M/G/1之極限機率的尾端行為

國 立 交 通 大 學

統計學研究所

碩 士 論 文

M/G/1之極限機率的尾端行為

The Tail Probability of The

Limiting Distribution of The M/G/1 Queue

研 究 生 ：李泓毅

指導教授 ：彭南夫 博士

M/G/1之極限機率的尾端行為

The Tail Probability of The

Limiting Distribution of The M/G/1 Queue

研 究 生：李泓毅

Student ： Hung-Yi Li

指導教授：彭南夫

Advisor ： Dr. Nan-Fu Peng

國 立 交 通 大 學

統計學研究所

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Institute of Statistics

College of Science

National Chiao Tung University

in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Master

in

Statistics

June 2006

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

中華民國九十五年六月

M/G/1之極限機率的尾端行為

研究生：李泓毅 指導教授：彭南夫 博士

中文摘要

國立交通大學統計學研究所

摘要

本文目的在找出進入平穩狀態時M G/ /1系統中極限分佈的尾巴部分 的收斂情形。我們的方法使用嵌入馬可夫鏈的觀念，且我們知道系統中相 鄰的兩個離開的人之區段具有相同分佈但不獨立。我們證明相鄰的兩個離 開的人之區段有大數法則的性質。接著使用遞迴的方式，我們呈現極限分 佈的尾巴部分的下降成一幾何的分佈。藉著我們再拓展它去預測M G s 的/ / 結果。

中文摘要

The Tail Probability of The

Limiting Distribution of The M/G/1 Queue

Student：Hung-Yi Li Advisor：Dr. Nan-Fu Peng

Institute of Statistic

National Chiao Tung University

ABSTRACT

This thesis is to find the behavior of tail limiting distribution of M/G/1 queue in steady-state. Our method includes embedded Markov chain , and in steady state we could know the period between two consecutive custom departure times are identical distribution , but not independent. We prove the series of period between two consecutive custom departure times are adapted to strong law of large numbers. By using the recursive form we show in this paper that the tail of the probabilities decay geometrically as the number of the

customers grow large. Next we extend it to guess the behavior of tail limiting distribution of the general M/G/s Queue.

誌 謝

統研所的兩年中，不論是研究應有的態度和知識，生活經驗的累積上 面，都使我獲益良多。本論文的完成，其中我要特別感謝我的指導教授 彭南夫老師耐心的指導，以及口試委員洪慧念教授、王鴻龍教授和鄭天澤 教授的參與指教，幫助修正論文使得更加清楚明白。 生活上學業上，冠達同學的幫助和討論，學業上面的互相切磋，使我 漸漸進入狀況。並且有一群一起打籃球的夥伴、羽球的夥伴、聚餐的朋友、 晚上留研究室打拼的同學、msn上互相打氣的同學、低潮時鼓勵我的朋友們 等等，這兩年的生活因為你們豐富了起來，在我心中留下深刻的回憶。 最後，要感謝我的家人的栽培和鼓勵，尤其是我的媽媽，無日無夜的 工作，讓我可以毫無顧慮之下順利完成學業，由衷地感謝妳。在此，將此 篇論文獻給曾經鼓勵協助我的所有人，謝謝你們。 泓毅 謹誌于 國立交通大學統計研究所 中華民國九十四年六月

目 錄

中文摘要 ...i 英文摘要 ...ii 誌 謝 ...iii 目 錄 ...iv 圖、表目錄 ...v 第一章 導論... 1 1-1 研究動機... 1 1-2 研究方法... 2 第二章 理論部份... 5 2-1 M/G/1 服務系統 ... 5 第三章 演算法及結果分析... 18 3-1 M/G/1 尾端機率演算法 ... 18 3-2 模擬結果分析... 21 3-3 分析結果... 30 第四章 應用到M/G/s模型上 ... 31 4-1 M/G/s模擬結果分析... 32 4-2 模擬結果分析... 39 第五章 結論... 40 參考文獻 ...41

圖、表目錄

圖 1-1、嵌入馬可夫鏈之系統示意圖 ... 4 圖 2-1、系統狀態示意圖 1 ... 8 圖 2-2、系統區段示意圖 ... 10 圖 2-3、系統狀態示意圖 2 ... 11 表 3-1、M/G/1 模擬結果 1 ... 22 表 3-2、檢定M/G/1 模擬結果 1 ... 23 表 3-3、M/G/1 模擬結果 2 ... 26 表 3-4、檢定M/G/1 模擬結果 2 ... 26 表 3-5、M/G/1 模擬結果 3 ... 29 表 3-5、檢定M/G/1 模擬結果 3 ... 29 表 4-1、M/M/2 模擬結果 1... 32 表 4-2、M/M/2 模擬結果 2... 33 表 4-3、M/M/2 模擬結果 3... 34 表 4-4、M/G/2 模擬結果 1 ... 35 表 4-5、M/G/2 模擬結果 2 ... 36 表 4-6、M/G/3 模擬結果 ... 37

第一章 導論 我們認知的M G/ /1是一個服務的櫃檯，擁有齊一性卜瓦松 的到達過程，和獨立且相同分配服務時間的分配。 這是一個被廣泛應用且有發展性的隨機模型，很多優美的數學方法也被應 用在此方面。在工程上，通訊信號的處理系統與電腦模型的建立；在工業 上，工廠製造的等候線，在運輸管理上，一個交通號誌的管制車流量等等， 感覺像是很多單位元件等候處理，這都是 (homogeneous Poisson) / /1 M G 應用方面的一部份。當一 個櫃檯拓展到 n 個櫃台，這變成一般情況的問題 (M G s ，很多的領域都/ / ) 應用到此方面。 1-1 研究動機 當我們在模擬排隊理論的資料時，首先定義尾端個數就是從任何時 間點切入看，當系統中有 個人稱為系統個數，若 很大時，稱為尾端個數， 我們知道非尾端個數容易模擬，但是由於因為樣本個數限定的關係，且尾 端部分發生的機率本來就比較少，使得尾端個數誤差較大，這樣我們得到 的結果失真。 n n / / M G n 遇到相同的情況，目前M G n 的極限分佈還沒發展/ / 出來，做模擬時，非尾端個數的部份好模擬，而尾端個數也是很難模擬出

來。本文目的就是在找出極限分佈的尾端 (tail limiting probability) 行為，

文獻探討

排隊理論中，M/G/1 中極限機率已有相當的發展。排隊理論中極限機 率的近似解很多都有相當研究，譬如說 Boxma, Cohen, Huffels(1980),

Cosmetatos(1976)和 Nozaki, Ross(1978)都有文獻的發表。在 M/D/s 中， Crommelin (1932)發表過在服務時間的分佈是常數的情況下，求得 M/D/s 中

極限機率的方法。在M E/ _k /s 中，Heffer (1969)對M E/ _k /s 做出極限機率精

確的分析。在 M/G/s 中，H. C. Tijms , M. H. Van Hoorn , A. Federgruen,(1981) 做出 M/G/s 中極限機率的近似解。但是目前沒有 M/G/s 中極限機率現在仍 是沒有精確解。 1-2 研究方法 / /1 M G 中，先進來服務的人，會先被服務(first ， 後面等待的人群中，以等待時間最長者優先服務。且我們假設每一個服務 過程，除非服務結束，不然服務狀況不會在中途停掉。在排隊理論中，若 我們以如下的觀點來看，把每一個離開的人回頭看系統中剩下的人數為觀 察值(不包含自己)，則我們得到嵌入馬可夫鏈 ( 。 這是因為進來的人服從卜瓦松分佈，當他服務結束，離開之後系統下一個 服務時間就像是從新開始，因此具有馬可夫鏈的性質。換個觀點來看，當

come , first served)

