在Bianchi Type I 空間中的非等向性宇宙膨脹分析

國

立

交

通

大

學

物理研究所

碩 士 論 文

在 Bianchi Type I 空間中的非等向性宇宙膨脹分析

The Analysis of the Bianchi Type I Anisotropically

Inflating Universe

研究生：張育誠

指導教授：高文芳 教授

在 Bianchi Type I 空間中的非等向性宇宙膨脹分析

The Analysis of the Bianchi Type I Anisotropically Inflating Universe

研究生：張育誠

Student : Yu-Cheng Chang

指導教授：高文芳

Advisor : W. F. Kao

國 立 交 通 大 學

物理研究所

碩 士 論 文

A Thesis Submitted to Institute of Physics College of Science National Chiao Tung University for Degree of Master in Physics

July 2010

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

i

在 Bianchi Type I 空間中的非等向性宇宙膨脹分析

指導教授：高文芳 教授

學生：張育誠

國立交通大學物理研究所碩士班

摘要

在宇宙早期，有一段加速膨脹的過程，而這種加速膨脹的過程可能是起

因於純量場模型或來自高階修正項重力場模型的貢獻。而初始的條件或是

時空特性，是否會影響早期宇宙演化成今日，在大尺度下等向和均勻的膨

脹模式，是宇宙學探討的重點之一。本論文將探討包含高階修正項的重力

場模型在 Bianchi type I 空間中的效應，假設宇宙在早期是非等向膨脹，

有系統地尋找膨脹解，並且進一步分析這個膨脹解隨著時間演化是否會維

持其故有的非等向性。

ii

The Analysis of the Bianchi Type I Anisotropically Inflating Universe

Advisor : Dr. W. F. Kao

Student: Yu-Cheng Chang

Institute of Physics

National Chiao Tung University

ABSTRACT

Inflation in the early universe is a scenario that could be induced by the scalar

field model and/or the high derivative gravity model. Moreover, initial

conditions of the space time may affect the evolution of the large-scale isotropic

and homogeneous universe we observed today. Therefore, we will focus on the

evolution of the Bianchi type I anisotropically inflating universe under the

influence of a high derivative pure gravity model. Systematic method in finding

the solutions of the equation of motion will be presented in this thesis. We will

also try to find out whether these solutions are stable or not.

iii

致謝

這篇論文的誕生，我自己本身占了多少功勞呢？我想，微乎其微吧。 在進入宇宙論的學習中，是因為有高老師的引領和教導，凡事才能事半功倍，不但 帶動了學習的慾望，也不會因為遭遇困頓而失去興致。 在實驗室研究的安排中，老師扮演著像是一部電影的製片角色，主要關注在實驗室 研究方向的選定和避免我們的研究過度地偏離目標。而導演的角色則是由張家銘學長和 林英程學長擔任，他們的教導總是鉅細靡遺又切得要點。老師如此安排，有諸多好處， 像是彼此討論交流更為頻繁，更容易在物理的學習上，了解更多不同的思維模式，也可 以培養我們獨力尋找，如何適切地解釋物理模型的能力，在此感謝與國俊(Tuan)，傳睿， 俊憲，韋嵐，胡理策學長，林益弘學長，黃宣翰學長的討論。 另外要特別感謝我的雙親，在我求學求知的過程中從未讓我感到絲毫壓力，卻又讓 我毫不缺乏滴點溫暖的鼓勵和關懷。 除了與我直接相關的人之外，這世界龐大和複雜到難以想像，無法把所有因果關係 都釐清，今天這篇論文的誕生，必需感謝所有在我生命中出現或沒有出現的人，他們可 能無意或有意的促成我對物理的興趣，也無意或有意的促成我人生的美滿，讓我可以在 這碩士生涯中盡情的學習，盡情的揮灑。 再次感謝老師以及實驗室的各位學長同學。 本篇論文獻給我所認知和尚未認知的世界，如果它值得存在。

iv

目錄

中文摘要

i

英文摘要

ii

致謝

iii

目錄

iv

1. 簡介

1

2. 比安基分類

4

2.1 基靈方程式

4

2.2 空間和運動轉變群

6

2.3 比安基分類

9

2.4 Bianchi Type I

14

3. 二階重力模型的運動方程式

16

3.1 Bianchi Type I 的空間特性

16

3.2 對尺度因子變分而得到的運動方程式

19

v 3.3 確切的運動方程式

22

3.4 對度規常數變分而得到的運動方程式

25

4. 運動方程式的解

32

4.1 運動方程式的解

32

4.2 空間項運動方程式的解

35

4.3 能量條件

38

5. 微擾

41

5.1 微擾的設置

41

5.2 得到確切的矩陣

44

5.3 微擾的解

49

6. 結果討論

51

附錄

A

53

B

55

C

58

D

64

參考文獻

69

1

1. 簡介

透過天文學家的觀測，我們了解現今宇宙的膨脹，在大尺度下是近乎等向性(isotropy) 和齊次性(homogeneity)[1]。依據[2]指出，宇宙早期應有一小段時間是進行加速膨脹。加 速膨脹的現象，可以推論是起因於純量場(scalar field)的影響，而在理論上，高階修正項 的(high derivative)重力模型(pure gravity model)也可以提供相同的效應。[3-5]

