指數與對數

1-1 指數

高中數學

指數與對數

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第一章 指數與對數

1.1

指數

觀念： 1. n a a a    a 個 連乘 _n a ,　讀做 「 a 的 n 次方」, 其中 a 稱為底數,　 n 稱為指數。 2.指數的運算規則：a_、b_{皆為實數且}ab0_﹐m_﹐n_{皆為自然數} (1) a am n _am n _. (2) (am n) _amn_. (3) a bn n _{ ( )}ab n_. (4) 0 1 a  （規定）. (5) a n _a1n  _ . (6) _a1n n _a. (7) _amn n _am 3. 指數方程式﹕ (1) 若_ax_ay 則 , , 1 , 0, 1 x y a x y a a    _{  }  為任意實數 當 當 j k _。 (2)若_{A a} 2x_{ B a}x_{ C 0} ，其中a0，A、B、C皆為實數，則令_{t a} x _0 ，即 得二次方程式 2 0 At Bt C  ﹐利用因式分解先求出t，再代入 x t a ，求x。 例1：利用指數律化簡下列各式： (1) _(2)3_(2)4_{. (2)}

 

₄ 5 3 . (3) (2)5(3)5_. 【練習題】 (1) 完成下列的填空： (1) 23_24_2□_{. (2) (3)}3_(3)5 _9□ _{. (3)}

 

_4 2 _{ 2}20_. (4) ₃5₄5 _□5_{. (5) (2)}10_35 _□5_. 例2：計算下列各式的值： (1) 3334. (2)

 

36 0. (3) 22(3)2. (4) ₄3 3 3   .

1-1 指數 (5) 3 1 8 . 　　　　　 (6) 3 2 36 . 　　　　　　 (7)





3 1 001 . 0  . (8) 3 ₂12 _3 ₃12 (9) 31.431.2 30.6 (10) 2 1 3 3 3 1 2 1 3 4    a a _{（a 為正實數）.} 【練習題】計算下列各式的值： (1)



31



0. . (7) 3 1 27 　　　　　　　　　 (2) (_2)5_(_2)8. _{(8) 5 20} a (3) . 3 1 2 1 2 2              _{. (9) 10}1.1 _101.2 _100.9 (4) 2 5 ) 2 ( ) 2 (    . (10) 3 1 2 3 3 4 3 2 9 2 1 a a a a    （a 為正實數） (5) 2 1 9 . (6) 2 5 4 例3：化簡下列各式： (1)



 

₃



1 2 3 _{ a}   a (2)



31

 

2 31



2 (3)



_aa1



_a2 _1_a2



【練習題】化簡下列各式： (1)



a4 a

 

2 3



2 (2)



3 3

 

3 3 3



3 (3)



aa1



a2 1a2



例4：計算下列各式的值： (1) 2 2 1 2 100 10   . 　(2)

 

3 2 2 2. (3) ₁₂ 3 6 36 . 【練習題】計算下列各式的值： (1) ₂ 12 _2 3 . (2)

 

9 2 2. 1 2 (3) 18 2 3 27 _. 〈 HW 〉講義 1-2 學生練習 1~2

1-1 指數 例5：池塘中的布袋蓮現在的面積為 20 平方公尺，經過 6 個月之後，它會蔓 延到160 平方公尺的範圍。如果在相同的時間內，蔓延範圍增加的倍數一 定，試問：10 個月後它蔓延的範圍有多大呢？ 【練習題】 海藻培植實驗中發現，面積1 平方公分的海藻，每經過 4 天的時間面積會變成 原來的8 倍，如果相同時間內海藻面積增加的倍數一定，現在有 10 平方公分 的海藻，試問：經過6 天之後，會有多少面積的海藻？ 〈 HW 〉講義 1-5 老師講解 、學生練習6 6

