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高二上第二次期中考數學3A題庫(40)

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(1)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P1/20

一、單選題

1. ( )

2 2 2 2

1 4 65

log 13 log 25 log log

2 7 7    

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5

解答 B

解析 原式

4 65 1 log log log 25 log13 2 7 7

log 2 log 2 log 2 log 2

   

1

2 4 65 log 13 5 4 65

log13 log(25) log log

7 7 7 7 log 2 log 2              

4 7 log 13 5 log 4 2log 2 7 65 2 log 2 log 2 log 2             

2. ( )請問下列哪一個選項等於

 

  5 3 log 2

? (A)

 

3

5log 2

(B)

3 5log2

(C)

5log2 log3

(D)

5 log 2

log 3

(E)

5

3 log2

解答 E

解析 利用公式

log t log art ar

,得

 

 

35 5 log 2 3 log 2

3. ( )對任意實數 x 而言,

( 2 2) 3 27x

的最小值為何? (A)3 (B)

3 3

(C)9 (D)27 (E)

81 3

解答 C

解析 因為底數 27 > 1,又

2 2 2 3 3 x  

,所以

( 2 2) 2 2 3 2 3 3 3 27x 27 (3 ) 3 9

4. ( )若 log

10(x + 6

) + log10(x −

6

) = 1,則 x = (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

解答 B

解析 真數恆正,因此,x +

6

0 且 x −

6

0 ⇒ x >

6

原式

⇒ log

10

((x +

6

)(x −

6

)) = log

10

10 ⇒ x

2

− 6 = 10 ⇒ x

2

= 16

⇒ x = ± 4(負不合)

5. ( )問:下列四個數何者最小? (A)

213

(B)

2 1 8       

(C)

1 4 2 

(D)

1 3 8 

解答 D

解析 將五個數皆化成以 2 為底數:

 

2 2 3 6 1 2 2 8           

 

1 1 3 1 3 3 8  2  2

因為底數

2 1

,所以

2121421326

故最小值為

813

(2)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P2/20

6. ( )化簡

2 3 4

5

1 (log 3)(log 4)(log 5)

log 2

的值為 (A)

0

(B)1

(C)

2

(D)

3

(E)

4

解答 A

解析 所求

log 3 log 4 log 5 1 log 5 log 5 0 log 2

log 2 log 3 log 4 log 2 log 2 log 5

     

     

     

7. ( )圖為

y2logx

ylogx

y logx

y 2logx

的圖形,選出

ylogx

的圖形。

(A)A (B)B (C)C (D)D

解答 B

解析 因為當

x1

時,

2logxlogx  0 logx 2logx

所以

ylogx

的圖形為

B

8. ( )當 a > 0,a ≠ 1 時,函數 y = a

− x

的圖形與下列哪一個函數圖形對稱於直線:

y = x?

(A)y = − a

− x

(B)y = a

x

(C)

log1 a

yx

(D)y = log

a

x

解答 C

解析 對稱於

yx

的圖形為

xay

,利用對數定義可知:

log log log log log a x x y x y y a a        

1 log log 1 log a x y x a   

9. ( )關於對數 log

x − 1

( − x

2

+ 5x − 4),下列哪一個數使對數有意義?(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解答 C

解析 對數有意義時,滿足

(I)x − 1 > 0 且 x − 1 ≠ 1。

(II) − x

2

+ 5x − 4 > 0,即(x − 1)(x − 4) < 0,得 1 < x < 4,且 x ≠ 2

10. ( )若 y = log

a

x,y = log

b

x,y = log

c

x,y = log

d

x 的圖形

A、B、C、D(如圖所示)。試判斷底數 a、b、c、d 的大小關係。

(A)a > b > c > d (B)a < b < c < d (C)b > a > c > d (D)b > a > d > c (E)無法比較

解答 C

解析 如圖。

log log log a x y x a  

log log log b x y x b  

log log log c x y x c  

log log log d x y x d  

y1

時,分別與四個圖形交於

( , 1)a

( , 1)b

( , 1)c

( , 1)d

由圖形可知,

四個交點由左到右分別為

( , 1)d

( , 1)c

( , 1)a

( , 1)b

故可得

d  c a b

(3)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P3/20

11. ( )在坐標平面上,設 P 為 y = − (x + 1)(x − 2)圖形上的一點,若 P 的 x 坐標為 log

310,試問

P 的位置在哪一象限? (A)一 (B)二 (C)三 (D)四 (E)不一定

解答 D

解析 因為點

P

x

坐標為

3 3

log10 log 9 2log 3

log 10 2 log 10 2 0

log 3 log 3 log 3

      

所以點

P

y

坐標為

(log 10 1)(log 10 2)3  3  0

,故點

P

在第四象限

12. ( )某種濾過性病毒有害人體,某人將此病毒 100 個吸進體內,已知此病毒在人體內每隔 6

小時就會分裂成

2 個,當體內達到 1 億個病毒時身體就會出現異常反應,在此期間則稱

為潛伏期,請問此病毒在體內的潛伏期大約有幾天?(log 2 ≈ 0.3010,log 3 ≈ 0.4771)

