xti−Xi

)

所得的兩個模式其迴歸係數是與方程式(6)同。此外，經過組平減後的解釋 變項 X，已經和解釋變項 Z 不再有任何相關，

(

X_ti−X_i

)

是受試者內離均差的分數，原來方程 式(4)中X 的成分已經在組平減下去除，此時受試者間解釋變項 X 平均數的差異被組平減消_i 除，所估計的

γ

*₀₁是不再是控制 X 下和沒有X 的估計結果，在一般條件下它會是高估的。此_i 時為了還原模式中隨時間變動解釋變項 X 組平均數的差異效果，必須將X 置回於 Level 2 截i 距項方程式中，否則 Z 的迴歸係數γ 不是控制 X 下的結果。 *₀₁

(

Xti−Xi

)

從字面上是受試者內離均差的分數，其所代表的意義就是每位受試者在隨時間 變動解釋變項不同波次上的變化，它是以每位受試者的平均數為參考點，從方程式(2)來看， 如果 X 是組平減，那麼截距項就是結果變項 Y 的平均數，對應的結果變項則是受試者的離均 差分數

(

Y_ti−Y_i

)

，此時斜率就是

(

Y_ti−Y_i

)

對

(

X_ti−X_i

)

迴歸的結果，反應的是組內迴歸係數。除 了以組平均數平減外，Fitzmaurice、Laird 與 Ware（2011）及 Singer 與 Willett（2003）另外建 議，可以考慮以第一波的觀測值當作參考點進行平減。

三、組平減＋組平均數置回策略

如果對Level 1 中隨時間變動解釋變項 X 進行組平減、然後將其組平均數置回 Level 2 的 截距項方程式中，則MLM 可如下表示： Level 1：

(

)

0 1 ti i i ti i ti Y = β + β X −X + e (7)

78 隨時間變動變項平減 溫福星 Level 2： 0i 00 01Xi 02Zi u0i β = γ + γ + γ + (8) 1i 10

β = γ

(9) 此時方程式(8)的解釋變項都是受試者間變項，彼此之間可能存在相關，因此_{γ 與01 γ 是解釋02} 變項Z 與i X 互為控制下的迴歸係數。此外，解釋變項i Z 與i X 又與方程式(7)的解釋變項 i

(

Xti−Xi

)

呈現互斥的結果，最後所估計的迴歸係數γ 可以解釋為隨時間變動解釋變項 X 對結 01 果變項 Y 的組間迴歸係數，_{γ 可視為隨時間變動解釋變項 X 對結果變項 Y 的組內迴歸係數，10} 兩者是互斥的結果。其混合模式如下所示：

(

)

00 02 01 10 0 ti i i ti i i ti

Y

= γ + γ

Z

+ γ

X

+ γ

X

−

X

+

u

+

e

(10)

四、不平減、組平減與總平減在組平均數置回後的等價關係

如果個體層次解釋變項 X 不做任何平減動作，但將其組平均數X 置回 Level 2 的截距項_i 方程式中，所估計的混合模式如方程式(11)所示： ' ' ' ' 00 02 01 10 0 ti i i ti i ti Y = γ + γ Z + γ X + γ X +u +e (11) 如果將個體層次解釋變項 X 進行總平減動作，也將組平均數X 置回 Level 2 的截距項方_i 程式中，所估計的混合模式如方程式(12)所示：

(

)

* * * * 00 02 01 10 0 ti i i ti i ti Y = γ + γ Z + γ X + γ X −X +u +e (12) 不平減與總平減都加上組平均數置回的策略，方程式(11)與方程式(12)是等價模式，其對應的 迴歸係數除了γ 與'₀₀ * 00 γ 外都是相同的，且 ' * * 00 00 10X γ = γ − γ 。除此之外，γ 與*₀₁ * 10 γ 都是控制解釋 變項下的迴歸係數。而方程式(12)與方程式(10)的關係可以化簡如下：

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

* * * * 00 02 01 10 0 * * * * 00 02 01 10 0 * * * * * * 00 10 02 01 10 10 0 * * * * * * 00 10 02 01 10 10 0 ti i i ti i ti i i ti i i i ti i i i ti i i ti i i ti i i ti

Y

Z

X

X

X

u

e

Z

X

X

X

X

X

u

e

X

Z

X

X

X

X

u

e

X

Z

X

X

X

u

e

= γ + γ

+ γ

+ γ

−

+

+

= γ + γ

+ γ

+ γ

−

+

−

+

+

= γ − γ

+ γ

+ γ

+ γ

+ γ

−

+

+

= γ − γ

+ γ

+ γ + γ

+ γ

−

+

+

(13) 其中γ = γ − γ₀₀

(

*_{00 10}* X

)

、_{γ = γ 、02} *_{02 γ = γ + γ01}

(

*₀₁ *₁₀

)

與_{γ = γ ，所以方程式(12)與方程式(10)10} *₁₀

溫福星 隨時間變動變項平減 ₇₉

又是等價模式，方程式(10)內的 X 組內迴歸係數與方程式(12)中 X 總平減的迴歸係數一樣，都 是組內迴歸係數的意思，而方程式(12)X 的迴歸係數_i γ 是方程式(10)的組間迴歸係數*₀₁ γ 減去₀₁

