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經由科學營活動做出自己的電吉他

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經由科學營活動做出自己的電吉他 71 物理教育學刊

2008, 第九卷第一期, 1-16

Chinese Physics Education 2008, 9(1), 1-16 物理教育學刊

2012, 第十三卷第二期, 115-122

Chinese Physics Education 2012, 13(2), 115-122

經由科學營活動做出自己的電吉他

吳明德 台北市立麗山高中 (投稿日期:民國 101 年 10 月 15 日,修訂日期:101 年 12 月 04 日,接受日期:101 年 12 月 13 日) 摘要:電吉他發聲的機制並不是像木吉他是由琴弦與音箱共鳴,而是由磁化後的 琴弦振動,並經由拾音器線圈所產生微弱訊號,再由放大器增強訊號推動喇叭發 聲。 本文說明由科學營隊活動中學習電吉他。為了完成電吉他,同學們除了要動手琴 身木工與放大器電工之外,還要進行電磁感應與波動等數個物理實驗。此活動除 了準備適當的工具設備以外,還必須針對學生所能理解的方式編寫教學內容與教 學步驟。 彈奏自製的電吉他很可能發生音調不準確問題,學生除了可以透過耳朵聆聽音調 高低之外,本文建議可利用電腦音效軟體進一步分析訊號頻率與波形,以方便學 生將電吉他琴弦作正確調音。 透過製作電吉他活動,不僅能激發學生的學習意願,更能協助學生統整其物理知 識與相關技能,進而體認並追求物理知識的實用性。 關鍵詞:電吉他,駐波,磁化,感應發電

壹、前言

本文介紹的電吉他教具製作,涵蓋生活 科技的圖學、木工、鉗工、電子組裝與資訊 運用等,與物理的電磁感應、電子元件、波 動與聲學。 經正確調音的自製電吉他能作為音樂課 程使用的樂器,當然電吉他本身也能成為美 術彩繪的對象。 但是兼顧實作、學理與藝術的自製電吉 他教具,需要集中時數與小班教學,並不方 便在目前學校課程內加以實施,反而比較適 合成為假期中科學營隊的活動。 筆者在多年前於士林科學教育館,初次 嘗試教授電吉他製作課程,當年為簡化教學 步驟用麵包板取代電路板,以現成線圈作為 拾音器,以木棍當做吉他,甚至拿鐵絲作為 琴弦,雖然效果不佳,也激發不少學生與家

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116 吳明德 圖 2:運用鑽床在電吉他開孔 長對科學的興趣,在 2012 年暑假,再次與科 學教育館講授電吉他科學課程,此次我與科 教館實驗組同仁,投入不少精力準備器材與 編寫講義,期望能達到最佳教學成效。 此次活動的對象是小學生高年級以上, 人數限定在 15 人以內,活動時間為期兩天, 共計有兩梯次。在課程結束後,每位同學都 能完成自製電吉他。

貳、吉他是撥弦樂器

一、電吉他與木吉他的差別

傳統吉他除了弦以外,剩下的是個空箱 子,空箱子的功能是將弦振動的聲音共鳴放 大,但是電吉他沒有共鳴箱,如何將弦振動 的聲音變得更大聲?這個答案很複雜,首先 電吉他的弦必須是由鐵磁材料所製,而弦的 下端附有拾音器,拾音器包含強力磁鐵及線 圈,強力磁鐵能將鐵磁材料的鋼弦磁化,振動 磁化後的弦,會使線圈發生電磁感應產生電 訊號,其訊號經由擴大機放大,電流足以推 動喇叭發出聲響。

二、電吉他外型設計與加工

因為電吉他的琴身造型與共鳴無關,所 以能夠讓學生盡情發揮設計美感的天賦,可 以先以紙面上畫出吉他外型輪廓,裁出紙型 後,用筆沿著紙型描繪在作為琴身的木材上。 如果希望擁有出對稱外型,可以先將紙 型對折,裁出後將對折的紙型攤開,就成為 左右對稱形狀(可以在課餘補充對稱與鏡射 等延伸觀念)。 要將電吉他的琴身加工,課程需準備鋸 子與電鑽,但是學生欠缺工具使用經驗與安 全概念,教師必須要詳細指導,例如木料直 線裁鋸可以使用刀鋸,通常刀鋸是採用推鋸 法,如圖 1 所示,若是鋸切曲線就要改用弓 鋸。 為了放置拾音器,需要在吉他中央開一 方孔,從圖 2 可以看出,在吉他方孔四個頂 點處先用電鑽貫穿小孔,放入鋸條裝上弓鋸 的 U 型框架,就能輕鬆方便鋸出方孔。(圖 3) 圖 1:使用弓鋸逐漸鋸出電吉他輪廓 圖 3:鋸條穿過小孔,以弓鋸 鋸出方孔放置拾音器 吉他 弓鋸

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經由科學營活動做出自己的電吉他 117

三、張力與長度對弦振動影響

為了向學生解釋吉他琴弦的長度與線密 度都會對於弦振動頻率有影響,在營隊中的 演示實驗,可以由圖4示意圖呈現實驗裝置。 將直尺一端以C型夾固定,撥動另一端 讓尺產生振動,這個實驗的目的,就是希望 讓學生發現,較長較重的尺振動頻率會比較 慢。(Michael Liebl , 2005) 自製電吉他的琴弦與弦鈕都是真實吉他 使用的零件,同學可以自行調整弦的張力, 傾聽觀察琴音之後,就能學習張力與頻率之 間的關係。 當然,琴弦過度緊繃很可能發生斷裂危 險,老師要特別提醒學生們注意。