PASTA ，跟嵌入馬可夫鏈有異曲同工 之妙。可再進一步求得極限機率的尾端行為。

(Poisson Arrivals See Time Averages )

接著利用上述方法，知道相鄰兩個離開的人的間距為一區段

(period 。在平穩狀態時) (steady state ，此區段具有相同的分佈，但是不叫)

它週期 cycl ，是因為它不是獨立的 。因此下一步必須證明區段有收斂 性質，也就是說有大數法則的性質。緊接著利用收斂性質，可以求出極限 分布的起始部分 e ( . .)i d 0 1 (π π, )的近似值，π_i定義為系統是i個人的極限機率，並用 遞迴的方式，一一求出各自的極限分布的值，因此可以得到極限分布的比 值₍ i 1₎ i

π

π

+ 。 根據[1]，我們先介紹嵌入馬可夫鏈 ( ，我們 可定義

embedded Markov chain)

n X 為第 個人離開時系統中剩下的人數， 為第 ( 個人服務時間 進來的人數，則 n Y_n n+ )1 1 -1 , 0 , 0 n n n n n n X X +Y if X Y if X + = > = =

Idle Arrival time 1 圖 1-1、嵌入馬可夫鏈之系統示意圖 因為 為在服務時間內到達的人數，且顧客到達的過程服從卜瓦松過 程 ( ，則我們有 , n Y n≥ 0 ) Poisson process 0 ( ) { } ( ) , 0,1, ! j x n x P Y j e dG x j j λ

λ

∞ − = =

∫

= ... 由上我們可以得知，{X_n , n=1, 2,3,...}為馬可夫鏈(Markov chain)，且它 們的轉移機率為 0 ₀ ( ) ( ), 0 ! j x j x P e dG x j j λ

λ

∞ − =

∫

≥ 1 0 ( ) ( ), 1, 1 ( 1)! j i x ij x P e dG x j i i j i λ

λ

− + ∞ − = ≥ − +

∫

− ≥ therwise 0, ij P = o 以上是有關嵌入馬可夫鏈的描述。 Service time Xn+1 time 0 n X = Arrival time 0 n X > Service time X_n+1 time

第二章 理論部份 2-1 M/G/1 服務系統 一個服務櫃檯，進來的顧客依照卜瓦松過程Poisson(

λ

)，服務的時間 服從 的任何一般的分配，令他的分配是 。顧客進入系統時，發現櫃 台是空閒的則進入服務，否則加入排隊。在服務的過程中，我們假設沒有 任何一個服務中途被打斷，而且如果之前的服務沒有結束，新的服務不可 能開始。服務的順序以等待時間最長者優先。 . . . i i d G 我們定義一個區段(period)是相鄰兩個離開人的時間區間，空閒區段 (Idle period)指系統櫃檯是空閒的時候，一段服務時間為系統中櫃台服務一 個顧客所花費的時間。 設g x( )是 G的機率密度函數( . . )p d f ，而且G 的動差函數存在。定義 為t時間點系統的人數，在一些條件下可得到平穩狀態的機率 ( ) X t lim ( ( ) ) k t p P X t k →∞ = = ，另外我們設 k P

γ

= (在平穩狀態時，任一顧客進入系統前發現系統中有k個人) k P

δ

= (在平穩狀態時，任一顧客離開系統時發現系統中有k個人) 根據[3]，我們有以下引理， 引理 1 在平穩狀態(steady state M G) / /1系統裡面，到達之顧客、離開的顧 客、和隨機的觀察者，看系統總人數的分配都是一樣，也就是

γ

_k =

δ

_k = p_k。

k

γ

為進入系統的人看系統的人數，這樣來說，每次的觀察值都是隨機 觀察值，由於顧客進入系統的分配服從卜瓦松過程，因此和隨機觀察值是 一樣的，這觀念比較好理解，因此 個人的極限機率也就是人數的平均。我 們也知道 k k

δ

的極限機率也是人數的平均。我們又知道 個人的極限機率，也 是時間的平均，所以我們得知人數的平均會等於時間的平均。 k 可是因為此區段不是獨立的，這是由於有些區段具有空閒區段，有些 則沒有具有空閒區段，也就是說，這些區段 具有相同的分佈，可是非獨 立( . ，因此我們需要證明它有大數法則的性質。 i X . ) i d

定理 1 當M G n/ / 系統進入平穩狀態時(steady state )，令 為第i個人離開系 統到第( 個人離開系統的間隔時間，這會使得 i X 1 i+ ) . . ₁ 1 1 n a s i i X EX n = ⎯⎯→

∑

，n→ ∞ 證明： 如果我們可以證明 . . 1 1 n a s i n i X n = →∞ ⎯⎯⎯→

∑

c，以及再證明 ₁ 1 1 n p i n i X E n = →∞ ⎯⎯⎯→

∑

X ， 則由於極限定理的唯一性，則c=EX₁，我們可以得到所求。 首先我們先證明 . . 1 1 n a s i n i X c n = →∞ ⎯⎯⎯→

∑

i Z 為第i個空閒區段的起點到第(i+1)個空閒區段的起點的間隔時 間，我們可以知道，因為Z_i為i i d. . 的隨機變數，N_Zt 定義為在t時間內 i Z 的發生個數，所以 . . 1 a s t t Z t EZ N ⎯⎯⎯→∞→ 令 W_i 為在一個週期 中的顧客人數，Y_i N_Xt 定義為在t時間內 的發 生個數， i X . . 1 1 1 t a s Z t t t X Z X t t N EZ N = N ⋅ N ⎯⎯→ ⋅ EW , t→ ∞ 因此， ₁ 1 1 1 1 lim lim n i t n t i X t X EZ n N EW →∞

∑

₌ = →∞ = ⋅ =c

Z Z X I X I I time X −∞ 2 圖 2-1、系統狀態示意圖 1 我們接著要證明 ₁ 1 1 n p i i X E n = ⎯⎯→

∑

X 。 我們知道柴比雪夫不等式(chebyshev's inequality) P X( EX₁

εσ

_X) 1₂ ,

ε

ε

− ≥ ≤ ∀ >0 ， 如果

σ

_X →0,會使得X ⎯⎯p→ XE ₁ 所以我們的目標是 Var X( )→0，也就是， ₂ 1 1 1 ( , ) 0 n n i j i j Cov X X n = = →

∑∑

我們知道 Cov(X X_i, _j)→0,當i− → ∞j 0, , . . , ( , ) , ( , ) , i j i j i N s t i j N Cov X X i j N Cov X X VarX d d

ε

ε

∀ > ∃ − > < − < ≤ = 是常數 當n>N， 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( ) n n n n i j i j i j i j i j i j i j i N i j i N Cov X X Cov X X Cov X X Cov X X n N d n n N