在任意的初始條件下，宇宙是如何演化至等向性，和齊次性的膨脹？在[6-15]便試 著改變不同的初始物理量，來歸納出，何種的初始條件會使宇宙演化至現今的宇宙。

其中最有名的便是，1983 年 Robert M. Wald 提出，運動方程式G_ab  g_ab8T_ab，

ab

T 代表能量應力張量(stress energy tensor)必須滿足主能量條件(dominant energy

condition)和強能量條件(strong energy condition)，則在 3+1 維的宇宙模型中利用比安基 分類(Bianchi classification)來做分類，其中除了 Bianchi type IX 之外，Bianchi type I-VIII 空 間下的膨脹都會趨近於德西特解(de Sitter solution)，也就是等向性和齊次性膨脹。[10]

所以在任意 3+1 維的宇宙模型中，不同初始條件的早期加速膨脹，是否會演化成等 向性和齊次性膨脹；以及，早期的加速膨脹若是非等向性(anisotropic)膨脹，那它之後會 如何演化，便是一個有趣的問題。

2 我的研究主要是利用[16]所提供的高階修正項的重力模型，作用量(action)為





4 2 1 2 2 BH S 



d x g RR R R_    (1.1) 計算其在 Bianchi type I 下的運動方程式，和其解，最後在這個非同向性的膨脹模型中， 加入微擾，驗證其膨脹形勢是否穩定，而這個工作的前半段，也就是得到運動方程式的 解，John Barrow 已經發表於[17]。 本篇論文會在第二章的部分介紹比安基分類，這有助於我們更加了解 3+1 維的宇宙 模型。

研究方法如下：

1. 利用[18-21]的方法得到作用量(1.1)的運動方程式，此方法可以處理不同作用量 的高階修正項的重力模型問題，但是限定在 Bianchi type I 之下。 2. 利用[22,23]的方法得到作用量(1.1)的運動方程式，此種方法可以處理不同比安基 空間，也就是不同 3+1 維宇宙模型，但是限定在作用量(1.1)型式下。 3. 簡單的驗證兩個方法所的得到運動方程式是相同的。 4. 求出運動方程式的解，並分析解的特性。 5. 加入一任意微擾，檢驗這種型式的膨脹是否穩定。

4

2. 比安基分類

2.1 基靈方程式

利用黎曼(Riemann)的方法，描述一個

n

維度的空間，可以用下列度規表示 1... 2 , n ik i k i k ds 



a dx dx (2.1) 其中a 為度規係數，永不為零，接著定義無限小移動的移動運算子_ik (transitive operator) 1..n r r r Xf 



  f x (2.2) 其中_r是一向量，稱為基靈向量(Killing vector)。 在

n

維空間中，可以被允許的移動，充分也必要條件是，當移動運算子作用在度規 上，為一個零(null)的結果，以式子表示如下

5

 

2 , , , , , 0 ik r i k rk r k ir r i i k r r r k i r ik r r r rk ir i k i k r r i k a X ds dx dx a d dx a d dx x a a a dx dx x x x                     _{ }   _         







 

(2.3) 而其中的 0 ik r r r rk ir r r i k a a a x x x      _  _  _  _{  }   



(2.4) 就是基靈方程式(Killing equation)。 一個在

n

維度空間下所允許的移動，必須滿足(2.4)式。

6

2.2 空間和運動轉變群

本節主要的目的是，確保

n

個移動運算子所組成的群：



1 , 2 ,...,



n n G  X f X f X f (2.5) 一定有一個

n

維空間可以允許它的存在。 先對移動運算子作一般性的設定  

_

_

1... , 1, 2,..., n i i i f X f n x        



(2.6) 而利用李(Lie)對空間分類，透過移動運算子的交換子(commutator)的型式[24]可以定義為 , r X X f cX f     



(2.7) 假如，成功找到一個

n

維空間可以滿足

n

個移動運算子所組合成的群，則利用(2.4)式可 以改寫成

 

r  r  0 ,



, ,; 1, 2,3,...,



ik ir kr r k i X a a a i n x x      _  _{ }   _{ }  _ _   



(2.8) 現在只要固定住(2.8)式的i k, 項，把

r

從1 ~ n帶入。又因為要確保每個移動運算子不為 零，透過(2.6)式，知道

7                     ... ... 0 . . . . ... i i i i i i i i i                       (2.9) 可以直接求出a ，藉以得到允許這個群作用的空間的度規。_ik 現在只需要證明這個系統是完全可被積分的，便可以討論這個空間的存在。將(2.8) 式寫成不同移動運算子作用的兩個式子

