看資優生玩科學玩具
楊惠后
臺 中 市 私 立 曉 明 女 子 高 級 中 學壹、前言
機 緣 下 拜 讀 了 刊 登 在 科 學 教 育 月 刊 第362 期 中 一 篇大 作 科 學 玩具 的 設 計 與整 合(許良 榮 1、周 偉 苓 2、彭 婷 莉 3，2013)， 提 到Guemez,Fiolhais & Fiolhais（2009） 認 為 在 教 學 中 ， 無 論 以 講 述 或 示 範 ， 科 學 玩 具 可 以 引 發 學 生 的 學 習 動 機 ， 並 促 使 學 生 以 科 學 觀 點 玩 玩 具。O'Brien（1993）認 為 科 學 玩 具 可 以 協 助 將 科 學 中 抽 象 的 概 念 ， 轉 化 為 學 生 真 實 生 活 經 驗 的 具 體 概 念 。 因 此 有 不 少 學 者 認 為 利 用 科 學 玩 具 從 事 科 學 教 學 ， 能 讓 學 生 在 快 樂 中 學 習 科 學 原 理，有 事 半 功 倍 的 效 果。O'Brien（1993） 以 及Almqvist（1994） 更 指出 任 何 玩 具都 可 以 具 有 教 育 功 能 。 換 言 之 ， 只 要 能 達 成 培 養 學 生 理 解 科 學 概 念 、 正 向 科 學 態 度 、 養 成 科 學 方 法 ， 以 至 於 解 決 問 題 能 力 、 科 學 創 造 力 等 等 ， 都 可 以 成 為 一 種 「 科 學 玩 具 」。但 是 無 論 如 何，成 為「 科 學 玩 具 」的 首 要 特 徵 是 ： 好 玩 ！ 亦 即 必 須 吸 引 學 生 的 興 趣 ， 使 學 生 願 意 主 動 的 進 行 操 弄 。貳、「科學玩具」的活動課程
今 年 度 筆 者 銜 命 接 下 本 校 國 中 部 一 、 二 年 級 共 七 位 資 優 生 的 外 加 式 數 學 資 優 教 學 工 作 ， 在 上 下 學 期 各 六 次 的 課 後 活 動 中，除 了AMC8 的 預 備 知識 講 授 及 歷屆 試 題 演 練 外 ， 依 著 前 言 的 主 旨 ， 本 人 引 用 或 費 心 設 計 了 六 個 從 玩 中 學 的 操 作 課 程 ， 均 是 利 用 科 學 玩 具(或 教 具 )來 引 導 學 生 主 動 建 構 一 些 數 學 概 念 ， 再 整 理 歸 納 成 一 個 結 論;藉 此 增 強 學 生 解 決 問 題 的 能 力 或 培 養 學 生 的 觀 察 力 及 創 造 力 ， 甚 至 是 數 學 方 面 的 美 感 。 這 些 課 程 分 別 是:(1) 數 謎 (Cryptarithm)、 (2)拉 密 卡 （ Rummikub）、 (3) 珠 璣 妙 算 (Mastermind) 、 (4) 河 內 塔 (Tower of Hanoi)、(5)莫 比 烏斯 帶（ Möbius strip）、 (6)七 巧 板 （ Tangram）。 最 值 得 一 提 的 是 在 數 謎 課 程 結 束 後 ， 我 們 師 生 八 人 利 用 寒 假 時 間 分 別 設 計 出 別 具 巧 思 的 數 謎 ， 並 將 這 些 作 品 結 集 成 冊 ， 取 名 數 謎 曉 集，計 劃 作 為 未 來 永 續 的 教 學 課 程。現 在， 我 將 這 些 科 學 玩 具 的 精 華 內 容 或 成 果 摘 要 如 下 ， 並 懇 請 不 吝 賜 教 。一、數謎
(Cryptarithm)
所 謂 「 數 謎 」 是 一 個 算 術 問 題 裏 ， 以 字 母 代 替 數 字 構 成 謎 面 。 謎 題 就 是 去 找 出 原 來 的 數 字 。 每 一 個 字 母 代 表 一 個 確 定 的 阿 拉 伯 數 字 ， 且 每 一 個 阿 拉 伯 數 字 僅 有 一 個 字 母 為 其 值 。 最 有 趣 的 數 謎 往 往 能 夠 形 成 某 種 英 文 上 的 意 義 ！ 在 日 本 也 有 不 少 學者 精 通 漢 文 ， 他 們 把 中 國 古 代 詩 詞 中 的 名 言 佳 句 與 「 蟲 食 算 」 結 合 起 來 ， 製 作 了 一 些 風 格 優 異 的 小 品 。 遊 戲 規 則 是 每 題 中 不 同 的 國 字 代 表 不 同 的 阿 拉 伯 數 字 ， 讀 者 必 須 找 出 滿 足 這 些 聯 立 方 程 組 的 解 。