(A)3 天 (B)5 天 (C)8 天 (D)10 天 (E)15 天

解答 B

解析 設潛伏期 t 小時,

8 6 100 2 10 t  

26 t

10

6

log 26 log106 t

6 t

log 2 > 6 ⇒

6 6 log 2 t 6 0.3010  

19.93355… ≈ 19.93,

t > 119.58(小時),大約 5 天

13. ( )班佛法則:銀行存款首位數字為 a 的比例約有

log(1 1) a

,例如存款金額為

43210 元的首

位數字為

4,所有首位數字為 4 的存款所占比例約

log(1 1) 4 

,請根據班佛法則,估計銀

行存款的首位數字為

3 或 4 或 5 的人約有多少比例?(log2 ≈ 0.3010,log3 ≈ 0.4771)

(A)20% (B)30% (C)40% (D)50% (E)60%

解答 B

解析 首位數字為 3,4,5 所占比例分別為

log(1 1) 3 

log(1 1) 4 

log(1 1) 5 

,所占比例和為

4 5 6 4 5 6

log log log log( ) log 2 0.3010 30% 3 4 5 3 4 5   

14. ( )若正實數 x、y 滿足

logx2.8

logy5.6

,則

log x

2y

最接近下列哪一個選項的值?

log20.3010 ( )

(A)2.8 (B)5.6 (C)5.9 (D)8.4 (E)11.2

解答 C

解析 因為

logx2.8

所以

2.8 10 x

x2

 

102.8 2105.6

因為

logy5.6

,所以

5.6 10 y

2

5.6 5.6

5.6

log xy log 10 10 log 10 2 5.6 log2 5.6 0.301 5.901 

15. ( )比較 a = 0.7,b = 0.7

0.7

(0.70.7) 0.7 c

的大小,下列何者正確? (A)c > b > a (B)b > a > c

(C)a > c > b (D)b > c > a (E)c > a > b

解答 D

解析 因為

00.7 1

,所以

(0.7)0 (0.7)0.7(0.7)1 1 (0.7)0.70.7 0.70.7 1 0.7 (0.7) (0.7) (0.7) a c b      

(4)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P4/20

16. ( )聲音的強度是每平方公尺多少能量(單位:W/m

2

,W 為瓦特),若某一發聲體的強度為

I(W/m

2

,將它換算成分貝

d 表示時,其公式為

0 ( ) 10log I d I I

I

0 = 10 − 12

(W/m

2

。若

有一支

50 分貝的汽笛和二十支 40 分貝的汽笛齊響,測得的音量最接近多少分貝?

(log3 ≈ 0.4771) (A)50 分貝 (B)55 分貝 (C)60 分貝 (D)90 分貝 (E)130 分貝

解答 B

解析

1 5 0 1 0 4 2 2 0 0 50 10 log 10 10 40 10 log I I I I I I I I              

I

1

+ 20I

2

= 10

5

I

0

+ 20 × 10

4

I

0

= (10

5

+ 20 × 10

4

)I

0 5 4 4 0 0 (10 20 10 ) 10 log I 10 log(10 30) 54.771 55 I         

17. ( )第 1 天獲得 1 元、第 2 天獲得 2 元、第 3 天獲得 4 元、第 4 天獲得 8 元,依此每天所獲

得的錢為前一天的兩倍,如此進行到第

30 天,試問這 30 天所獲得的錢,總數最接近下

列哪一個選項?(

log20.3010

) (A)10,000 元 (B)1,000,000 元 (C)100,000,000 元

(D)1,000,000,000 元 (E)1,000,000,000,000 元

解答 D

解析 利用等比級數求和公式,得

總數為

2 3 ... 29 1 2 2 2  2

30 30 1 1 2 2 1 1 2      

因為

30 2

的個位數不為

0,

所以

30 2

2301

位數相同。又因為

30 log2 =30log230 0.3010 9.03 9 0.03 

所以

30 log2

首數為

9,可推得

30 2 1

為十位數

18. ( )設 a、b 為正實數,已知

log7a11

log7b13

,問:

log7

ab

之值最接近下列哪個選

項? (A)12 (B)13 (C)14 (D)23 (E)24

解答 B

解析 因為

log7a11

,所以

11 7 a

因為

log7b13

,所以

b713

11 13

11

2

7 7 7

log ab log 7 7 log 7 1 7 11

7 7 log 7 log 50 11 2 13     

19. ( )在一個培養容器中,由實驗得知細菌的數目每隔一小時會增加 2 倍(即變成原來的 3

倍)

,已知一開始放入

2 個細菌,剛好經過一天(24 小時)後,容器就充滿細菌(總數

N 個),如果一開始放入 1000 個細菌,問需經過多久時間,容器才會充滿細菌?

(A)13 小時以內 (B)13 小時到 15 小時 (C)15 小時到 17 小時 (D)17 小時到 19 小時

(E)19 小時以上

解答 D

解析 N = 2 × 3

24

,設經

t 小時後容器充滿

⇒ 1000 × 3

t

≥ N ⇒ 1000 × 3

t

≥ 2 × 3

24

⇒ 3

24 − t

≤ 500 ≤ 3

6

所以

t ≥ 18

(5)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P5/20

二、多選題

1. ( )設 t 為不等於 0 的實數,下列圖形中,哪些可能是對數函數

ytlogx

的部分圖形?