 

r  r  ik ir kr r k i X a a a x x       _{ }   _{ }  _ _  



(2.10)

 

s  s  ik is ks s k i X a a a x x       _{ }   _{ }  _ _  



(2.11) 將X_作用到(2.10)式， X_作用到(2.11)式，再互相減去利用(2.7)式可以得到

 

 

 

 

 

 

            0 s s ik is ks s k s i s s is ks r k s i r r r r ir kr r k k r i i c X a X a X a x x X a X a x x a X X a X X x x x x                                         _  _   _  _    _ _ _ _  _ _ _ _                  















(2.12) 而(2.7)式也寫成  

 

 

    r r r r X_   X_   



c_  (2.13)

8 (2.13)式再對x 作微分，得到_k               r r k k s s r r r r k s s k k s X X x x c x x x x x                  _  _        _   _               _  _  _     _





(2.14) 利用相同的方法也可以得到               r r i i s s r r r r i s s i s i X X x x c x x x x x                            _   _       _{ }       _  _  _     _





(2.15) (2.12)式前 5 項很明顯的是對於a 微分的式子，而後_ik 2 項由(2.14)(2.15)2 式得知，是 一致的。所以整個系統是a 的微分式，並且可以完全積分，故可以隨意選定_ik a 的初始_ik 值在整個

n

維空間中，而a 鄰近的點也可以被定義出來，進一步的就可以透過_ik (2.1)式定 義整個

n

維空間。

9

2.3 比安基分類

由上一節得知，任何代表移動運算子的G 群，一定有一個₃ 3 維空間可以滿足它的運 動。現在則要進行他的分類，以任意 2 個無限小的移動運算子的交換子來分類可以分成 下面 4 種型式



X1,X2

 

 X1,X3

 

 X2,X3



0 (2.16)



X1,X2



X f1 ,



X1, X3



X f1 ,



X2,X3



X f1 (2.17)



X1,X2



f aX f1 bX f2 ,



X1, X3



f X f1 X f2 ,



X2,X3



f X f1 X f2 (2.18)













1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 3 , , , X X f aX f bX f cX f X X f X f X f X f X X f X f X f X f                (2.19) 以交換子所形成的衍伸群(derivative group)的係數個數來分類，而(2.16)式就是 (Type I)



X₁,X₂



f 



X₁,X₃



f 



X₂,X₃



f 0 (2.16) 接著考慮(2.17)式，可以把X f 改寫成₂ X f₂    X f₂ X f₃ ，則(2.17)式變為





1, 2 0 , 1, 3 1 , 2, 3 1 X X X X X f X X X f            (2.20) 而 ,  不能同時為零，否則就會使(2.20)式變成 Type 1，現在考慮 0的狀況，則令

10 3 3 X f  X f    (2.21) 帶入(2.20)式，再將其變數變換，便可得到 (Type II)



X₁,X₂



f 



X₁,X₃



f 0 ,



X₂,X₃



f  X f₁ (2.22) 另一種情況是(22)式的 0，現在則必須另 2 1 2 X f  X f   X f (2.23) 3 1 3 X f   X f (2.24) 同樣將(2.23)(2.24)2 式帶入(2.20)式中，並作變數變換得到 (Type III)



X1, X2



f 0 ,



X1,X3



f  X f1 ,



X2,X3



f 0 (2.25) 接著處理交換子衍生群係數為 2 的(2.18)式，首先因為亞可比恆等式(Jacobi identity)



X1,X2



, X3



X2, X3



, X1



X3, X1



, X2 0             (2.26) 所以(2.18)式可以得到 0 , 0 b a  ba  (2.27) 進一步的假設 ,a b0，則又有 0    (2.28)

11 因為從(Jacobi identity)推導出的(2.27)(2.28)2 式，可以得到(2.18)式 6 個係數的比值關係 a b       (2.29) 因為(2.29)式，所以(2.18)式的 3 個交換子為簡單的倍數關係，因此可以仿造處理交換子 衍生群的係數為 1 的(2.17)式，將(2.18)式改寫為



X1,X2



f 0 ,



X1, X3



f X f1 X f2 ,



X2,X3



f X f1 X f2 (2.30) 繼續簡化，故將X f 替換為₁ X f₁ aX f₁ bX f₂ 帶入(2.28)式中，得到 1, 3 1 X X f X f      (2.31) 其中



