中學生通訊解題第十二期參考解答與評析
台北市立建國高級中學 數學科
問題編號 901201
1352463 572-2 1352464682-1 (2) 1353574 682-3 1353575 792-4 A(1,1 )A(1,2)A(2,1)A(2,2) (1) 1324 135724684681057911 4-113572468357 957911 4-2 (1)有一個 33 的正方形，裡面有 9 個單位方格。若在這 9 個單位方格中填入正整 數1~9(數字可重複)，使得相鄰兩數(只有頂點相交的兩個方格不算相鄰)之差不 大於2，請問最多可填入多少個不同的數？ (2)若將(1)的問題改為在 nn 的正方形所 形成的n2個單位方格中，填入正整數 1~n2(數字可重複)，使得相鄰兩數(只有頂 點相交的兩個方格不算相鄰)之差不大於 2，請問最多可填入多少個不同的數？ 參考解答： 設A(m,n)代表第 m 列，第 n 行的單位方格中所填入的數字。 如圖 原則：1.為了可以填入最多不同的數字，可以從 A(1,1)開始填，愈往右填，愈 往下填，數字要愈大。故最右邊最下面一格數 字最大 2.不失一般性，可設 A(1,1)＝1 3. f(n) 4n3 考慮圖（1）那樣的 2
2 方形。很明顯， A(1,1)和 A(2,2)相差最多是 4。如果相差 4，A(2,1)，A(2,2)兩數與 A，與 B 都相差 2。 故A(2,1)＝A(1,2)。只有相差 3，這四個數才能 都不相同。 對圖（2）的 3
3 方形因為 A(1,1)＝1，故 A(3,3)最多可填 9，如圖 2-4。若如此，則此 3
3 的方形最多只能填 1,3,5,7,9 五個不同的數， 而且方形若擴大下去，2 跟 4 這兩個數也補不 回來（往右，往下，數字得愈來愈大）。所以 雖然A(3,3)=9，它的效力最多等同 7。 圖2-1，圖 2-2，圖 2-3 都填入了 7 個不同的數字，這是 3
3 方形中最多可填入 的不同數字數，故f(3)=7。 但圖2-3 的填法，2 永遠補不回來。A(3,3)=8 的效力最多等同 7，故也不採納。 2而圖2-1 與圖 2-2 雖都填入 7 個不同數字，我們選擇圖 2-1，因為 A(3,3)愈大， 愈可能填入更多不同的數，且該3
3 方形中所缺的 7，稍後可以補回來。請看 圖4-1，圖 4-2，當方形擴大至 4
4 時，二圖的 A(4,4)皆為 11，但圖 4-1 有 11 個不同的數，而圖4-2 只有 10 個，故 f(4)=11。 若要填5
5 方形，先將 4
4 方形中之 A(4,4)盡量填到最大（為 12），然後將 A(5,5)填 15，則 1-15 這十五個數全部都可以填進去。（見圖（5））故 f(5)＝15。 同理若要填nn 方形，先將(n1)
(n1)方中之 A(n1,n1)填到最大 4(n2)，然 後將A(n,n)填(4n5)，則 1-(4n-5)這(4n-5)個數全部都可以填進去（見圖 （6））。即當 n3 時，f(n)=4n-5。 f(1)＝1 f(2)＝4 f(n)=4n-5，當 n3 時。 至於f(n)有可能等於 4n-4 嗎？因為左上的 2