第一章 指數與對數

1-2 指數函數及其圖形 觀念： 1.指數函數的定義：設 a0，a1，x 是任意實數，我們稱 _{y f x}( )_ax_，以 a 為底數的指數函數。 2. 指數函數的圖形﹕設a0，a0，_{y f(x)a}x_，則 (1)當a 1時 (2)當0 a1時 3. 由圖形可以得知﹕ (1)圖形必過點(0,1)_{且漸近線為 x 軸.} (2)對於任意實數x_{﹐恆使得a}x 大於0﹐故圖形必在x_軸上方. (3)當a 1時﹐則y  f(x)_{為嚴格遞增函數.} 當0 a1時﹐則y  f(x)為嚴格遞減函數. 4. 圖形與圖形的對稱及平移﹕ 原函數 變換 新函數

 

x f x a 對稱y軸 y f

 

x 對稱x_軸  y f x

 

對稱原點  y f

 

x 沿x_{軸方向移動}h_單位 y f x h







沿y軸方向移動k_單位 y k  f x

 

例1：用描點的方式作出y x       2 1 _的圖形. x y

1-2 指數函數及其圖形 【練習題】用描點的方式作出_y2x的圖形. 例2：(講義 1-11 老師講解 3) (1)試作出_{y 2}x_之圖形. (2)利用上式之圖形作出下列各函數圖形 y2x y 2x  y2x y 4 2x 【練習題】(講義 1-11 學生練習 3) (1)試作出_{y 3}x之圖形. x y

(2)利用上式之圖形作出下列各函數圖形 _{y 3}x _{y 3}x  _{y 3}x _y3x _1 例2：解下面兩個方程式： （1）

 

3 3x2 27 3 . （2）9x 43x 30 【練習題】解下面兩個方程式： (1) 8 2 2x  ﹒ (2) _{3 10 4} 2 4 x2  x

1-2 指數函數及其圖形 例3：比較_(0.3)1.3_、(0.3)0.3_、(0.3)0.3_、 3 . 0 與1 這五個數的大小關係。 【練習題】比較_(1.2)1.2_,　(1.2)0.2_,　(1.2)0.2_, 2 . 1 與₁這五個數的大小關 係。 例4：若 4 1 2 1 2 _       x _{，則 x 的範圍為何？} 【練習題】若2 2 2 8   x x ,　則 x 的範圍為何？ 例5：若4x 2x 20,　則 x 的範圍為何？

【練習題】若9x 43x 30,　則 x 的範圍為何？ 例6：放射性同位素碳 14 的半衰期約為 6000 年，則碳 14 的量減少至原來 的 1₈ 需要多少時間？ 【練習題】已知一放射性元素在 _3.36104 _{年後衰變了} 4 3 _{，即剩下原來的} 4 1 _， 　求其經過多少年會衰變一半（即求其半衰期）。 (補充)講義 1-1 及 1-2。

1-3 對數

第一章 指數與對數

1-3 對數

觀念： 1. 對數的定義﹕設a0，a1，若滿足axb，則稱x為以a為底數時b的對 數，記作xlogab。 其中a稱為此對數的底數，b稱為真數且b恆大於0。 2. 註﹕(1) 對數與指數的互換

log

x a

a

  

b

x

b

， 其中a0，a1，b0。 (2) 若對數

log b

_a

有意義﹐則a0，a1 b0。 (3)常用對數﹕以 10 為底數的對數就稱為常用對數，例如

log 2

₁₀ ，又 常用對數常將底數10 省略，亦即log 2 log 210  。 3.對數的基本運算﹕設a0，a1，r0，s0，m、n是實數﹐則 (1) log 1 0a  . (2) logaa1.

(3) logarslogarlogas. (4) loga loga loga

s s r r   . (5) logarn nlogar. (6) 1 log_am r log_ar m  _. 註﹕由(5)(6)知﹕ log m log n a a n r r m

 _log log n logn n n ar a r  a r . (7) 換底公式﹕ log log log c a c b b a  _{（其中c0﹐c1）.} (8) log 1 log a b b a  _.

(9) 連鎖性質﹕logablogbclogcd logad.

