1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P1/20
一、單選題
1. ( )
2 2 2 21 4 65
log 13 log 25 log log
2 7 7
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5
解答 B
解析 原式
4 65 1 log log log 25 log13 2 7 7log 2 log 2 log 2 log 2
1
2 4 65 log 13 5 4 65
log13 log(25) log log
7 7 7 7 log 2 log 2
4 7 log 13 5 log 4 2log 2 7 65 2 log 2 log 2 log 2
2. ( )請問下列哪一個選項等於
5 3 log 2? (A)
35log 2
(B)
3 5log2(C)
5log2 log3(D)
5 log 2
log 3
(E)
53 log2
解答 E
解析 利用公式
log t log ar t ar,得
35 5 log 2 3 log 23. ( )對任意實數 x 而言,
( 2 2) 3 27x 的最小值為何? (A)3 (B)
3 3(C)9 (D)27 (E)
81 3解答 C
解析 因為底數 27 > 1,又
2 2 2 3 3 x ,所以
( 2 2) 2 2 3 2 3 3 3 27x 27 (3 ) 3 94. ( )若 log
10(x + 6) + log10(x −
6) = 1,則 x = (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解答 B
解析 真數恆正,因此,x +
60 且 x −
60 ⇒ x >
6,
原式
⇒ log
10((x +
6)(x −
6)) = log
1010 ⇒ x
2− 6 = 10 ⇒ x
2= 16
⇒ x = ± 4(負不合)
5. ( )問:下列四個數何者最小? (A)
213(B)
2 1 8 (C)
1 4 2(D)
1 3 8解答 D
解析 將五個數皆化成以 2 為底數:
2 2 3 6 1 2 2 8 ,
1 1 3 1 3 3 8 2 2。
因為底數
2 1,所以
2121421326。
故最小值為
8131091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P2/20
6. ( )化簡
2 3 45
1 (log 3)(log 4)(log 5)
log 2
的值為 (A)
0(B)1
(C)
2(D)
3(E)
4解答 A
解析 所求
log 3 log 4 log 5 1 log 5 log 5 0 log 2
log 2 log 3 log 4 log 2 log 2 log 5
7. ( )圖為
y2logx、
ylogx、
y logx與
y 2logx的圖形,選出
ylogx的圖形。
(A)A (B)B (C)C (D)D
解答 B
解析 因為當
x1時,
2logxlogx 0 logx 2logx
,
所以
ylogx的圖形為
B
8. ( )當 a > 0,a ≠ 1 時,函數 y = a
− x的圖形與下列哪一個函數圖形對稱於直線:
y = x?
(A)y = − a
− x(B)y = a
x(C)
log1 ay x
(D)y = log
a
x
解答 C
解析 對稱於
yx的圖形為
xay,利用對數定義可知:
log log log log log a x x y x y y a a
1 log log 1 log a x y x a
。
9. ( )關於對數 log
x − 1( − x
2+ 5x − 4),下列哪一個數使對數有意義?(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解答 C
解析 對數有意義時,滿足
(I)x − 1 > 0 且 x − 1 ≠ 1。
(II) − x
2+ 5x − 4 > 0,即(x − 1)(x − 4) < 0,得 1 < x < 4,且 x ≠ 2
10. ( )若 y = log
ax,y = log
bx,y = log
cx,y = log
dx 的圖形
為
A、B、C、D(如圖所示)。試判斷底數 a、b、c、d 的大小關係。
(A)a > b > c > d (B)a < b < c < d (C)b > a > c > d (D)b > a > d > c (E)無法比較
解答 C
解析 如圖。
log log log a x y x a ,
log log log b x y x b ,
log log log c x y x c ,
log log log d x y x d ,
當
y1時,分別與四個圖形交於
( , 1)a、
( , 1)b、
( , 1)c、
( , 1)d,
由圖形可知,
四個交點由左到右分別為
( , 1)d、
( , 1)c、
( , 1)a、
( , 1)b,
故可得
d c a b1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P3/20
11. ( )在坐標平面上,設 P 為 y = − (x + 1)(x − 2)圖形上的一點,若 P 的 x 坐標為 log
310,試問P 的位置在哪一象限? (A)一 (B)二 (C)三 (D)四 (E)不一定
解答 D
解析 因為點
P的
x坐標為
3 3log10 log 9 2log 3
log 10 2 log 10 2 0
log 3 log 3 log 3
,
所以點
P的
y坐標為
(log 10 1)(log 10 2)3 3 0,故點
P在第四象限
12. ( )某種濾過性病毒有害人體,某人將此病毒 100 個吸進體內,已知此病毒在人體內每隔 6
小時就會分裂成
2 個,當體內達到 1 億個病毒時身體就會出現異常反應,在此期間則稱
為潛伏期,請問此病毒在體內的潛伏期大約有幾天?(log 2 ≈ 0.3010,log 3 ≈ 0.4771)
(A)3 天 (B)5 天 (C)8 天 (D)10 天 (E)15 天
解答 B
解析 設潛伏期 t 小時,
8 6 100 2 10 t ⇒
26 t 10
6⇒
log 26 log106 t ⇒
6 tlog 2 > 6 ⇒
6 6 log 2 t 6 0.3010 19.93355… ≈ 19.93,
t > 119.58(小時),大約 5 天
13. ( )班佛法則:銀行存款首位數字為 a 的比例約有
log(1 1) a ,例如存款金額為
43210 元的首
位數字為
4,所有首位數字為 4 的存款所占比例約
log(1 1) 4 ,請根據班佛法則,估計銀
行存款的首位數字為
3 或 4 或 5 的人約有多少比例?(log2 ≈ 0.3010,log3 ≈ 0.4771)
(A)20% (B)30% (C)40% (D)50% (E)60%
解答 B
解析 首位數字為 3,4,5 所占比例分別為
log(1 1) 3 ,
log(1 1) 4 ,
log(1 1) 5 ,所占比例和為
4 5 6 4 5 6log log log log( ) log 2 0.3010 30% 3 4 5 3 4 5
14. ( )若正實數 x、y 滿足
logx2.8、
logy5.6,則
log x
2y
最接近下列哪一個選項的值?