ε

= = = = − ≤ − > ≤ = + ≤ ⋅ ⋅ + −

∑∑

∑∑

∑ ∑

∑ ∑

所以， ₂ 1 1 1 2 ( , ) 1 n n n i j i j Nd N Cov X X n n n

ε

ε

→∞ = = ⎛ ⎞ ≤ + −_{⎜ ⎟} ⎯⎯⎯→ ⎝ ⎠

∑∑

也就是， Var X( )→ 0 X ⎯⎯p→ X E ₁ 若 . . 1 1 1 1 1 1 , n n p a i 1 i i i X EX and EX = c, so X EX n = n = ⎯⎯→ ⎯

∑

∑

⎯→s 因此我們得證! 由定理 1，我們可以知道， 為第i 個人離開系統到第 個人離開 系統的間隔時間，這會使得 i X (i+1) . . 1 1 1 n a s i i X n = ⎯⎯ EX

∑

→ ，類似的道理，我們令 為 第i 個人離開系統到第 ( 個人離開系統中顧客個數為 個人的時間，其中 具有相同的分佈，但不是獨立的，與定理 1 同樣的道理，我們可以得知 j i T 1) i+ j j i T . . 1 1 1 n a s j i i T n = ⎯⎯→

∑

j ET ，因此我們可得到下面式子， P (平穩狀態時，任一顧客到達系統發現系統中有 個人j ) = 1 1 lim n j i i n n i i T X = →∞ =

∑

∑

1 1 lim n j i i n n i i T X = →∞ =

∑

∑

= 1 1 1 1 lim n j j i i n n i i T n ET EX X n = →∞ = ⎯⎯→

∑

∑

如果我們令M G/ /1系統中的顧客人數為我們隨機過程的狀態，如此的 設定沒有符合馬可夫鏈性質。但是換個觀點來看，根據[2]，當顧客離開系 統那一刻觀察系統中的人數，這就像是嵌入馬可夫鏈

，它的機率生成函數 (embedded Markov chain)

(probability generating function 為) ( ) (1 )( 1) ( (1 )) ( (1 )) EY t G t t t G t

λ

λ

π

λ

− − − = − − % % e dG x ∞ − =

∫

% 其中Y 的分配是G ，G t 。我們可以藉由微分 0 ( ) tx ( )

π

( )t 求得極限機率

π

_j(系 統狀態是 個人的極限機率)，但是這是一項浩大的工程。但是利用我們以 上引理 1 和定理 1，可以求得一個簡潔 j j

π

的遞迴公式。 首先我們先定義一個區段 (period 是相鄰兩個離開人的時間區間，空) 閒區段 (Idle period 指系統櫃檯是空閒的時候，一段服務時間為系統中櫃台) 服務一個顧客所花費的時間，一個 period 為一段空閒區段 ~ t I e−λ 加上一段 服務時間或是只有一段服務時間，其中Y 和 I 是獨立的，

π

_j為系統狀態是 個人的極限機率，因此在平穩狀態時候， j 0 0 1 0 ( ) ( ) (1 ) E length of a period =

π

_λ

+EY + −

π

EY =

π

_λ

+ EY Y Idle time −∞ period

根據 引理 1 和定理 1 0 0 0 1 1 EY

π

λ

π

π

λ

= + , 解得

π

0 = −1

λ

Ey 把

π

₀帶回 (E length of a period 得 ) E length of a period( )= 1

_λ

根據 引理 1 0 ( 0) 0 ( 0) 0 0 0 1 _{0 0} ( ) ( ) 1 ( (0, ) -1 ) ( ) ( (0, ) - ) ( ) j i i t j j t j i i E j E j i I I P j d dG t P j i d dG t

π

π

π

τ

τ

λ

π

τ

τ

= ∞ = > ∞ = = ⎡ = + _⎢ ⎣ ⎤ + _⎥ ⎦

∑

∫∫

∑ ∫∫

在一個區段中顧客人數是 的時間 區段中 個顧客人數的時間 一離開顧客發現系統狀態是 個人 在 中有 個顧客到達 在 中有 個顧客到達 0 Idle Y

τ

j - i

_t time 0

π

4 圖 2-3、系統狀態示意圖 2 time i

π

t 0

j-i

τ

Y

因此， 1 0 1 0 0 1 ( ) ( 1 t e λτd dG t

π

π

π

τ

)

λ

∞ − ⎡ ⎤ = _⎢ + _⎥ ⎣

∫∫

⎦ ( by 定理 1 )

(

)

1 0

(

)

0 0 1 1 1

λ

e λt 1 dG t( )

π

λπ

e λt dG

λ

λ

∞ ₋ ∞ ₋ ⎡ ₋ ⎛− ⎞ ₋ ⎤ ₌ ⎛− ⎞ ₋ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ _{⎝ ⎠} ⎥ _{⎝ ⎠} ⎣

∫

⎦

∫

1 ( )t 0 1 0 0 1 ( ( ) t t e dG t e dG t λ λ

π

π

∞ − ∞ − ⎡ ⎤ = _⎢ − _⎥ ⎣

∫

⎦

∫

) 同理， 2 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) 1 t t t e λτd dG t e λτd dG t e λτd dG t

π

π

λτ

τ

π

λτ

τ

π

τ

λ

∞ ∞ ∞ − − − ⎡ ⎤ = _⎢ + + _⎥ ⎣

∫∫

∫∫

∫∫

⎦ 0 1 2 0 0 0 1 ( ) ( ) t t t e dG t te dG t e dG t λ λ λ

π

π

π

∞ − ∞

λ

− ∞ − ⎛ ⎞ + = _⎜ − − _⎟ ⎝

∫

∫

⎠

∫

( ) 以此類推，for j≥2， 1 2 0 1 0 0 _{0 0 0 0} 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ( t s m t s j j j j m m e s e s dsdG t dsdG t m j EY λ

_λ

λ

_λ

π

_π

π

π

π

1)!

λ

∞ − ∞ − − − = ⎡⎛ ⎞ ⎤ = _{⎢⎜ ⎟}+ + _⎥ − ⎢⎝ ⎠ ⎥ + ⎣

∑

∫∫

∫∫

⎦ − 其中_EY

π

0 1

λ

λ

+ = ， 所以， 0 1 ( ) j t e λdG t

π

_∞ − = ⋅

∫

1 1 0 1 2 0 0 0 0 0 1 ( ) ( 1 ( ) ( ) 1 ! ! ( ) t n t n j j m j m m n n t e t e t dG t dG t n n e dG t λ λ λ

λ

λ

π

∞ −

π

π

∞ − − − − ∞ = = = − ⎡⎛ ⎞ ⎤ = _⎢⎜ − _⎟+ + − _⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎥ ⎣

∑

∫

∑

∫

∑

⎦

∫

) ( ) 進一步我們求得， 1 1 0 1 2 0 0 0 0 0 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ! ! ( ) t n t n j j m j j m m n n t e t e t dG t dG t n n e dG t λ λ λ

λ

λ

π

_{+ ∞}

π

∞ + − −

π

π

∞ − = = = − ⎡⎛ ⎞ ⎤ = _⎢⎜ − _⎟+ + − _⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎥ ⎣

∑

∫

∑

∫

∑

⎦

∫

( ) ( ) 2 1 0 0 0 0 1 ( ) 1 ( ) ( 2! ( ) ( ) t j t j t t t e te dG t dG t e dG t e dG t λ λ λ λ