1 2

 

1 2





1 2



1 a X f X f b X f X f  X f X f X f (2.32) 因為(2.32)式，可以將其簡化為以為變數的 2 個方程式





0 ,





0 a   b  a b    (2.33) 將其相乘得到





2 0           (2.34) (2.34)式的的解是實數或是複數，是判斷 Type IV~VII 的關鍵，之前將(2.17)式簡化為(2.20) 式討論其分類，現在如法炮製，利用(2.30)(3.31)式將(2.18)式簡化為

12



X1,X2



f 0 ,



X1, X3



f X f1 ,



X2, X3



f X f1 X f2 (2.35) 先討論為實數解的狀況，因為不為零，所以可以像(2.21)(2.23)(2.24)式一樣，改寫其 移動運算子的倍數將調為1，而現在(2.35)式進一步簡化為



X1,X2



f 0 ,



X1,X3



f  X f1 ,



X2,X3



f X f1 X f2 (2.36) (2.36)式剩下 2 個未決定的係數 , ，必須考慮其所有的狀況，故令X f 置換為₂ 2 1 2 3 X f a X f b X f c X f ，並帶入(2.36)式，得到





2, 3 1 2 X X f a b X f bX f        (2.37) 接下來可以簡單的分為兩類，其一b a      ，另外的則是b a      ，若考慮前者的情況， 則又有兩類b  1，b  1，而不選取b  0的原因是，這樣(2.36)式會和 Type III 的情 形一樣，在上述的情況下，可以得到 (Type V)



X₁, X₂



f 0 ,



X₁,X₃



f X f₁ ,



X₂,X₃



f  X f₂ (2.38) (Type VI)

















1 2 1 3 1 2 3 2 , 0 , , , , , 0,1 X X f X X f X f X X f hX f h     (2.39) 若，選取b a      ，則因為前面處理的經驗，一樣可以設法改變算符，讓其滿足



1 a



b      ，和



1 a



     的狀況，帶入(2.37)式，故(2.36)式可以寫成 (Type IV)



X₁,X₂



f 0 ,



X₁,X₃



f X f₁ ,



X₂,X₃



f  X f₁ X f₂ (2.40)

13 這邊必須提醒的地方為，即便將(2.31)式改寫為X1, X3  f X f2 ，則後來的推論仍然 會一致，並不會有餘漏討論到的型式，Type IV~VI 包含了(2.35)式 為實數解的所有可 能。 在接下來考慮(37)式為複數解的情況，先將 Type VII 寫下 (Type VII)













1 2 1 3 1 2 3 1 2 , 0 , , , , , 0 2 X X f X X f X f X X f X f hX f h        (2.41) 設定一個無限小的移動運算子Yf ₁X f₁ ₂X f₂ ₃X f₃ ，而之後有 3 個無限小的移 動



Y X, ₁



f ,



Y X, ₂



f ,



Y X, ₃



f ，並且設定₃ 0



Y X, 3



f 1X f2 2



X f1 hX f2



  



1X f1 2X f2



(2.42) 由(2.33)(2.34)2 式一樣的方法可以得到關係式2 _h _{1 0，這邊的}_{和(2.31)式的}_一 樣，而當 2 4 h  時，沒有實數解，所以 Type VII 是(2.35)式為複數解的情形。 最後一部分利用(2.19)式來做分類，則可分為下列 2 類型 (Type VIII)



X1,X2



f  X f1 ,



X1, X3



f 2X f2 ,



X2,X3



f  X f3 (2.43) (Type IX)



X₁, X₂



f  X f₃ ,



X₁,X₃



f  X f₁ ,



X₂, X₃



f  X f₂ (2.44)

14

2.4 Bianchi Type I

在前面7 個分類中都擁有 2 個係數的移動運算子子群(subgroup)G₂ 



X f X f₁ , ₂



， 現在選擇G₂ 0，並且定義在空間中x₁ constant，設定X f₁   f x₂，X f₂   f x₃， 所以有以下度規 2 2 2 2 1 2 2 2 3 3 ds dx dx  dx dx dx (2.45) 將上述代入(2.4)式，並寫出所有可能得到 1 1 3 1 2 2 1 1 3 1 2 3 1 1 3 2 1 2 2 3 2 1 3 3 3 3 2 2 1 3 2 3 2 0 0 0 1 0 2 1 0 2 0 x x x x x x x x x x x x x x x    _  _   _  _                                                                    _  _   _  _  (2.46) 從新定義第3 個移動運算子X f₃         ₁ f x₁ ₂ f x₂ ₃ f x₃ ，而有以下關係