(A)

(B)

(C)

(D)

解答 BD

解析 由對數函數的圖形可知,正確的選項為(B)(D)

2. ( )指數函數

yax

ybx

ycx

y2x

的圖形如圖所示,且

ycx

y2x

的圖形對稱

y

軸。選出所有正確的選項。

(A)

a2

(B)

1 a 2

(C)

1 2 b

(D)

bc

解答 BD

解析 由圖可知:

c b   1 a 2

又因為

x yc

y2x

的圖形對稱於

y

軸,所以

1 2 c

3. ( )設

0 a 1

,關於函數

f x

 

ax

,選出所有正確的選項。 (A)

f

 

2 1

(B)

f x

 

的圖形

x

軸的上方 (C)若

f x

 

f

 

2

,則

x2

(D)

f x

 

的圖形凹口向上 (E)若

 

,則

 

 

f   f

解答 BCD

解析 函數

f x

 

ax

的圖形如圖所示。

(A)由圖可知:

f

 

2  f

 

0 1

(B)

f x

 

的圖形在

x

軸的上方 (C)因為

f x

 

的圖形和

x

軸上方的水平線都恰有一個交

點,所以當

f x

 

f

 

2

時,

x2

(D)

f x

 

的圖形凹口向上 (E)因為

f x

 

為嚴格遞減函數,所以當

 

時,

 

 

f   f

(6)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P6/20

4. ( )設

a0

a1

,下列圖形中,哪些可能是指數函數

yax

的圖形?

(A)

(B)

(C)

(D)

解答 AC

解析 指數函數

yax

a0

a1

)的圖形應

(I)過點

 

0,1

;(II)恆在 x 軸上方;(III)以 x 軸為漸近線

5. ( )指數函數

yax

ybx

ycx

的圖形如圖所示。選出所有正確的選項。

(A)

a1

(B)

b1

(C)

c1

(D)

ba

解答 ABD

解析 由圖形可知:

(A)因為

yax

為嚴格遞增函數,所以

a1

(B)因為

ybx

為嚴格遞增函數,所以

b1

(C)因為

x yc

為嚴格遞減函數,所以

0 c 1

(D)作直線

x1

分別與

yax

ybx

交於

A

 

1,a

B

 

1,b

兩點,如圖所示;因為

B 點在

A 點的上方,所以

ba

6. ( )下列哪些式子是正確的? (A)log

7( − 3)2

= 2log7( − 3) (B)log77 = 1 (C)log813 = 4

(D)log6(3 + 4) = log63 + log64 (E)log

6 7

log67

解答 BE

解析 (A)真數必須為正數 (B)

7 log 7 log 7 1 log 7  

(C)

81 log 3 log 3 1 log 3 log81 4log 3 4   

(D)左式

6 log(3 4) log 7 log (3 4) log 6 log 6     

,右式

6 6

log 3 log 4 log 3 log 4 log 3 log 4

log 6 log 6 log 6       log12 log 6  

左式

右式 (E)左式

1 2 1 2 1 log7 log 7 log7 2 log7

1 log6 log 6 log6

log6 2

(7)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P7/20

7. ( )坐標平面上,在函數圖形

y2x

上,標示

A

B

C

D

四個點,其

x

坐標分別為

1

0

、1

2

。請選出正確的選項 (A)點

B

落在直線

AC

下方 (B)在直線

AB

、直線

BC

直線

CD

中,以直線

CD

的斜率最大 (C)

A

B

C

D

四個點,以點

B

最靠近

x

(D)直線

y2x

2x y

的圖形有兩個交點 (E)點

A

與點

C

對稱於

y

解答 ABD

解析 依題意,得

1,1 2 A   

B

 

0,1

C

 

1,2

D

 

2,4

(A)因為

2x y

的圖形凹口向上,所以

B

AC

下方 (B)由圖得知

CD

的斜率最大

(C)由圖得知點

A

最靠近

x

軸 (D)兩圖形恰交於

CD

兩點 (E)因為

AC

兩點不等高,

所以不對稱於

y

8. ( )下列何者為真? (A)log

2( − 5)2

= 2log2( − 5) (B)log2(3 × 5) = (log23)(log25)

(C)

2 1

2

log 8 log 8 0

(D)log25

3

= (log25)

3

(E)log49 = log23

解答 CE

解析 (A)真數必須為正數 (B)

2

log(3 5) log 3 log5 log 3 log5 log (3 5)

log 2 log 2 log 2 log 2

 

    

2 2 2 2

log 3 log 5 (log 3)(log 5)

  

(C)因為

3 82

8 2( 1) ( 3) (2 )1 3 ( )1 3 2         

,所以

log 82 3

1 2 log 8 3

,因此

2 1 2 log 8 log 8    3 ( 3) 0

(D)左式

3 3 2

log5 3log5 log5

log 5 3

log 2 log 2 log 2

        

,右式

3 log5 log 2       

,左式

右式 (E)左式

log 9 2log 3 log 3

log 4 2log 2 log 2

   