組內迴歸係數_{γ ，在 MLM 中稱為脈絡效果（contextual effect）（Kreft & de Leeuw, 1998）。 10}

五、組平減加組平均數置回策略設限與總平減策略的關係

方程式(10)是隨時間變動解釋變項 X 的組平減加上其組平均數X 置回策略的 MLM，假設_i 令組間迴歸係數γ 等於組內迴歸係數₀₁ γ 時，則方程式(10)可以化簡如下： 10

(

)

(

)

00 02 01 10 0 00 02 0 00 02 0 ti i i ti i i ti i i ti i i ti i ti i ti

Y

Z

X

X

X

u

e

Z

X

X

X

u

e

Z

X

u

e

+ + +

= γ + γ

+ γ

+ γ

−

+

+

= γ + γ

+ γ

+ γ

−

+

+

= γ + γ

+ γ

+

+

(14) 方程式(14)與方程式(4)和(5)為等價關係，γ 等於隨時間變動解釋變項 X 單純不平減或總平減+ 模式的迴歸係數_{γ 。換言之，如果在追蹤資料的成長模式多層次分析中，當不置回隨時間變10} 動解釋變項 X 的組平均數X 時，不管是不平減還是總平減模式，其所估計解釋變項 X 的迴歸i 係數相當於假設隨時間變動解釋變項 X 組間迴歸係數與組內迴歸係數相等下的結果。如果可 以進一步檢定出隨時間變動解釋變項的 X 組間迴歸係數不等於組內迴歸係數時，則方程式(4) 與(5)解釋變項 X 的迴歸係數可能是個偏誤結果。方程式(10)或是方程式(14)的假設都是透過統 計技術的方法，將隨時間變動的解釋變項 X 拆解為兩個互斥的部分，類似變異數分析的組平 均與組內離均差分數，可以各自估計或是設限其迴歸係數。但站在方法論的角度，針對於追 蹤資料的分析莫過於瞭解每個受試者成長軌跡的變化或是隨時間變動解釋變項對結果變項的 影響，因此研究的重點在於組內或是受試者內變項間關係的探討，是否這樣的關係存在所有 的受試者中，所以組平減加組平均數置回的策略是成長模式中較為正確與合理的方法。

六、圖示說明

如果我們將追蹤資料隨時間變動的解釋變項 X 與結果變項 Y 以圖示的方式呈現，以一個 較極端的範例為例，其散布圖可如圖1 所示。圖 1 中共有九個觀測值，其中最左邊三個「×」 符號的資料點代表第1 位受試者、中間三個「◆」符號的資料點代表第 2 位受試者、最右邊三 個「＋」符號的資料點代表第3 位受試者。這 3 位受試者共九個資料點進行隨機截距模式的 多層次分析時，採用總平減或不平減策略的散布圖，這九個資料點間的相對關係沒有改變， 所估計出來的 X 斜率只有一個，且為正的 0.20，這相當於圖 1 中這九個散布點的迴歸線，是 一個正斜率的態勢。

80 隨時間變動變項平減 溫福星 圖1. 隨時間變動解釋變項X與結果變項Y 的散布關係 如果考慮對隨時間變動的解釋變項 X 進行組平減，再將其組平均數置回，則進行隨機截 距模式的多層次分析時，所估計的兩個斜率分別為 X 組平減離均差的斜率與 X 組平均數的斜 率，其斜率關係如圖2 所示。圖 2 中最左邊三個「×」符號的資料點可以估計一條組內迴歸 線、中間三個「◆」符號的資料點亦可以估計一條組內迴歸線、最右邊三個「＋」符號的資料 點也可以估計一條組內迴歸線，這些迴歸線是配適每位受試者重複觀測資料依變項 Y 與解釋 變項 X 而來，因為是固定斜率，所以這三條迴歸線斜率都一樣如圖 2 三條負斜率的實線。此 外，這3 位受試者的重複觀測資料依變項 Y 與解釋變項 X 都可以計算受試者的平均數，其座 標分別為（2, 2）、（5, 3）與（8, 4），這 3 位受試者 Y 與 X 的平均數構成組間迴歸線，如圖 2 中正斜率的虛線。HLM 軟體估計的結果，組內迴歸線斜率為-1.00、組間迴歸線斜率為正 0.33。 而圖1 這九個點的迴歸線斜率 0.20 相當於是-1.00 與 0.33 的加權平均結果，在多層次分析下這 個斜率0.20 既不是組間迴歸係數，也不是組內迴歸係數（Allison, 2005; Fitzmaurice et al., 2011; Kenny et al., 2002）。

