[ 多 ][- ． ] 選題 輾轉相除法 .若 將 4369 1 + 5911 1 化 , 則 ? (A)100487 (B)100489 (C)10280 (D)25825159 為最簡分數 其分母為何 (E)25825161 . AD 解答：
.設a,b,c,d,m 都 m(a － b),m(c －d)， x,y ， 異於零的整數，若是 整數對意任於則 下列何者成立？
(A)m(a+c－ b － d) (B)m(a+d － b － c) (C)m(ax － by)(cx － dy) (D)m[(ax+by) － (cx+by)] (E)m[(ax+cy) －(bx+by)] 。
ABE 解答：
.設a,bN， (A) 若(a,b)=[a,b] ， a=b (B) 若 as,bs 且 (a,b)=1 ， abs (C) 者為下？何述敘列真 則 則
若 (a,b)=1 且 rb ， (a,r)=1 (D)(a,a+b)b (E)(a+3b,3a+b)=(a,b) 。 則
ABCD 解答：
.設 a,b,c,dZ ， abcd0 ， ab+cd=1， (A)(a,b)=1 (B)(a,c)=1 (C)(b,c)=1 (D) 若 則下列何者為真？
(b,d)=1 (E)(c,d)=1 。
BCD 解答：
.設 a,b,cN 且 (a,b)=1 ， (A)(a2,b3)=1 (B)(a+b,a-b)=1 (C)(ab,a-b)=1 (D)(ac,bc)=c 則下列何者正確？
(E)abcac 。 ACDE 解答： .設 n 為 2n除 7 所 r 自然數， 以 得的餘數為 n， (A)r2=4 (B)r3=1 (C) rn共 3 個 下列則？真為者何 有 值 (D) rn 共 6 個 (E)r1996=1 。 有 值 ABC 解答： [ 計 ][- ． ] 算題 輾轉相除法 .設 a,bZ,b0,a=bq+r, 其 0<r<∣b∣,若 a=-160,b=9, 求 (q,r). 中 已知 數對 (-18,2) 解答： .設 aN, 若 a 分 2836,4582,5164,6522所 r,(r0), 求 (a,r) . 以 除別 得的數均為餘 數對 (97,23)或 (194,120) 解答： .設 xN,200<x<1700,x 除 6 餘3, 除 8 餘5, 除 13 餘 10, 求 x 的 . 以 以 以 最大值 1557 解答： .某 495 人 , 女 405 人 , 現 , 每 , 且 , 校男生有 生 把男女混合編隊在 女男有隊均 每隊的男生人數相等 女 , 則 ? 數相等人生也 可隊少多編生多最女部全男 45 隊 解答： .某 , 大 , 二 , 三 , 兒個子人有三 一次家回天三每子兒 家次一五回天每兒子 兒子每七天回家一次 今 , 問 ? 時兒三家回個同旦元於子 次同時回家是幾月幾日下 :4月 16 日 , 閏 :4月 15 日 解答：平年 年 .設 x , y 為 x , y 除 7 的 2 與 3 ， x2 +3y 除 7 的 整數，二 以 為別分數餘 求 以 餘數為何？ 解 答 ： 6 .設m 為 (m+2)(5－ 2m) 且 (2m － 1)(5m+1) ， m 的 整數，若 求 值為何？ 1
解
答
： 1 OR -3
.設 x,y 為 xy－ 3x+2y － 17=0 ， x2 +y2 = ？ 整數且滿足 求
解 答 ： 97 或 197 或 73 或 173 .設 S={4176x+1856y}x,yZ} ， S 中 求 之最小正數為何？ 解 答 ： 464
.設a,b,c為 a<b<c ， a,b 滿 (1)a,b,c 之 45 (2)b,c 且三然自數 若 ：件條列下足三 最大公因數為
之 225,最 1350 (3)a,b 之 3150 。 a,b,c之 公數為大最因 小公倍數為 為最數倍公小 試求 值。 解 答 ： a＝ 315,b ＝ 450,c ＝ 675 .韓 5 人 9 人 13 人 17 人 3 人 人每，萬滿不兵，兵點信 一數， ，一數 數一， 一數皆餘 ，問兵有人若干？ 解 答 ： 9948
.設 a=5723,b=4171 (1) 求 (a,b)= ？ (2) 求 m,n ， am+bn=(a,b) 。 一組整數 使得
解
答
： 97,m=-8,n=11
.設a,bN， a+b=91,[a,b]=12(a,b) 且 a>b ， a,b 之 試求 值。
解
答
： a＝84,b＝ 7 或 a ＝ 52, b ＝ 39
.設 n=abc 為 abc 相 n 可 45 整 (1)c 可 (2)a+b 數一整且正位三 已知若，異 被 ：求試，除 能取得的值