參、電磁感應與拾音器

一、與電磁感應與拾音器

先用漆包線,纏繞製作出拾音器線圈, 記得將線圈兩端漆磨除,以便於導電,並將 此拾音器線圈的兩端連接上微安計。 由圖 5 的照片裡說明,學生嘗試電磁感 應實驗:持握著強力磁鐵,在接近拾音器線 圈附近,磁鐵反覆快速靠近與遠離線圈,就 能觀測出微安計的指針有極小幅度的變化。 在親自動手實驗之後,對於電磁感應現象會 有更強烈的印象。

二、將琴弦磁化

電吉他的弦為鐵磁材料,沒有磁化前的 鐵磁材料,內部各磁域的磁場方向雜亂不規 折,彼此間磁性相互抵消,所以不具備磁性。 若是以強力磁鐵接近吉他弦,所施加的外加 磁 場 逐 漸 增 強 , 能 對 鐵 磁 材 料 內 各 磁 域 (Magnetic Domains)的磁場方向與外加磁 場一致,這過程稱為磁化。(見圖 6) 這說明磁化後的吉他弦就像個小磁鐵, 而振動的弦能讓拾音器發出訊號,原因如同 小磁鐵與線圈相對運動能夠產生感應電動 勢。(Kirk T. McDonald, 2007) 圖 4:鐵尺長度影響振動頻率 C 型夾 尺 桌緣 圖 5:移動磁石微安培計檢測感應電流 圖 6A:鐵磁材料未磁化 (各磁域磁場方向不一致) 圖 6B:鐵磁材料已磁化 (各磁域與外加磁場方向一致)

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118 吳明德 磁石 磁化的鋼弦振動 線圈作為拾音器 圖 7:自製電吉他剖面圖 羊眼釘 琴頭 (調弦張力) 在圖 7 的示意圖中,可以看到自製的拾 音器線圈中加上鐵製螺絲釘作為鐵芯,並在 線圈後面加上強力磁鐵。磁鐵的磁力線將集 中透過鐵芯,將電吉他弦磁化。

肆、放大電路製作

一、電子元件介紹

組裝電吉他的放大電路前,要先介紹電 子元件。但是電子元件種類與功能繁多,而 且電又看不到太過於抽象,對於初次接觸電 學的學生,要如何形容電的行為才能幫助學 生瞭解電?在此,可透過水流的類比來幫助 學生想像電流,將水管輸送水類比為電線傳 送電流;水龍頭控制水流量,而電晶體能夠 控制電流;水桶可以儲存水量,而電容器能 夠儲存電量;加壓幫浦能提供水壓,而電池 能夠提供電壓。 電容器: 電容器元件的功能就是儲存電量。而萊 頓瓶就是早期的電容。由圖 8 的示意圖中可 以看到,萊頓瓶(Leyden jar)內裝錫箔的玻 璃瓶,能儲存少許電量。(Allan Mills, 2008) 例如美國的開國元老富蘭克林(Benjamin Franklin)作出有名的危險實驗(後來有不少 科學家重覆此實驗被電身亡),在雷雨交加的 時後,利用風箏與導線將雷電傳導下來,並 用萊頓瓶收集電。 電阻與可變電阻: 電阻是減低電流通過的元件。如果把電 量想像成水量,而電阻想像成水的阻抗,如 果維持水壓不變,但是水管的口徑小阻抗很 大,水的流量會很小。所以電阻越大電流就 變小。以歐姆定律說明: 電壓(伏特)= 電流(安培)×電阻(歐姆) 電晶體: 電晶體的發明是一件十分重要的事,不 僅獲得諾貝爾獎的肯定,也完全改變人們的 生活。(John Bardeen, 1956) 在電吉他的放大電路中,使用的運算放大器 內部就有電晶體。 由圖 9 可知電晶體有三隻接腳,其中一 隻接腳輸入電(源),另一隻接腳輸出電 (流),而第三隻接腳作為控制電(閥)。 電晶體就像是水龍頭,水流入水龍頭後由閥 門控制水流量,最後水再流出去,而不同的 地方是電晶體是以電控制電流,而水龍頭則 用機械閥門控制水流。 因為由拾音器所感應到的電訊號十分微 弱,必須先經由訊號放大,強度才能夠輸出。 而在此營隊所使用的是 LM386 低電壓聲頻 運算放大器,而放大器內部就具有許多電晶 體可以放大電訊號。 金屬箔 珠鍊 金屬球 圖 8:萊頓瓶最早的電容

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經由科學營活動做出自己的電吉他 119 圖 9:水龍頭類比電晶體 圖 12:電路板鑽孔,安裝電子元件

二、電路板與電烙鐵的使用

元件符號與電路圖 為了看懂電路圖上的電子元件符號,必 須先列出一張元件符號名稱對照圖表(圖 10),方便學生查尋。 初次閱讀電路圖(圖 11),對於圖上的 接地記號,必定心中會有疑惑,難道電流到 這裡就沒路嗎?事實上接地是將電流到共同 端,以汽車電路而言接地就是搭鐵,也就是 連接車架可導電金屬殼。電路板上也有共同 端,所有接地線路共同連接一起能夠導通。 電路板與電子元件插件 要十分小心使用手持小電鑽,在佈線好 的電路板上鑽出許多小孔(圖 12),將來才 可以插上電子元件,而電路板上面的銅箔佈 線提供各元件之間導通電訊號的通道,就像 導線一樣。 有許多電子元件例如電容器,接腳有正 負之分,是不能插反的。還有藉由安裝電子 元件的過程,才需要向學生介紹電子元件的 功能與科學背景,順便可以由元件上的標示 提到單位,例如 µF 微法拉。 電阻 電容 電晶體 喇叭 LM386 為低電壓聲頻運算放大器 接地 圖 10:電子元件圖 圖 11:電吉他放大電路(LM386,2000)