2 方 形 已是最佳狀況（若A(2,2)=5，則 A(2,1)=A(2,2)永遠 補不回2） 若要使A（n,n）=4n-4,A(k,k)與 A(k+1,k+1)，當 k2 時，必定要差 4， 若然，則(4n-3)這個奇數補不進來。f(n) 4n-4-1=4n-5 f(n)有可能等於 4n-3 嗎？若然，則A(k,k)與 A(k+1,k+1)都差 4(kN),A(I,j)則全是奇數i,jN，全部的偶數 皆補不進來即f(n)4n-3-2=4n-5 當 n3 時 故f(n)=4n-5(n3)為最大值。 解題重點： 1.多試幾個例子，猜測其一般式。 2.給自己的猜測一個實際的填法。 3.證明不可能有更佳的答案。 評析： (1)本題參答人數共有 12 位，平均的分數為 3.08，得分率 44.05﹪。 寫出正確答案的有：北縣秀峰高中國中部張家維，東湖國中賴昱臣，板橋海 山國中張源平，福和國中楊智寰。 3 1357246846810681012 (5) 910121479111315 2n-12n2n+2. . .4n-62n-32n-12n+1…4n-74n-5 (6) 135…2n-3246…2n-2468… 2n. . .. . .. . .. . .2n-42n-22n…4n-8 1 3 2 4
問題編號 901202
如圖，梯形ABCD 中，ABD 與ACD 的面積比為 4：1，BE為ABD 的中線， 試求AEF 與梯形 ABCD 的面積比。 參考解答： 解法一：此解法由明德國中王琨傑同學提供 ∵ABCD 是梯形∴ΔABD＝ΔABC，ΔACD＝ΔBCD 設ΔACD＝ΔBCD＝x，ΔABD＝ΔABC＝4x梯形 ABCD ＝5x 連,∵ EA DE ＝1ΔCDE＝ΔAEC= 而 = CF AF ＝ ＝ = 5 4 2 1 2 2 x x x x ∴ΔAEF＝‧ = ΔAEF：梯形 ABCD＝：5x＝：5＝2：45。 解法二：此解法由台南建興國中黃信溢同學提供 ∵∴：＝SΔACD：SΔABD＝1：4
(SACD、SΔABD分別代表ACD、ABD 的面積)
又因為 ΔCGD～ΔABG 所以：＝：=：=1：4
在DBE 中，利用孟氏定理得
=1，即
＝1 ：=1:8故SΔAEF：S梯形ABCD＝SΔABE
：S梯形ABCD＝SΔABD
：S梯形ABCD＝S梯形ABCD
：S梯形ABCD＝2：45解法三： 延長¯，¯相交於 G 點如圖（一） ∵，= ∴ΔDEGΔABE 故SΔACD：SΔABD＝：＝：＝1：4， 又因為GFC~BFA， 所以：＝（1+4）：4＝5：4＝¯：¯ ∴¯：¯＝：（
）=8:1，如同解法二 SΔAEF：S梯形ABCD＝2：45 5 A B D C E F D C A B E F D C A B E G F A B C D E F G解題重點： 1. 三角形面積比的基本性質。 2. 相似三角形的性質。 評析： 1.本題參答人數計有弘道國中賴楷文，海山國中張源平 21 位，平均得分 為 6.86 分，平均得分率 98﹪。 2.本題參與者幾乎都能完整解題，有些簡潔易懂，有些轉換較繁瑣，但各有 不同，都是有思考、有創意之作。 3.本題參與徵答者完全以面積比例作答者計有明德國中王琨傑，大直國中陳 俊曄等 5 人，做平行線當輔助線作答者計有福和國中吳霽庭，介壽國中蔡佳 珍等 14 人，能知引用孟氏定理作答者計有建興國中黃信溢，南門國中李舒平 等 2 人。 問題編號 901203 6
(1)如圖一，有 4 個銅板，正反面交錯，一個接著一個排成一直線。每次移動時 把相鄰的兩個銅板交換，使得這4 個銅板最後變成圖二的情形，請問最少要 移動多少次？ (2)請推廣這個問題到 n 個銅板的情形，並說明最少要移動多少次？ 參考解答： 解法一： 設有 n 個正面，n 個反面交錯排成一直線最少須 an次 (1)當 n=2 時，a2= 3=a12 正反正反 1.正反反正 2.反正反正 3.反反正正 (2)當 n=3 時，a3=6=a2+3 正反正反正反 1.正反正反反正 1.正反正反反正 2.正反反正反正 2.正反反正反正 3.反正反正反正 3.正反反反正正 ****** 4.反反正正反正 4.反正反反正正 5.反反正反正正 5.反反正反正正 6.反反反正正正 6.