二、小結

本節以上的統計模式說明是限制在隨時間變動的解釋變項 X 上，當考慮加入時間變項進 來後，不管這個時間變項的斜率是固定還是隨機，以上有關隨時間變動解釋變項 X 的說明與 公式結果仍然沒變。若再進一步在時間變項的斜率方程式加入不隨機變動的解釋變項 Z 時， 同樣地，以上有關隨時間變動解釋變項 X 的結論還是相同。唯一會造成以上結果不再成立的 條件是對 X 採隨機斜率模式，或是將不隨機變動的解釋變項 Z 加到 X 的斜率方程式中，不管 X 的斜率是固定還是隨機，此時以上相關等價關係的論述則會改變。同時，在橫斷面巢套關係 的MLM 分析，有關個體層次解釋變項與追蹤資料隨時間變動的解釋變項 X 相同，上述不同 平減動作的等價關係一樣適用。 6 5 4 3 2 1 0 Y X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

溫福星 隨時間變動變項平減 ₈₁ 圖2. 隨時間變動解釋變項X與結果變項Y的組內與組間關係

參、實證資料分析演示

一、基本資料介紹

本研究據以分析示範的資料，取自於對全國進行抽樣調查 TEPS 中的公開版（張苙雲， 2003），採用的資料共進行四次（2001、2003、2005、2007 年）的調查。TEPS 中的「國中樣 本」，於 2001 年 9 月對當時的七年級學生進行第一波的資料蒐集，實際共完訪 333 所學校 （1,244 個班級），到了 2003 年下半年再對已升上九年級的同一批學生進行第二次的資料蒐 集，此階段實際共完訪333 所學校（1,938 個班級）；第一波與第二波的國中樣本於 2004 年已 進入高中、高職或五專，第三波繼續追蹤約4,000 名國中樣本學生（張苙雲，2003, p. 14），此 批學生稱為追蹤樣本（core panel, CP）資料，亦即這批學生追蹤至高中／高職及五專的三年級， 也就是在2005 年與 2007 年分別進行第三和第四波的資料蒐集。2001 年的第一波國中樣本資 料原有20,055 筆、到了 2003 年第二波國中樣本資料仍有 19,088 筆；但到了 2005 年，這一群 國中追蹤樣本已經升上高中，基於成本考量下抽樣調查，可追蹤的TEPS 第三波樣本約有 4,000 多筆資料（張苙雲，2003, p. 14），而 TEPS 公開使用版僅釋放資料的 70%，且每一波資料所釋 放的樣本是採隨機的方式，有關TEPS 的詳細介紹，有興趣的讀者可上網查詢（http://www.teps. sinica.edu.tw）。 本研究合併 TEPS 公開版的四次（2001、2003、2005、2007 年）調查資料，用以示範分 析的結果變項有「一般分析能力」，其能力的估計來自於3 參數 IRT（item response theory） 的估計結果，該結果可與各波各學程比較。而隨時間變動的解釋變項，是在這四次調查共有 的困擾題項5 題，分別「不與人交往」、「鬱卒」、「大叫」、「睡不好」與「頭部發麻」， 這5 題是採四點尺度進行施測，1 為「從來沒有」、2 為「偶爾有」、3 為「有時有」、4 為 6 5 4 3 2 1 0 Y X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

82 隨時間變動變項平減 溫福星

「經常有」，本研究以李克特氏量表的方式處理（Likert, 1932; Nunnally & Bernstein, 1994）， 計算每波次每位受試者這5 題的平均數，作為隨時間變動的解釋變項「生活困擾」X。而不隨 時間變動的解釋變項 Z 為「性別」。合併後完整的追蹤資料庫共有 2,779 位受試學生，理論上， 當個人生活困擾愈高時會影響其能力表現，因此在一般分析能力上應該是愈低的分數情況。 初步統計分析結果發現，「一般分析能力」在這四波調查的平均數分別為0.855、1.355、2.244 與2.246，一般分析能力隨著時間的經過是呈現依序遞增現象。而在生活困擾方面，這四波調 查的平均數依序為1.573、2.000、1.877 與 1.888，這四波的資料在第一波為最低的困擾，但在 第二波也就是九年級的時候，生活困擾增加到2.000，然後降到高一的 1.877 與高三的 1.888， 乍看之下，生活困擾是呈現先向上再向下的二次時間曲線關係，為了避免一般分析能力與生 活困擾在時間上的不同趨勢而影響模式的設定與估計，故擷取 2003、2005 與 2007 年的後三 波資料作為示範分析的資料來源，將研究著重在於平減策略的估計與參數意義的解釋說明。 因此，本研究的實證資料分析演示以2003、2005 與 2007 年三波 TEPS 的一般分析能力、 生活困擾與性別為說明，此時共獲得2,781 位受試學生樣本，並將這三波的時間編碼分別設為 0、1 與 2，這三個研究變項的敘述統計量與相關係數如表 1 所示。 表1 研究變項敘述統計與相關係數