右式

9. ( )設 a > 0,a ≠ 1,關於函數 y = f (x) = log

a

x 的敘述,下列何者為真? (A)當 a > 1 時,f

(x)的圖形為由左向右上升 (B)當 0 < a < 1 時,f (x)為遞減函數 (C)f (x)的圖形必過點

(1,0) (D)f (x)與任一條水平直線相交 (E)f (x)與任一條鉛垂直線相交

解答 ABCD

解析 分別作 a > 1,0 < a < 1 時 y = f (x) = log

a

x 圖形,觀察即可得

(8)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P8/20

10. ( )已知 log2 ≈ 0.3010,log3 ≈ 0.4771,則下列何者為正數? (A)log

23 − 1 (B)log32 − 1

(C)

1 2 log 3

(D)

1 3 1 log 2

解答 AD

解析 (A)

2 log 3 0.4771 log 3 1 1 1 1.59 1 0.59 0 log 2 0.3010         

(B)

3 log 2 0.3010 log 2 1 1 1 0.63 1 0.37 0 log 3 0.4771          

(C)

1 2 log 3 log 3 0.4771 log 3 1.59 0 1 log 2 0.3010 log 2        

(D)

1 3 1 log 1 2 log 2 0.3010 log 0.63 0 1 2 log log3 0.4771 3         

11. ( )下圖為函數 y = log

a

x,y = log

b

x,y = log

c

x 的圖形。選出正確的選項:

(A)a > 1 (B)b > 1 (C)c > 1 (D)a > b (E)b > c

解答 ABE

解析 如圖。

log log log a x y x a  

log log log b x y x b  

log log log c x y x c  

y1

時,分別與三個圖形交於

( , 1)a

( , 1)b

( , 1)c

由圖形可知,三個交點由左到右分別為

( , 1)c

( , 1)a

( , 1)b

其中點

(1, 1)

介於

( , 1)c

( , 1)a

之間,故

c  1 a b

(9)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P9/20

12. ( )下圖為函數 y = log

a

x,y = log

b

x,y = log

c

x 與 y = log

2

x 的圖形,

y = log

c

x 與 y = log

2

x 的圖形對稱於 x 軸,選出正確的選項:

(A)a > 2 (B)1 < a < 2 (C)0 < a < 1 (D)b > c (E)

1 2 c

解答 AE

解析 由圖可知:b < c < 1 < 2 < a,

y = log

c

x 與 y = log

2

x 的圖形對稱於 x 軸,所以

1 2 c

13. ( )已知 log

c

a = 2,log

c

b = 3,且 a > 0,b > 0,

c2

,則下列計算結果何者是錯誤的?

(A)

log 2 3 ba

(B)a + b = c

5

(C)log

c

(ab) = 6 (D)(log

c

b)

4

= 12 (E)log

c

(2a + 3b) = 13

解答 BCDE

解析

logca  2 a c2

3

logcb  3 b c

。 (A)

2

3

log log 2log 2 log

log log 3log 3

b a c c a b c c    

(B)

2 3 5 a b c  c c

(C)

log ( ) log( ) log log log log c ab a b ab c c

  log 2 log 3 2log 3log 5 6

log log c c c c c c      

(D)

4 4 (logcb) 3 81 12

(E)

2 3 13 2a3b2c 3cc

(註:當

c 在 1.16~1.17 之間,有一根可使等號成立,故當 c >

2 時,此選項必錯誤)

14. ( )設 0 < a < 1,關於函數 f(x) = a

x

,選出正確的選項: (A)f(2) > 1 (B)f(x)的圖形在 x 軸

的上方 (C)若 f(x) = f(2),則 x = 2 (D)f(x)的圖形凹口向上 (E)若 α < β,則

( ) ( ) ( ) 2 2 f f f      

解答 BCDE

解析 函數 f(x) = a

x

的圖形如下圖所示:

(A)╳:由圖可知:f(2) < f(0) = 1 (B)○:f(x)的圖形在 x 軸的上方 (C)○:因為 f(x)的

圖形和

x 軸上方的水平線均恰有一個交點,所以當 f(x) = f(2)時,x = 2 (D)○:f(x)的圖

形凹口向上 (E)○:因為 f(x)的圖形凹口向上,所以當 α < β 時,點

( ) ( ) ( , ) 2 2 f f     

比點

( , ( )) 2 f 2    

的位置要高,因此

( ) ( ) ( ) 2 2 f f f      

(10)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P10/20

15. ( )請選出所有正確的選項。 (A)

log ( 7)3  22log ( 7)3 

(B)

log 23  log 32

(C)

5 5 5 5 log 17 log 17 log 13 log 13  

(D)

4 2

log 9log 3

(E)

1 ( ) 2 log 1 0  

解答 D

解析 (A)因為

log ( 7)3 

無意義,所以等號不成立

(B)因為

3 log 2 log 2 log 3 

2 log 3 log 3 log 2   

,所以

log 23  log 32

(C)因為

5 5 17 log log17 log13 13 log 17 log 13 1

log 5 log 5 log 5

    

5

5

log17

log 17 log 5 log17 1 log13 log 13 log13 log 5   

,所以

5 5 5 5 log 17 log 17 log 13 log 13  

(D)因為

4

log 9 2log 3 log 3 log 9

log 4 2log 2 log 2

  