1 3 1 2 3 2 3 1 2 3 , , X X f aX f bX f cX f X X f a X f b X f c X f          (2.47) 將X f₃         ₁ f x₁ ₂ f x₂ ₃ f x₃放入(2.47)式中得到

15 3 1 2 1 2 3 2 2 2 3 1 2 1 2 3 3 3 3 , , , , c c a c b x x x c c a c b x x x   _  _{ }   _  _{ }              _{ }  _{       }    (2.48) 將(2.48)式代入(2.46)式，又因為X f X f X f 皆是移動運算子故₁ , ₂ , ₃  1，得到以下











 









 



1 1 3 2 1 1 1 3 2 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 0 0 0 1 0 2 1 0 2 0 x c x x c x x c a c b c a c b c a c a c b c b                                                                                 (2.49) 在 Bianchi type I 的情況下a b c a b c, , , , ,   0，故  , , 屬於常數，所以 2 2 2 2 1 1 2 2 2 3 3 3 ds dx c dx c dx dx c dx (2.50) 可以將(2.50)式改變座標變為 2 2 2 2 1 2 3 ds dx dx dx (2.51) (2.51)式就是 Bianchi type 1 的度規。1

1. 本章是參考 Luigi Bianchi, Sugli spazi a tre dimensioni che ammettono un gruppo continuo di movimenti, Memorie di Matematica e di Fisica della Societa Italiana della Scienze, Serie Terza, Tomo XI, pp.

267-352(1898), Translated by Robert Jantzen, On three-dimentional spaces which admit a continuous of motion. 和 Luigi Bianchi, Lezioni sulla teoria dei gruppi continui fonote di trasformazioni (1918) pp. 550-557. Translated by Robert Jantzen, The Bianchi Claasification of 3-Dimensional Lie Algebras.

16

3. 二階重力模型的運動方程式

3.1 Bianchi Type I 的空間特性

Bianchi type I 的度規如(2.51)式所表示，而在 3+1 維的空間中我們把度規改寫成

 

2

 

 

2 2 2 2 2 1 2 3 1 ds dt a t dx a t dy a t dz B      (3.1) 通常選定B1，但在做變分的過程中必須先保留B，待變分完成後再替換成 1。而這邊 習慣以 2 ds g dx dx_{  }來做表示，則 2 1 2 1 2 ₂ 2 2 2 3 2 3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 _{, 1} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ₁ 0 0 0 B a B a g g a a a a        _  _{ }   _{ }   _{ }   _{ }   _{ }   _{ }     _{ }     (3.2) 1 2 3 a a a g g B     (3.3)

17

再計算里奇數量(Ricci scalar)時必須引進克里斯多福符號(Christopher symbol)，如下 式所表





1 2g g g g                 (3.4) 接著計算在 Bianchi type I 下非零的克里斯多福符號，一樣以矩陣表示 0 1 1 2 2 3 3 3 1 2 1 1 2 3 2 3 , 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B B a a a a a a H H H H H H                                                                  (3.5) i i i a H a  是哈伯常數，而i1, 2,3。 有了克里斯多福符號，便可以進行計算里奇張量(Ricci tensor)和里奇數量的計算





R_  R_  g  _ _   _ _   _ _   _ _ (3.6) 透過(3.5)式和(3.6)式可以計算出非零的里奇張量





0 2 0 1 2 i i i R  BH B H H (3.7)

18





1 2 1 1 1 1 1 2 1 3 1 2 R  BH B H H H H H H (3.8)





2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 1 2 R  BH B H H H H H H (3.9)





3 2 3 3 3 3 1 3 2 3 1 2 R  BH B H H H H H H (3.10) 接著對 R_作行列式計算就可以得到里奇數量



2



2 , , 1.2.3, 1, 2,3 , i i i i j R R_ BH  B H H H H i j i j i j (3.11) 接著處理愛因斯坦場方程式 1 2 G_  R_  g R_ ，而這個場方程式也是對作用量 4 1 2 S 



d x g R做變分的運動方程式。利用(3.11),(3.7)~(3.10)5 式分別帶入可以得到 0 0 1 2 1 3 2 3 G  H H H H H H (3.12)





1 2 2 1 2 2 3 3 2 3 G   H H H H H H (3.13)





2 2 2 2 1 1 3 3 1 3 G   H H H H H H (3.14)





3 2 2 3 1 1 2 2 1 2 G   H H H H H H (3.15) 本節對於 Bianchi type I 的空間中各幾何參數和愛因斯坦場方程式的計算，將會對後面章 節有極大的幫助。