log20.3010 ( )(A)2.8 (B)5.6 (C)5.9 (D)8.4 (E)11.2
解答 C
解析 因為
logx2.8,
所以
2.8 10 x,
x2
102.8 2105.6。
因為
logy5.6,所以
5.6 10 y。
2
5.6 5.6
5.6
log x y log 10 10 log 10 2 5.6 log2 5.6 0.301 5.901
15. ( )比較 a = 0.7,b = 0.7
0.7,
(0.70.7) 0.7 c的大小,下列何者正確? (A)c > b > a (B)b > a > c
(C)a > c > b (D)b > c > a (E)c > a > b
解答 D
解析 因為
00.7 1,所以
(0.7)0 (0.7)0.7(0.7)1 1 (0.7)0.70.7 0.70.7 1 0.7 (0.7) (0.7) (0.7) a c b 1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P4/20
16. ( )聲音的強度是每平方公尺多少能量(單位:W/m
2,W 為瓦特),若某一發聲體的強度為
I(W/m
2)
,將它換算成分貝
d 表示時,其公式為
0 ( ) 10log I d I I ,
I
0 = 10 − 12(W/m
2)
。若
有一支
50 分貝的汽笛和二十支 40 分貝的汽笛齊響,測得的音量最接近多少分貝?
(log3 ≈ 0.4771) (A)50 分貝 (B)55 分貝 (C)60 分貝 (D)90 分貝 (E)130 分貝
解答 B
解析
1 5 0 1 0 4 2 2 0 0 50 10 log 10 10 40 10 log I I I I I I I I I
1+ 20I
2= 10
5I
0+ 20 × 10
4I
0= (10
5+ 20 × 10
4)I
0 5 4 4 0 0 (10 20 10 ) 10 log I 10 log(10 30) 54.771 55 I 17. ( )第 1 天獲得 1 元、第 2 天獲得 2 元、第 3 天獲得 4 元、第 4 天獲得 8 元,依此每天所獲
得的錢為前一天的兩倍,如此進行到第
30 天,試問這 30 天所獲得的錢,總數最接近下
列哪一個選項?(
log20.3010) (A)10,000 元 (B)1,000,000 元 (C)100,000,000 元
(D)1,000,000,000 元 (E)1,000,000,000,000 元
解答 D
解析 利用等比級數求和公式,得
總數為
2 3 ... 29 1 2 2 2 2
30 30 1 1 2 2 1 1 2 。
因為
30 2的個位數不為
0,
所以
30 2與
2301位數相同。又因為
30 log2 =30log230 0.3010 9.03 9 0.03 ,
所以
30 log2首數為
9,可推得
30 2 1為十位數
18. ( )設 a、b 為正實數,已知
log7a11、
log7b13,問:
log7
ab
之值最接近下列哪個選
項? (A)12 (B)13 (C)14 (D)23 (E)24
解答 B
解析 因為
log7a11,所以
11 7 a。
因為
log7b13,所以
b713。
11 13
11
2
7 7 7log ab log 7 7 log 7 1 7 11
7 7 log 7 log 50 11 2 13
19. ( )在一個培養容器中,由實驗得知細菌的數目每隔一小時會增加 2 倍(即變成原來的 3
倍)
,已知一開始放入
2 個細菌,剛好經過一天(24 小時)後,容器就充滿細菌(總數
為
N 個),如果一開始放入 1000 個細菌,問需經過多久時間,容器才會充滿細菌?