2 1 log 3 log 3 2 log 3 log 3 1 log 2 log 2 log 2 2   

,所以

4 2 log 9log 3

(E)因為

1 ( ) 2 log 1 

無意義,所以等號不成立

16. ( )觀察圖一與圖二,選出正確的選項。

圖一 圖二

(A)10

x

= x 有實數解 (B)10

x

= x

2

有實數解 (C)10

x

> x 恆成立 (D)當 x > 0 時,10

x

> x

2

恆成立

解答 BCD

解析 (A)因為方程式10

xx

的實數解個數為兩函數

10x y

y

x

的交點個數,所以由圖一可

知無實數解 (B)因為方程式

2 10xx

的實數解個數為兩函數

y10x

y

x

2

的交點個

數,所以由圖二可知有一個實數解 (C)因為由圖一可知

y10x

的圖形恆在

yx

的圖形

上方,所以10

x x

恆成立 (D)因為由圖二可知當

x0

時,

y10x

的圖形恆在

y

x

2

圖形上方,所以,當

x0

時,

2 10xx

恆成立

(11)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P11/20

三、填充題

1.

( )1 42 6

在小數點下第____________位出現不為 0 的數字。(有效數字)(

log20.3010

log3 0.4771

解答 33

解析

log 20.3010 2 100.3010

0.4771 log30.4771 3 10

42 42 0.3010 0.4771 42 1 ( ) 2 3 (10 10 ) 6      

0.7781

42 32.6802 0.3198 33 10  10 10 10    

1 42 ( ) 6

在小數點後第

33

位開始出現不為

0

的數字。

2. 設

alog 32

blog 34

1 2 log 30 c

64 log 125 d

,則

a

b

c

d

的大小關係為____________。

解答

a  d b c

解析

log 3 2log 3 log 9 0 log 2 2log 2 log 4

a   

log 3 0 log 4 b 

log30 log30 0 1 log 2 log 2 c   

log125 3log5 log5 0 log 64 3log 4 log 4

d    

因為

log9log5log3

,所以

log 9 log5 log 3

log 4log 4log 4

,故

a  d b c

3. 已知

1 9

(

1 3

)

2x + 1

< 9,求 x 的範圍為____________。

解答

3 1 2 x 2   

解析 因為

1 ( )1 2 1 9 3 x  

9,

所以

3

− 2

< 3

− 2x − 1

< 3

2

⇒ − 2 < − 2x − 1 < 2 ⇒ − 1 < − 2x < 3 ⇒

3 2 

< x <

1 2

4. 求方程式 x − log

2

x = 0 的實根個數為____________。

解答 0

解析 x − log

2

x = 0 ⇒ x = log

2

x,即求

2 log y x y x     

二圖形的交點個數,

作圖如下,二圖形沒有交點,故實根個數為

0。

(12)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P12/20

5. 若 A、B、C、D、E、F 為 f (x) = 1 + 3

x

的圖形上六個點,且此六點的

x 坐標依序為 0.4、0.8、

1.2、1.6、2、2.4,請問五個線段

AB

BC

CD

DE

EF

中,最長的是____________。

解答

EF

解析 觀察可知,

AB

BC

CD

DE

EF

x

變化量均相同,故僅需比其

y

變化量即可,

yf x( ) 1 3  x

為嚴格遞增函數,

且底數

1

的指數函數在

x

往右等速增加時,

y

增加愈快,

EF

y

變化量最大,故

EF

長度最長。

6. 如圖,

y8

( )1 4 x y

y2x

分別交於

P、Q 兩點,試求

PQ

長度為____________。

解答 4.5

解析 因為

1 2 3 3 ( ) 8 2 2 2 3 4 2 x x x x          

,所以

P

x

坐標

3 2  

因為

3 2x 8 2x2  x 3

,所以

Q

x

坐標

3

可知

3 ( 3) 4.5 2 PQ   

7. 設

為圓周率,則指數不等式

( )3 2 1 ( )2 2 1 3 xx x     

的解為____________。

解答

x0

3 2 x 

解析 因為

 3.14

,所以

1 3  

,將原不等式化成底數為

3 

,得

2 1 2 2 1 ( ) ( ) 3 3 x x x       2 2 2x 1 2x x 1 2x 3x 0 x(2x 3) 0 x 0              

3 2 x 

8. 已知

6 2 7 6 5x x

< 625,求 x 的範圍為____________。

解答

1 2 2 x 3

解析 因為 5

6x2 7x 6

5

4

所以

6x

2

− 7x + 6 < 4 ⇒ 6x

2

− 7x + 2 < 0 ⇒ (2x − 1)(3x − 2) < 0 ⇒

1 2

x <

2 3

(13)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P13/20

9. 求下列各對數的值。

(1)

1 4 1 log 2

____________。

(2)

4 5 log 5

____________。

(3) log101000 = ____________。

(4) log100.0001 = ____________。

解答 (1)

1 2

(2)

1 4

(3)3 (4)− 4

解析 (1) 因為

1 2 1 1 1 ( ) 2 4  4

,所以

14 1 1 log 2 2

(2) 因為

45514

,所以

54 1 log 5 4 

(3) 因為

1000 10 3

,所以

10 log 1000 3

(4) 因為

0.0001 10 4

,所以

10 log 0.0001 4

10. 求出下列各式的 b 值:

(1) log3

b = − 1,b = ____________。

(2) log3

b = 3,b = ____________。

(3)

1 3 log b 2

b = ____________。

解答 (1)