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120 吳明德 使用電烙鐵銲接 為了安全使用電烙鐵,除了需佩帶手套 外,還再三告誡其電烙鐵溫度高達 200 度以 上,才能融化焊錫,如果碰觸皮膚會立即灼 傷十分危險。 使用電烙鐵要先接上插頭電烙鐵需等 待 2~5 鐘,達到電烙鐵工作溫度,才能夠使 用。 要教導學生避免不正確的焊接(例如: 假焊 non-wetting),熔化的焊錫若是與冰冷 的電路板或接腳相遇,焊錫無法緊緊附著形 成假焊或稱為不沾錫,當測試電路板時就會 發現接觸不良無法使用。(蔡朝洋,2011)

三、放大電路測試

前面實驗中,學生已經使用微安培計測 試拾音器線圈能否運作,接下來將拾音器連 接作為放大器的電路板,並且接上 9V 電池。 電路板的輸出端為 1/8 英吋音源接頭,一般 是連接電腦喇叭,但是避免整間教室吵雜不 堪,活動前要學生預先自行準備耳機。 同學就可以自行撥弦彈奏,使用耳機聆 聽測試電吉他是否正常運作。

伍、電吉他調音

一、Audacity 軟體發出不同音調

利用 Audacity 軟體產生 Do、Re、Mi、 Fa 等不同頻率訊號,再經由電腦音效卡接上 喇叭,同學能同時由電腦的波形畫面與耳朵 所聽音調,瞭解頻率與音調。 Audacity 軟體除了能呈現波形圖之外, 還可以透過頻譜圖中瞭解到各種訊號的頻率 與強度分佈。

二、Audacity 軟體接收電吉他聲音

電吉他放大器電訊號如果不驅動喇叭, 而是直接連接到電腦音效卡的麥克風輸入 端,撥動琴弦所產生的訊號就能被電腦所記 錄。 在 Audacity 軟體的頻譜圖中可以知道訊 號的頻率,接著透過調整琴弦的張力能夠微 調頻率,直到讓琴弦能夠發出正確的頻率。

陸、結語

本文以電吉他為專題,對小學高年級學 生進行物理實驗,例如拾音器與電磁感應, 琴弦振動與波動,錄音軟體與測量聲音頻率 等。再加上木工製作琴身,電工焊接電路等 實作,學生們最後都能夠做出屬於自己的電 吉他。 我在教授兩梯次的科學教育館暑期電吉 他營隊之後,想藉由本文說明兩件事。 第一、學習科學知識的捷徑,就是動手 做實驗。因為對象是小學生,更需要透過一 系列實驗,和小學生能夠理解的方式來教授 科學。 第二、學習技能的關鍵,就是需要技能 來解決問題。因為要鋸出吉他外型輪廓,才 需要教導如何使用鋸子;因為要將元件焊接 電路板,我們才教授電烙鐵的使用。 當學生擁有強烈的動機,加上教師示範 執行的細節,與安全規範的提醒,不要擔心 我們的小學生無法打造出屬於自己的電吉 他。

致謝

感謝國立科學教育館實驗組,給予電吉 他課程在器材與人力上給予最大協助。

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經由科學營活動做出自己的電吉他 121

參考文獻

1. 蔡朝洋,(2011),《電子電路實作技術(修 訂三版)》,全華圖書出版

2. AllanMills (December 2008). Part 6: The Leyden jar and other capacitors. Studies in Electrostatics (UK) (99): 20-22

3. Audacity,from:http://audacity.sourceforge.net 4. John Bardeen, (Nobel Lecture, 1956),

Semiconductor Physics: Transistors and Circuits,from:http://thesiliconweb.net/Silic onWeb_Contents_files/Sec%2010.3.pdf 5. Kirk T. McDonald, Electric Guitar Pickups,

Joseph Henry Laboratories, Princeton University, Princeton, NJ 08544,(2007) 6. LM386 Low Voltage Audio Power

Amplifier, 2000 National Semiconductor Corporation, from:

http://www.nari.ee.ethz.ch/wireless/educati on/PPS/PPS02/doc/LM386.pdf

7. Michael Liebl,(2005).Saw Blades and Resonance, The PhysicsTeacher, 43, 282-284

8. Magnetic

Domains,from:http://hyperphysics.phy-astr .gsu.edu/hbase/solids/ferro.html

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122 吳明德

Build your own electric guitar from Science camp

Ming-Te Wu

Taipei Municipal Lishan High School

Abstract

An acoustic guitar contains a sound box that increases the loudness of the sounds the strings make. An electric guitar uses a pickup coil to convert the vibration of steel strings into electrical signals. The signal generated by the pickup coil is too weak to drive a loudspeaker, so it is amplified before sending it to a loudspeaker. Electric guitar building summer camp activities, the National Science Education Center in 2012. Each student will complete a simple Electric guitar-building project in two days of summer science camp activities. These activities include electric-magnetic and wave physical experiments, as well as wood working and electrician implementation.

Electric guitar-building summer camp, in addition to prepare the appropriate tools and equipment, must also be prepared for primary school students can understand the teaching content and teaching steps. Solve guitar-tuning problems. Tuning the guitar by ear is a difficult thing to do for most people. The article also mentioned that the signal frequency and waveform analysis by computer sound software correct tuning for electric guitar. Guiding you step by step through electric guitar building project, you can learn useful knowledge and skills.