(A)13 小時以內 (B)13 小時到 15 小時 (C)15 小時到 17 小時 (D)17 小時到 19 小時
(E)19 小時以上
解答 D
解析 N = 2 × 3
24,設經
t 小時後容器充滿
⇒ 1000 × 3
t≥ N ⇒ 1000 × 3
t≥ 2 × 3
24⇒ 3
24 − t≤ 500 ≤ 3
6,
所以
t ≥ 18
1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P5/20
二、多選題
1. ( )設 t 為不等於 0 的實數,下列圖形中,哪些可能是對數函數
ytlogx的部分圖形?
(A)
(B)
(C)
(D)
解答 BD
解析 由對數函數的圖形可知,正確的選項為(B)(D)
2. ( )指數函數
yax、
ybx、
ycx與
y2x的圖形如圖所示,且
ycx與
y2x的圖形對稱
於
y軸。選出所有正確的選項。
(A)
a2(B)
1 a 2(C)
1 2 b(D)
bc解答 BD
解析 由圖可知:
c b 1 a 2,
又因為
x yc與
y2x的圖形對稱於
y軸,所以
1 2 c3. ( )設
0 a 1,關於函數
f x
ax,選出所有正確的選項。 (A)
f
2 1(B)
f x
的圖形
在
x軸的上方 (C)若
f x
f
2,則
x2(D)
f x
的圖形凹口向上 (E)若
,則
f f 解答 BCD
解析 函數
f x
ax的圖形如圖所示。
(A)由圖可知:
f
2 f
0 1(B)
f x
的圖形在
x軸的上方 (C)因為
f x
的圖形和
x軸上方的水平線都恰有一個交
點,所以當
f x
f
2時,
x2(D)
f x
的圖形凹口向上 (E)因為
f x
為嚴格遞減函數,所以當
時,
f f 1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P6/20
4. ( )設
a0,
a1,下列圖形中,哪些可能是指數函數
yax的圖形?
(A)
(B)
(C)
(D)
解答 AC
解析 指數函數
yax(
a0,
a1)的圖形應
(I)過點
0,1;(II)恆在 x 軸上方;(III)以 x 軸為漸近線
5. ( )指數函數
yax,
ybx,
ycx的圖形如圖所示。選出所有正確的選項。
(A)
a1(B)
b1(C)
c1(D)
ba解答 ABD
解析 由圖形可知:
(A)因為
yax為嚴格遞增函數,所以
a1(B)因為
ybx為嚴格遞增函數,所以
b1(C)因為
x yc為嚴格遞減函數,所以
0 c 1(D)作直線
x1分別與
yax和
ybx交於
A
1,a、
B
1,b兩點,如圖所示;因為
B 點在
A 點的上方,所以
ba6. ( )下列哪些式子是正確的? (A)log
7( − 3)2= 2log7( − 3) (B)log77 = 1 (C)log813 = 4
(D)log6(3 + 4) = log63 + log64 (E)log
6 7log67
解答 BE
解析 (A)真數必須為正數 (B)
7 log 7 log 7 1 log 7 (C)
81 log 3 log 3 1 log 3 log81 4log 3 4 (D)左式
6 log(3 4) log 7 log (3 4) log 6 log 6 ,右式
6 6log 3 log 4 log 3 log 4 log 3 log 4
log 6 log 6 log 6 log12 log 6
左式
右式 (E)左式
1 2 1 2 1 log7 log 7 log7 2 log71 log6 log 6 log6
log6 2
1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P7/20
7. ( )坐標平面上,在函數圖形
y2x上,標示
A、
B、
C、
D四個點,其
x坐標分別為
1、
0、1
、
2。請選出正確的選項 (A)點
B落在直線
AC下方 (B)在直線
AB、直線
BC、
直線
CD中,以直線
CD的斜率最大 (C)
A、
B、
C、
D四個點,以點
B最靠近
x軸
(D)直線
y2x與
2x y的圖形有兩個交點 (E)點
A與點
C對稱於
y軸
解答 ABD
解析 依題意,得
1,1 2 A ,
B
0,1,
C
1,2,
D
2,4(A)因為
2x y的圖形凹口向上,所以
B在
AC下方 (B)由圖得知
CD的斜率最大
(C)由圖得知點
A最靠近
x軸 (D)兩圖形恰交於
C、D兩點 (E)因為
A、C兩點不等高,
所以不對稱於
y軸
8. ( )下列何者為真? (A)log
2( − 5)2= 2log2( − 5) (B)log2(3 × 5) = (log23)(log25)
(C)
2 12
log 8 log 8 0
(D)log25
3= (log25)
3(E)log49 = log23
解答 CE
解析 (A)真數必須為正數 (B)
2log(3 5) log 3 log5 log 3 log5 log (3 5)
log 2 log 2 log 2 log 2
2 2 2 2
log 3 log 5 (log 3)(log 5)
(C)因為
3 82且
8 2( 1) ( 3) (2 )1 3 ( )1 3 2 ,所以
log 82 3且
1 2 log 8 3,因此
2 1 2 log 8 log 8 3 ( 3) 0(D)左式
3 3 2log5 3log5 log5
log 5 3
log 2 log 2 log 2
,右式
3 log5 log 2 ,左式
右式 (E)左式