(楊 惠 后,2008)學 生 們 設 計 出 數 謎 或 蟲 食 算 ， 並 提 供 答 案;隨 後 我 再 指 導 她 們 :因 為 要 兼 顧 設 計 有 意 義 的 謎 面 ， 所 以 往 往 沒 有 注 意 到 要 儘 可 能 用 到 十 個 不 同 的 字 母 ， 因 此 每 一 道 題 都 有 多 組 解;然 而 若 能 把 解 全 都 求 出 來 ， 也 意 味 著 邏 輯 思 考 能 力 、 細 心 及 耐 力 有 不 凡 之 處 吧 。 最 後 ， 我 們 將 每 一 道 題 根 據 謎 面 含 意 再 配 合 適 當 的 美 工 圖 案 ， 增 強 其 閱 讀 性 。 現 在 ， 希 望 各 位 讀 者 也 有 興 趣 挑 戰 我 們 所 設 計 的 題 目(如 圖 1)，參 考 答案 見 附 錄 。
二、拉密卡（Rummikub）
拉 密 卡 （Rummikub ） 是 一 種 適 合 2 至 4 人的 桌 上 遊戲 ， 由 以 色列 人 Ephraim Hertzano 於 1930 年設 計 ， 曾獲 得 1980 年 德 國 年 度 最 佳 遊 戲（Spiel des Jahres）及 1983 年 荷 蘭 年 度 最 佳 遊 戲 。 由 於 拉 密 牌 組 合 的 方 式 有 點 類 似 麻 將，所 以 有「 以 色 列 麻 將 」 之 稱 。 玩 拉 密 卡 可 以 讓 腦 子 不 斷 的 做 數 字 組 合 或 分 解 或 重 組 ， 挑 戰 更 多 的 可 能 性 ， 還 能 從 遊 戲 當 中，讓 注 意 力 更 加 集 中。(如 圖 2) 1. = + = 相去 日 已遠 衣帶 日 已緩 取 自 古 詩 十 九 首 (林 宸 安 設 計 ) 2. = = 飄飄－何 所以 天地－一 沙鷗 取 自 杜 甫 旅 夜書 懷 (黃 郁 文 設 計 ) 3. 醉 漢 BEER + MEN SOTS (傅 宣 雅 設 計 ) 4. 堅 持!就 有 用 . GOOD － FOR ...YOU (陳 韋 蓁 設 計 ) 5. 繽 紛色 彩 .B L A C K + BROWN .C O L O R (吳 育 禎 設 計 ) 6. 可 愛的 動 物 … LION － PIG ... ZOO (汪 可 晴 設 計 ) 7. 貓 狗ㄧ 家 親 . .DOG + CAT ..SOTS (黃 郁 文 設 計 ) 8. 日 月潭 .SUN + MOON L A K E (姜 知 言 設 計 ) 9. 美 麗的 地 球 OCEAN + LAND EARTH (楊 惠 后 設 計 ) 10. 美味 的 水 果 L I M E + APPLE .FRUIT (楊 惠 后 設 計 ) 11. 傑克 與 魔 豆 J A C K + B E A N .GIANT (楊 惠 后 設 計 ) 12. 和諧 的 樂 音 T U N E + TEMPO MUSIC (楊 惠 后 設 計 ) 圖 1 數 謎圖 2 學 生玩 拉 密 卡 ，專 注 的 神 情
三、珠璣妙算(Mastermind)
珠 璣 妙 算(Mastermind)是 一 種 可 供 兩 名 玩 家 使 用 的 密 碼 破 譯 棋 盤 遊 戲 ( 見 下 圖)。 在 1970 年 由 Mordecai Meirowitz 發 明 ， 他 是 一 位 以 色 列 郵 政 和 電 信 專 家 ， 但 是 遊 戲 類 似 早 期 一 種 利 用 鉛 筆 和 紙 進 行 的 遊 戲，遊 戲 名 稱 為「 公 牛 和 母 牛 」，可 能 追 溯 到 一 個 世 紀 或 更 長 時 間 。 我 鑒 於 教 具 取 得 不 易 ， 所 以 讓 學 生 利 用 彩 色 筆 和 「 珠 璣 妙 算 紙 」 來 操 作 遊 戲 。 遊 戲 背 後 的 數 學 概 念 是 排 列 組 合 ， 所 以 當 遊 戲 告 一 段 落 後 ， 我 也 提 供 一 些 排 列 組 合 的 數 學 習 題 給 學 生 演 算 。(圖 3)四、河內塔(Tower of Hanoi)