π

∞

_λ

_π

∞

λ

− − − ∞ ∞ − − ⎛ ⎞ ⎡ = _⎜ − _⎟− _⎢ ⎝

∫

⎠ ⎣

∫

∫

∫

L )+ 1 2 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! ! j t j t t e t e dG t dG t j j λ λ

λ

λ

π

∞ − −

π

π

∞ − ⎤ + + + _⎥ − _⎦

∫

∫

我們再求得， 1 0 0 1 1 ( ( ) t t j j j t e te dG e dG t λ λ λ

π

π

π

∞ −

λ

− + ∞ − ⎡ − = _⎢− − − ⎣

∫

∫

) t 1 1 0 1 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ! t m t j j j m m e t e t dG t dG t m j λ

_λ

λ

_λ

π

∞ −

π

π

∞ − − − + = ⎤ ⎛ ⎞ +_{⎜ ⎟}+ + _⎥ ⎥ ⎝

∑

∫

⎠

∫

⎦

首先我們估計極限機率的比值，也就是 j 1 j

π

π

+ 2 1 0 1 0 0 0 1 ( ) 1 ( ) ( ) 2! ( ) ( ) t t j j t t j j te dG t t e dG t e dG t e dG t λ λ λ λ

λ

π

π

_λ

π

π

∞ − ∞ − + − ∞ ∞ − − − _⎡ = − _⎢ ⎢⎣

∫

∫

∫

∫

L + 1 , 0 0 ( ) ( ) ( 1)! ( ) k t j k j k t j A t e dG t k e dG t λ λ

π

_λ

π

∞ + − − ∞ − ⎤ + _⎥− + _⎥⎦

∫

∫

………(一) 當中， 1 1 0 1 , 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ! ! m t j t j j m j k m k j j t e t e A dG t m j λ λ

π

_λ

_π

_π

_λ

π

π

∞ − ∞ − − − + = + ⎡ ⎤ ₊ =_{⎢ ⎥}+ ⎢ ⎥ ⎣

∑

∫

⎦

∫

dG t ≥ … (二) 當 j k, 很大時，A 為一個可忽略的項。 _{j k,} 令 1 liminf j 0 j j a

π

π

+ →∞ = ≥ 和 1 limsup j 0 j _j b

π

π

+ →∞ = ≥ 我們可以得到， 1 0 1 0 0 0 1 ( ) 1 ( ) liminf ( ) ( 1)! ( ) ( ) t m t k j m j m t t j te dG t t e b d m e dG t e dG t λ λ λ λ

λ

_π

λ

π

∞ − ∞ + − − ∞ ∞ _→∞ = − − − ≤ − +

∫

∑

_∫

∫

∫

G t … (三) 可以觀察到， 1 1 1 liminf j m _{m m m} j _b 1

π

π

π

π

π

− →∞ = = _{− +} ≥ _{− +}

∏

∏

=

將上式代入(三)可得， 1 0 1 0 0 0 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) t m t k m m t t te dG t t e b d b m e dG t e dG t λ λ λ λ

λ

λ

∞ − ∞ + − ∞ ∞ = − − − ≤ − +

∫

∑ ∫

∫

∫

G t 讓 k→ ∞，且利用 ( 1) 0 ! k k k e s e k λ λ

λ

− ∞ s− = =

∑

，可以獲得 1 ( 1) 0 0 0 0 0 0 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t _{t t} b t t te dG t b b e dG t te dG t b e dG t e dG t e dG t λ λ _{λ λ} λ λ

λ

λ

∞ − ∞ ₋ ∞ ∞ − − ∞ ∞ − − − ⎡ ⎤ ≤ − _⎢ − − _⎥ ⎣ ⎦

∫

∫

∫

∫

∫

∫

這也等於， 1 ( 1) 0 1 ( ) t b e dG b λ ∞ ₋ ≥

∫

t ……….(四) 我們令 ( 1) 0 ( ) t x ( ) f x eλ dG ∞ − =

∫

t ，可以知道必有一解 (1) 1f = ，且我們又知 道 f x′( )>0和 f′′( )x >0對x> ，因此可知 ( )0 f x 是嚴格遞增和嚴格凹向上的 圖形。 除非G t( )在t=0時，為一個單位為 1 跳點，可以得到 f x( ) x → ∞ 當 x→ ∞ 。對於x= f x( )等式，在 0 (1) ( ) 1 f

λ

tdG t

λ

EY ∞ ′ =

∫

= < 時，其中 ， 存在一個必然解 ~ Y G 1 x= 。也可推得還存在一個解c∈ ∞ 。由於(四)的性質，(1, )

當

λ

EY < ，我們可以找出1 1 1 c b ≤ ≤ 。也就是1 1 limsup j 1 j _j b c

π

π

+ →∞ ≤ = ≤ 。 我們先假設a >0，接下來我們處理 liminf j 1 0 j j a

π

π

+ →∞ = ≥ 。我們可以得到 1 ( ) j a j

π

₊ ≥ −

δ π

，對於足夠大的 且j a− > ，也就是

δ

0 1 ( ) j m m j a

π

π

δ

− _≤ − 對於 足夠大的 且 mj ≤ 。從(二)得j lim lim _{k j,} 0 k→∞ →∞j A = 。同樣的方法得到 1 ( 1) 0 1 ( ) t a e dG a λ ∞ ₋ ≤

∫

t 。因此得到c 1 a ≤ < ∞，也就是 1 1 0 liminf j j j a c

π

π

+ →∞ < = ≤ 。 結合以上所說得到 1 1 1 0 liminf j limsup j 1 j _j j j a b c

π

π

π

π

+ + →∞ _→∞ ≤ = ≤ ≤ = ≤ ，我們知 道在( ,a b)中夾著1 c 。 定理 2 在M/G/1系統極限機率

π

_j, j≥0，符合 1 1 0 liminf j limsup 1 j _j j c j 1 j

π

π

π

π

+ →∞ _→∞ ≤ ≤ ≤ + _{≤ ，其中 是等式} c ( 1) 0 ( ) t x x eλ dG ∞ − =

∫

t 中不等於1 的解。

如果 1 1 1 0 liminf j limsup j 1 j _j j c j

π

π

π

π

+ + →∞ _→∞ ≤ ≤ ≤ ≤ 成立，且 1 lim j j j

π

π

+ →∞ 存在，我們可 以得到系理1。 系理 1 如果 1 lim j j j

π

π

+ →∞ 存在，則 1 1 lim j j j c

π

π

+ →∞ = 附註 1 對於M M/ /1的排隊理論，若進來的人服從卜瓦松分佈( )