log 9 2log 3 log 3log 4 2log 2 log 2
右式
9. ( )設 a > 0,a ≠ 1,關於函數 y = f (x) = log
ax 的敘述,下列何者為真? (A)當 a > 1 時,f
(x)的圖形為由左向右上升 (B)當 0 < a < 1 時,f (x)為遞減函數 (C)f (x)的圖形必過點
(1,0) (D)f (x)與任一條水平直線相交 (E)f (x)與任一條鉛垂直線相交
解答 ABCD
解析 分別作 a > 1,0 < a < 1 時 y = f (x) = log
ax 圖形,觀察即可得
1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P8/20
10. ( )已知 log2 ≈ 0.3010,log3 ≈ 0.4771,則下列何者為正數? (A)log
23 − 1 (B)log32 − 1(C)
1 2 log 3(D)
1 3 1 log 2解答 AD
解析 (A)
2 log 3 0.4771 log 3 1 1 1 1.59 1 0.59 0 log 2 0.3010 (B)
3 log 2 0.3010 log 2 1 1 1 0.63 1 0.37 0 log 3 0.4771 (C)
1 2 log 3 log 3 0.4771 log 3 1.59 0 1 log 2 0.3010 log 2 (D)
1 3 1 log 1 2 log 2 0.3010 log 0.63 0 1 2 log log3 0.4771 3 11. ( )下圖為函數 y = log
ax,y = log
bx,y = log
cx 的圖形。選出正確的選項:
(A)a > 1 (B)b > 1 (C)c > 1 (D)a > b (E)b > c
解答 ABE
解析 如圖。
log log log a x y x a ,
log log log b x y x b ,
log log log c x y x c ,
當
y1時,分別與三個圖形交於
( , 1)a、
( , 1)b、
( , 1)c,
由圖形可知,三個交點由左到右分別為
( , 1)c、
( , 1)a、
( , 1)b,
其中點
(1, 1)介於
( , 1)c與
( , 1)a之間,故
c 1 a b1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P9/20
12. ( )下圖為函數 y = log
ax,y = log
bx,y = log
cx 與 y = log
2x 的圖形,
且
y = log
cx 與 y = log
2x 的圖形對稱於 x 軸,選出正確的選項:
(A)a > 2 (B)1 < a < 2 (C)0 < a < 1 (D)b > c (E)
1 2 c解答 AE
解析 由圖可知:b < c < 1 < 2 < a,
又
y = log
cx 與 y = log
2x 的圖形對稱於 x 軸,所以
1 2 c13. ( )已知 log
ca = 2,log
cb = 3,且 a > 0,b > 0,
c2,則下列計算結果何者是錯誤的?
(A)
log 2 3 ba(B)a + b = c
5(C)log
c
(ab) = 6 (D)(log
cb)
4= 12 (E)log
c(2a + 3b) = 13
解答 BCDE
解析
logca 2 a c2,
3logcb 3 b c
。 (A)
2
3
log log 2log 2 log
log log 3log 3
b a c c a b c c
(B)
2 3 5 a b c c c(C)
log ( ) log( ) log log log log c ab a b ab c c log 2 log 3 2log 3log 5 6
log log c c c c c c
(D)
4 4 (logcb) 3 81 12(E)
2 3 13 2a3b2c 3c c(註:當
c 在 1.16~1.17 之間,有一根可使等號成立,故當 c >
2 時,此選項必錯誤)
14. ( )設 0 < a < 1,關於函數 f(x) = a
x,選出正確的選項: (A)f(2) > 1 (B)f(x)的圖形在 x 軸
的上方 (C)若 f(x) = f(2),則 x = 2 (D)f(x)的圖形凹口向上 (E)若 α < β,則
( ) ( ) ( ) 2 2 f f f 解答 BCDE
解析 函數 f(x) = a
x的圖形如下圖所示:
(A)╳:由圖可知:f(2) < f(0) = 1 (B)○:f(x)的圖形在 x 軸的上方 (C)○:因為 f(x)的
圖形和
x 軸上方的水平線均恰有一個交點,所以當 f(x) = f(2)時,x = 2 (D)○:f(x)的圖
形凹口向上 (E)○:因為 f(x)的圖形凹口向上,所以當 α < β 時,點
( ) ( ) ( , ) 2 2 f f 比點
( , ( )) 2 f 2 的位置要高,因此
( ) ( ) ( ) 2 2 f f f 1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P10/20
15. ( )請選出所有正確的選項。 (A)
log ( 7)3 22log ( 7)3 (B)
log 23 log 32(C)
5 5 5 5 log 17 log 17 log 13 log 13 (D)
4 2log 9log 3
(E)
1 ( ) 2 log 1 0 解答 D
解析 (A)因為
log ( 7)3 無意義,所以等號不成立
(B)因為