19

3.2 對尺度因子變分而得到的運動方程式

利用[18-21]的方法，可以對作用量中的拉格朗日量(Lagrangian) 作尺度因子(scale factors) ,B a 的變分得到作用量的運動方程式，著手處理i (1.1)式的作用量





4 2 1 2 2 BH S 



d x g RR R R_    分析作用量的組成 4 S 



d xL， L g L ，其中



2



2 L g RR R R_    (3.16) 就是要對其做變分的拉格朗日量，透過尤拉變分公式對於時間項的變分為 0 L d L B dt B       (3.17) 空間項的變分為 2 2 0 i i i L d L d L a dt a dt a          (3.18) 接著將(3.17)式展開並將(3.3)式帶入可以得到 1 2 3 1 1 3 0 , 3 2 2 L L d B L H H H H H B B dt B B       _   _      _{ } (3.19) 這邊L代表了



2



2 L RR R R_    (3.20)

20 透過觀察L B H H ，可以發現以下連鎖律



, _i, _i



2 i i i i H L L L H B H H  _  _     (3.21) 2 i i H L L B H  _    (3.22) 將(3.21)(3.22)2 式代入(3.19)式可以得到對時間項尺度因子做變分的運動方程式模型





0 0 3 0 , i i i i i i i i i i D L L H H L H L H L L L L L H H              (3.23) 由於在計算(3.17)到(3.19)式中導入了(3.3)式，而(3.3)式是 Bianchi type I 所獨有的，所以 (3.23)式只能處理 Bianchi type I 的拉格朗日量，但是因為沒有限定L的型式，所以可以 任意選定想要處理的高階修正項重力模型的作用量。 相同的方法，處理對空間變分的(3.18)式，將其展開並將(3.3)式帶入得到 2 3 3 0 i i i i L L d L d L H H a a dt a dt a         _  _ _  _        (3.24) 對於將 , , i i i L L L a a a       轉換成對哈伯常數H 偏微分的式子如下i



2



1 1 i i i i i i i i i i i i i i H H L L L H L H H L a H a H a a a    _  _  _{   }      (3.25) 1 2 i i i i i i i i i i i i H H L L L L H L a H a H a a a    _  _  _{ }      (3.26)

21 1 i i i i i i i i i H H L L L L a H a H a a              (3.27) 將(3.25)~(3.27)式帶入(3.24)式中可以得到對空間項 scale factor 做變分的運動方程式模型





2





0 3 0 3 0 i i i D L   L H L    H L  (3.28) 這邊重申(3.28)式跟(3.23)式一樣因為導入了(3.3)式，故只能使用於 Bianchi type I 空間下， 但是可以處理不同的L，也就是不同的高階修正項模型的作用量。

22

3.3 確切的運動方程式

首先因為(3.23)和(3.28)兩式把對B變分的項利用連鎖律置換掉，所以可以先將B1 帶入(3.7)~(3.11)式，再將其帶入



2



2 L RR R R_    變成L H H 的型式表示



_i, _i



如下

























2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 2 2 2 2 1 2 2 3 2 2 3 3 1 3 2 3 2 1 2 , 1.2.3, 1, 2, 3 , i i i j i i i j i i L H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H i j i j i j          _    _{   }     _{ }                     (3.29) 再將(3.29)式作 i , i i i L   L H L   L H 的偏微分，這部分詳細將列在附錄 A。將附錄 A 的(A.1)~(A.6)式帶入(3.23)和(3.28)式可以得到確切的運動方程式，而時間項的運動方程 式稱為弗里德曼方程式(Friedmann equation)如下

















0 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 3 2 4 D L H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H     _{        }       _         _  _              

23

































2 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 3 2 2 1 1 1 2 1 3 2 2 2 2 1 2 2 3 2 2 3 3 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 2 1 1 1 1 2 1 3 2 2 2 2 1 1 2 4 4 4 1 2 1 2 1 2 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H                                           



 







2 2 3 2 3 3 3 1 3 2 3 = H H H H H H H H H                                       _        _{   }      (3.30) 而對空間項變分的運動方程式將列在附錄 B，以下列出空間項運動方程式的總和

















2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 8 12 i D L H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H                                        



    H₃ H H_{1 2} H H_{1 3} H H_{2 3}



                   _       

24





































2 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 3 2 2 1 1 1 2 1 3 2 2 2 2 1 2 2 3 2 2 3 3 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 2 2 3 1 1 1 1 2 1 3 1 2 5 5 5 5 5 5 4 4 4 3 2 3 2 3 2 4 2 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H                                            























 







2 1 3 2 2 2 1 2 2 3 2 1 2 3 3 3 1 3 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 1 2 1 3 2 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 2 3 2 2 3 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H                                      _            _{     }     _                       _{   }    =3     (3.31) (3.30)(3.31)2 式就是之後會頻繁計算到的時間項漢空間項的運動方程式。