(10) clogab blogac（其中c0）由(10)知﹕alogab b.

例1：求下列各對數的值： (1) log 27₃ . (2) log₃1 9. (3) log 17 . (4) 5 1 log 5 . 【練習題】求下列各對數的值：

(1) log 81₃ . (2) log₅ 1

125. (3) log 111 . (4) log 77

例2：計算下列各式的值：

(1) log 4 log 9₆  ₆ . (2) log 20 log 5₂  ₂

(3) log 128₄ . (4) 2log 125 3log 4₁₀  ₁₀

【練習題】計算下列各式的值：

(1) log 2 log 8₄  ₄ . (2) log 24 log_{6 6}2

3

 .

(3) log 125₅ . (4) 2log 9 4log 2₆  ₆

例3：設log 2 a10  ，log 3 b10  ，將下列各式用a、b 表示：

1-3 對數

【練習題】設log 2 a₁₀  ，log 3 b₁₀  ，將下列各式用a、b 表示：

(1) log 6₃ . (2) log 5₃ . (3) log 18₃

例4：化簡下列各式：

(1) log 7 log 5₅  ₇ . (2) log 2₄ . (3) 3log 23 . (4) 3log 29

【練習題】化簡下列各式：

例5：化簡下列各式：

(1) log₁₀ 4 log₁₀9 log₁₀ 3

5 8 10. (2) 2 log 8 log 25₃ 10  100 .

(3) log 9 log 4₂  ₃ .

【練習題】化簡下列各式： (1) log 2 log_{10 10}5 2log₁₀ 125

2

  . (2) 3 log 16 log 25₁₀3 ₁₀

2  .

1-3 對數 例6：目前國際上使用芮氏規模來表示地震的強度,　設E(M)_{（單位爾格）為} 地震芮氏規模M 時所釋放出來的能量,　其中 M 與E(M)_{的關係如下：} 10

log

E M

( ) 11.8 1.5





M

. (1)集集大地震的芮氏規模為 7.3,　試問其震央所釋放的能量E(7.3)_為多少爾 格？ (2)如果芮氏規模 a 的地震所釋放的能量是芮氏規模 4 的 1000 倍,　則 a 大約 是多少？

第一章 指數與對數

1-4 對數函數及其圖形 觀念： 1.對數函數的定義：設

a



0

，

a



1

，

x



0

，稱 y f x( ) log a x為以 a 為底數的對數函數. 2. 對數函數的圖形﹕ (1)當a 1時 (2)當0 a1時 3.對數函數圖形的特性：設a0，a1，x0，y f x

 

loga x，則 (1) 當a1時 圖形恆在y軸右側，即x恆大於0。 圖形必過

 

1,0 。 若x₂  x₁ 0，則

log

a

x

₂



log

a

x

₁（嚴格遞增）。 漸近線為y軸. (2) 當0 a 1時 圖形恆在y軸右側，即x恆大於0。 圖形必過

 

1,0 。 若x₂  x₁ 0，則

log

a

x

₂



log

a

x

₁（嚴格遞減）. 漸近線為y軸。 (3) 設a0，a1，x0，則對數函數ylogax即為x a y，與指數函數 x y a 之圖形必對稱於直線x y 0。

1-4 對數函數及其圖形 例1：用描點的方式作出ylog₂x的圖形. 【練習題】用描點的方式作出ylog₃x的圖形. 例2：試作出 1 2 log y x_之圖形. 【練習題】試作出 1 3 log y x_之圖形. x y x y x y x y

例3：解方程式log10xlog (10 x  1) 1 log 210

【練習題】解方程式log 3₅ xlog (₅ x3) log 12 ₅

例4：比較log 5₃ 、log 16₉ 、log₃1

4、1 這四個數的大小關係。 【練習題】比較log 7₂ 、log 25₄ 、 1 2 log 3 、2這五個數的大小關係。 例5：解下列兩個不等式： (1) 2 2 log x 0 (2) 1 2 log (x_{   .}2) 1

1-4 對數函數及其圖形 【練習題】解下列兩個不等式： (1) log₃x 1 (2) 1 2 2 log x 0 例6：解不等式log (₃ x 3) log (₃ x 5) 1 【練習題】解不等式log₃xlog (₃ x 2) 1

對稱圖形

對於任何不等於

1 的正數

a

_{均有相同的情形}

_,　即

(1) 函數

_{y a} x

_和

x a y        1

的圖形對稱於

y 軸.