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投影日晷原理與模擬 71 物理教育學刊

2008, 第九卷第一期, 1-16

Chinese Physics Education 2008, 9(1), 1-16 物理教育學刊

2012, 第十三卷第二期, 123-136

Chinese Physics Education 2012, 13(2), 123-136

投影日晷原理與模擬

蘇偉昭 屏東教育大學 應用物理系 (投稿日期:民國 101 年 10 月 24 日,修訂日期:101 年 12 月 26 日,接受日期:101 年 12 月 26 日) 摘要:投影日晷是起源於赤道日晷,由不同投影方向將赤道日晷上 24 個小時點與 晷針軸線投影到一平面所構成的日晷。晷面上小時點分佈和赤緯尺(晷針軸線投 影)長短與緯度、投影角度與晷面傾角三者有關。投影日晷晷針外形主要為一條 平行於投影方向的直線(即晷針線),此晷針線需隨著日期在赤緯尺上移動,投影 日晷晷面上沒有固定的小時線,讀取日晷時是以固定的小時點為參考來判斷。由 於投影日晷起源於赤道日晷,因此也會有時差問題,需要做時間修正才能轉成鐘 錶時間。 本文主要目的是利用個人設計的投影日晷程式展示投影日晷相關原理。使用者可 透過改變程式中的緯度、晷面傾角與投影角度等參數,模擬不同視角的投影日晷, 與不同日期時間、經度的晷針線影在晷面變化情形,以建構與深化空間與時間概 念。 關鍵詞:投影日晷、日晷模擬、空間與時間

壹、前言

到台中科博館可以在戶外庭園看到一個 沒有固定晷針的橢圓日晷,當要讀取日晷 時,人們需要依照日期站在指定的位置上, 利用自己的身影為晷針影來讀取時間,所以 有稱此日晷為人影日晷或變心日晷,英文稱 為 analemmatic sundial。因為此日晷起源於赤 道日晷,也就是將赤道日晷依某一方向投影 到某一平面而得的日晷,所以又稱為投影日 晷(邱紀良,2008)。此類日晷多為橢圓形, 有別於常見的圓形赤道日晷和地平日晷。因 為此類日晷其晷針需隨日期移動,讓人懷疑 此日晷是否準確可靠?或者怎樣才能正確地 使用此類型日晷?本文主要目的是利用本人 所設計的模擬程式,展示投影日晷原理與日 晷時和鐘錶時間的關係,讓使用者瞭解模擬 參數之間的關係,並透過改變程式中的緯 度、投影角度與晷面傾角等參數,模擬不同 視角的投影日晷,與不同日期時間、經度的

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124 蘇偉昭 晷針線影在晷面變化情形,以建構與深化空 間與時間概念。

貳、投影日晷原理

所謂投影日晷是指將一個假想赤道日晷 依某個方向投影到某一平面上所構成的日 晷,因為投影方向與晷面方向可以任意選 擇,所以可以用這兩方向配對來對投影日晷 做分類:如以當地水平面做參考,投影方向 和晷面方向都可分成垂直水平方向、平行水 平方向與斜交水平方向(傾斜),所以投影日 晷分成垂直投影水平日晷、垂直投影傾斜日 晷、傾斜投影水平日晷、傾斜投影傾斜日晷、 傾斜投影垂直日晷、水平投影傾斜日晷、水 平投影垂直日晷共七種,而水平投影水平日 晷與垂直投影垂直日晷並不存在,因為無法 將假想赤道日晷投影在晷面上。 一般為了說明投影日晷原理,其說明圖 都將假想赤道日晷與投影面分開,再以投影 方向連接線聯繫兩者的關係(圖 1),不過為 了電腦模擬上的方便,我們將假想赤道日晷 晷心與投影圓盤上的投影日晷晷心放置在一 起,並重疊到所設定螢幕座標原點(圖 2 中 M 點)上,當改變程式的投影視角時,原點 是唯一不動的點。圖 1 表赤道日晷與投影日 晷側面圖,說明如何以垂直投影方式,由赤 道日晷產生投影日晷。圖 1 中ϕ為緯度;OS 表當地水平面上的直線,朝南北方向,S 指 向南方; en 為赤道日晷側面圖,中心點為 m,晷針軸線為 dj (與地軸平行),且晷針軸 線與地平面的夾角為當地緯度ϕ。ε 為天赤 道與黃道夾角,n 為中午 12 時小時點,e 為 深夜 0 時小時點。如果選mj=mntanε ,則 在夏至正午時,點 j 的影子會落在 n 點,同 樣的如果選md =mntanε ,則在冬至正午 時,點 d 影子也會落在 n 點。如果將赤道日 晷各點(e、m、n、j、d)分別垂直投影到地平 面(E、M、N、J、D),則成為投影日晷。其 中 DJ 為投影日晷的赤緯尺(the scale of dates), AB 為晷針線,其方向需與投影方向 平行,晷針線跟(點 B)位置則需隨著日期 在赤緯尺上移動,如在夏至、冬至時,點 B 需分別移至點 J 與點 D,在春分與秋分時, 點 B 需移至 M 點。 AB 長度並沒有限定,不 過不能太短,否則其晷針影無法到達小時 點,不易閱讀日晷時。 圖 2 為所模擬北緯22 的o 3D 投影日晷, 其如何形成說明如下:圖中的赤道圈,可以 想像為赤道日晷,在這圓圈上均勻的分佈 24 個小時點(沒有畫出),最高點為 0 點小時 點,即圖 1 的點 e,最低點為中午 12 點,即 圖 1 的 n 點,將這 24 個小時點垂直投影到晷 面,即為圖中所標示的小時點,由於投影方 向的關係,圖 2 小時點呈現橢圓形的分佈。 圖 2 也沒有畫出赤道日晷的晷針軸線,不過 可以依照圖 1 的說明,將 dj 投影成晷面上的 赤緯尺 DJ 。 圖 2 中的晷針外形為三角形,且模擬時 假設如「片」般沒有厚度,所以稱其為三角 片晷針。線 AB 為三角片晷針的一邊,和投 影方向平行,線 AB 所產生的線晷針影就是 用來讀取日晷時的,三角形的另外一邊則沒 圖 1:垂直投影水平日晷投影方式