25

3.4 對度規常數變分而得到的運動方程式

[22,23]所指出，利用對度規常數作變分的運動方程式表示如下









1 1 2 2 2 4 1 1 R 2 0 2 4 R g R R R Rg g R R g R R g R R g                         _  _            _  _ _  _       口 口 (3.32) 關於(3.32)式的推導過程於附錄 C，值得注意的是，(3.32)式推倒的過程中，必須限定拉 格朗日量為



2



2 L RR R R_    ，但是其度規常數g_仍然保持在式子中，故 任何比安基空間(Bianchi space)皆可以利用(3.32)式來得到確切的運動方程式。 再利用(3.32)式來計算在 Bianchi type I 中確切的運動方程式之前，先將原本的度規 (3.1)式簡化為

 

 

2 2 2 2 2 2 3 ds  dt dx a t dy a t dz (3.33) 這並不會影響所得到的運動方程式的結果，而會更容易的幫助驗證利用對尺度因子變分 和對度規係數變分所得到的運動方程式的一致性。 要取得時間項的運動方程式，也就是弗里德曼方程式，設定(3.32)式中的  0得 到









0 0 00 0 00 00 0 00 00 0 0 0 00 0 0 00 0 00 00 1 1 2 2 2 4 1 2 1 2 0 4 g R g R R g R g R g g R g g R g g R g R R R g R R g                        _  _                   _  _      _  _     (3.34)

26 將(3.34)式分做四部分來討論 第一部分： 0 00 0 00 2 3 1 2 g R  g R H H (3.35) 第二部分：























0 00 0 00 00 0 0 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 11 0 22 0 33 0 11 0 22 0 33 0 1 2 2 4 2 2 R g R g R g g R H H H H H H H H H H H H g R g R g R         _ _{     }         _         _    _         _















2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 3 2 4 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H  _{        }       _  _  _              (3.36) 第三部分：





0 00 0 0 00 0 00 1 2 1 2 4 g g R g g R g R R R g R R                         _  _      _  _  

27



 



00 0 0 00 2 00 0 00 1 2 1 +2 4 k ij k m i j k m k i i i i i i i i i g g R R g R g g R g g g R R g g g R R g g R g R R R R R R R g R R                                                                         _                                    





00 2 1 2 1 2 4 i i i i i i i i i i m i m R R R R R R g g R g R g R R g R                                                 _{          }             _  _  































2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 1 4 2 1 1 2 2 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H  _{       }      _{     }        _{    }    _{       }      (3.37) 第四部分： 00 g    (3.38) 將 4 個部分相加，也就是時間項的場方程式。這裡度規簡化為a t₁

 

1也就是H₁ 0， 將這個結果帶入(3.30)式發現和(3.35)~(3.37)相加之合一致

28

































2 3 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 4 1 4 2 1 1 2 2 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H   _{        }       _  _  _                              



  











3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 0 H H H H H H H H H H H          _{   }         _{ }            (3.39) 故證明了利用對尺度因子變分和對度規係數變分的時間項運動方程式也就是弗里德曼 方程式是一致的。 接著隨意考慮一個空間項的運動方程式，選定  2帶入(3.32)式得到









2 2 22 2 22 22 2 00 22 2 2 2 00 2 2 22 2 22 22 1 1 2 2 2 4 1 2 1 2 0 4 g R g R R g R g R g g R g g R g g R g R R R g R R g                        _  _                   _  _      _  _     (3.40) 利用和處理時間項一項的方式，將(3.40)式分成四部分來討論 第一部分：





2 2 22 2 22 22 3 3 1 2 g R  g R g H H (3.41)

29 第二部分：













 



2 22 2 00 22 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 22 _{22 0} 22 0 1 2 2 4 2 2 2 R g R g R g g R H H H H H H H H H H H H g g R R g R              _ _{     }      _{        }      _{         }   















2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 22 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 3 2 4 4 H H H H H H H H H H H H g H H H H H H H H H H H H H   _{        }         _     _  _  _{    }    (3.42) 第三部分：



 



22 2 2 22 2 22 2 22 1 2 1 2 4 k ij k m i j k m k i i i i i i i i i g g R R g R g g R g g g R R g g g R R g g R g R R R R R R R g R R                                                                           _  _                                 





22 2 1 2 1 2 4 i i i i i i i i i i m i m R R R R R R g g R g R g R R g R                                                _{          }             _  _  





























 



2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 2 2 22 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 3 1 3 3 2 1 1 2 2 2 H H H H H H H H H H H H H H H H g H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H  _{      }      _{     }                  _{ }           _{ }  _{      }      (3.43)

