高速公路拓寬方案投資評估與決策分析

國 立 交 通 大 學

土木工程學系

碩士論文

高速公路拓寬方案投資評估與決策分析

Highway Expansion Investment Evaluation and

Decision-Making

研 究 生：林嘉正

指導教授：黃玉霖 博士

高速公路拓寬方案投資評估與決策分析

Highway Expansion Investment Evaluation and Decision-Making

研 究 生：林嘉正 Student：Chia-Cheng Lin

指導教授：黃玉霖 博士 Advisor：Dr. Yu-Lin Huang

國 立 交 通 大 學

土木工程學系

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Civil Engineering College of Engineering

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Civil Engineering August 2007

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

中華民國九十六年八月

高速公路拓寬方案投資評估與決策分析

研 究 生：林嘉正 指導教授：黃玉霖 博士

國立交通大學土木工程學系（研究所）碩士班

摘要

本研究試圖提出一個高速公路投資決策模型，該模型可以評估未來高速公路可能的 拓寬行為所帶來的效益，並將其效益於高速公路興建規劃時期就考量進去，以找出最佳 的高速公路興建設計方案。本模型中，高速公路拓寬主要涉及三個不確定性因子，分別 是：交通需求量、土地價格及營建物價指數。交通流量預測是高速公路評估過程中最重 要的一環，高估交通流量會使決策者選擇興建較多車道，造成資源浪費；而低估交通流 量會造成車道壅塞、用路品質滑落，以及其他的社會成本。土地價格變化對未來高速公 路擴張方案有莫大的影響，如果預測未來土地價格很高或是取得本身就有困難，通常會 現在先取得用地，以供日後擴張時之用。工程成本受國際物價波動的影響甚鉅，因此我 們使用營建物價指數為指標作為工程成本的修正值，以找出同一工程於不同時點施工時 的實際成本。在拓寬階段，興建成本除了本身興建工法選擇不同而改變，也會因用地取 得的時機不同而改變。一般來說，如果沒有預留土地，日後擴張時要面臨工程複雜度會 較高，興建成本亦會較高。常見的問題有管線遷移及鄰近用地補賞等。我們導入實質選 擇權的方法來處理不確定性因子下的最佳決策問題，該問題的解決步驟是以蒙地卡羅模 擬法為基礎所發展出來的。數值案例的結果顯示本研究所建議的模型與解決步驟是大有 可為的。傳統的高速公路規劃是政策導向的，通常沒有明確定義要如何使決策最佳化， 本研究為此最佳化問題提供了一個明確而可行的基本模型。 關鍵字：高速公路拓寬、決策模型、蒙地卡羅模擬、實質選擇權

Highway Expansion Investment Evaluation and Decision-Making

Student：Chia-Cheng Lin Advisor：Yu-Lin Huang

Department of Civil Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

This research tries to present a highway decision model, which can evaluate the benefits yielded by the expansion of a highway in the future and consider this benefits in the design phase of a highway system to find out the optimal design alternative. In this model, the three main uncertainties involved in the expansion of a highway are namely, traffic demand, land price, and construction cost index. Forecasting the traffic demand accurately for the highway life cycle is an important task for economic purposes. Over-estimation of the traffic demand causes the waste of resource; under-estimation makes the highway service quality low and yields social cost. Acquiring the required land is needed for every highway expansion (widening) process. Land price and land availability are key points while facing the expansion of highway system. In expansion phase, the construction cost is affected by the construction cost index and the difficulty to road works as well. Real options are employed to solve the question of optimal decision-making under uncertainties. The solution algorithm is based on the Monte Carlo simulation. Numerical results show that the proposed model and solution algorithm are promising. Decision-making optimality is generally not well defined in traditional policy-based approaches for highway planning. This research provides a reasonable model and makes a radical step towards optimal decision-making in highway planning.

誌 謝

論文得以順利完成，首先感謝辛苦栽培我的父母，你們總是全力支持我與鼓勵我。 如今論文完成之際，獻給我最愛的父母與家人。 感謝恩師黃玉霖老師，研究所期間能接受您的指導，對於我而言，是一種全新不同 的感受。老師在研究上嚴謹地指導與啟蒙，引領我進入學術的殿堂。我非常珍惜與老師 間的師生情誼，這是我這一輩子難以忘懷的感動。 感謝這兩年一起脫序演出的同學們：柏勳、名修、文華、育正、國賓、怡昀、鉦倫、 姜林、怡欣、詠謋以及柏均。我們的營管盃、團體報告以及畢業旅行，點點滴滴都是耐 人回味的。感謝能遇見你們、成為好朋友是我最開心的事！也感謝室友小 Bird 及史考 提，在我交大的住宿生活能互享心事、互相鼓勵與扶持。 論文寫作期間，特別感謝我生命中最重要的人－佳慧，妳總是全力支持我、愛我、 陪伴我，我非常感激可以在這世上遇到妳，謝謝妳對我的付出及包容。 要感謝的人實在太多了，僅以此論文獻給我最愛的親人、師長與朋友。