3 log 2 log 2 log 3 ,
2 log 3 log 3 log 2 ,所以
log 23 log 32(C)因為
5 5 17 log log17 log13 13 log 17 log 13 1log 5 log 5 log 5
,
55
log17
log 17 log 5 log17 1 log13 log 13 log13 log 5
,所以
5 5 5 5 log 17 log 17 log 13 log 13 (D)因為
4log 9 2log 3 log 3 log 9
log 4 2log 2 log 2
,
2 1 log 3 log 3 2 log 3 log 3 1 log 2 log 2 log 2 2 ,所以
4 2 log 9log 3(E)因為
1 ( ) 2 log 1 無意義,所以等號不成立
16. ( )觀察圖一與圖二,選出正確的選項。
圖一 圖二
(A)10
x= x 有實數解 (B)10
x= x
2有實數解 (C)10
x> x 恆成立 (D)當 x > 0 時,10
x> x
2恆成立
解答 BCD
解析 (A)因為方程式10
x x的實數解個數為兩函數
10x y與
y
x
的交點個數,所以由圖一可
知無實數解 (B)因為方程式
2 10x x的實數解個數為兩函數
y10x與
y
x
2的交點個
數,所以由圖二可知有一個實數解 (C)因為由圖一可知
y10x的圖形恆在
yx的圖形
上方,所以10
x x 恆成立 (D)因為由圖二可知當
x0時,
y10x的圖形恆在
y
x
2的
圖形上方,所以,當
x0時,
2 10xx恆成立
1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P11/20
三、填充題
1.
( )1 42 6在小數點下第____________位出現不為 0 的數字。(有效數字)(
log20.3010,
log3 0.4771)
解答 33
解析
log 20.3010 2 100.3010,
0.4771 log30.4771 3 10,
42 42 0.3010 0.4771 42 1 ( ) 2 3 (10 10 ) 6
0.7781
42 32.6802 0.3198 33 10 10 10 10 ,
表
1 42 ( ) 6在小數點後第
33位開始出現不為
0的數字。
2. 設
alog 32、
blog 34、
1 2 log 30 c、
64 log 125 d,則
a、
b、
c、
d的大小關係為____________。
解答
a d b c解析
log 3 2log 3 log 9 0 log 2 2log 2 log 4a
,
log 3 0 log 4 b ,
log30 log30 0 1 log 2 log 2 c ,
log125 3log5 log5 0 log 64 3log 4 log 4
d
,
因為
log9log5log3,所以
log 9 log5 log 3log 4log 4log 4
,故
a d b c。
3. 已知
1 9(
1 3)
2x + 1< 9,求 x 的範圍為____________。
解答
3 1 2 x 2 解析 因為
1 ( )1 2 1 9 3 x 9,
所以
3
− 2< 3
− 2x − 1< 3
2⇒ − 2 < − 2x − 1 < 2 ⇒ − 1 < − 2x < 3 ⇒
3 2 < x <
1 2。
4. 求方程式 x − log
2x = 0 的實根個數為____________。
解答 0
解析 x − log
2x = 0 ⇒ x = log
2x,即求
2 log y x y x 二圖形的交點個數,
作圖如下,二圖形沒有交點,故實根個數為
0。
1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P12/20
5. 若 A、B、C、D、E、F 為 f (x) = 1 + 3
x的圖形上六個點,且此六點的
x 坐標依序為 0.4、0.8、
1.2、1.6、2、2.4,請問五個線段
AB、
BC、
CD、
DE、
EF中,最長的是____________。
解答
EF解析 觀察可知,
AB、
BC、
CD、
DE、
EF的
x變化量均相同,故僅需比其
y變化量即可,
又
y f x( ) 1 3 x為嚴格遞增函數,
且底數
1的指數函數在
x往右等速增加時,
y增加愈快,
故
EF的
y變化量最大,故
EF長度最長。
6. 如圖,
y8與
( )1 4 x y及
y2x分別交於
P、Q 兩點,試求
PQ長度為____________。
解答 4.5
解析 因為
1 2 3 3 ( ) 8 2 2 2 3 4 2 x x x x ,所以
P點
x坐標
3 2 ,
因為
3 2x 8 2x2 x 3,所以
Q點
x坐標
3,
可知
3 ( 3) 4.5 2 PQ 7. 設
為圓周率,則指數不等式
( )3 2 1 ( )2 2 1 3 x x x 的解為____________。
解答
x0或
3 2 x 解析 因為
3.14,所以
1 3 ,將原不等式化成底數為
3 ,得
2 1 2 2 1 ( ) ( ) 3 3 x x x 2 2 2x 1 2x x 1 2x 3x 0 x(2x 3) 0 x 0 或
3 2 x 。
8. 已知
6 2 7 6 5x x< 625,求 x 的範圍為____________。
解答
1 2 2 x 3解析 因為 5
6x2 7x 6 5
4,
所以
6x
2− 7x + 6 < 4 ⇒ 6x
2− 7x + 2 < 0 ⇒ (2x − 1)(3x − 2) < 0 ⇒