30 第四部分： 22 g  (3.44) 同樣的將(3.41)~(3.44)4 式相加得到了

































2 22 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 22 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 2 22 3 2 2 4 4 1 3 3 2 1 1 2 2 2 g H H H H H H H H H H H H H H g H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H g H H                   _   _     _  _  _{    }                  















 



2 2 3 3 22 2 2 3 2 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 3 0 H H H g H H H H H H H H H H H H H H H H H H               _{  } _{  }    _{ }              _{      }      (3.45) 這裡度規簡化為a t₁

 

1也就是H₁ 0，將這個結果帶入(B.2)式發現和(3.45)式除去g22 的結果一致，故證明了對尺度因子變分和對度規係數變分的空間項運動方程式。 (3.39)和(3.45)式證明了對尺度因子變分和對度規係數變分所得到的運動方程式在 Bianchi type I 的空間中是一致的，其實可以做一個簡單的推論

 

, _i i i g L L g g a a g a            (3.46)

31 故在所有的比安基空間中，對兩者的變分所得到的運動方程式，只會有 i g a    的係數倍 數差距而已。

32

4. 運動方程式的解

4.1 運動方程式的解

(3.30)(3.31)2 式代表了，這個選定的模型的時間項和空間項的運動方程式，而其它 個別空間項的運動方程式如附錄 B (B.1)(B.2)(B.3)式。而哈伯常數 i i i a H a  是描述了這個空 間如何膨脹的物理量，可以從(3.30) (B.1)(B.2)(B.3)4 個式子中得到H 的解。i 依據[22,23]可以選取一個簡單的通解，B-H solution 1 , 2 , 3 at bt ct a e a e a e (4.1) 因為(4.1)式的選取所以哈伯常數可以表示為 1 , 2 , 3 H a H b H c (4.2) 將(4.2)式帶入(3.30) (B.1)(B.2)(B.3)4 個式子，便可以將微分方程式變成代數方程式。 但是，因為(B.1)(B.2)(B.3)3 個式子有著極大的對稱性，故沒有辦法得到 3 個確切的解。 這邊將(4.2)式帶入時間項的運動方程式(3.30)式和空間項運動方程式的合(3.31)式得到

33





















































0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 4 4 2 1 1 1 2 2 2 2 2 4 D L ab ac bc a b c ab ac bc a b c ab ac bc a b c a b c ab ac bc a ab ac b ab bc c ac cb ab ac bc a b c a b a c b c abc a b c ab a b ac a                         _{       }        _{        }                       



2 2





2 2



c bc b c      (4.3) 和









































2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 5 5 5 4 4 4 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 i D L a b c ab ac bc a b c ab ac bc a b c ab ac bc a b c a b c ab ac bc a ab ac b ab bc c ac cb a b c ab ac bc a b c a b a c b c                         _{      }        _{        }                   











2 2





2 2





2 2



4 3 abc a b c ab a b ac a c bc b c                  (4.4) 接著設定 2 2 2 , X abacbc Y a b c (4.5) 於是可以將(4.3)(4.4)2 項運動方程式整理成





2 2 0 2 2 D L X  X    Y XY  (4.6)





2 2 2 2 2 3 i D L Y X X    Y XY   (4.7) 由(4.6)(4.7)2 式可以得到X Y, 的 2 組解

34



2 2 2



, X abac bc   Y a b c   (4.8) 2 2 2 1 8 4 1 8 , 2 2 X ab ac bc   Y a b c                        (4.9) (4.8)式所代表的解滿足於德西特解，而(4.9)式的解是一個非等向性膨脹的解，也是我們 所關注的。

35

4.2 空間項運動方程式的解

因為(4.9)式的解是從時間項和空間項合的運動方程式所得出，所以(4.9)式的解是否 滿足於個別的空間項運動方程式(B.1)(B.2)(B.3)便是需要一一驗證。 首先將(4.9)式相加得到X   Y 2 ，於是可以把(4.4)式寫成





















2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 0 2 i D L Y X X Y XY Y Y X Y Y X Y X Y X Y Y X                               (4.10) 接著將(4.10)式同除Y X 便可以得到





4 X Y 2Y  1 (4.11) (4.11)式是不包含宇宙常數，在 Bianchi type I 空間下和選定模型下的恆等式，可以使 用於選定模型下的任何計算。 接著將 B-H solution(4.2)式帶入(B.1)(B.2)(B.3)3 式得到



























2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 3 4 2 1 1 1 2 2 2 D L b c bc a b c ab ac bc a b c ab ac bc a b c a b c bc a ab ac b ab bc c ac bc      _{     }      _{    }    _{     }        _{        }      (4.12)