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投影日晷原理與模擬 125 有任何作用,可為任意形狀,由此可知投影 日晷晷針的基本條件就是要有一線 AB ,並 用其所產生的晷針線影來讀取日晷時,其餘 的部份要如何變化都可以,只要不遮蔽影響 晷針線影的產生即可。投影日晷是以點 B 至 各小時點的直線為當時的小時線,因為點 B 需隨日期時間在赤緯尺移動,因此可以想像 隨時都會產生新的小時線,因為小時線並不 固定,在實體的投影日晷晷面上並不會畫出 小時線,以免重疊不易分辨。為了說明如何 用晷針線影來讀取日晷時,程式在圖 2 中顯 示當時的 24 條假想小時線,因此由圖中可以 很容易發現線晷針影正落在 16 點的小時線 上,顯示此時日晷時為 16 點。

參、 影響投影日晷外型的因子

投影日晷的小時點分佈為一般為橢圓 形,如果讓橢圓長半徑長度固定,則其短半 徑長度可以在 0 至長半徑長度變化,當短半 徑長度為 0 時,小時點分佈為一直線,當短 半徑長度等於長半徑長度時,小時點分佈為 一正圓。 日晷小時點分佈與赤緯尺長短會影響日 晷時的判讀,一般來說小時點以圓形分佈, 且赤緯尺都在小時點分佈形狀之內較好,因 為此時所有相鄰假想小時線夾角較均勻,不 會有些太小(小時點太靠近)不容易讀取日 圖 2:北緯22o垂直投影水平日晷

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126 蘇偉昭 晷時。如果赤緯尺在小時點分佈形狀之外, 當晷針線隨著日期(如夏至)移至小時點分 佈之外,晷針線影可能同時接近兩個小時點 造成不易判讀日晷時,這些問題是在製作投 影日晷時必須考量的。影響投影日晷小時點 分佈和赤緯尺長短的主要因子為緯度、投影 角度和晷面傾角。以下將以模擬圖形分別說 明這些因子的影響:

一、緯度

為了方便說明,可以先可慮緯度單一因 子對垂直投影水平日晷的影響:當緯度越 高,小時點分佈的形狀會逐漸由橢圓形趨近 圓形且赤緯尺長度越短,在極點時,其小時 點會成圓形分佈,且赤緯尺會縮成一點;反 之緯度越低,橢圓形狀越接近一直線,赤緯 尺長度越長,在赤道上,小時點會成直線分 佈;當緯度在回歸線上,則赤緯尺的長度與 橢圓的短軸長度一樣。 例如圖 2 和圖 3,兩者模擬參數除了緯 度由22 改成o 50 之外,其餘都一樣,且都是o 垂直投影水平日晷。比較圖 2 和圖 3 可以發 現上述的規律,即圖 3 緯度高,其小時點分 佈較圖 2 來的圓,且赤緯尺也較短。再者, 圖 3 模擬的緯度50 高於北回歸線,所以赤o 緯尺都落在小時點分佈的橢圓內,反之圖 2 模擬的緯度22 低於北回歸線,所以有部份o 赤緯尺在小時點分佈所圍成的橢圓之外。 圖 3:北緯50o垂直投影水平日晷

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投影日晷原理與模擬 127

二、投影角度

較佳的投影日晷為小時點圓形分佈,因 為不同日期晷針線影至相鄰兩小時點的夾角 較為均勻,容易區分判讀日晷時,因此如何 產生小時點圓形分佈的投影日晷,是值得探 討的。其實要獲得時點圓形分佈的投影日晷 相當簡單,只要選擇適當的投影方向,即可 得圓形小時點分佈投影日晷,以水平晷面投 影日晷為例:圖 4 為圓形小時點分佈投影日 晷方式: OW 為 eOE∠ 的角平分線,如果選 擇投影方向垂直 OW ,則EN=en,投影日 晷晷面南北方向長度與赤道日晷直徑將會一 樣,不像圖 1 中的 EN 被縮小,因此投影日 晷將成圓形,值得注意的是投影晷針線 AB 仍與投影方向平行,且 DJ 長度也和圖 1 不 一樣。 相同緯度的水平晷面投影日晷,要讓小 時點成圓形分佈的投影角度不只一種,如圖 5 所示,其 OW 為eOE的角平分線,如投 影方向垂直 OW ,則可得EN=en。此時所 有小時點會以東西方向為對稱線做南北互 換,即原來在中心點 M 北方的 12 時小時點 (圖 4),現在變成在中心點 M 的南方(圖 5),而在中心點 M 南方的 0 時小時點(圖 4),現在變成在中心點 M 的北方(圖 5)。 對於赤緯尺來說,這樣的投影方向並沒有造 成點 J 和點 D 南北方向互換,主要原因是點 J 和點 D 是由赤道日晷晷針軸線投影而得, 而小時點是由分佈在赤道日晷晷面的小時點 投影而得,赤道日晷軸線晷針與晷面互相垂 直造成上述結果。 由圖 4 可得當投影晷針線 AB 和晷面法 線 VB 夾角(即投影角度)為θ =45o−ϕ/2 (公式 1)時,小時點分佈將成為圓形,在 此以圖 6 來展示此一特點:圖 6 和圖 2 的模 擬緯度一樣為22 ,利用(公式 1)可得小o 時 點 分 佈 為 圓 形 的 投 影 角 度 為 o o o 22 /2 34 45 − = ,在圖 6 模擬也正顯示小 時點分佈為圓形結果。 由圖 5 也可得當投影晷針線 AB 和晷面 法線VB 夾角(即投影角度)為θ=45o+ϕ/2 (公式 2)時,小時點分佈也會成為圓形。 在模擬上為區分圖 4 與圖 5 中的投影角度, 本程式將以點 B 為旋轉點,從VB 順時針轉 至 AB 的角度設為正,從VB 逆時針轉至 AB 的角度設為負,且設定相對於晷面法線VB 的 投影角度為90o ~90o,因此利用(公式 2) 可得45o22o/2=56o,因為是逆時針旋轉, 所以投影角度為56o,圖 7 即調整此一投影 角度所得的結果。比較圖 6 與圖 7,可發現 上面提及的現象,即兩者小時點以東西方向 為對稱線做南北互換,而赤緯尺上的點 J 與 點 D 南北方向並沒有互換,但長度改變了。