1 3

(2)27 (3)9

解析 (1) log

3

b = − 1,

31 1 3 b  

(2) log

3

b = 3,b = 3

3

= 27。

(3)

1 3 log b 2

1 2 2 ( ) 3 9 3 b   

11. 方程式 x + log

2

x = 0 有____________個實數解。

解答 1

解析

2 log y x y x      

,其圖形如下。

兩圖形恰有一交點,故有

1 個實數解。

12. 設 x

1、

x

2、

x

3、

x

4

均為實數,若

4x15

5x26

6x3 7

7x48

,則

1 2 3 4 x x x x

____________。

解答

3 2

解析

x1log 54

x2 log 65

x3log 76

x4log 87

1 2 3 4 4 5 6 7

log 5 log 6 log 7 log8 log8 log 5 log 6 log 7 log 8

log 4 log 5 log 6 log 7 log 4

x x x x          3log 2 3

2log 2 2

(14)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P14/20

13. 化簡下列各式:

(1)

log104 log109 log10 3

5 8 10

____________。

(2)

2log10 8 log10025 3  

____________。

(3) log29 × log34 = ____________。

解答 (1)log

10

3 (2)1 (3)4

解析 (1)

10 10 10 4 9 3

log log log

5 8 10 10 10 10

4 9 3 4 9 10

log log log 3

5 8 10 5 8 3              

(2) 因為

1 3 3 2 2 10 10 10 2 2 2

log 8 log (2 ) log 2

3 3  3 2 3 3 2 10 10 log 2  log 2    

100 10

log 25 2log5 log5

log 25 log 5

log100 2log10 log10

   

所以

2log10 8 log10025 log 2 log 510 10

3    log10

2 5 

log 10 110 

(3)

2 3

log 9 log 4 2log 3 2log 2 log 9 log 4

log 2 log 3 log 2 log 3

       2 2 4

14. 化簡

3 3 log 16 log 250 2  

____________。

解答

3

解析 原式

 

3 3 4 2 2 3 2 3

log 16 log 250 log 2 250 log 2 250 log1000 3

                   

15. 已知(

1 4

)

2 5 2 xx

0.125,求 x 的範圍為____________。

解答

1 2 

< x < 3

解析 因為(

1 4

)

2 5 2 xx  18

⇒ (

12

)

2 2 5 1 3 ( ) 2 xx

所以

2x

2

− 5x < 3 ⇒ 2x

2

− 5x − 3 < 0 ⇒ (x − 3)(2x + 1) < 0 ⇒

1 2  

x < 3。

16. 設

log 11 a2 

log 27b 3

,則

2 4ab

____________。

解答

130

解析 因為

4a22a

 

2a 2

2log 112

2 112121

3 log 27b  3 27b  b 3

所以

2 2 4ab 121 3 121 9 130 

(15)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P15/20

17. 化簡

3 5 6 6

1

log 3 log log 2 log 18 2 5    

____________。

解答

7 2

解析 原式

1 log

log 3 5 log 2 log18 2 log 3 log5 log 6 log 6

   

1

1 2

log3 log5 log 2 log18 2 log3 log5 log6

  

1

log3 log5 log 2 18 2 2

log3 log5 log6     

1 ( 1) log 36 3 2log 6 3 2 7 2 log 6 2 log 6 2 2         

18. 將函數

yf x( ) 2x

的圖形向右移

1

單位,向下移

2

單位,可得函數

yg x( )

____________。

解答

1 2  2  x

解析 移動後的函數為

( 1) 1 2 2 x 2 x 2 y       y   

19. 設 a = 7

25

,log7 ≈ 0.8451,則

(1) a 是____________位數。

(2) a 的首位數字為____________。

(3) a 的個位數字為____________。

解答 (1)22 (2)1 (3)7

解析 (1) loga = log7

25

= 25log7 ≈ 25 × 0.8451 = 21.1275,

a 為 22 位數。

(2) log1 < 0.1275 < log2,

故首位數字為

1。

(3) 7

1

→7,7

2

→9,7

3

→3,7

4

→1,7

5

→7,

表示個位數為

4 個一循環,故 7

25

個位數字為

7。

20. 設

2x 9

3y 8

,則

xy

____________。

解答

6

解析

2x   9 2 91x

,且

3y  8 23

,故

1 2 3 3 6 3y (9 )x 3y (3 )x y xy 6 x       

(16)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P16/20

21. 解方程式 2 log

4

x + log

2(x − 2) = 3,得 x = ____________。

解答 4

解析 因為真數必須為正數,所以

x0

x 2 0

,故

x2

利用換底公式可得:

log log( 2) log log( 2)

2 3 2 3

log 4 log 2 2log 2 log 2

x xx x

      

同乘

log2

可得:

3 2

log log( 2) 3log 2

log ( 2) log 2 ( 2) 8 2 8 0 x x x x x x x x              (x 4)(x 2) 0 x 4      

2

綜合以上,可知:

x4

22. 若 a、b、c 為正整數,已知 alog

2702 + blog2703 + clog2705 = 2,則 a 為____________。

解答 2

解析

alog2702blog2703clog27052

log 2 log 3 log 5 2 log 270 log 270 log 270

a  b  c 

     

 