研究變項 平均數 標準差 Y2003 Y2005 Y2007 X2003 X2005 X2007 Y2003 1.355 1.445 － Y2005 2.244 1.363 .386 － Y2007 2.246 1.332 .385 .642 － X2003 2.001 0.593 .056 .054 .007 － X2005 1.877 0.606 .044 .040 .045 -.250 － X2007 1.887 0.581 .058 .045 .028 -.229 -.497 Z 0.485 0.500 .079 .070 .067 -.095 -.059 -.061 註：Y 為一般分析能力、X 為生活困擾、X 與 Y 後面的數字代表年度、Z 為性別（男生為 1、女生 為0），粗體的相關係數表未達 .05 顯著水準。 由表1 中可發現男學生比例為 48.5%，一般分析能力在 2003 年較低，為 1.355，然後在 2005 與 2007 年分別為 2.244 與 2.246，有逐年上升的趨勢。在標準差方面，卻是逐年降低的 態勢，分別為1.445、1.363 與 1.332。在生活困擾方面，在 2003 年是最高，為 2.001，在 2005 年降到1.877，但最後在 2007 年稍微上升到 1.887，在這 3 年有向下趨勢。在標準差方面，3 年約略差不多分別為0.593、0.606 與 0.581。在相關係數方面，一般分析能力在 2005 與 2007 年的相關係數最高為 .642，同樣的生活困擾也在 2005 與 2007 年相關係數最高為 .497。一般

溫福星 隨時間變動變項平減 ₈₃ 分析能力與生活困擾的各年度相關係數分別為 .056、 .040 與 .028，其中 2007 年的相關係數 未達 .05 顯著水準。在一般分析能力與生活困擾跨年的相關係數方面，以 2003 年的生活困擾 與2005 的一般分析能力相關係數 .054 為最高，以 2003 年的生活困擾與 2007 的一般分析能 力相關係數 .007 為最低。 進一步將受試者的一般分析能力與生活困擾在 2003、2005 與 2007 年的時間趨勢圖示於 圖3 與圖 4，我們可以發現，在圖 3 與圖 4 的 30 位受試者的成長軌跡有向上、持平與向下的 趨勢。以第14 位受試者為例，在圖 3 的一般分析能力在這 3 年是持平、第 16 位受試者在圖 4 的生活困擾也是持平態勢。另外以第 4 位受試者為例，他在一般分析能力是往上的趨勢，但 在生活困擾方面卻是往下的趨勢，兩者呈現負相關。另外一種負相關的形式如第11 位受試者， 在一般分析能力一開始是低，然後高再向下，而生活困擾一開始是中間，然後低再向上。再 以第19 位受試者為例，他在這 3 年的一般分析能力與生活困擾都是呈現往上的趨勢，兩個變 項之間呈現正相關的態勢。圖3 與圖 4 前 30 位受試者這 3 點資料，分別配適時間的線性趨勢， 其圖示於各個受試者圖上的直線，用來輔助判斷資料的變化趨勢。為了簡化分析與說明，在 加入時間變項的多層次模式中是以線性關係來估計。 圖 3 與圖 4 是受試者的一般分析能力與生活困擾在時間上的變化趨勢，屬於受試者內的 關係。我們如果計算每位受試者在這三個時間一般分析能力與生活困擾的平均數，所獲得的 一般分析能力總平均為1.948、標準差為 1.108，生活困擾總平均為 1.922、標準差為 0.440， 這 2,781 位受試學生的一般分析能力與生活困擾的相關係數為 .071，因人數很多的緣故，達 到 .01 顯著水準，而斜率迴歸係數為 .179。然而，這個相關係數與斜率迴歸係數是屬於受試 者間的關係，不同於圖3 與圖 4 對應相同受試者兩個變項間的受試者內關係。

二、隨時間變動解釋變項的平減策略

本節之後的各模型都在HLM 7.0 版的軟體下估計，採用的估計法為完全最大概似估計法 （full maximal likelihood, FML），所報導的標準誤為一般模型所估計的結果。表 2 為針對方 程式(4)、(5)、(6)的模式進行估計，Level 1 的解釋變項為隨時間變動解釋變項生活困擾（X）， 結果變項為一般分析能力（Y），Level 2 截距項方程式的解釋變項為不隨時間變動的解釋變項 性別（Z），在以下所有的模式估計中，不隨時間變動解釋變項 Z（包含模型四至六的 X 組平 均數）都採取總平減策略，方便所估計的總截距γ00有意義的解釋。模型一至三分別為 X 不平 減、總平減與組平減，而模型四至六為對應模型一至三再加上Level 2 截距項方程式置回 X 的 組平均數，所有模型都設定在隨機截距模型上。 從表 2 的零模型結果可以發現，其組內變異數也就是受試學生重複觀測的變異數為 1.281、組間變異數為 0.801，這個組間變異數 0.801 代表的是 2,781 位受試學生三波一般分析 能力平均數的變異數，換算成組內相關係數（ICC）為 .385。截距項估計值 1.948 代表的是

84 隨時間變動變項平減 溫福星 圖3. 前30位受試者一般分析能力的時間趨勢 圖4. 前30位受試者生活困擾的時間趨勢 2,781 位受試學生平均一般分析能力的平均數，此與上一小節的數據相同。模型一與模型二所 估計的結果除了截距項外，所有參數估計值與離異數都相同，組內與組間變異數都稍微下降 到1.278 與 0.796，生活困擾對一般分析能力的迴歸係數都為-0.045，未達 .05 顯著水準，而性 別在一般分析能力上控制生活困擾後仍有顯著差異，男學生要較女學生高出0.196。兩個模型