1 2x <
2 3。
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9. 求下列各對數的值。
(1)
1 4 1 log 2____________。
(2)
4 5 log 5____________。
(3) log101000 = ____________。
(4) log100.0001 = ____________。
解答 (1)
1 2(2)
1 4(3)3 (4)− 4
解析 (1) 因為
1 2 1 1 1 ( ) 2 4 4,所以
14 1 1 log 2 2(2) 因為
45514,所以
54 1 log 5 4 (3) 因為
1000 10 3,所以
10 log 1000 3(4) 因為
0.0001 10 4,所以
10 log 0.0001 410. 求出下列各式的 b 值:
(1) log3
b = − 1,b = ____________。
(2) log3
b = 3,b = ____________。
(3)
1 3 log b 2,
b = ____________。
解答 (1)
1 3(2)27 (3)9
解析 (1) log
3b = − 1,
31 1 3 b 。
(2) log
3b = 3,b = 3
3= 27。
(3)
1 3 log b 2,
1 2 2 ( ) 3 9 3 b 。
11. 方程式 x + log
2x = 0 有____________個實數解。
解答 1
解析
2 log y x y x ,其圖形如下。
兩圖形恰有一交點,故有
1 個實數解。
12. 設 x
1、x
2、x
3、x
4均為實數,若
4x15,
5x26,
6x3 7,
7x48,則
1 2 3 4 x x x x ____________。
解答
3 2解析
x1log 54,
x2 log 65,
x3log 76,
x4log 87,
1 2 3 4 4 5 6 7
log 5 log 6 log 7 log8 log8 log 5 log 6 log 7 log 8
log 4 log 5 log 6 log 7 log 4
x x x x 3log 2 3
2log 2 2
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13. 化簡下列各式:
(1)
log104 log109 log10 35 8 10
____________。
(2)
2log10 8 log10025 3 ____________。
(3) log29 × log34 = ____________。
解答 (1)log
103 (2)1 (3)4
解析 (1)
10 10 10 4 9 3log log log
5 8 10 10 10 10
4 9 3 4 9 10
log log log 3
5 8 10 5 8 3
。
(2) 因為
1 3 3 2 2 10 10 10 2 2 2log 8 log (2 ) log 2
3 3 3 2 3 3 2 10 10 log 2 log 2
,
100 10log 25 2log5 log5
log 25 log 5
log100 2log10 log10
,
所以
2log10 8 log10025 log 2 log 510 103 log10
2 5
log 10 110 。
(3)
2 3log 9 log 4 2log 3 2log 2 log 9 log 4
log 2 log 3 log 2 log 3
2 2 4
。
14. 化簡
3 3 log 16 log 250 2 ____________。
解答
3解析 原式
3 3 4 2 2 3 2 3log 16 log 250 log 2 250 log 2 250 log1000 3
15. 已知(
1 4)
2 5 2 x x 0.125,求 x 的範圍為____________。
解答
1 2 < x < 3
解析 因為(
1 4)
2 5 2 x x 18⇒ (
12)
2 2 5 1 3 ( ) 2 x x,
所以
2x
2− 5x < 3 ⇒ 2x
2− 5x − 3 < 0 ⇒ (x − 3)(2x + 1) < 0 ⇒
1 2 x < 3。
16. 設
log 11 a2 ,
log 27b 3,則
2 4ab ____________。
解答
130解析 因為
4a 22a
2a 2
2log 112
2 112121,
3 log 27b 3 27b b 3,
所以
2 2 4ab 121 3 121 9 130 。
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17. 化簡
3 5 6 61
log 3 log log 2 log 18 2 5
____________。
解答
7 2解析 原式
1 loglog 3 5 log 2 log18 2 log 3 log5 log 6 log 6
1
1 2
log3 log5 log 2 log18 2 log3 log5 log6
1
log3 log5 log 2 18 2 2
log3 log5 log6
1 ( 1) log 36 3 2log 6 3 2 7 2 log 6 2 log 6 2 2
。
18. 將函數
y f x( ) 2x的圖形向右移
1單位,向下移
2單位,可得函數
yg x( )____________。
解答
1 2 2 x 解析 移動後的函數為
( 1) 1 2 2 x 2 x 2 y y 。
19. 設 a = 7