反反反正正正 (3)當 n =4 時，a4=10=a3+4 正反正反正反正反 1.正反正反正反反正 1.正反正反正反反正 2.正反正反反正反正 2.正反正反反正反正 3.正反反正反正反正 3.正反正反反反正正 ****** 4.反正反正反正反正 4.正反反正反反正正 5.反正反正反反正正 5.正反反反正反正正 6.反正反反正反正正 6.正反反反反正正正 ******* 7.反正反反反正正正 7.反正反反反正正正 8.反反正反反正正正 8.反反正反反正正正 9.反反反正反正正正 9.反反反正反正正正 10.反反反反正正正正 10.反反反反正正正正 7 正 反 正 反 反 反 正 正 圖一 圖二 圖一 圖二
(4)當 n=5 時，a5=15=a4 5 因為 第 10 步時為 正反反反反反正正正正，再將最左邊的正移到中間， 共需 5 步，所以需 15 步 (5) a2= 3=a12 a3=6=a2+3 a4=10=a3+4 a5=15=a4 5 an an1n 等式左邊、右邊分別相加，得 2 a +a3+a4+a5+---an a1+a2+a3+a4+---+an1+2+3+4+5+---+n 等式兩邊削去 a2+a3+a4+---+an1，得 an 1+2+3+4+5+6+---+n = 2 ) 1 (n n 解法二：此解法由東湖國中賴昱臣同學提供 ⊙：反面，⊕：正面 ⊕⊙⊕⊙→⊙⊕⊙⊕→⊙⊙⊕⊕共三次 二次 一次 ⊕⊙⊕⊙⊕⊙→⊙⊕⊙⊕⊙⊕→⊙⊙⊕⊙⊕⊕→⊙⊙⊙⊕⊕⊕共六次 三次 二次 一次 ⊕⊙⊕⊙⊕⊙⊕⊙→⊙⊕⊙⊕⊙⊕⊙⊕→⊙⊙⊕⊙⊕⊙⊕⊕ 四次 三次 →⊙⊙⊙⊕⊙⊕⊕⊕→⊙⊙⊙⊙⊕⊕⊕⊕共十次 二次 一次 銅板數 4 6 8 n(n 為偶數) 次數 1+2＝3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+ …+= 8
⊕⊙⊕⊙⊕→⊙⊕⊙⊕⊕→⊙⊙⊕⊕⊕共三次 二次 一次 ⊕⊙⊕⊙⊕⊙⊕→⊙⊕⊙⊕⊙⊕⊕→⊙⊙⊕⊙⊕⊕⊕→⊙⊙⊙⊕⊕⊕⊕共六次 三次 二次 一次 ⊕⊙⊕⊙⊕⊙⊕⊙⊕→⊙⊕⊙⊕⊙⊕⊙⊕⊕→⊙⊙⊕⊙⊕⊙⊕⊕⊕ 四次 三次 →⊙⊙⊙⊕⊙⊕⊕⊕⊕→⊙⊙⊙⊙⊕⊕⊕⊕⊕共十次 二次 一次 銅板數 5 7 9 n(n 為奇數) 次數 1+2＝3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+ …+= 9
∴當 n 為偶數時，要移動次 當n 為奇數時，要移動次 解法三：此解法由福和國中吳霽庭同學提供 ⊕⊙→⊙⊕｜⊙⊕一次 （圖一） ⊕⊙⊕⊙→⊙⊙⊕⊕｜⊙⊕⊕⊙，⊙⊕⊙⊕，⊙⊙⊕⊕三次（圖二） ⊕⊙⊕⊙⊕⊙→⊙⊙⊙⊕⊕⊕｜⊙⊕⊕⊙⊕⊙，⊙⊕⊙⊕⊕⊙，⊙⊕⊙⊕⊙⊕， ⊙⊙⊕⊕⊙⊕，⊙⊙⊕⊙⊕⊕→⊙⊙⊙⊕⊕⊕六次（圖三） ⊕⊙⊕⊙⊕⊙⊕⊙→⊙⊙⊙⊙⊕⊕⊕⊕｜⊙⊕⊕⊙⊕⊙⊕⊙，⊙⊕⊙⊕⊕⊙⊕⊙， ⊙⊕⊙⊕⊙⊕⊕⊙，⊙⊕⊙⊕⊙⊕⊙⊕，⊙⊙⊕⊕⊙⊕⊙⊕，⊙⊙⊕⊙⊕⊕ ⊙⊕，⊙⊙⊕⊙⊕⊙⊕⊕，⊙⊙⊙⊕⊕⊙⊕⊕，⊙⊙⊙⊕⊙⊕⊕⊕，⊙⊙⊙ ⊙⊕⊕⊕⊕十次（圖四） 條件：把⊕⊙⊕⊙…⊕⊙的圖形用最少次數變成⊙⊙⊙……⊕⊕⊕（⊙：個 ， ⊕：個）假設由上圖可猜測： 個數 移動最少次數 2
1 1 （如圖一） 2
2 2+1（如圖二） 2
3 3+2+1（如圖三） 2
4 4+3+2+1（如圖四） 2
5 5+4+3+2+1 … … 2