86 隨時間變動變項平減 溫福星 主要的差異在於截距項估計值，在性別總平減後模型一的截距項為2.034，而總平減的模型二 則為1.948，與零模型相同。 模型三是對生活困擾進行組平減動作後分析，所得到的離異數要比模型一與二要低為 28,633，生活困擾的迴歸係數為顯著的-0.148，與模型一與二明顯不同，模型一與二的生活困 擾與一般分析能力沒有關係，但模型三卻是生活困擾顯著反向影響其一般分析能力的表現。 此時，因為生活困擾是組平減，與性別的相關為0，因此所估計的性別迴歸係數與生活困擾互 斥，其值為0.199 與模型一與模型二差異不大，但模型一與模型二是控制下的結果，而模型三 則是互斥的結果。在截距項上，所估計的結果與模型二一樣為1.948，但模型三是組平減所以 1.948 是未調整的總平均數，而模型二是總平減，所以截距項 1.948 是調整後的平均數（請參 閱林清山（1992）共變數分析的解釋），剛好這兩個結果一樣。至於在隨機效果方面，組內 變異數為1.276、組間變異數為 0.793，都要比模型一與二稍微小一點。 將生活困擾的組平均數分別置回模型一至三，所估計的結果如模型四至六。模型四至六 的離異數都為 28,615，代表此三種模型是等價關係。首先觀察隨機效果方面，三個模型的組 內變異數都為 1.276、組間變異數都為 0.785，組間變異數要比前面的模型小，主要原因是解 釋變項多了生活困擾的組平均數，可以部分解釋前面模型的變異數。在固定效果迴歸係數方 面，模型四的截距項為2.232，大於模型五與模型六的 1.948，Level 1 生活困擾的迴歸係數在 這三個模型都是顯著的-0.148，此與模型三一樣，代表的是生活困擾對一般分析能力的組內迴 歸係數。而生活困擾的組平均數，模形四與模型五都一樣為顯著的0.350，而模型六是顯著的 0.203，此數據是生活困擾對一般分析能力的組間迴歸係數。組間迴歸係數 0.203 減去組內迴 歸係數-0.148 等於 0.351，剛好與模型四與五的 0.350（四捨五入進位緣故有點差異）差不多， 利用HLM 軟體的對比檢定考驗模型六組間迴歸係數等於組內迴歸係數發現，卡方值為 38.162 達到 .05 顯著水準，說明這兩個迴歸係數是不相等的結果，其差異剛好反應在模型四與五的 生活困擾組平均數的迴歸係數上，也就是模型六兩個迴歸係數的差異反應在模型四與五的 0.350 上。最後，性別對一般分析能力的影響，在控制生活困擾組平均數後，其迴歸係數為 0.217 要高於互斥模型三的0.199，生活困擾組平均數似乎充當壓抑變項的角色。 如果在模型六下，利用HLM 軟體將生活困擾對一般分析能力的組間迴歸係數與組內迴歸 係數設為相等的情況，所估計的結果其迴歸係數剛好等於模型一與二的-0.045，同樣是不顯 著。從這裡的HLM 設限估計發現，不平減與總平減隨時間變動解釋變項的迴歸係數相當等於 設其組間迴歸係數等於組內迴歸係數的結果，當隨時間變動解釋變項的組內離均差分數與組 平均數是分別有意義的解釋變項時，如果他們對結果變項的影響又不相等，對隨時間變動解 釋變項採取不平減或進行總平減的動作、但未置回組平均數的策略，則所估計的迴歸係數可 能是不正確的結果。