三、晷面傾角

晷面傾角也會影響小時點分佈形狀,所 以模擬時也需要考慮此一因子。為了對稱緣 故,在此限定晷面僅以東西方向為轉軸,做 南北傾斜,同時本模擬程式中晷面傾角參數 設定向北傾斜(晷面法線偏北)其晷面傾角 為正,反之,向南傾斜(晷面法線偏南)其 晷面傾角為負,因此相對於水平面,本程式 將晷面傾角參數設範圍為90o~90o。在某 圖 4:θ> 0 圓形小時點分佈投影方式

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128 蘇偉昭 一緯度上,若其晷面向南或向北傾斜一個角 度時,也可以找出適當的投影角度讓小時點 分佈成為圓形:圖 8 假設晷面向南傾斜一個 角度ρ,當投影晷針線 AB 和晷面法線VB 夾 角為θ =45o −(ϕ−ρ)/2(公式 3),則晷面 上的小時點分佈也會成為圓形。圖 9 模擬北 緯22 ,晷面向南傾斜o 20 (晷面傾角參數調o 為20o), 利 用 ( 公 式 3 ) 得 投 影 角 度 o o o o (22 20 )/2 44 45 − − = = θ ,所以將程式中 的投影角度調為44 ,其結果正如所預期, o 圖 5:θ< 0 圓形小時點分佈投影方式 圖 6:北緯22o、投影角度34o,小時點圓形分佈投影日晷

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投影日晷原理與模擬 129 在圖 9 中小時點分佈是圓形。 比較圖 4 與圖 8 中的θ可知,晷面傾角 效應如同緯度一樣,即將晷面傾角加上緯度 所得的角度為一新緯度,利用此一新緯度所 作成的當地水平投影日晷,若以同樣的投影 角度可得相同的投影日晷,以圖 9 為例:在 緯度2o22o 20o =2o設置水平投影日晷, 如果投影角度為44 ,則晷面上小時點分佈o 也會是圓形的。 雖然晷面傾角效應如同緯度一樣,但在 任一緯度上,傾斜的晷面終究會造成白天某 些時段晷面背對著太陽,使得太陽照不到晷 針,減少可讀取日晷時的時段。 因為模擬程式設定晷面傾角只做南北傾 斜,且投影角度是落在通過南北的垂直面上 ,所以投影方向只有南北分量,沒有東西分 量,沿著投影方向將赤道日晷投射成投影日 晷時,投影日晷東西向寬度會與赤道日晷一 樣,但南北方向長度則會隨著投影方向而改 變,因此投影日晷上 6 時與 18 時小時點距離 (r618)將和赤道日晷 6 時與 18 時小時點距 離一樣,且會保持固定,而 0 時與 12 時小時 點的距離(r012)將會隨著投影角度改變而 改變,可以小於、等於或大於r618。本模擬 程式設定投影日晷是落在圓盤上( 參考圖 2),圓盤直徑等於r618,當r012 ≤r618,所有 小時點都可以落在圓盤 上,當r012 >r618 時,會有部份的小時點沒有落在圓盤上,模 擬上也不會畫出這些小時點。 圖 7:北緯

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o、投影角度−56o,小時點圓形分佈投影日晷

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130 蘇偉昭

肆、 日晷與鐘錶時間互換

一般用日晷所測的時間稱為視太陽時 (apparent solar time),也可以稱為日晷時,另 外,我們可假想有一個假的太陽,以圓形等 速的方式繞地球天赤道轉(以地球為中心來 思考),以這樣假想的現象所建構的計時架構 稱 為 地 方 平 均 太 陽 時 (local mean solar time),日晷時與地方平均太陽時的差異為時 差(Equation of time)。時差是來自於真實的太 陽繞地球並不是等速圓周運動,且太陽在天 空的軌跡是黃道而不是天赤道,造成不同日 期太陽每天在某地中天的時間並不一樣。一 年中有兩段時間視太陽時比地方平均太陽時 快,也有兩段時間視太陽時比地方平均太陽 時慢,視太陽時比地方平均太陽時最多快約 16.5 分(約在 11 月 3 日)、最多慢約 14.2 分 (約在 2 月 12 日),如圖 10 時差圖所示。圖 10 縱軸為時差,橫軸為日數,每年 1 月 1 日日數為 1,1 月 2 日日數為 2,以此累積一 整年至日數 365 或日數 366。由時差圖可知, 時差是一連續的變化,也就是隨時在改變, 不過日常為了方便使用,多以日為單位,並 假設每一天不同時間其時差都一樣。 利用時差圖可以很容易得到某日時差: 首先將某日換算成當年的日數,然後畫一直 線垂直橫軸,並通過此日的日數,此一垂直 線會與時差曲線交於一點,再畫一平行橫軸 的直線,此平行直線與縱軸的交點即為此日 的時差,例如圖10中6月21日時差約-1分鐘, 11月10日時差約16分鐘。 我們每天用的鐘錶時間是地方標準時 (local standard time),每15 經度共用一時o 區,所以在同一時區太陽到達不同經度的中 天時間也會不一樣,差1 經度差4分鐘。因o 此,赤道日晷所標示的日晷時,每天都需要 做上述兩種時間校正才能獲得地方標準時, 而投影日晷起源於赤道日晷,觀測時也必須 圖 8:傾斜晷面圓形小時點分佈投影方式