λ

，服務的人 的時間分佈是G t( )=e−µt，會使得 1 1 lim j j j c

π

λ

π

µ

+ →∞ = = 我們目前可知 1 1 0 liminf j limsup 1 j _j j c j 1 j

π

π

π

π

+ →∞ _→∞ ≤ ≤ ≤ + _{≤ ，但是尚未可以証出} 1 1 liminf j limsup j _j j c j 1 j

π

π

π

π

+ →∞ ≥ ≥ _→∞ + _{，但是由上面的附註} 1可知道結果是對的，ㄧ 般情況則未能知道，因此我們用模擬去檢驗看看結果是否正確。

第三章 演算法及結果分析 3-1 M/G/1尾端機率演算法 在M G n/ / 的系統中，遵從先進來服務的人，會先被服務，因此第 個 近來服務系統的人，一定第i個被服務，我們可以利用此性質，去解決問題。 i 令顧客人數總共Sample size_ ，n個服務櫃檯(n=1)， 步驟 1：生成 ~ 顧客到達的時間分佈， ~ 服務時間的分佈， i X Y_i 1, 2,..., _ i= Sample size 其中X_i為相鄰兩個人進入的時間，也就是第i−1個人進入系統到第i個 人進入系統的間隔時間， 為第Y_i i個人服務的時間。 步驟 2：i=1 ( to n−1 ) ( 如果n=1則做i= ) 1 1 [ ] i j j i serve i X Y = =

∑

+ ，且serve busy i_ [ ] 1= 先來的人先服務，最先開始來的(n−1)個人先進入櫃檯，並且櫃檯

是忙碌狀態時serve busy i_ [ ] 1= ，反之serve busy i_ [ ]=0。

[ ]

serve i 為櫃檯服務完顧客後紀錄的時間點，一開始都設為 0，系統總

共有n個櫃檯，所以前面進來的 (n−1)個人不需等待時間，可直接接受服

時serve busy i_ [ ] 1= ，空閒狀態serve busy i_ [ ]=0 步驟 3：i=n ， 1 i j j arrival X = =

∑

( _ [ ] if serve busy k = 0) ，檢查那個櫃台是空閒的，則 (1) if arrival( ≥ serve k[ ])

serve k[ ]=arrival+Y i[ ]且serve busy k_ [ ] 1= (2) if arrival( < serve k[ ])

serve k[ ]=serve k[ ]+Y i[ ]且serve busy k_ [ ] 1=

下一個進來的人稱為 Z，先檢查哪個服務櫃檯是空閒的，也就是檢查哪 個櫃檯的serve busy i_ [ ]= ，若 W 櫃檯是空閒的，則進入服務。接下來判斷0 Z 到達的時間點，W 櫃檯是否有人正在服務？第一若是 W 空閒狀態 ，則直接進入服務，W 櫃檯服務完顧客的時間為顧客進 來時間加上顧客 Z 服務的時間，第二若是 W 櫃檯當時有人在服務，表示 Z 必須等待一段時間才進入服務，W 櫃檯服務完顧客的時間為上個顧客離開 的時間加上顧客 Z 的服務時間。 (arrival≥ serve k[ ]) 步驟 4：排序serve 也就是排序服務時間，目的是找出最早離開的人 把 n 個櫃檯服務完顧客的時間做排序，找出最小值，此人則是最早 離開的顧客。

步驟 5：找出最早離開的人並記錄是那個櫃台，令為 m out person=out person+ out_person

0 _ _ 1， 初始值為 0， 找出最早離開的人之前總共有幾個人進來過，令為accumulate _ [ ] serve busy m = _ [ _ ]

number

π

accumulate−out person + + ，

_ [ _ ]

number

π

accumulate−out person 的初始值為 0

找出了離開的人，並記錄此人是第幾個離開的人 ( _ ，和紀 錄櫃檯服務完顧客的時間點 T，計算出 T 時間點以前有多少個顧客進來此系 統 ( ，所以我們知道，此顧客離開系統時，那一刻系統剩下人數 為 。並把顧客離開的櫃檯，服務狀況變成空閒的 ) ) 0) out person accumulate _

accumulate−out person

(serve busy m_ [ ]= ，並記錄起來系統人數狀態( _ 發生個數為幾次。

)

accumulate−out person

步驟 6：當i= +n 1 to Sample size_ ，回到步驟 3。 接下來做到重複到最後一人，即為所求。

3-2 模擬結果分析 M/G/1 狀況時 顧客進來時間服從Exp( )

λ

，期望值為 1

λ

，服務時間服從Gamma( , )

α β

， 期望值為

α

β

。利用牛頓法解方程式 0 ( 1) ( ) t x x=

∫

∞eλ − dG t ，且 1 0 ( ) ( ) t y _y G t e dy α α β

β

α

− − ⋅ = ⋅ Γ

∫

。解出理論值為1 c，其中 c 為不等於 1 的解。 模擬 5000000 筆資料，系統為離開的人回頭看系統剩下的人數，模擬 個數為系統人數i 的發生次數，機率為P(系統人數 )=i ， 1 ( 1) ( ) i i i i

π

π

+ + 模擬個數 模擬個數 → 。灰色部分為我們觀察到 ( 1 ( ) i i + 模擬個數 模擬個數 ) 的值跟理論 值接近的地方。 < Case 1 > 顧客進來時間服從Exp(1)，服務時間服從Gamma(4,5)，理論值 1 0.705106 c = 。 模擬 5000000 筆資料： 系統人數 模擬個數 機率 模擬個數(i+1)/模擬個數( )i 0 998917 0.19978 1.0757 1 1074521 0.21490 0.7886 2 847352 0.16947 0.7218 3 611654 0.12233 0.7070 4 432412 0.08648 0.7077 5 306002 0.06120 0.7057 6 215952 0.04319 0.7052 7 152294 0.03046 0.7065

系統人數 模擬個數 機率 模擬個數(i+1)/模擬個數( )i 8 107591 0.02152 0.6993 9 75233 0.01505 0.6963 10 52387 0.01048 0.7020 11 36777 0.00736 0.7090 12 26074 0.00521 0.7019 13 18302 0.00366 0.7162 14 13108 0.00262 0.7154 15 9378 0.00188 0.7152 16 6707 0.00134 0.7093 17 4757 0.00095 0.6925 18 3294 0.00066 0.7019 19 2312 0.00046 0.6938 20 1604 0.00032 0.7126 21 1143 0.00023 0.6544 22 748 0.00015 0.6484 23 485 0.000097 0.5918 24 287 0.000057 0.6899 25 198 0.000040 0.8182 26 162 0.000032 0.7531 27 122 0.000024 0.6393 28 78 0.000016 0.5769 29 45 0.000009 0.5333 30 24 0.000005 0.8750 31 21 0.000004 0.7143 32 15 0.000003 0.9333 33 14 0.000003 0.6429 34 9 0.000002 0.3333 35 3 0.000001 1.3333 36 4 0.000001 0.5000 37 2 0.000000 2.0000 38 4 0.000001 1.2500 39 5 0.000001 0.4000 40 2 0.000000 0.5000 41 1 0.000000 0.0000

由於資料總個數限制的關係，尾端資料的選取為狀態個數大於 5000 的 資料，且我們不曉得有無極限值的存在，我們看資料去猜測，觀察 ratio 從 5 4

π

π

之後的資料。下面步驟，我們檢定我們所選取的資料和理論值有無差別。 首先我們先檢查資料是不是服從常態分配，如果是常態的話，我們就做t檢 定，檢定此筆資料的期望值有沒有跟理論值一樣。

Test Normal distribution K-S d=.13985, p> .20; Lilliefors p> .20

沒有拒絕常態的假設！因此我們可以做 檢定。 t

0

T-test for H₀:

µ

=0.705106 . vs H₁: not H

Mean Std.Dv. N Std.Err. Reference Constant t-value df p 0.706898 0.006203 13 0.001720 0.705106 1.041910 12 0.317991

2 表 3-2、檢定 M/G/1 模擬結果 1

95%信賴區間為( 0.7031570, 0.710647)

< case 2 > 顧客進來時間服從 ( )1 5 Exp ，服務時間服從 (2, 5 ) 11 Gamma ，理論值 0.844297 。 模擬 5000000 筆資料： 系統人數 模擬個數 機率 模擬個數(i+1)/模擬個數( )i 0 596330 0.11927 1.0765 1 641944 0.12839 0.8969 2 575780 0.11516 0.8603 3 495332 0.09907 0.8471 4 419611 0.08392 0.8440 5 354140 0.07083 0.8458 6 299545 0.05991 0.8414 7 252047 0.05041 0.8417 8 212138 0.04243 0.8454 9 179351 0.03587 0.8430 10 151191 0.03024 0.8430 11 127460 0.02549 0.8449 12 107693 0.02154 0.8477 13 91291 0.01826 0.8467 14 77296 0.01546 0.8478 15 65529 0.01311 0.8474 16 55532 0.01111 0.8462 17 46989 0.00940 0.8495 18 39916 0.00798 0.8410 19 33568 0.00671 0.8440 20 28330 0.00567 0.8429 21 23880 0.00478 0.8337 22 19909 0.00398 0.8444 23 16812 0.00336 0.8321 24 13989 0.00280 0.8688 25 12154 0.00243 0.8322 26 10114 0.00202 0.8320 27 8415 0.00168 0.8320 28 7001 0.00140 0.8197

系統人數 模擬個數 機率 模擬個數(i+1)/模擬個數( )i 31 4136 0.000827 0.8486 32 3510 0.000702 0.8259 33 2899 0.000580 0.8675 34 2515 0.000503 0.8302 35 2088 0.000418 0.8827 36 1843 0.000369 0.8079 37 1489 0.000298 0.8234 38 1226 0.000245 0.8369 39 1026 0.000205 0.8548 40 877 0.000175 0.8119 41 712 0.000142 0.8525 42 607 0.000121 0.7743 43 470 0.000094 0.7617 44 358 0.000072 0.8603 45 308 0.000062 0.8994 46 277 0.000055 0.8267 47 229 0.000046 0.9869 48 226 0.000045 0.8540 49 193 0.000039 0.9896 50 191 0.0000382 0.8325 51 159 0.0000318 0.7421 52 118 0.0000236 0.8898 53 105 0.0000210 1.0476 54 110 0.0000220 0.5909 55 65 0.0000130 1.0462 56 68 0.0000136 0.7647 57 52 0.0000104 0.5769 58 30 0.0000060 1.0333 59 31 0.0000062 0.9355 60 29 0.0000058 0.8621 61 25 0.0000050 1.2000 62 30 0.0000060 1.0333 63 31 0.0000062 0.5484 64 17 0.0000034 0.6471 65 11 0.0000022 0.5455 66 6 0.0000012 0.6667

系統人數 模擬個數 機率 模擬個數(i+1)/模擬個數( )i 67 4 0.0000008 2.2500 68 9 0.0000018 0.4444 69 4 0.0000008 1.7500 70 7 0.0000014 0.2857 71 2 0.0000004 0.0000 72 0 0.0000000 3表 3-3、M/G/1 模擬結果 2

Test Normal distribution K-S d=.19613, p<.20

沒有拒絕常態的假設！因此我們可以做 檢定。 t

0

T-test for H₀:

µ

=0.844297 . vs H₁: not H

Mean Std.Dv. N Std.Err. Reference Constant t-value df p 0.842608 0.008913 26 0.001748 0.844297 -0.966136 25 0.343230

4 表 3-4、檢定 M/G/1 模擬結果 2

95%信賴區間為( 0.839008, 0.846208)

< case 3 > 顧客進來時間服從Exp(1)，服務時間服從 (2,100) 45 Gamma ，理論值 0.869647。 模擬 5000000 筆資料： 系統人數 模擬個數 機率 模擬個數(i+1)/模擬個數( )i 0 499213 0.09984 1.1023 1 550292 0.11006 0.9167 2 504433 0.10089 0.8859 3 446862 0.08937 0.8720 4 389643 0.07793 0.8733 5 340287 0.06806 0.8715 6 296570 0.05931 0.8677 7 257327 0.05147 0.8731 8 224677 0.04494 0.8632 9 193932 0.03879 0.8708 10 168879 0.03378 0.8663 11 146301 0.02926 0.8678 12 126953 0.02539 0.8727 13 110785 0.02216 0.8671 14 96059 0.01921 0.8673 15 83315 0.01666 0.8646 16 72035 0.01441 0.8697 17 62652 0.01253 0.8813 18 55215 0.01104 0.8722 19 48161 0.00963 0.8762 20 42199 0.00844 0.8722 21 36804 0.00736 0.8729 22 32126 0.00643 0.8683 23 27896 0.00558 0.8803 24 24556 0.00491 0.8762 25 21516 0.00430 0.8678 26 18672 0.00373 0.8410 27 15703 0.00314 0.8742 28 13728 0.00275 0.8594 29 11798 0.00236 0.8804 30 10387 0.00208 0.8648

系統人數 模擬個數 機率 模擬個數(i+1)/模擬個數( )i 31 8983 0.00180 0.8836 32 7937 0.00159 0.8841 33 7017 0.00140 0.9030 34 6336 0.00127 0.8565 35 5427 0.00109 0.8771 36 4760 0.000952 0.8460 37 4027 0.000805 0.8592 38 3460 0.000692 0.8546 39 2957 0.000591 0.8590 40 2540 0.000508 0.9213 41 2340 0.000468 0.8167 42 1911 0.000382 0.8242 43 1575 0.000315 0.9283 44 1462 0.000292 0.9111 45 1332 0.000266 0.9414 46 1254 0.000251 0.8708 47 1092 0.000218 0.8791 48 960 0.000192 0.9083 49 872 0.000174 0.8704 50 759 0.000152 0.8406 51 638 0.000128 0.8934 52 570 0.000114 0.8281 53 472 0.000094 0.7458 54 352 0.000070 0.9034 55 318 0.000064 0.9465 56 301 0.000060 0.8439 57 254 0.000051 0.8543 58 217 0.000043 0.9355 59 203 0.000041 0.8571 60 174 0.000035 0.7989 61 139 0.000028 0.7554 62 105 0.000021 0.6000 63 63 0.000013 0.8571 64 54 0.000011 0.7778

系統人數 模擬個數 機率 模擬個數(i+1)/模擬個數( )i 67 14 0.000003 1.4286 68 20 0.000004 0.9500 69 19 0.0000038 0.4737 70 9 0.0000018 0.7778 71 7 0.0000014 0.1429 72 1 0.0000002 3.0000 73 3 0.0000006 1.3333 74 4 0.0000008 0.2500 75 1 0.0000002 1.0000 76 1 0.0000002 3.0000 77 3 0.0000006 1.0000 78 3 0.0000006 1.3333 79 4 0.0000008 0.7500 80 3 0.0000006 2.0000 81 6 0.0000012 0.8333 82 5 0.000001 0.2000 83 1 0.0000002 1.0000 84 1 0.0000002 0.0000 85 0 0 5表 3-5、M/G/1 模擬結果 3