可 (3) 此 n 的 能取得的值 種 個數。 解 答 ： 0或 5,9 或 4 或 13,15 個 [ 單 ][- ． ] 選題 輾轉相除法 .下 (A)271 (B)889 (C)667 (D)411 (E) 以 。 列敘述何者為質數？ 上皆非 A 解答：
.已 (23,37)=1 ， x 、 y 使得23x+37y=1 ， x+y 可 (A)5 (B)3 (C)0 (D)-2 (E)- 知 存在整數 則 為
3 。 E 解答： [ 填 ][- ． ] 充題 輾轉相除法 .若 8 後 , 所 S , 則S=________ . 除正所以有方平數整 的餘數之集合為得 {0,1,4} 解答： .(40)255 除 13 的 ______. 以 餘數為 1 解答： .若 a 為 1000 的 , 且 465 除 30 , 則 a 與 465 的 _______. 於大 數然自 被 為數餘後的 最大公因數為 15 解答： .設nN， n 除 13511,13903,14589 得 n 值 __________ 。 以 同的餘數，則足條件的最大相滿 為 解 答 ： 98
.設 a,bN ， a+b=64 且ab4875,則 a － b=_________ 。 解 答 ： 14 .設nN，200<n<300 ， n 除 13 與 19 的 5 與 6 ， n=__________ 。 若 以 餘數分別為 則 解 答 ： 291 .不 300 的 6 整 , 而 8 整 _______. 於大 數能被然自中 除 不能 的一切自然數之和為除 5778 解答： 2
.設 S={k|k=377x+889y, x,yZ,k>o} 則 S 中 。 最小元素為 29 解答： .求 4234 與 5568 的 。 最大公因數為 58 解答： .求 5633 與 11659 的 。 最大公因數為 131 解答： .求 3431 與 2397 之 。 最大公因數 47 解答： .(4098,582)= 。設 m,nZ且 4098m+582n=(4098,582) ， m為 n= 足滿 若 大的負整數，則最 。 6,169 解答： .已 a,bN ， 知 且滿足
616
3
1540
b
1540
2
b
a
．
．
， (m,n)= ， m。 a+n 。b=(a,b)。 找出一組整數 使得 (7,-16) 解答： .一 6 公 15 公 ( 沒 ) 量 99 公 , 我郎以用：說位賣油可 升和 子桶的升 有刻度 出 升的油 請 ？ 。 問他的說法對或錯呢 解答：對 .設 a 、 b 、q1、q2、q3皆 為正整數，且滿足
24
q
582
4098
582
q
4098
b
4098
bq
a
3 2 1 (1) （4098,582） = 。 ，求： (2)(a,b)= 。 (1)6(2)6 解答： .已 a 除 4644 所 2967 ， (a,4644)= 。 正知數整 以 為數餘的得 則大公因數最 129 解答： .試 (10961,8924)= ？ 。 求 97 解答：.x,yN ， 2x+3y=100 之(x,y)解 組 滿足 共 。
16 解答： . 2709 1 5719 1 化 。 為最簡分數 解答： 7353 4 .設a90 , 則 a 值 18xay1 有 。 少多有 得使 整數解 30 解答： 3
[ 綜 ][- ． ] 合題 輾轉相除法
.兩 a,b 及 q,r 滿 a=qb+r 時 (1)a 與 b 數整正個 個整數兩 足 敘？假真的述列之題小各下斷，判
固 q 及 r 有 (2)(a,b)=(b,r) (3)b除 a 的 b 除 r 的 (4)cb且 足定時等，滿的號 無多組限 餘數等於 餘數
crca (5)b 除 a 的 r (6)da 且 dbdr (7)pa 且 prpq 或 pb 。 餘數為
, 真 , 真 , 真 , 假 , 真 , 假 解答：真 .以 3431 與 2397 之 d ； m、 n 使 3431m+2397n=d 。 除輾法轉相求 最大公數因 據此求一組整數 d=47, m=7 、 n=-10 解答： .(1) 試 m,n 滿 5911m+4369n=(5911,4369) 。 (2) 若 求一組整數 足 將 5911 1 + 4369 1 化 。 最寫）式解分準標成（簡為分其求，數分母 1.m=3,n=-4 2.17x23x257 解答： .試 (a,b)=1， (3a+7b,2a+5b)=1 。 證：若 則 解答：略 [ 證 ][- ． ] 明題 輾轉相除法 .試 述輾轉相除法原理，並證明之。 解答：略 .設 a,b 為 q=bq+r ， q,r 為 0r<b， (a,b)=(b,c) 。 整數且 其中 整數， 試證： 解答：略 4