1883 年法 國 數 學家 Edouard Lucas 在 歐 洲 的 一 份 雜 誌 上 介 紹 了 一 個 相 當 吸 引 人 的 智 力 遊 戲 ， 這 個 遊 戲 名 為 河 內 塔(Tower of Hanoi)， 從 此河 內 塔 便 成為 一 個 家 喻戶 曉 的 科 學 玩 具 。 它 不 僅 是 一 個 很 棒 的 遞 迴 函 數 的 教 學 範 例 ， 更 有 一 個 神 祕 的 宗 教 故 事 增 添 它 的 迷 人 之 處( 我 就 不 再 冗 言 赘 敘)。學 生 1~2 人 分 組操 作 河內 塔 教 具，反 應 非 常 熱 烈 ， 多 人 上 臺 演 示 說 明 河 內 塔 的 規 則 性 ， 為 珍 視 思 想 的 原 創 性 ， 學 生 均 提 出 不 同 的 看 法 、 解 法 ， 這 意 味 著 她 們 並 沒 有 急 著 從 書 本 、 網 路 去 尋 找 一 致 性 的 制 式 答 案 ， 也 因 為 執 著 投 入 的 特 性 ， 有 一 位 學 生 很 有 耐 心 的 操 作 8 片 圓 盤 到 255 次 ，收 集 1~8 片 的 圓 盤的 搬 移 次 數，藉 此 觀 察數 字 有 何 規 則 性;同 學 們 對 於 她 的 耐 心 都 甘 拜 下 風 。(圖 4)2 人 一 組 輪流 玩 珠 璣 妙算 用 最 少 次數 2 次 就 成 功 了 !真 厲 害!! 圖 3 珠 璣妙 算
五 、 莫 比 烏 斯 帶 （Möbius strip） 莫 比 烏 斯 帶（Möbius strip）是 一 種 拓 撲 學 結 構 ， 它 可 以 用 一 個 長 方 形 紙 帶 旋 轉 (半 圈 )， 再 把 兩 端 粘 上 之 後 ， 輕 而 易 舉 地 製 作 出 來(見 下 圖 )； 接 著 你 可 以 用 一 枝 筆 在 莫 比 烏 斯 帶 上 沿 著 它 的 邊 畫 線 ， 就 會 很 容 易 地 發 現 莫 比 烏 斯 帶 只 有 一 個 面 和 一 個 邊。(因 為一 般 而言，一 個 紙圈 是 有 二 個面 和 二 個 邊)。如 果原 紙 帶 的 邊長 為 L，則 莫 比 烏 斯 帶 的 邊 長 為 2L。莫 比烏 斯 帶 是 由兩 位 德 國 數 學 家 莫 比 烏 斯（August Ferdinand Möbius） 和 約 翰 .李 斯 丁 (Johann Benedict Listing)在 公 元 1858 年 分 別 發現 的 。 學 生 觀 看 完 網 路 的 莫 比 烏 斯 帶 影 片 後 ， 再 親 自 裁 製 莫 比 烏 斯 帶 並 記 錄 其 變 化 的 規 則 性(見 圖 五 的 圖 表 )， 初 次 接 觸 拓 樸 新 世 界;而 且 經 由整 理 過 的 講義 內 容，一 窺 莫 比 烏 斯 帶 在 許 多 領 域 的 應 用 ， 包 括 改 良 機 械 的 傳 動 皮 帶 、 以 及 在 工 藝 設 計 、 文 學 方 面 、 藝 術 方 面 、 建 築 物…等 等 ， 以 開 擴 視 野 。(圖 5) 圖 5 學 生製 作 莫 比 烏斯 帶 沿 邊 1 n處 剪 開 紙 帶 的 個 數 扭 轉 度 數 紙 帶 的 邊 長 邊 數(面 數 ) 新 紙 環 與 莫 氏 帶 的 寬 度 比 1 2 1 3 1 4 1 5
六、七巧板（Tangram）
七 巧 板 （Tangram， 見 右 圖 )的 歷 史 也 許 應 該 追 溯 到 我 國 先 秦 的 古 籍 《 周 髀 算 經 》，其 中 有 正 方 形 切 割 術，並 由 之 證 明 了 「 勾 股 定 理 」。而 當 時 是 將 大 正 方 形 切 割 成 四 個 同 樣 的 三 角 形 和 一 個 小 正 方 形(所 謂 的「 弦 圖 」)，還 不 是 七 巧 板。現 在 的 七巧 板 是 經 過 一 段 歷 史 演 變 過 程 的 。 七 巧 板 的 玩 法 有4 種 ： ①依 圖 成 形 ，即 從 已 知 的圖 形 來 排 出 答 案 ； ② 見 影 排 形 ， 從 已 知 的 圖 形 找 出 一 種 或 一 種 以 上 的 排 法 ； ③ 自 創 圖 形 ， 可 以 自 己 創 造 新 的 玩 法 、 排 法 ； ④ 數 學 研 究 ， 利 用 七 巧 板 來 求 解 或 證 明 數 學 問 題 。 