Test Normal distribution K-S d=.13065, p> .20; Lilliefors p> .20

沒有拒絕常態的假設！因此我們可以做 檢定。 t

0

T-test for H₀:

µ

=0.869647 . vs H₁: not H

Mean Std.Dv. N Std.Err. Reference Constant t-value df p 0.871275 0.010308 31 0.001851 0.869647 0.879054 30 0.386359

6 表 3-5、檢定 M/G/1 模擬結果 3

95%信賴區間為( 0.867493, 0.875056)

3-3 分析結果 排隊理論中，顧客進來的平均頻率一定要小於服務的平均頻率，否則 的話，整個系統會不收斂，因為服務未結束則一直會有人進入，到最後整 個系統是發散的，也就是說顧客進來的平均時間一定要大於服務的平均時 間。在 case 1 中，顧客進來的平均時間 1，平均服務時間是 0.8，系統中最 多人數是 41 人，顧客進來的平均時間和平均服務時間的比值是 0.8，得到 的數值並沒有拒絕假設1 0.705106 c = 。在 case 2 中，顧客進來的平均時間 5， 平均服務時間是 4.8，系統中最多人數是 71 人，顧客進來的平均時間和平 均服務時間的比值是 0.96，得到的數值並沒有拒絕假設1 0.844297 c = 。在 case 3 中，顧客進來的平均時間 1，平均服務時間是 0.9，系統中最多人數是 84 人，顧客進來的平均時間和平均服務時間的比值是 0.9，得到的數值並沒有 拒絕假設1 0.869647 c = 。藉由以上三個例子，我們可以知道尾端平穩分配是 收斂的，且收歛到我們的理論值。

第四章 應用到 M/G/s 模型上 我們知道了M G/ /1系統尾端平穩機率，下一步把它推廣到 s 個服務櫃 檯上，使我們更可瞭解一般的情形。在M G/ /1中，我們發現尾端平穩機率 的比值等於 c，其中 是c ( 1) 0 ( ) t x ( ) f x eλ dG ∞ − =

∫

t 其中不為 1 的解，現在從 1 個櫃 檯拓展到 s 個服務櫃檯，解決M G s 系統的問題，我們把它視為/ / M G/ /1的 一種變型，我們定義

π

( )s _{為 s 個服務櫃檯的極限分佈。分析這個問題，可以} 分成兩個部份，第一部份在顧客人數小於等於 s 的條件機率情況下，第二部 份在顧客人數大於 s 的條件機率情況下。關於第一部份，系統的狀況就像是 最多同時間可以被服務的人只有 s 人，我們可以把它視為M G s s 損失顧/ / / 客系統，這個系統的極限分配是知道的。接下來我們可以猜測 1 0 ( ) ( ) ( ) s G t x Q t G t dx EY − ⎛ + ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ∞

∫

1 ( ) ( ) s t G x G t dx EY − ∞ ⎛ ⎞ = _⎜ ⎝

∫

⎠⎟ ，且我們知道 }，符 合 ( ) {

π

_js , j≥0 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 0 liminf limsup 1 s s j j s s j _j j c j

π

π

π

π

+ + →∞ _→∞ ≤ ≤ ≤ ≤ ，其中 為c ( 1) 0 ( ) t x x eλ dQ ∞ − =

∫

t 中不為 1 的 解，令1 c為解(1)。 根據[2]，如果到達顧客服從卜瓦松過程Poisson( )

λ

，櫃檯的服務時間 服從指數分配，它的期望值是

µ

−1_，令 n p 為系統人數為 極限機率，在 s 個 櫃台的排隊理論中，我們會得到 n , , 1 n s n s p p n s s

λ

ρ

ρ

µ

− = ≥ 其中 = < ，所 以我們可以知道，在M M s 系統中，/ / i 1 i 1 i i p p s

π

_ρ

λ

π

+ = + = =

µ

。令s

λ

µ

為解(2)。

4-1 M/G/s 模擬結果分析 模擬 5000000 筆資料，系統為離開的人回頭看系統剩下的人數，模擬 個數為系統人數i 的發生次數，機率為P(系統人數 )=i ， 1 ( 1) ( ) i i i ratio i

π

π

+ + = 個 = 個數 數 ，灰色部分為我們觀察到 ( 1 ( ) i i + 模擬個數 模擬個數 ) 的值跟理論 值接近的地方。 < case 4 > 2 個服務櫃檯，顧客進來時間服從Exp(1)，服務時間服從 (10 9 Exp ) ，理 論值解(1)為1 0.45 c = ，解(2)為 0.45。模擬 5000000 筆資料： 系統人數 模擬個數 機率 模擬個數(i+1)/模擬個數( )i 0 1895119 0.379024 0.9015 1 1708533 0.341707 0.4493 2 767605 0.153521 0.4500 3 345387 0.069077 0.4526 4 156324 0.031265 0.4480 5 70038 0.014008 0.4463 6 31261 0.006252 0.4511 7 14101 0.002820 0.4528 8 6385 0.001277 0.4517 9 2884 0.000577 0.4438 10 1280 0.000256 0.4727 11 605 0.000121 0.4165 12 252 0.000050 0.4643 13 117 0.000023 0.4872 14 57 0.000011 0.4912 15 28 0.000006 0.3929 16 11 0.000002 0.9091 17 10 0.000002 0.3000 18 3 0.000001 0.0000

< case 5 > 2 個服務櫃檯，顧客進來時間服從 ( )1 2 Exp ，服務時間服從 (10) 18 Exp ，理 論值解(1)為1 0.44999999 c = ，解(2)為 0.45。 模擬 5000000 筆資料： 系統人數 模擬個數 機率 模擬個數(i+1)/模擬個數( )i 0 1895536 0.379107 0.9006 1 1707102 0.341420 0.4506 2 769130 0.153826 0.4492 3 345463 0.069093 0.4519 4 156098 0.031220 0.4474 5 69835 0.013967 0.4466 6 31186 0.006237 0.4497 7 14025 0.002805 0.4483 8 6287 0.001257 0.4622 9 2906 0.000581 0.4604 10 1338 0.000268 0.4507 11 603 0.000121 0.4693 12 283 0.000057 0.4028 13 114 0.000023 0.3684 14 42 0.000008 0.5000 15 21 0.000004 0.9048 16 19 0.000004 0.4737 17 9 0.000002 0.2222 18 2 0.000000 0.5000 19 1 0.000000 0.0000 20 0 0.000000 8 表 4-2、M/M/2 模擬結果 2

< case 6 > 2 個服務櫃檯，顧客進來時間服從 ( )1 3 Exp ，服務時間服從 (10 24 Exp ) ，理 論值解(1)為1 0.4 c = ，解(2)為 0.4。 模擬 5000000 筆資料： 系統人數 模擬個數 機率 模擬個數(i+1)/模擬個數( )i 0 2141259 0.428252 0.8007 1 1714520 0.342904 0.3999 2 685579 0.137116 0.3999 3 274128 0.054826 0.4028 4 110415 0.022083 0.4024 5 44433 0.008887 0.3969 6 17635 0.003527 0.4058 7 7156 0.001431 0.4078 8 2918 0.000584 0.3999 9 1167 0.000233 0.4199 10 490 0.000098 0.3735 11 183 0.000037 0.4372 12 80 0.000016 0.2625 13 21 0.000004 0.7143 14 15 0.000003 0.0667 15 1 0.000000 0.0000 16 0 17 0 18 0 9 表 4-3、M/M/2 模擬結果 3