溫福星 隨時間變動變項平減 ₈₇

三、加入時間變項的隨時間變動解釋變項的平減策略

如果將時間變項考慮進來，因為時間編碼在這個示範每位受試者都同為 0、1 與 2，此時 部分迴歸係數的意義發生改變，特別是截距項的意義。表3 呈現的是 Level 1 的解釋變項是時 間，將截距項與時間的斜率設為隨機變動，在Level 2 的截距項與時間斜率項方程式放入性別 解釋變項，而生活困擾斜率項方程式則設為固定效果且不放任何解釋變項，進行不同平減策 略的估計比較。 表3 的模型一是成長模式，截距項因為性別經過總平減，所以估計值 1.503 代表的是經調 整後的一般分析能力初始值，或是經過加權平均後的一般分析能力初始值。而性別的迴歸係 數是0.224 達到 .05 顯著水準，此說明男學生在 2003 年的平均一般分析能力要比女學生高出 0.224。時間的斜率是 0.445，因為模型中引進性別虛擬變項，所以這個 0.445 是女學生在這 3 年一般分析能力的平均成長變化率，而性別與時間的跨層級交互作用項斜率為-0.025 未達 .05 顯著水準，此說明男學生一般分析能力的成長變化率要稍微比女學生低，但未達顯著差異可 視為一樣。在隨機效果方面，組內變異數估計值為 0.977、截距項的殘差變異數為 0.965、時 間斜率的殘差變異數為0.106，兩個 Level 2 的變異數卡方值都達 .05 顯著水準。 表3 的模型一至模型三是在 Level 1 加入隨時間變動的解釋變項生活困擾，分別進行不平 減、總平減與組平減動作，並以固定效果設定進行估計。模型一與模型二的離異數是一樣的 27,694，但兩模型截距項估計值不同，分別為 1.471 與 1.502，代表的是當生活困擾為 0 與生 活困擾為1.922 時所調整的 2003 年平均一般分析能力。而性別的差異其迴歸係數估計值為顯 著的 0.226，與成長模型差不多。在時間的變化趨勢上，迴歸係數估計值為顯著的 0.446，也 與成長模型相似，同樣的性別與時間的跨層級交互作用項斜率為-0.025，未達 .05 顯著水準。 在隨時間變動的解釋變項生活困擾對一般分析能力的影響，在控制其他解釋變項後其迴歸係 數估計值為不顯著的0.016。在隨機效果方面，模型一與模型二的結果一樣。 模型三是組平減的估計結果，其離異數要比模型二小，首先截距項與模型二差不多為 1.506，性別的迴歸係數為 0.223 比模型二稍低，時間的斜率是 0.442 同樣比模型二要低一點， 性別與時間的跨層級交互作用項斜率為-0.024 則稍比模型二高，但在生活困擾方面斜率為 -0.051，與模型二是不同的影響方向，雖然未達 .05 顯著水準，其 p 值是 .073 為邊際顯著水 準。隨機效果方面，相較模型二來說，組內變異數較小為0.975、截距項與時間斜率項殘差變 異數稍大，分別為0.967 與 0.107。 在加入不隨時間變動的解釋變項生活困擾的組平均數後，模型四、五與六都獲得相同的 離異數，表示這三個模型是等價的結果，三個模型估計值有差異的地方為截距項與生活困擾 組平均數的迴歸係數，但這兩個參數估計值在三個模型之間是可以透過轉換獲得相同的數 據。模型六生活困擾對一般分析能力的組間迴歸係數與組內迴歸係數分別為0.205 與-0.051， 其中組間迴歸係數達到 .05 顯著水準，而組內迴歸係數與模型三相同仍為不顯著，之所以不

溫福星 隨時間變動變項平減 ₈₉ 顯著的原因來自於組平減的離均差分數與時間變項間有相關的控制結果。若以生活困擾為結 果變項，其時間變項的迴歸係數為顯著的-0.057，原先生活困擾對一般分析能力的影響因為時 間變項的緣故而變得不顯著。將組間迴歸係數0.205 減去組內迴歸係數-0.051 得 0.256，剛好 等於模型四與五的0.256，這個斜率估計值達到 .05 顯著水準，拒絕了組間迴歸係數等於組內 迴歸係數的虛無假設。同樣地，利用HLM 軟體檢定組間迴歸係數等於組內迴歸係數的假設， 獲得的卡方值為21.235，在自由度 1 下也達到 .05 顯著水準。 如果我們更進一步將模型六的組間迴歸係數與組內迴歸係數設為相等的條件下再估計， 所得到的估計值為0.016 不顯著，這個 0.016 估計值剛好等於模型一與模型二隨時間變動解釋 變項生活困擾不平減與總平減的結果。在隨機效果方面，這三個模型估計結果都相同，其中 截距項殘差變異數為0.954 要比模型一到三來得小，主要是因為在 Level 2 截距項方程式中額 外加入了生活困擾組平均數，可以有效降低截距項的變異。

四、隨機斜率下隨時間變動解釋變項的平減策略

在前面兩個小節的示範中，我們是將隨時間變動解釋變項生活困擾的斜率設為固定效果 下的估計結果。在這一小節我們將模型簡化，除了隨時間變動的解釋變項外，將時間變項與 性別從模型中刪除，單純探討將生活困擾的斜率從固定效果設為隨機效果，用來比較不同平 減策略與組平均數置回所估計的差異比較。 表 4 一開始的零模型與表 2 同，模型一與模型二分別是不平減與總平減的估計結果，雖 然在整數位的離異數是相等的，但在小數第二位以後不一樣，顯示這樣的隨機斜率模型不平 減與總平減不是等價的估計結果。首先觀察截距項，模型一是2.049 要比模型二 1.947 大， 2.049 反應的是當受試者生活困擾為 0 時的平均一般分析能力，而 1.947 則是當受試者生活困 擾為1.922 的平均一般分析能力，兩者在解釋上是有差異的。在斜率方面，生活困擾對一般分 析能力的影響兩個模型都是不顯著的-0.053。在隨機效果方面，模型一與模型二在截距項與斜 率項的變異數上，斜率項變異數分別為0.296 與 0.295 差異不大，比較大的不同是截距項變異 數，模型一為2.099、模型二為 0.784。模型一這麼大的變異數是因為在解釋變項生活困擾為 0 時，每位受試者的截距項差異很大，因為生活困擾最小值為0，此時截距項估計值相當是外插 估計一般分析能力的結果。模型二的變異數較小，是因為生活困擾總平減後，每個受試者的 截距項平移到生活困擾為1.922 時的一般分析能力，此時一般分析能力的變異數較小，造成這 樣模型一與模型二的差異，主要原因來自於生活困擾的隨機斜率造成，這也是表 4 和表 2 與 表3 很大的差異所在。 模型三所估計的截距項與零模型相同都是 1.948，但斜率估計值是顯著的-0.145，與模型 一與二有很大的差異。在隨機效果方面，Level 2 的變異數都比模型一與二來得大，截距項變 異數為 0.836、斜率項的變異數為 0.416。模型三的估計結果與模型六差不多，兩者的截距項

