單元十一 複數
重點一、複數的運算 1. 設 a，b，c，d∈ ，若 a + b i = c + d i，則 a = b，c = d R 例：設 a，b∈ ，若 a + b i = 0，則 a = b = 0 R 2. (a b i) (c d i) (a c) (b d) i+ ± + = ± + ± 3. (a b i) (c d i) (ac bd) (ad bc) i+ ⋅ + = − + +4. c d i (c d i)(a b i) (ac bd) (ad2 2 bc) i
a b i (a b i)(a b i) a b + = + − = + + − + + − + 5. z = a + b i，其共軛複數為 2 2 z = −a b i⇒ ⋅ =z z a +b ≥ 0 重點二、i 與ω的運算
1. i= −1，i2 =1，i3 =i，i4 = 1
(1) i 是 4 次一週期 (2) (1 + i)2 = 2i，(1i)2 =2 i 2. ω，ω2 = 2 i 3 1+ − ， 2 i 3 1− − ，ω3 = 1 (1) ω 是 3 次一週期 (2) 1 + ω + ω2 = 0 重點三、複數的極式與應用 1. 複數絕對值： 若 z = a + b i，則 z 的絕對值 2 2 | z |= a +b (1) n n 1 2 1 2 | z z |⋅ =| z | | z |⋅ ⇒| z |=| z | (2) 1 1 2 2 z | z | | | z =| z | 2. 直角坐標( a，b )與極坐標( r，θ )： (1) a = r cos θ，b = r sin θ (2) 2 2 r= a +b ，cosθ a r = ，sinθ b r = 3. 複數極式與應用： (1) 極式： z= +a b i(標準式) r (cos= θisinθ)+ (極式) 其中 2 2 r= a +b ，cosθ a r = ，sinθ b r = (2) 應用：
z z1⋅ 2 = ⋅r r [cos(1θθ) isin(2 θθ)]1+ 2 + 1+ 2 [cos( ) isin( )] r r z z 2 1 2 1 2 1 2 1 = θ −θ + θ −θ n n n
z =[ r(cosθisinθ) ]+ r (cos nθisin nθ)= + 4. 1 的 n 次方根： xn = 1 的根為 1，ω，ω2 ，……，ωn 1− 其中ωcos 2π2πi sin n n = + (1) ωn = 1 (2) 1 + ω + ω2 + …… +ωn 1− = 0
朝著既定的目標走，就不會迷失。
精選歷屆試題
1. 令i= − ，則1 i100+i101++i200之值為 (A) 0 (B)1 (C) 1− (D) i 。 2. 令i= − ，則1 443 1 k k i = =∑
(A) 1− (B) 0 (C)1 (D) i− 。 3. 設 a ， b R∈ 且i= − ，若1 (a− +4) 2bi=3a+8i，則 2a b+ = (A) 4 (B) 4− (C) 8 (D) 0 。 4. 已知i= − ，則複數 (3 2 )(4 5 )1 − i + i 的實部為何？ (A) 2 (B) 7 (C) 9 (D) 22 。 5. 設i= − ，而 ( 3 2 )(2 5 )1 i − + i − i = + ，其中 a ， b 為實數，則 a ba bi + 之值為 (A) 15− (B) 3 (C) 7− (D) 9。 6. 設i= −1且 ba, 為兩實數若(a+bi)(1+3i)=8+4i則(a+bi)2 = (A) i8 (B)− (C)8i 8+ (D)8i 8− 。 8i 7. 設4 3 3 4 i i + + 化為 a bi+ 的型式，a， b R∈ ， i 為虛數單位，則下列何者錯誤？ (A)a> (B)0 b< (C)0 17 25 a b+ = (D)a b− = 。 2 8. 設i= − ，則1 (1+i) (14 −i)4之值為 (A) 256 (B) 64 (C) 32 (D)16 (E)128 。 9. 6 (1+i) 之值為 (A) 8 (B) 8i (C) 8− (D) 8i− 10. 設 f x( )=x2−3x+ ，若2 i= − ，則 ( 1 )1 f − + 之值等於 (A) 7 5ii − (B) 6 5i− (C) 5 5i− (D) 4 5i− 。 11. 設複數 1 1 i z i − = + ，則z的共軛複數 z= (A) i (B) i− (C)1 (D) 1− 。 12. z= − −7 24i，其中i= − ，若1 z的共軛複數為 a bi+ ，z的絕對值為c，則 a b c− + 之值為 (A) 7− (B) 6− (C) 5− (D) 4− 。 13. 設複數 1 3 a i = + ， 2 1 b i = + ， 1 2 i c= − ，求 2 a bc = ？ (A)1 5 (B) 1 2 (C) 1 4 (D) 1 10。14. 試化簡 10 12 6 8 ( 1 3 ) (1 ) ( 3 ) ( 1 ) i i i i − − + + − − 之值為 (A) 256 (B) 64 (C) 512 (D) 251。 15. 下列何者為直角座標平面上之點 (1,− 3)的極座標？ (A)[2, ] 3 π (B)[2,2 ] 3 π (C)[2,4 ] 3 π (D)[2,5 ] 3 π 。