 

log 2 log 3 log 5 2 log 270

log 2 3 5 log 2 log 3 log 5

2 2 log 270 log 270 a b c a b c abc          

270 log 2a 3b 5c 2    

2 2 3 2 6 2 2a 3b 5c 270 2 3 5 2 3 5          

因此

a2

b6

c2

23. 化簡

(log 2 log5  1258)(log 0.2 log4  225)

____________。

解答

7

解析

(log 2 log5  1258)(log 0.2 log4  225)

1

1 2

log 2 log8 log0.2 log 25 log 2 3log 2 log5 2log5 log5 log125 log 4 log 2 log5 3log5 2log 2

log 2               

log 2 log 2 log5 2log5 log 2 7 log5 7

2 2 7

1

log5 log5 2log 2 log 2 log5 2 log 2 2 2                    

(17)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P17/20

24. 化簡下列各式。

0.25 1 4

2

log log log 2

____________。

解答

1 2 

解析 令所求

0.25 1

4

2

log log log 2 x

 

因為

24412

,所以

4 1 log 2 2 

可得:

0.25 1

4

0.25 1 2 2 1 log log log 2 log log

2 x      

因為

2 1 1 2 2       

,所以

12 1 log 2 2

可得:

0.25 1 0.25 1 4 2 1

log log log 2 log 2 2 x    

因為

12 ( 1) ( 12) 1 12 1 12 2 4 4 4 (4 ) ( ) 4          

所以

1 4 1 log 2 2  

。故所求

1 2  

25. 試求(log

34 + log2716)(log49 − log163)的值為____________。

解答

5 2

解析 所求

(log 4 log16)(log9 log3) (2 log 2 4 log 2)(2 log3 log3 ) log3 log 27 log 4 log16 log3 3 log3 2 log 2 4 log 2

           

(10 log 2 3)( log 3) 5 3 log 3 4 log 2 2    

26. 解方程式 2

2x + 1

− 33 × 2

x − 2

+ 1 = 0,x = ____________。

解答 − 3 或

2

解析 2

2x + 1

− 33 × 2

x − 2

+ 1 = 0 ⇒ 2

2x

× 2

1

− 33 × 2

x

× 2

− 2

+ 1 = 0,

t = 2

x

,原式

2 33 2 1 0 4 t t    

⇒ 8t

2

− 33t + 4 = 0

⇒ (8t − 1)(t − 4) = 0

1 8 t  

t = 4,

1 3 2 2 8 x  

2

x

= 4 = 2

2

,所以

x = − 3 或 x = 2。

(18)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P18/20

27. 已知 a = (0.5)

0.7

4 1 8 b

(1)0.25 16 c

( 1 )3 2 d

e = (0.25)

0.36

,比較五數的大小順序為______。

解答 d < c < b < e < a

解析

0.7 1 0.7 0.7 (0.5) ( ) 2 2 a   

3 0.75 4 4 1 2 2 8 b    

(1)0.25 (2 )4 0.25 2 1 16 c    

1 3 3 2 3 2 1.5 1 ( ) (2 ) 2 2 2 d       

(0.25)0.36 ( )1 0.36 (2 )2 0.36 2 0.72 4 e     

因為 − 1.5 < − 1 < − 0.75 < − 0.72 < − 0.7,所以 2

− 1.5

< 2

− 1

< 2

− 0.75

< 2

− 0.72

< 2

− 0.7

d < c < b < e < a。

28. 已知

0.3010 10 2

100.47713

。若

560

小數點下第

m

位始出現不為零的數字,首次出現不為零的數字

b

,則數對

m b,

____________。

解答

(42 , 1)

解析

60 60 1 60 60 0.6990 41.94 0.06 ( 42) 0.06 42 0.3010 10 10 5 10 10 10 10 10 2 10                 

0 1 10

2 10 0.3010

,且

y10x

為嚴格遞增函數,

所以

0 0.06 0.3010 0.06 10 10 10  1 10 2

,即

0.06 10 1.

60 42 5 1. 10

,即

60 5

在小數點下第

42

位開始出現不為零的數字,首次出現不為零

的數字為

1

數對

(m b, )(42 , 1)

29. 已知 f(x) = a + log

b

x 的圖形通過點(1,2),而其與直線 x = y 成對稱的圖形通過(4,25),求 a + b =

____________。

解答 7

解析 f(1)= a + log

b

1 = 2 ⇒ a = 2,

因為(4,25)在與直線 x = y 成對稱的圖形上,表示原函數通過(25,4),

因此

f(25) = 2 + log

b

25 = 4 ⇒ log

b

25 = 2 ⇒ b

2

= 25 ⇒ b = 5,

a + b = 7。

30. 下圖為 y = 3

x

的圖形。設

P、Q 分別為直線 y = 2,y = 6 與 y = 3

x

的交點,

PQ

的長為____________。

解答

17

解析 由圖可設 P (x

1

, 2)、Q (x

2

, 6),並得

3x12

3x2 6

2 2 1 1 3 6 3 3 3 2 x x x x  

,即

x

2

− x

1

= 1。

因此

2 2 2 2 2 1 ( ) (6 2) 1 4 17 PQxx     

(19)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P19/20

31. 設 log

23 = a,log65 = b,請將 log7590 用 a、b 表示為____________。

解答

1 2 2 2 a b ab a b ab     

解析

2 log 3

log 3 log 3 log 2 log 2 a   a

6 log 5 log 5 log 6

log 5 log 6 (log 2 log 3) (log 2 log 2)

b b b b a         log5 b(1 a)log 2   

2 75 2 log 2 3 5

log90 log 2 2log3 log5 log 90

log75 log 3 5 log3 2log5

 