25,log7 ≈ 0.8451,則
(1) a 是____________位數。
(2) a 的首位數字為____________。
(3) a 的個位數字為____________。
解答 (1)22 (2)1 (3)7
解析 (1) loga = log7
25= 25log7 ≈ 25 × 0.8451 = 21.1275,
故
a 為 22 位數。
(2) log1 < 0.1275 < log2,
故首位數字為
1。
(3) 7
1→7,7
2→9,7
3→3,7
4→1,7
5→7,
表示個位數為
4 個一循環,故 7
25個位數字為
7。
20. 設
2x 9,
3y 8,則
xy____________。
解答
6解析
2x 9 2 91x,且
3y 8 23,故
1 2 3 3 6 3y (9 )x 3y (3 )x y xy 6 x 。
1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P16/20
21. 解方程式 2 log
4x + log
2(x − 2) = 3,得 x = ____________。解答 4
解析 因為真數必須為正數,所以
x0且
x 2 0,故
x2。
利用換底公式可得:
log log( 2) log log( 2)
2 3 2 3
log 4 log 2 2log 2 log 2
x x x x
,
同乘
log2可得:
3 2log log( 2) 3log 2
log ( 2) log 2 ( 2) 8 2 8 0 x x x x x x x x (x 4)(x 2) 0 x 4
或
2。
綜合以上,可知:
x4。
22. 若 a、b、c 為正整數,已知 alog
2702 + blog2703 + clog2705 = 2,則 a 為____________。解答 2
解析
alog2702blog2703clog27052log 2 log 3 log 5 2 log 270 log 270 log 270
a b c
log 2 log 3 log 5 2 log 270
log 2 3 5 log 2 log 3 log 5
2 2 log 270 log 270 a b c a b c a b c
270 log 2a 3b 5c 2
2 2 3 2 6 2 2a 3b 5c 270 2 3 5 2 3 5 ,
因此
a2,
b6,
c2。
23. 化簡
(log 2 log5 1258)(log 0.2 log4 225)____________。
解答
7解析
(log 2 log5 1258)(log 0.2 log4 225)1
1 2
log 2 log8 log0.2 log 25 log 2 3log 2 log5 2log5 log5 log125 log 4 log 2 log5 3log5 2log 2
log 2
log 2 log 2 log5 2log5 log 2 7 log5 7
2 2 7
1
log5 log5 2log 2 log 2 log5 2 log 2 2 2
。
1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P17/20
24. 化簡下列各式。
0.25 1 4
2
log log log 2
____________。
解答
1 2 解析 令所求
0.25 1
4
2log log log 2 x
,
因為
2 4 412,所以
4 1 log 2 2 ,
可得:
0.25 1
4
0.25 1 2 2 1 log log log 2 log log2 x
。
因為
2 1 1 2 2 ,所以
12 1 log 2 2,
可得:
0.25 1 0.25 1 4 2 1log log log 2 log 2 2 x
。
因為
12 ( 1) ( 12) 1 12 1 12 2 4 4 4 (4 ) ( ) 4 ,
所以
1 4 1 log 2 2 。故所求
1 2 。
25. 試求(log
34 + log2716)(log49 − log163)的值為____________。解答
5 2解析 所求
(log 4 log16)(log9 log3) (2 log 2 4 log 2)(2 log3 log3 ) log3 log 27 log 4 log16 log3 3 log3 2 log 2 4 log 2
(10 log 2 3)( log 3) 5 3 log 3 4 log 2 2
。
26. 解方程式 2
2x + 1− 33 × 2
x − 2+ 1 = 0,x = ____________。
解答 − 3 或
2解析 2
2x + 1− 33 × 2
x − 2+ 1 = 0 ⇒ 2
2x× 2
1− 33 × 2
x× 2
− 2+ 1 = 0,
令
t = 2
x,原式
2 33 2 1 0 4 t t ⇒ 8t
2− 33t + 4 = 0
⇒ (8t − 1)(t − 4) = 0
1 8 t 或
t = 4,
即
1 3 2 2 8 x 或
2
x= 4 = 2
2,所以
x = − 3 或 x = 2。
1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P18/20
27. 已知 a = (0.5)
0.7,
4 1 8 b,
(1)0.25 16 c,
( 1 )3 2 d ,
e = (0.25)
0.36,比較五數的大小順序為______。
解答 d < c < b < e < a
解析