16. 設i= −1且複數z 的主幅角記作 arg z，0≤ arg z 2π< ，試求 arg
(
− 3+ =i)
(A) 6 π (B)5 6π (C) 7 6π (D) 11 6π 。 17. 設i= −1且a、b 為實數，若 10 cos sin 12 i 12 a bi π π + = + ，則b− 3a= (A)－ 1 (B)－2 (C)1 (D)2。 18. 下列何者為複數 2i 的平方根之一？ (A) i− (B) i (C) 1 i− − (D) 1 i− + 。 19. 下列那一個數是1的三次方根？ (A)1 3 2− 2 i (B) 1 3 2 2 i − − (C)1 3 2+ 2 i (D) 3 1 2 +2i。 20. 已知i= − ，且1 1 3 2 i ω − += 為 2 1 0 x + + = 之一根，試求 x 2 100 1+ +ω ω ++ω =？ (A) 1 3 2 i − + (B)1 3 2 i + (C) 1− (D) 0 。 21. 若w為方程式x2+ x+1=0之一複數根則 2005 = w (A) 1− (B)1 (C)−w (D)w。
試題解析：
1. 1+ + + =i i2 i3 0，∴原式 100 0 1 i = + = 2. 1+ + + =i i2 i3 0且 4 1 i = ， 443 2 3 1 ( 1) ( ) 1 k k i i i i i i = ∴∑
= + + = + − + − = − 3. ( 4) 2 3 8 4 3 2 2 0 2 8 4 a a a a bi a i a b b b − = = − − + = + ⇒ ⇒ ⇒ + = = = 4. (3 2 )(4 5 )− i + i =12 15+ i− − −8i ( 10)=22 7+ i 5. 2 ( 3 2 )(2 5 ) ( 6 15 4 10) (4 19 ) 4 19 19 4 i − + i − i = − +i i+ +i =i + i = +i i = − + i 19 a ∴ = − ，b= ⇒ + = −4 a b ( 19)+ = − 4 15 6.[
i]
i i i bi a i i i i i bi a i i bi a 8 ) 2 ( 4 ) 1 ( 4 ) 1 ( 2 ) ( 2 2 10 ) 3 1 )( 4 8 ( 3 1 4 8 4 8 ) 3 1 )( ( 2 2 2 = − = − = − =− + ∴ − = − + = + + = + ∴ + = + + 7. 2 2 2 4 3 4 3 3 4 12 16 9 12 12 16 9 12( 1) 24 7 24 7 3 4 3 4 3 4 3 (4 ) 9 ( 16) 25 25 25 i i i i i i i i i i i i i i + = + × − = − + − = − + − − = − = +− + + − − − − 8. 4 4 4 2 2 4 4 4 (1+i) (1−i) =[(1+i)(1−i)] =[1 −i ] = − −[1 ( 1)] =2 =16 9. 6 2 3 2 3 3 3 3 3 (1+i) =[(1+i) ] = + +[1 2i i ] = + + −[1 2i ( 1)] =(2 )i = × = × − = − 2 i 8 ( )i 8i 10. f( 1− + = − +i) ( 1 i)2− − + + = − +3( 1 i) 2 (1 2i i2) 3 3+ − + = − + − + − = −i 2 1 2i ( 1) 5 3i 5 5i 11. 2 2 2 2 1 (1 ) 1 2 1 2 ( 1) 1 1 1 ( 1) 1 1 i i i i i z i i i − − − + − + − = = = = = − + − − − + ，∴ = z i 12. z= − −7 24i⇒ = − +z 7 24i⇒( , )a b = −( 7, 24)， 2 2 ( 7) ( 24) 25 z = − + − ⇒ =c ，∴ − + = − −a b c ( 7) 24 25+ = − 6 13. 2 ( 1 )2 2 1 12 3 1 2 (3 ) (1 ) i i a bc i i i i − − = ⋅ ⋅ = + + + + 2 2 2 2 1 1 2 1 (3 ) (1 ) 3 1 ( 10) 2 10 i i a bc i i i i − − ∴ = = = = + + + + ⋅ 14. 原式 10 12 10 12 10 6 6 6 8 6 8 6 4 1 3 1 2 ( 2) 2 2 2 64 2 2 2 ( 2) 3 1 i i i i − − + ⋅ ⋅ = = = = = ⋅ ⋅ + − − 15. (1,− 3)所代表的複數為1 3 2(1 ( 3) ) 2(cos5 sin5 ) 2 2 3 3 i i π i π − = + − = + ， ∴所求之極座標為[2,5 ] 3 π16. ∵ − 3+ =i