溫福星 隨時間變動變項平減 ₉₁ 與生活困擾斜率項的迴歸係數都為1.948 與-0.145，斜率變異數也為 0.416，但截距項變異數稍 降為0.830，主要來自 Level 2 截距項方程式引進生活困擾組平均數的緣故。 模型四與模型五在迴歸係數方面，除了截距項以外都是相同的估計值，生活困擾的組內 迴歸係數估計值為顯著的-0.152，生活困擾組平均數的斜率估計值為 0.323 也達 .05 顯著水準， 但組內迴歸係數-0.152 不等於模型六的-0.145，但模型六的生活困擾組間迴歸係數是顯著的 0.179（正好與第一節以組平均數迴歸的斜率一樣），當模型六的組間迴歸係數減去組內迴歸係 數約略等於模型四與五的0.323，經進行兩者相等的卡方檢定，統計量為 30.148 在自由度 1 下 達到 .05 顯著水準。如果進一步設定生活困擾的組間迴歸係數等於組內迴歸係數，再估計獲 得迴歸係數為不顯著的-0.032，這又和模型一與模型二的迴歸係數-0.053 有所不同。在隨機效 果方面，截距項的變異數都比模型一與二小，分別為2.071 與 0.285，這也是 Level 2 截距項方 程式引進生活困擾組平均解釋變項的緣故。而在斜率項變異數上，模型四與五要比模型一要 小一點，分別為0.285 與 0.284。以上估計結果再配合離異數的比較，模型四、五與六並非是 等價的估計結果，因為隨時間變動解釋變項的斜率設為隨機效果下，使得表2 與表 3 等價的 關係不再被維持，如果模型六是對的模式，則模型四與五的組內迴歸係數可能是高估的結果。

肆、結論與建議

從本研究的統計模式說明與實證資料的示範演示，可歸納為以下幾個研究結論。 第一、在MLM 的成長模型只探討隨時間變動解釋變項對結果變項的影響時，若這個解釋 變項的斜率設為固定效果，在Level 2 截距項方程式不管有無不隨時間變動解釋變項，不平減 與總平減是等價模式，其斜率迴歸係數估計值一樣，且等於組平減時設組間迴歸係數等於組 內迴歸係數的估計結果。如果在理論層次上，隨時間變動解釋變項對結果變項的組間迴歸係 數意義與組內不同時，則這樣的不平減與總平減模式估計值可能是有問題的結果，這個估計 值的意義如同文獻所述，既不反應組間也不是組內的效果。 第二、在第一點的設定下，另外加入隨時間變動解釋變項的組平均數於Level 2 截距項方 程式中，則對隨時間變動解釋變項不平減、總平減或是組平減都獲得相同的離異數結果，顯 示這三個模型是等價關係，有些迴歸係數估計值相同，有些則透過轉換可以計算出相同估計 值。隨時間變動解釋變項的斜率在這三種模型都是相同的組內迴歸係數估計值，組平減的組 平均數估計值是組間迴歸係數，不平減與總平減的組平均數估計值則是組平減的組間迴歸係 數與組內迴歸係數的差，在橫斷面分析稱為脈絡效果。 第三、除了以上的設定外，若在Level 1 方程式同時加入時間變項後，不管這個時間變項 的斜率是設為固定或是隨機，以及不管是否在Level 2 這個時間斜率方程式有無解釋變項，上 述第一點與第二點結論仍適用。