+（1）+…+2+1 10證明： (1)若個數為 n 個，且 n=2k（偶數），則有一個方法可以達到最少次數 ，也符合假設，如下： 步驟1：⊕⊙⊕⊙⊕⊙…⊕⊙（移次），把不符合條件的部分圈起來，把每個 ⊙往左移一格。 步驟2：⊙⊕⊙⊕⊙⊕…⊙⊕（移1 次），把不符合條件的部分圈起來，把每 個⊙往左移一格。 ………… ⊙⊙⊙……⊕⊕⊕（⊙：個 ，⊕：個），反覆下去，必可符合條件。 用此種方式，便可發現每經一步驟，所需的最少次數為等差數列， +（1）+… +2+1＝。 (2)若個數為 n 個，且 n=2k+1（奇數），則其最少次數必跟 2k 是相同的， 如下： 2k→⊕⊙⊕⊙⊕⊙…⊕⊙ 2k+1→⊕⊙⊕⊙⊕⊙…⊕⊙⊕，已符合條件不需再移動一次， 因此，公式也為。 解題重點與評析： (1)這個題目當初的設計，是希望在正面錢幣與反面錢幣皆為 n 個的情形下來移 動，沒想到因為只寫了 n 個錢幣，卻引導同學從 n 是奇數或者偶數的情形去 討論。也發現同學的思考嚴密與重視歸理求真的精神。 (2)回函中約有 90﹪的同學皆答的非常好，可見有許多同學在國中時，就懂得去 推理，去把一件事推廣至 n 的情形，將來到了高中若學了數學歸納法的證明， 更能把一些推廣至 n 的式子，證明的非常完美非常嚴密。因為來函都答的很 好，無法一一挑出，只能就各種不同的解法中各挑出一人為代表。 (3)參予本題徵答的同學共有 30 位同學，平均得分為 6.34 分，平均得分率為 91%。 (4)優良徵答者有北縣海山中學賴建安，北縣江翠國中莊凱壹、黃明山，北縣新 莊國中潘伯諺，北市南門國中李舒平。 問題編號 901204 11
1946 年 4 月 5 日，美國某報紙登了一則消息、說一個著名的天文學家也是數論專 家預言：「2141 年將是世界末日」並且宣稱他的預言是通過深刻的數學與歷史的 研究所得到的結果。他計算了1492n1770n1863n+2141n，這個式子， 當n=0,1,2,3,…,1945 時，他發現這些數都能被 1946 所整除，而 1492、1770、1863 分別是一些重要的歷史年代：西元1492 年哥倫布發現新大陸、1770 年發生英國 殖民者製造的波士頓慘案、1863 年林肯發表「解放黑奴宣言」….，由於數學與歷 史年代上的巧合，這位「專家」宣稱「2141 年將是世界末日」。請問 1492n1770n1863n+2141n，這個式子，代入n=0,1,2,3,…,1945 時，這些數都能被 1946 所整除，這是巧合嗎？試說明你的看法。 參考解答：
∵c=(ab)(an=1+an2b+an3b2+…+abn2+bn1)
∴當 n 是正整數時，anbn都能被ab 整除 設F(n)=1492n1770n1863n+2141n ∵F(n)=( 2141n1868n )(1770n1492n) 其中21411868＝17701492＝278＝2×139 ∴F(n)可被 278 整除 ∵F(n)=( 2141n1770n )( 1863n 1492n) 其中21411770＝18631492＝371＝7×53 F(n)亦可被 371 整除 ∵27 8 與 371 互質 ∴F(n)可被 278×371＝53×1946 整除 故F(n)當然能被 1946 整除 解題重點與評析： 1.關於這位專家的謠言，同學們基於智者的責任都很踴躍地參與揭露的行列 ，參答者大多能解，可喜可賀。 2.相對的，大家所提的數據來源，也必須有所依據，及這就是本提出提的原意 與解題的主軸。 3.參答者中，以北縣中山國中徐敏翔，江翠國中黃明山，竹市光華國中賴俊儒 ，北市弘道國中賴楷之，大直高中國中部陳俊曄，都能清楚地提到所依據的 乘法公式，尤其徐敏翔同學更加以倒證，過程純真扼要，值得一提。 問題編號 901205 12
x y L1 L2 L3 L4 L5 O 如下圖所示，有一組平行線，其中兩條相鄰平行線間的距離都是 2 2 ，直線 L1通過點(1,0)、(0,1)，令 Sk表示前k 條平行線在第一象限內的格子點(點 (x,y)中，x,y 均為整數的點稱為格子點)數目，Ak表示這些格子點x 坐標與 y 坐 標的總和。例如S4=1+2+3=6，A4=(1+1)+(1+2)+(2+1)+(1+3)+(2+2)+(3+1)=20 試找出Sn、An的值。(用 n 表示) 13