0.7 1 0.7 0.7 (0.5) ( ) 2 2 a ,
3 0.75 4 4 1 2 2 8 b ,
(1)0.25 (2 )4 0.25 2 1 16 c ,
1 3 3 2 3 2 1.5 1 ( ) (2 ) 2 2 2 d ,
(0.25)0.36 ( )1 0.36 (2 )2 0.36 2 0.72 4 e ,
因為 − 1.5 < − 1 < − 0.75 < − 0.72 < − 0.7,所以 2
− 1.5< 2
− 1< 2
− 0.75< 2
− 0.72< 2
− 0.7,
即
d < c < b < e < a。
28. 已知
0.3010 10 2,
100.47713。若
560小數點下第
m位始出現不為零的數字,首次出現不為零的數字
為
b,則數對
m b,
____________。
解答
(42 , 1)解析
60 60 1 60 60 0.6990 41.94 0.06 ( 42) 0.06 42 0.3010 10 10 5 10 10 10 10 10 2 10 ,
而
0 1 10,
2 10 0.3010,且
y10x為嚴格遞增函數,
所以
0 0.06 0.3010 0.06 10 10 10 1 10 2,即
0.06 10 1.,
故
60 42 5 1. 10,即
60 5在小數點下第
42位開始出現不為零的數字,首次出現不為零
的數字為
1,
數對
(m b, )(42 , 1)。
29. 已知 f(x) = a + log
bx 的圖形通過點(1,2),而其與直線 x = y 成對稱的圖形通過(4,25),求 a + b =
____________。
解答 7
解析 f(1)= a + log
b1 = 2 ⇒ a = 2,
因為(4,25)在與直線 x = y 成對稱的圖形上,表示原函數通過(25,4),
因此
f(25) = 2 + log
b25 = 4 ⇒ log
b25 = 2 ⇒ b
2= 25 ⇒ b = 5,
故
a + b = 7。
30. 下圖為 y = 3
x的圖形。設
P、Q 分別為直線 y = 2,y = 6 與 y = 3
x的交點,
求
PQ的長為____________。
解答
17解析 由圖可設 P (x
1, 2)、Q (x
2, 6),並得
3x12,
3x2 6,
2 2 1 1 3 6 3 3 3 2 x x x x ,即
x
2− x
1= 1。
因此
2 2 2 2 2 1 ( ) (6 2) 1 4 17 PQ x x 。
1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P19/20
31. 設 log
23 = a,log65 = b,請將 log7590 用 a、b 表示為____________。解答
1 2 2 2 a b ab a b ab 解析
2 log 3log 3 log 3 log 2 log 2 a a
,
6 log 5 log 5 log 6log 5 log 6 (log 2 log 3) (log 2 log 2)
b b b b a log5 b(1 a)log 2
,
得
2 75 2 log 2 3 5log90 log 2 2log3 log5 log 90
log75 log 3 5 log3 2log5
log 2 2 log 2 (1 ) log 2 log 2 2 (1 ) log 2 a b a a b a
1 2 (1 ) 1 2 2 (1 ) 2 2 a b a a b ab a b a a b ab
。
四、混合題
1. 在化學上,我們常利用溶液的
pH值來表示溶液的酸鹼度,定義
pH值
log[H ],其中
[H ]表示
溶液中的氫離子濃度,單位是莫耳
/升,請回答下列問題。
(已知
log1.585 0.2,
log6.31 0.8)
(1) 若某溶液中的氫離子濃度為
106.8莫耳
/升,則此溶液的
pH值為____________。
(2) 若 A 溶液的
pH值比
B 溶液的
pH值多
1,則
A 溶液的氫離子濃度與 B 溶液氫離子濃度的關係
為何?
解答 (1)6.8 (2)見解析
解析 (1)
pH值
6.8
log10 6.8 6.8 。
(2) 設 A 溶液的
pH值為
k1,
B 溶液的
pH值為
k,則
log[H ] 1 log[H ] A B k k ,
兩式相減得:
[H ] [H ] 1 1log[H ] log[H ] 1 log 1 10
[H ] [H ] 10 A A A B B B
,
即
A 溶液的氫離子濃度為 B 溶液氫離子濃度的
1 10倍。
2. 設
7 40 ( ) 3 a,請回答下列問題:
(1) 已知
log20.3010,
log3 0.4771,
log70.8451,若
7 10 3 k ,則
k的近似值到小數點後第三位為
____________。
(2)
a應為幾位數?
(A)12 (B)13 (C)14 (D)15 (E)16
解答 (1)0.368 (2)D
解析 (1) 因為
log30.4771 3 100.4771,
log70.8451 7 100.8451,
所以
0.8451 0.8451 0.4771 0.3680 0.4771 7 10 10 10 3 10 ,故
k的近似值為
0.368(2)
7 40 0.368 40 14.72 0.72 14 ( ) (10 ) 10 10 10 3 a ,故為
15 位數。
1091 高二數學 3A 第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P20/20