  

 

log 2 2 log 2 (1 ) log 2 log 2 2 (1 ) log 2 a b a a b a      

1 2 (1 ) 1 2 2 (1 ) 2 2 a b a a b ab a b a a b ab            

四、混合題

1. 在化學上,我們常利用溶液的

pH

值來表示溶液的酸鹼度,定義

pH

 log[H ]

,其中

[H ]

表示

溶液中的氫離子濃度,單位是莫耳

/

升,請回答下列問題。

(已知

log1.585 0.2

log6.31 0.8

(1) 若某溶液中的氫離子濃度為

106.8

莫耳

/

升,則此溶液的

pH

值為____________。

(2) 若 A 溶液的

pH

值比

B 溶液的

pH

值多

1

,則

A 溶液的氫離子濃度與 B 溶液氫離子濃度的關係

為何?

解答 (1)6.8 (2)見解析

解析 (1)

pH

6.8

log10 6.8 6.8      

(2) 設 A 溶液的

pH

值為

k1

B 溶液的

pH

值為

k

,則

log[H ] 1 log[H ] A B k k          

兩式相減得:

[H ] [H ] 1 1

log[H ] log[H ] 1 log 1 10

[H ] [H ] 10 A A A B B B                    

A 溶液的氫離子濃度為 B 溶液氫離子濃度的

1 10

倍。

2. 設

7 40 ( ) 3 a

,請回答下列問題:

(1) 已知

log20.3010

log3 0.4771

log70.8451

,若

7 10 3 k

,則

k

的近似值到小數點後第三位為

____________。

(2)

a

應為幾位數?

(A)12 (B)13 (C)14 (D)15 (E)16

解答 (1)0.368 (2)D

解析 (1) 因為

log30.4771 3 100.4771

log70.8451 7 100.8451

所以

0.8451 0.8451 0.4771 0.3680 0.4771 7 10 10 10 3 10    

,故

k

的近似值為

0.368

(2)

7 40 0.368 40 14.72 0.72 14 ( ) (10 ) 10 10 10 3 a    

,故為

15 位數。

(20)

1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P20/20

3. 對「接觸便會感染,而且感染後便能免疫」這類傳染病的感染率

I t( )

定義為

( ) I t

=(在時間

t

時被感染過的人數)/(這城市的總人數)。

根據理論得知,感染率

I t( )

會符合

( ) 1 1 7 bt I t a    

這樣的數學模型,而且當

1 ( ) 2 I t

的時間

t

是該傳

染病的傳染高峰。有一這類型的傳染病在某個城市蔓延,剛開始(

t0

時)

,有

2%

的人口被傳

染,而

t3

時,有12.5%

的人口被傳染。

(1) 感染率中,實數

a

的值為何?

(A)

4

(B)

16

(C)

36

(D)

49

(E)

64

(2) 感染率中,實數

b

的值為何?

(A)

1 3

(B)

1 3 

(C)

2 3

(D)

2 3 

(E)

4 3

(3) 當

t

____________時,是該傳染病的傳染高峰。

解答 (1)D (2)A (3)

6

解析 (1)

(0) 0.02 1 0 1 49 1 7 50 I a a       

(2)

3 3 3 1 1 1 1 ( ) (3) 0.125 1 49 7 8 7 1 49 7 1 49 7 8 7 b b bt b I tI                1 3 1 3 b b      

(3)

1 1 1 2 2 3 3 3 1 1 ( ) 1 49 7 2 7 7 1 7 1 2 0 6 2 3 t t t I t                t  t

4. 心理學家常用數學模型 L(t) = a(1 − 10

− bt

)來描述學生經過 t 週的學習之後所得的成果,此處的常

a、b 會與學生及學習的科目有關。

(1) 小龍一週可以背熟 100 個英文單字,兩週可以背熟 199 個英文單字,則 a =?(單選題)

(A)100 (B)1000 (C)4500 (D)7000 (E)10000。

(2) 如果小龍要將新式學測的 4500 單字完全背熟,最少需要幾週的時間?(使用計算機,四捨五

入至整數位))

(非選擇題)

解答 (1)E (2)60 週

解析 (1)

100 (1 10 )2 (i) 199 (1 10 ) (ii) b b a a          

(ii) (i)

2 199 1 10 100 1 10 b b     

10

− b

= k ⇒

199 1 2 100 1 k k   

⇒ 100 − 100k

2

= 199 − 199k

⇒ 100k

2

− 199k + 99 = 0 ⇒ (100k − 99)(k − 1) = 0

99 100 k

1(不合),代回(i),

99 100 (1 ) 100 a  

⇒ a = 10000,故選(E)。

(2)

10000[1 (99) ] 4500 100 t  

1 (99) 0.45 100 t  

0.55 (99) 100 t

⇒ log0.55 > tlog0.99 ⇒

log 0.55 59.48 log 0.99

參考文獻

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範圍:下學期第一次段考

範圍:上學期第二次段考

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