數學 C ( Ⅱ ) 第一章 1-4 分式與根式的運算

1-4

分式與根式的運算

=== 第四章 不等式及其應用 ===

===

2 試化簡 3 4 2 1 2 1 x x x x − + − + 。 2 2 2 2 2 3 4 2 1 2 1 3 (2 1) (2 1)(4 ) 6 3 2 9 4 (2 1)(2 1) (2 1)(2 1) (2 1)(2 1) (2 1)(2 1) 4 12 4 4 12 4 (2 1)(2 1) 4 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + − + + − − + − + − = + = + − + − + − + − + + − + − = = − + − 。

試化簡

5

2

1

2

3

x

x

x

+

−

+

−

。

2 2

5

2 1 5(

3) (2 1)(

2)

2

17

2

3

(

2)(

3)

6

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+

− − +

+

− −

−

=

=

+

−

+

−

− −

。

1-4 分式與根式的運算 2

4 分解 1 ( 1)( 3) x x x − + + 為數個部分分式的和。 設 1 ( 1)( 3) 1 3 x A B x x x x − _{= +} + + + + （左右同乘 (x +1)(x + ）3) 則 x − =1 A x( + +3) B x( + =1) (A + B x) + (3A + B)， 比較係數得 1 1 , 2 3 1 A B A B A B + = ⎧ ⇒ = − = ⎨ _{+ = −} ⎩ ， 即 1 1 2 ( 1)( 3) 1 3 x x x x x − − = + + + + + 。 1-4 分式與根式的運算

分解

4

7

(2

1)(

4)

x

x

x

+

−

+

為數個部分分式的和。

4 7 (2 1)( 4) 2 1 4 x A B x x x x + _{= +} − + − + 4x 7 A x( 4) B(2x 1) (A 2 )B x 4A B ⇒ + = + + − = + + − 2 4 2 4 7 1 A B A A B B + = = ⎧ ⎧ ⇒ _⎨ ⇒ _⎨ − = = ⎩ ⎩ 4 7 2 1 (2 1)( 4) 2 1 4 x x x x x + ⇒ = + − + − + 。 1-4 分式與根式的運算 4

6

分解

3

2

₂

(

1)

x

x

−

+

為數個部分分式的和。

2 2 2 2 2 3 2 3( 1) 5 3( 1) 5 3 5 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) x x x x x x x x x − + − + − − = = + = + + + + + + + 。 1-4 分式與根式的運算

分解 6 1₂ (2 1) x x + − 為數個部分分式的和。 2 2 2 2 2 6 1 3(2 1) 4 3(2 1) 4 3 4 (2 1) (2 1) (2 1) (2 1) 2 1 (2 1) x x x x x x x x x + ₌ − + ₌ − _{+ = +} − − − − − − 。 1-4 分式與根式的運算 6

8 若 ₂ 2 3 ₂ ( 1)( 1) 1 1 x Ax B C x x x x + ₌ + ₊ + + + + ，其中 A , B , C 為常數，試求出 A , B , C。 2 2 2 3 ( 1)( 1) 1 1 x Ax B C x x x x + + = + + + + + （同乘 2 (x +1)(x + ）1) 2 2x 3 (Ax B x)( 1) C x( 1) ⇒ + = + + + + 2 (A C x) (A B x) B C = + + + + + 1 2 0 0 2 3 5 5 2 2 2 2 3 1 2 A A C A B A B C B B C C ⎧ = − ⎪ + = ⎧ _⎪ + + ⎪ ⎪ ⇒ _⎨ + = ⇒ + + = = ⇒ _⎨ = ⎪ _{+ =} ⎪ ⎩ _{⎪ =} ⎪⎩ 。 1-4 分式與根式的運算

若 ₃2 ₂ 1 1 1 A Bx C x x x x + = + + + − + ，其中 A , B , C 為常數，試求出 A , B , C。 3 2 2 1 1 1 A Bx C x x x x + = + + + − + 2 2 2 A x( x 1) (Bx C x)( 1) (A B x) ( A B C x A C) ⇒ = − + + + + = + + − + + + + 2 3 0 2 0 3 2 4 A A B A B C B A C ⎧ = ⎪ + = ⎧ _⎪ ⎪ ⎪ ⇒ − + + = ⇒_{⎨ ⎨} = − ⎪ _{+ =} ⎪ ⎩ _{⎪ =} 。 1-4 分式與根式的運算 8

10 化簡 3 3 3 3 2 54 − 128 + 3 2 − 16 。 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 54 128 3 2 16 2 3 2 4 2 3 2 2 2 6 2 4 2 3 2 2 2 − + − = × − × + − × = − + − 3 3 2 =

。

1-4 分式與根式的運算

化簡

2 27

1

48

12

2

−

+

。

1

2 27

48

12 6 3 2 3 2 3 6 3

2

−

+

=

−

+

=

。

1-4 分式與根式的運算 10

12 試計算(1)( 2 + 3)(2 3 − 2) (2) 2 2 6 3 + − 之值。

(1)

( 2

+

3)(2 3

−

2)

2 2 3

2

2

3 2 3

3

2

=

×

−

×

+

×

−

×

2 6 2 6

6

6 4

=

− + −

=

+ 。

(2)

2

2

2

2

6

3

6

3

6

3

6

3

+

₌

+

_×

+

−

−

+

2 2

2 6 2 3 2 3

6

3 6 4 3

3

6

3

+

+

+

+

=

=

−

。

1-4 分式與根式的運算

試計算(1)(2 2 − 5)( 10 1)+ (2)3 2 2 1 + − 之值。

(1)(2 2

−

5)( 10 1)

+

2 20

2 2

50

5

=

+

−

−

4 5

2 2

5 2

5

3 5

3 2

=

+

−

−

=

−

。

(2)

3

2

2 1

2 1

2 1

+

_×

+

−

+

3 2

3 2

2

=

+ + +

1-4 分式與根式的運算 12

14 試化簡下列雙重根號 (1) 4 2 3+ (2) 7 − 48。 (1) 設 4 + 2 3 = (a + b) + 2 ab 4 3 , 1 3 a b a b ab + = ⎧ ⇒ _⎨ ⇒ = = = ⎩ （因為 a > b） 2 4 2 3 ( 3 1) 3 1 ⇒ + = + = + 。 (2) 設 7 − 48 = 7 − 2 12 = (a + b) − 2 ab 7 4 , 3 12 a b a b ab + = ⎧ ⇒ _⎨ ⇒ = = = ⎩ （因為 a > b） 2 7 2 12 ( 4 3) 4 3 2 3 ⇒ − = − = − = − 。 1-4 分式與根式的運算

試化簡下列雙重根號 (1) 6 + 2 5 (2) 18 8 2− (3) 20 5 12+ 。 (1) 6 2 5+ = (5 1) 2 5 1+ + × 5 1 5 1 = + = + 。 (2) 18 8 2− = 18 2 32− (16 2) 2 16 2 16 2 4 2 = + − × = − = − 。 (3) 20 5 12+ = 20 2 75+ 1-4 分式與根式的運算 14