< case 7 > 2 個服務櫃檯，顧客進來時間服從Exp(1)，服務時間服從 100 (2, ) 45 Gamma ，解(1)理論值1 0.379713 c = 。 模擬 5000000 筆資料： 系統人數 模擬個數 機率 模擬個數(i+1)/模擬個數( )i 0 1883802 0.376760 0.9175 1 1728434 0.345687 0.4842 2 836936 0.167387 0.4099 3 343044 0.068609 0.3824 4 131162 0.026232 0.3709 5 48650 0.009730 0.3672 6 17866 0.003573 0.3615 7 6459 0.001292 0.3628 8 2343 0.000469 0.3525 9 826 0.000165 0.3366 10 278 0.000056 0.4029 11 112 0.000022 0.4554 12 51 0.000010 0.3726 13 19 0.000004 0.5790 14 11 0.000002 0.4546 15 5 0.000001 0.4000 16 2 0.000000 0.0000 17 0 18 0 19 0 20 0 10 表 4-4、M/G/2 模擬結果 1

< case 8 > 2 個服務櫃檯，顧客進來時間服從 ( )1 3 Exp ，服務時間服從 (3, )5 4 Gamma ， 解(1)理論值1 0.304827 c = 。 模擬 5000000 筆資料： 系統人數 模擬個數 機率 模擬個數(i+1)/模擬個數( )i 0 2128760 0.425752 0.8196 1 1744785 0.348957 0.4322 2 754171 0.150834 0.3441 3 259476 0.051895 0.3091 4 80211 0.016042 0.2911 5 23351 0.004670 0.2824 6 6595 0.001319 0.2810 7 1853 0.000371 0.2995 8 555 0.000111 0.2991 9 166 0.000033 0.3434 10 57 0.000011 0.2105 11 12 0.000002 0.5833 12 7 0.000001 0.1429 13 1 0.000000 0.0000 14 0 15 0 16 0 17 0 18 0 19 0 20 0 11表 4-5、M/G/2 模擬結果 2

< case 9 > 3 個服務櫃檯，顧客進來時間服從Exp(1)，服務時間服從 100 (2, ) 45 Gamma ，解(1)理論值1 0.24425 c = 。 模擬 5000000 筆資料： 系統人數 模擬個數 機率 模擬個數(i+1)/模擬個數( )i 0 2013505 0.402701 0.9028 1 1817756 0.363551 0.4528 2 823118 0.164624 0.3097 3 254944 0.050989 0.2684 4 68434 0.013687 0.2477 5 16951 0.003390 0.2386 6 4045 0.000809 0.2443 7 988 0.000198 0.2045 8 202 0.000040 0.2327 9 47 0.000009 0.1915 10 9 0.000002 0.1111 11 1 0.000000 0.0000 12 0 13 0 14 0 15 0 16 0 17 0 18 0 19 0 20 0 12 表 4-6、M/G/3 模擬結果

< case 10 > 4 個服務櫃檯，顧客進來時間服從Exp(1)，服務時間服從 100 (2, ) 45 Gamma ，解(1)理論值1 0.180616 c = 。 模擬 5000000 筆資料： 系統人數 模擬個數 機率 模擬個數(i+1)/模擬個數( )i 0 2028591 0.405718 0.90156 1 1828896 0.365779 0.45038 2 823704 0.164741 0.30086 3 247817 0.049563 0.22991 4 56976 0.011395 0.20144 5 11477 0.002295 0.18428 6 2115 0.000423 0.17163 7 363 0.000073 0.14876 8 54 0.000011 0.12963 9 7 0.000001 0.00000 10 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 0 16 0 17 0 18 0 19 0 20 0 13 表 4-7、M/G/4 模擬結果

4-2 模擬結果分析 我們知道解(1)為1 c，其中 c 為 ( 1) 0 ( ) t x x eλ dQ ∞ − =

∫

t 中不為 1 的解， 1 0 ( ) ( ) ( ) s G t x Q t G t dx EY − ∞ ⎛ + ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝

∫

⎠ 1 ( ) ( ) s t G x dx EY G t − ∞ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝

∫

⎠ ，解(2)為 M/M/s 的解為s

λ

µ

。 由以上結果顯示，在M M s 部份，我們可以觀察到，解(1)相當近似/ / 於解(2)，因此我們認為在M M s 部份理論上解(1)是合理的。在/ / M M s 和/ / / / M G s 部分模擬的結果，不像是M G/ /1灰色部份(跟理論值接近的地方) 很長，原因可能有第一、平穩分佈的比值 i 1 i

π

π

+ 是不存在的，但是我們知道在 / / M M s 的時候平穩分佈的比值 i 1 i

π

π

+ 是存在的，因此此事比較不可能。第 二、模擬個數五百萬不夠多，這情況有可能，但是若增加模擬個數，所花 費的時間跟得到的精準度不成正比，因此我們沒有增加模擬個數。第三、 期望服務時間除以期望顧客的進入時間，當比值很小時，相對的等待人數 變少，也就是系統中的最多人數會變少，跟M G/ /1比較起來，M M s 和/ / / / M G s 系統的最多人數會少很多，因此灰色部分也會相對的比較短。每一 筆資料在 ( 1) ( ) i i + 模擬個數 模擬個數 的尾巴的某些值都是趨近於解(1)，因此我們可以說 我們的理論值是可相信的。

第五章 結論 本文的目的在找出排隊系統中，平穩分佈的尾端部分比值 i 1 i

π

π

+ 會收斂 到一常數。我們一開始先做M G/ /1的模擬，可以知道M G/ /1的系統中，模 擬出來的結果跟理論值很接近，下一步做M M s 的模擬並且根據[7]，我/ / 們得到解(1)(我們猜測的值)近似於解(2)，而且跟模擬值很接近，接下來做 / / M G s 的模擬，觀察到 ( 1 ( ) i i ) + 模擬個數 模擬個數 的某些部分跟我們的解(1)很靠近。 因此我們可以猜測M G s 尾端極限機率的比值是收斂的，而且在/ / M G/ /1 系統時，會收斂到1 c，其中 為c ( 1) 0 ( ) t x x=

∫

∞eλ − dG t ，且 1 0 ( ) ( ) t y _y G t e dy α α β

β

α

− − ⋅ = ⋅ Γ

∫

中不等於 1 的解。在M G s 系統中，會收斂到/ / 1 c，其中 為c ( 1) 0 ( ) t x x eλ dQ ∞ − =

∫

t ， 1 0 ( ) ( ) ( ) s G t x Q t G t dx EY − ∞ ⎛ + ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝

∫

⎠ 1 ( ) ( ) s t G x G t dx EY − ∞ ⎛ ⎞ = _⎜ ⎝

∫

⎠⎟ 中不為 1 的解。 因此當我們在做排隊理論的模擬時，可以運用此定理，不受限於樣本 個數的關係，使得我們做的模擬更為精準。

參考文獻

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