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投影日晷原理與模擬 131 做相同的時間校正:例如圖2中,觀測參數中 日 期 時 間 為 2012/11/10 15:44:00 、 經 度 o 120 、緯度22 ,而日晷時正好指向16點,o 因為此模擬正好在經度為120 ,即東八時區o 參考經線上,所以無須做因經度偏差引起的 時間修正,而模擬的地方標準時與日晷時差 16分鐘正好如圖10的時差所指時間差。接下 來,我們以上述的模擬結果做時間的比較: 圖2和圖3的觀測參數,除了圖2緯度為22 ,o 而圖3緯度為50 外,其餘模擬參數都一樣,o 比較兩圖可知,雖然在兩個不同緯度的垂直 投影水平日晷,兩者的時差是一樣的。 在圖2和圖6的觀測參數中,兩者日期與 緯度都一樣,但是圖2經度為120 ,而圖6經o 度為121 ,因為兩圖經度差o 1 ,所以差4分鐘 o ,比較兩圖模擬結果可知,當兩者的日晷時 都指向16點時,圖6時間為 15:40:00,而圖 2 時間為15:44:00,兩者正好差4分鐘。因為每 天太陽會先通過經線121 的中天,再通過經o 線120 的中天,所以日晷時在圖6會比圖2早o 四分鐘指向16點。 圖6和圖7除了投影角度不一樣,造成小 時點分佈與赤緯尺長度不同外,兩者觀測參 數都一樣,因為兩者都在同一經度所以如所 預期,在相同時間15:40:00,日晷時都會指向 16點。也就是說,不同投影日晷在同一地點, 其日晷時應該是一樣的,而模擬圖也顯示此 一結果。 圖 9 和圖 2 的經度、緯度都一樣,但是 圖 9 模擬日期時間為 12/06/21 16:01:00,參 圖 9:北緯22o、晷面傾角44o、投影角度44o,小時點圓形分佈投影日晷

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132 蘇偉昭 考時差圖 10,可得當日時差為-1 分鐘,所以 當圖 9 的時間為 16:01:00,晷針線影正好指 向 16 點,這一點是和圖 2 差 16 分鐘是不同 的,也顯示模擬結果是依循時差圖的時間規 律。

伍、 地球日晷小圖示

圖2、3、6、7、9中左上角地球日晷小圖 示主要是標示從地球外看日晷與地球的相對 位置,以更宏觀的角度來掌握投影日晷晷 面、投影方向(晷針線方向)相對於地球的位 置。小圖示中假設日晷固定在某一條經線 上,此經線正好落在投影面(螢幕)上,也 就是從西邊側面觀看晷面(和圖1、4、5 由 東邊側面觀看晷面相反),此時晷面將成一直 線,此線的中心點(即圖2的點M)與地球球 心連線代表當地的垂直方向,日晷晷面會隨 著程式觀測參數中的緯度調整而調整,如圖2 和圖3緯度不同,所顯示的日晷位置也不一 樣。 模擬程式中的晷面傾角調整捲軸可以讓 晷面做南北各90 傾斜,而投影角度捲軸的o 角度表示投影方向與晷面法線的夾角,當改 變這些參數時,除了日晷模擬結果會改變 外,地球日晷小圖示中的晷面與晷針方向也 會同時改變。例如當晷面傾角為0 時,晷面o 以水平方向擺放,圖2、3、6、7所示晷面(線) 與當地水平面(即當地切線)平行,也就是晷 面中心點與地球球心的連線會與晷面垂直。 當投影角度為0 時,表投影方向與晷面垂o 直,這一點也可以在圖2和圖3發現。 圖6和圖7投影角度各為34 和o 56o,即 投影方向與晷面法線各夾34 和o 56o,所以 由地球日晷小圖示可以看到圖6投影方向由 北方上空指向晷面,而圖7則由南方上空指向 晷面。圖9晷面傾角20o、投影角度為44 ,o 由小圖示可以看到晷面不再平行當地水平 面,而是向南傾斜20 且投影方向與晷面法o 線夾44 ,是由北方上空向傾斜的晷面投影。o 由上述這些模擬圖可知,投影日晷晷針 線方向可以為任意角度,不需和赤道日晷與 地平日晷一樣,遵守晷針軸線需與地轉軸平 行的限制。