參考解答： 解法一：Sn=L1+L2+…+Ln=0+1+2+…+(n1)= A n=L1+L2+…+Ln=0×1+1×2+2×3+…+(n1)×n =
n k k k 1 ) 1 ( ==
n k k 1 2
n k k 1 = == 解法二：此解法由基隆市銘傳國中吳敏中同學提供 我們先來看關於的部分： S1=0 S2=1=0+1 S3=3=0+1+2 S4=6=0+1+2+3 S5=10=0+1+2+3+4 不難發現。Sn的部分是由0 開始、公差 1，最後一項為(n1)的等差數列的和。所以 0+1+2+ …+(n2)+(n1)= 再來是有關An的部分： A1=0 A2=(1+1)=2=2×1 A3= (1+1)+(1+2)+(2+1)=8=2+6 A4= (1+1)+(1+2)+(2+1)+(1+3)+(2+2)+(3+1)=20=2+6+12 A5=(1+1)+(1+2)+(1+3)+(2+2)+(3+1)+(1+4)+(2+3)+(3+2)+(4+1)=40=2+6+12+20 由於觀察An得知其為一個三階等差數列，設An=an3+bn2+cn+d 代入 A2～A5得 8a+4b+2c+d=2,27a+9b+3c+d=8,64a+16b+4c+d=20,125a+25b+5c+d=40, 解這個四元一次方程式得a=,b=0,c=,d=0 亦 An= 解Sn= ，An=。 解法三：此解法由台北市東湖國中賴昱臣同學提供 S1 S2 S3 S4 Sn 0 0+1 0+1+2 0+1+2+3 = 14A1=0(1+0) A2=0(1+0)+1(1+1) A3=0(1+0)+1(1+1)+(1+2)+(2+1) =0(1+0)+1(1+1)+2(1+2) A4=0(1+0)+1(1+1)+2(1+2)+(1+3)+(2+2)+(3+1) =0(1+0)+1(1+1)+2(1+2)+3(1+3) An=0(1+0)+1(1+1)+2(1+2)+3(1+3)+ …+(n1)[1+(n1)] =(0×1)+ (1×2) +(2×3)+ (3×4) + …+[n(n1)] =(121)+(222)+(323)+(424) + …+(n2n) =(12+22+32+42 +…+n2)(1+2+3+4+ …+n) == 評析： 1.本題為數列級數，坐標平面的混和概念題，只要知道數列級數中與運算 規則者，相信必能掌握解題關鍵。 2.參答者中以台北市東湖國中賴昱臣，明德國中王琨傑，北縣江翠國中黃明山、 莊凱壹，海山國中張源平，基隆市銘傳國中吳敏中，新竹市光華國中賴俊儒 等人答題清楚嚴謹，值得嘉許，特別是吳敏中、賴昱臣二人的答題方式獨具 一格。 3.本題參答人數共有 52 位，平均的分數為 5.41 分，得分率 77﹪。 說明： (1)本期有五題徵答題，請照「中學生數學通訊解題答題規則」中的規定作答。 （參閱師大科學教育月刊223 期） (2)本期徵答題不限您作答的題數，請於 90 年 4 月 1 日前將回函寄達： （100）台北市南海路 56 號，台北市立建國高級中學，楊希聰老師收。 （信封上請註明通訊解題） (3)徵答題可能有多種解法，本期參考答案與徵答者之優良解答，答題優良者姓 名、 就讀學校，將於 90 年 5 月份在台灣師範大學科學教育月刊及建國高級中學數 學科網站上發布。 (4)進入建中網站方法： 1. 先利用瀏覽器進入建中首頁（網址：http://www.ck.tp.edu.tw/ ） 2. 至最新消息點選數學科通訊解題。 15