92 隨時間變動變項平減 溫福星 第四、在MLM 的成長模型中，如果將隨時間變動解釋變項的斜率設為隨機效果時，在模 式不管有無置回這個解釋變項的組平均數，對隨時間變動解釋變項不平減、總平減或組平減 動作在部分的迴歸係數估計值相當接近但不一樣，且其模型的離異數不像前面完全一樣，顯 示在這樣隨機斜率情況下，相關統計模式上的等價關係並不完全成立，主要原因來自其隨時 間變動解釋變項的隨機斜率所造成。在不平減與總平減的解釋變項斜率上，其估計值相同但 在隨機效果的變異數則不一樣。 第五、本研究實證資料分析示範中，在隨機截距模型下，Level 1 的隨時間變動解釋變項 是採總平減或組平減時，若Level 2 的解釋變項以總平減方式處理，則最後截距項的意義分別 是調整後與未調整的結果變項總平均數；如果在Level 1 考慮納入時間變項，若時間變項未平 減則截距項的意義分別是調整後與未調整的結果變項初始值。本研究示範的Level 2 解釋變項 性別是虛擬變項，同樣可以進行平減動作，其前述截距項的意義不變，同樣是樣本總平均或 初始值的概念。若二分虛擬變項不進行總平減，那麼截距項的意義則是設虛擬變項為 0 的那 個參考類別的總平均數或是那個參考類別的初始值（其他的 Level 2 解釋變項仍要進行總平 減）。 雖然本研究的研究結論有以上五點，但在示範分析過程中也有一些假設與限制，第一， 本研究的隨時間變動解釋變項生活困擾是根據每波相同五個測量變項所計算平均而來，基本 上是假設這三波五個測量變項為測量恆等的條件，本研究並未特別進行這方面的檢測。第二， 本研究是擷取TEPS 四波調查資料中的後三波資料進行線性關係的演示，或許完整四波成長模 式變項間的關係為非線性關係，但本研究主要探討是統計方法論平減的問題，因此這部分資 料來源的限制並不影響示範分析的結果。第三，本研究個體層次的誤差項是建立在獨立同質 的假設上，只估計一個組內變異數。由於追蹤資料緣故，可能存在誤差項變異數不同質與不 獨立的可能性，在未來研究可以根據實徵資料的檢視採取適當的誤差項共變異數結構，例如 落後一期自我相關進行估計。 根據以上的結論與假設，對未來追蹤資料多層次成長模式分析的研究建議如下： 第一、在Level 1 的方程式中，對隨時間變動解釋變項進行組平減策略，並將其隨時間變 動解釋變項的組平均數置回Level 2 的截距項方程式中，此時隨時間變動解釋變項的組內迴歸 係數捕捉的是受試者在重複觀測資料研究變項間變動的關係，如圖 2 實線所示，而置回的組 平均數如同Level 2 的受試者間解釋變項，作為 Level 2 受試者間研究變項彼此間的控制關係， 以獲得Hofmann 與 Gavin（1998）的遞增效果。 第二、如果時間變項如同隨時間變動解釋變項一樣每個受試者時間都不同時，則可考慮 對時間變項進行組平減，並將時間變項的組平均數置回，一來可減少在多項式時間變項間的 共線性問題，二來探討的是受試者個人成長軌跡的變化。或是根據Fitzmaurice 等（2011）的 建議，考慮第一波初始值的平減，並將第一波初始值的置回，以估計隨時間變動解釋變項對

溫福星 隨時間變動變項平減 ₉₃ 隨時間變動結果變項的橫斷面與縱貫面變動的影響。 第三、在Level 2 方程式中建議對解釋變項進行總平減，這樣可以反應最後截距項的意義 為總平均數的概念，如果有二分虛擬變項同樣適用，若研究目地是想要探討在控制其他變項 下，不同類別總平均數的差異時，則可考慮不對此二分虛擬解釋變項進行平減動作。 第四、對Level 1 所有研究變項進行組平減策略可以反應截距項為結果變項組平均數的概 念，亦可在截距項方程式誤差項變異數上反應控制其他組間解釋變項後組平均數間的差異， 這樣的截距項變異數的意義可以在模型中進行虛假 R2 的比較。而總平減策略的截距項變異 數，雖可解釋為調整後組平均數的變異數，但這還是在組間迴歸係數等於組內迴歸係數假設 相等下的結果。 第五、本研究並未探討隨時間變動解釋變項與組間解釋變項對結果變項的跨層級交互作 用效果，未考慮這個效果的成長模式，主要是關心受試者成長軌跡的變化或受試者內重複觀 測研究變項間關係的整體變化趨勢。若考慮這個跨層次交互作用效果時，相當於表3 中Zi×時 間的效果，即研究是關注在受試者成長軌跡的變化或受試者內重複觀測研究變項間關係的變 化，是否受到受試者間研究變項的調節影響，因此仍然建議對Level 1 隨時間變動解釋變項進 行組平減的操作，再將組平均數置回於截距項方程式中。

誌謝

研究者由衷感謝審查委員對本研究的指正與建議，並感謝TEPS 計畫單位中央研究院、教 育部、國家教育研究院與行政院科技部。

94 隨時間變動變項平減 溫福星

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Centering on the Time-Varying Independent

Variables in Longitudinal Data Analysis

Fur-Hsing Wen

Department of International Business, Soochow University

Abstract

When analyzing repeated measures by using multilevel modeling (MLM) or hierarchical linear modeling (HLM), if the individual-level independent variables include a time-varying variable and it is modeled as uncentered or grand-mean centered in a level-one equation, then this regression coefficient is a biased estimate. Because repeated measures data comprise longitudinal and cross-sectional parts, the total effect of the time-varying independent variable on the individual outcomes can be decomposed into within- and between-subject regression coefficients. Therefore, the optimal approach is to use group-mean centered in a level-one equation and group means replaced in the intercept equation. In some cases (e.g., the random intercepts model), the three methods, namely uncentered, grand-mean centered, and group-mean centered time-varying variable approaches with group means replacement, are equivalent in MLM and HLM. We adopted a statistical model and empirical data analysis to determine the equivalent relationships and differences among the three centered methods and present a conclusion and recommendations.

Keywords: longitudinal data, grand-mean centering, equivalence, random intercepts model, group-mean centering

Corresponding Author: Fur-Hsing Wen, E-mail: wenft@scu.edu.tw