陸、 人影日晷

人影日晷是一種以人為晷針的投影日 晷,因為人垂直站立在水平面上較為容易且 自然,所以是屬於垂直投影在水平面上的投 影日晷,當緯度漸小時,橢圓形的投影日晷 其短半徑與長半徑比也逐漸變小,在赤道上 短半徑將為0,而晷針影至某些相鄰兩小時點 的夾角也會太小或為0°以致不能區別,也就 是說在緯度較低的地方或赤道上較不適合使 用人影日晷。相反的,人影日晷較適合在中 高緯度,因為垂直投影在地平面的橢圓其短 半徑與長半徑比較大,容易閱讀日晷時。到 了北極,人影日晷中的小時點將成圓形分 佈,此時與地平日晷一樣。 台中自然科學博物館緯度位置雖然不 圖 10:時差圖

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投影日晷原理與模擬 133 高,但仍高於北回歸線,赤緯尺會落在小時 點分佈橢圓形內,設置人影日晷還算適合, 如果要在高雄科工館設置人影日晷,其結果 會如圖2所示部份赤緯尺會落在小時點分佈 之外,此時要注意在夏至時期,也就是圖2 中點B移至點J附近時,在某些時間其晷針線 影可能指向兩相鄰小時點,造成日晷時判讀 的困擾。 設置人影日晷時,小時點距晷面中心點 不宜太長,否則會有很多時段因人影太短, 指不到小時點不易判讀日晷時,例如圖6顯示 晷針線影太短,指不到小時點,而且沒有如 圖2有假想的小時線做日晷時判讀的參考,所 以判讀上誤差較大。在圖7,原本晷針線影也 太短指不到小時點,但在模擬上因為調整晷 針線長度,所以晷針線影可指向小時點。在 現實上,無法隨時調整人的高度,因此人影 日晷要考量人的高度,如先計算出不同日期 時間可能產生的影長度,以製作適當尺度的 人影日晷,讓多數時間可以容易判讀日晷時。 人影日晷用人當作晷針,讓人參與其中 來判讀日晷時雖然可以引起人們的興趣,不 過人有高低、胖矮,也可能無法站立、或是 站立時無法挺直,所以以人影來判讀日晷時 誤差一定會相當大,改善之道,或許可以一 細直桿取代人,由一底座豎起此一直桿,再 讓直桿跟著底座隨著日期在赤緯尺上移動, 如此每一個人就可以利用它讀出正確的日晷 時。如設置小時點圓形分佈的投影日晷,也 可讓傾斜的直桿平行投影日晷讀取日晷時, 當然也可以和本模擬程式做比對,查看兩者 的日晷時是否一致。

柒、 結論

國人從小學就知道可以用日晷來測量時 間,但從國中至大學,因為教科書多不再談 及日晷,所以絕大多數人對日晷的概念也僅 只於小學階段,不但不瞭解日晷觀測原理, 也無法體會古人如何量測、定義時間的演進 過程,相當可惜!在國內,公共場域多設置 水平日晷和赤道日晷,造成一般民眾誤認為 日晷僅有這兩種。台中自然科學博物館是國 內少數設置人影日晷的地方,不過相信多數 去看過的人都不知道它是投影日晷的一種, 當然更不會知道其原理,再者,使用人影當 作晷針影看起來相當粗糙,很難令人相信其 可以準確測量時間。如果能配置可以移動的 直桿,以量測日晷時做為對照,或許更能引 起參觀者興趣。 直接用幾何數學去瞭解投影日晷原理, 對多數人有其難處。其次,投影日晷形狀和 緯度、投影方向與晷面傾角有關,觀測時, 晷針線除了需平行投影方向外,也需要隨日 期在赤緯尺上移動到正確位置,再加上需要 考慮時間修正才能從日晷時轉換成地方標準 時,對一般民眾來說有一定的難度。 本投影日晷模擬軟體是針對對投影日晷 有興趣但不瞭解其原理的人設計的,透過程 式不但可以立即模擬不同緯度、不同投影方 向和不同南北傾斜晷面的投影日晷,也可以 模擬如何利用晷針線影讀取日晷時,與日晷 時和地方標準時的關係。

參考文獻

1. 邱紀良(2008)。日晷百變。新竹市:國立 清華大學出版社。 2. 蘇偉昭(2008)。平面日晷之電腦模擬。台 灣教育學術研討會,台北市。 3. 蘇偉昭(2010)。平面日晷模擬、製作與觀 測。數位內容與虛擬學習研討會 4. 蘇偉昭(2011)。球面日晷之電腦模擬。第 27 屆科學教育研討會,高雄市。

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134 蘇偉昭

5. Mayall, R.N., & Mayall ,M.W.(2000). Sundials: Their Construction and Use. New York, Dover Publications.

6. Rohr, R.J.(1996). Sundials: History, Theory, and Practice. New York, Dover Publications(1965 1st ED).

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投影日晷原理與模擬 135

A simulation program for Analemmatic sundial

Wei-Jou Su

National Pingtung University of Education

Abstract

Analemmatic sundial is originated in equatorial sundial, that is, 24-hour points and gnomon of equatorial sundial are projected onto a plane by a selected projection angle.The distribution of hour points and length of scale of dates (from gnomon projection) are affected by latitude, the projection angle and the inclination of the dial plane. The gnomon of analemmatic sundial is parallel to the projection direction. There are no hour lines on the dial and the time of day is read by referring to the fixed hour points. The gnomon is not fixed and must change position daily to accurately indicate time of day. Local standard time can be obtained by applying the time corrections to sundial time.

The main purpose of this paper was to show how to use my sundial program to demonstrate the principles of analemmatic sundial. By changing parameters such as the latitude, projection angle, inclination of the dial plane and 3D projection parameters, the program will simulate different projections of sundial. The program also simulates the shadow change according to different date/time and longitude. Hopefully, users can use this program to promote their concept of space and time.

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數據

圖 13:科教館電吉他營隊同學及作品

參考文獻

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