七 巧 板 按 不 同 的 方 法 拼 擺 、 組 合 可 以 拼 排 成 各 式 各 樣 的 幾 何 圖 形 和 形 象 ， 如 橋 梁 、 船 隻 、 房 屋 、 手 鎗 或 是 跑 步 、 跌 倒 、 玩 耍 、 跳 舞 、 站 立 的 人 物 以 及 戲 水 的 魚 、 貓 、 狗 等 ， 還 有 數 字 及 字 母 ， 看 似 簡 單 實 則 頗 具 有 挑 戰 性 。 學 生 除 了 利 用 電 腦 網 站<TANGRAM 七 巧 板>或<行 政院 全 球 資 訊網--兒 童 版-益 智 七 巧 板>來 操 作 七 巧 板遊 戲 ;在 數 學研 究 方 面 ， 則 試 著 算 出 七 巧 板 中 每 一 塊 圖 形 的 邊 長 比 及 角 度 ， 並 利 用 七 巧 板 拼 出 13 種 凸 多 邊 形 。 這 些 規 劃 的 課 程 ， 都 是 希 望 藉 助 簡 單 的 童 玩 ， 促 使 學 生 以 科 學 觀 點 玩 玩 具;養 成 正 向 的數 學 學 習 態度，以 至 於解 決 問 題 的 能 力 及 創 造 力 。參考文獻
許 良 榮 、 周 偉 苓 、 彭 婷 莉(2013) 科 學 玩 具 的 設 計 與 整 合 科 學 教 育 月 刊 第 362 期 P.22~P.23 楊 惠 后 (2008)「五 餅 二 魚」-談 數 學 教 學分 享 科 學 教 育 月 刊 第 310 期 P.23~ P.24 拉 密 牌—維 基 百科 河 內 塔—九 章 出版 社 的 網 路資 料 莫 比 烏 斯 帶—網 路 資料 及 影片 七 巧 板—維 基 百科附錄
1. 1. 84 5 79 80 5 16 2. 73 5 68 70 5 14 3. 63 4 9 5 68 4 17 4. 61 2 59 68 2 34 5. 81 2 79 86 2 43 6. 71 2 69 78 2 39 7. 71 2 69 70 2 35 8. 73 4 69 72 4 18 9. 93 6 87 90 6 152. 3 1. 4882 2. 6221 3. 6442 4. 7113 + 183 + 826 + 945 + 915 5065 7047 7387 8028 4. 當 G=1、O=0 時 5 40281 40285 + 46795 + 46791 87076 87076 6 1. 1059 2. 1059 3. 1038 4. 1038 - 804 - 204 - 605 - 405 255 855 433 633 5. 1039 6. 1039 7. 1037 8. 1037 - 806 - 206 - 804 - 204 233 833 233 833 7 1. 540 2. 650 3. 650 4. 650 + 132 + 243 + 173 + 193 672 893 823 843 5. 640 6. 640 7. 740 + 152 + 153 + 156 792 793 896 (F ,Y) (2,8)、 (8,2) (3,7)、 (7,3) (6,4)、 (4,6) (D ,R,U) (9,6,3)、 (9,3,6) (7,4,3)、 (7,3,4) (9,5,4)、 (9,4,5) (9,4,5)、 (9,5,4) (8,2,6)、 (8,6,2) (9,7,2)、 (9,2,7) (8,5,3)、 (8,3,5) (7,5,2)、 (7,2,5) 1. 49 1 50 27 6 33 2. 13 7 20 46 9 55 3. 74 6 80 19 3 22 4. 86 4 90 17 5 22 (P.S.上面 各 組解 的 減 數 與差 的 個 位 數均 可 互 換 ，產 生 另 外 三組 解。 )
8 1. 931 2. 762 3. 473 + 6551 + 8552 + 8553 4782 9314 9026 4. 964 5. 794 6. 794 + 2114 + 5224 + 5334 3078 6018 6128 9 84912 86912 + 6125 + 4125 91037 91037 10 4725 4615 + 86645 + 87745 91370 92360 11 8624 7624 + 7069 + 8069 15693 15693 12 6125 6105 + 15709 + 65729 71834 71834