(2) 函數

ylog_ax

_和

log1 a y x

_{的圖形對稱於}

_{x 軸.}

(3) 函數

_{y a} x

_和

_log a y x

_{的圖形對稱於直線}

y x

_.

例7：將ylog₂x與ylog₃x的圖形畫在同一坐標平面上，並加以比較。

【練習題】將函數 1 2 log y x_和

1

2

x

y

 

_{ }

 



的圖形畫在相同的坐標平面上,　觀察此二圖形 是否對稱於直線y x 。

1-5 查表、內插法

第一章 指數與對數

1-5 查表 內插法

觀念： 1. 科學記號表示法﹕對於任何正數x均可以表成_a10n_{，其中n為整數且} 1 a 10的形式。這樣的表示法就稱為x的科學記號表示法。例﹕ 3 5400 5.4 10  ﹔_{0.00054 5.4 10 } 4 2. 常用對數表的用法﹕ 對數log x，其中1 x 10而言﹕ (1) 若x的小數位數為2 位以內，則﹕ 先於最左一行找到x的個位及小數第1 位數值。 再於最上一列中找出x的小數第2 位數值。 兩行列交會的數值即為log x的小數點後4 位數。 例﹕log1.63之值的查法﹕ x 0 1 2 3 4 _… 9 10 11  16 2122  所以log1.63 0.2122 . (2) 若x的小數位數為3 位數字，則須加上表尾差部分， 例﹕log1.637之值的查法﹕ 表尾差 x0 1 2 3 _…9 1 2 3 … 7 8 9 10 11  16 2122 1821  所以log1.637 0.2122 0.0018 0.2140   . 3.首數與尾數﹕ 對於任何正數x，均可表成科學記號

a



10

n，n為整數，1 a 10_，則





log_xlog _a10n _{ n loga}

，而0 log a1，其中n_{就稱為log x的首}

數，log a就稱為log x的尾數。

例1：求下列各對數的值：已知log 2 0.3010 ，log3 0.4771 ，log7 0.8451 ，

求下列各對數的近似值：

1 2

(1) log 4 (2) log5 (3) log6 (4) log8 (5) log9 (6)

log 5

₃ . 例2：利用常用對數表求出下列各式的值： (1) log1.38. (2) log1.388. 例3：利用常用對數表查出下列各式的真數值： (1)

log





0.4014

. (2)

log





0.4021

. 【練習題】利用常用對數表查出下列各式的真數值： (1)

log





0.8915

. (2)

log





0.1962

. 例4：求下列各式的首數及尾數： (1)log1530 (2)log0.00153

1-5 查表、內插法 【練習題】求下列各式的首數及尾數： (1)log1380 (2)log0.00138 例5：將₂30_{乘開後是幾位數？(}log 2 0.3010 ₎ 例6：若將 100 2 3

 

 

 

表示成小數，從小數點後第幾位開始出現不為0 的數字？ (log 2 0.3010 ，log3 0.4771 ) 【練習題】 (1) 將₇40_{乘開後是幾位數？(log7 0.8451} ₎

(2) 若將 100 2 5         表示成小數，從小數點後第幾位開始出現不為0 的數字？ 例7：已知loga9.3310，求 (1) a 的最高位數字為何？ (2) a 的整數部分是幾位數？ 【練習題】已知loga4.0516 (1) 求₂30_{的最高位數字？} (2)求 a 的最高位數字及 a 之整數部分是幾位數？