目錄

中文摘要 ...i 英文摘要 ...ii 誌謝 ...iii 目錄 ...iv 表目錄 ...vii 圖目錄 ...viii 第一章 緒論 ...1 1.1 研究動機 ... 1 1.2 研究問題 ... 1 1.3 研究目的 ... 1 1.4 研究方法及流程 ... 2 1.5 研究架構 ... 3 第二章 文獻回顧 ...4 2.1 傳統資本投資決策文獻 ... 4 2.1.1 資本投資決策之定義 ... 4 2.1.2 資本投資決策之評估方法 ... 4 2.1.3 資本投資決策之限制與評論 ... 7 2.2 實質選擇權決策文獻 ... 9 2.2.1 實質選擇權之定義 ... 9 2.2.2 實質選擇權之種類 ... 10 2.3 高速公路投資決策文獻 ... 12 2.4 小結 ... 13 第三章 研究方法 ...14 3.1 隨機過程 ... 14 3.1.1 馬可夫特性 ... 14 3.1.2 連續時間隨機過程 ... 14 3.1.3 艾多輔助定理 ... 17 3.2 資料檢定方法 ... 19 3.2.1 適合度檢定 ... 19 3.2.2 隨機性檢定 ... 20 3.3 數值方法 ... 21 3.3.1 蒙地卡羅模擬 ... 21 3.3.2 對偶變數法 ... 22

3.3.3 Cholesky 分解法 ... 23 3.4 小結 ... 25 第四章 模型介紹 ...26 4.1 模型中的實質選擇權 ... 26 4.2 模型中的不確定性因子 ... 27 4.2.1 交通流量需求 ... 27 4.2.2 土地價格 ... 27 4.2.3 營建物價指數 ... 28 4.2.4 不確定性因子間的相依性 ... 29 4.2.5 不確定性因子的離散化 ... 29 4.3 模型建構 ... 30 4.3.1 模型的數學公式表述 ... 30 4.3.2 細部模型 ... 31 4.4 模型求解演算法 ... 32 4.4.1 模型求解的難度 ... 32 4.4.2 演算法的發展 ... 32 4.5 數值案例 ... 35 4.5.1 數值案例求解演算 ... 35 4.5.2 數值案例結果分析 ... 37 4.6 小結 ... 39 第五章 實證案例分析 ...40 5.1 計畫簡介 ... 40 5.1.1 計畫緣起及依據 ... 40 5.1.2 計畫目標 ... 40 5.1.3 拓寬原則 ... 41 5.1.4 資金規劃 ... 41 5.2 模型調整 ... 43 5.3 參數估計 ... 43 5.3.1 交通需求量估計 ... 44 5.3.2 營建物價指數估計 ... 47 5.3.3 因子間的相依性 ... 49 5.3.4 其他系統參數估計 ... 50 5.4 計畫評估 ... 51 5.4.1 評估求解演算 ... 51 5.4.2 評估結果分析 ... 52 5.5 小結 ... 53

第六章 結論與建議 ...54 6.1 結論 ... 54 6.2 後續研究之建議 ... 54 參考文獻 ...55 附錄一 ...57 附錄二 ...59 附錄三 ...61 作者簡歷 ...71

表目錄

表 2-1：專案評估方法之決策法則與優缺點彙整表...6 表 2-2：各評估準則綜合比較表...7 表 2-3：實質選擇權的類型...11 表 4-1：案例方案選擇表...35 表 4-2：案例系統參數表...36 表 4-3：案例評估結果...37 表 4-4：營建物價因子影響表...38 表 5-1：中山高楊梅新竹段建設期分年工程經費表...42 表 5-2：楊梅收費站交通流量歷史資料...44 表 5-3：臺灣區營建物價總指數歷史資料...47 表 5-4：高速公路營收資料...50 表 5-5：分年資本支出方程...51 表 5-6：拓寬工程淨現值...52 表 5-7：拓寬時點比較...53

圖目錄

圖 1-1：研究流程圖...2 圖 3-1：Wiener 過程：a＝3,b＝1.5 ...17 圖 3-2：對偶變數法比較圖...22 圖 3-3：資料取樣比較圖...25 圖 4-1：模型概念圖...30 圖 4-2：演算流程圖...34 圖 4-3：方案選擇關係圖...38 圖 4-4：營建物價因子與方案選擇關係圖...39 圖 5-1：拓寬工程淨現值次數分配圖...52

第一章 緒論

第一章 緒論

1.1 研究動機

高速公路的投資是交通建設極為重要的環節，攸關國計民生、經濟發展及國防安全 等。同時國道投資乃是百年事業，路線決定之後，隨經濟活動成長，許多高速公路因需 求過盛，終究面臨擴充的決策。 我國國道一號（中山高速公路）在建造開發當時，未能準確預估社會經濟發展所帶 來的交通需求成長，造成完工之後道路壅塞，用路品質大幅滑落，平時交通維護也困難 重重。有感於此，政府部門多次有意擴充總體路段車道量，以解決局部及總體交通問題。 惟道路用地征收困難且充滿不確定性，至今只能舒緩局部交通的困境，總體交通狀況仍 未獲得改善。

1.2 研究問題

高速公路系統發展涉及許多不可逆的投資行為，因此在實行投資決策之前需要進行 嚴謹的建模及分析。高速公路的拓寬決策過程所涉及的問題中，本研究針對以往高速公 路拓寬的經驗，特別注意以下幾個重要課題： 1. 土地資源的運用，尤其是取得的時機。 2. 土地資源限制下，如取得困難度高，或土地成本高（人口密度高的地區大多有 這種問題），則必須在有限的路權範圍內做最大的空間使用，如採取高架結構。 3. 通貨膨脹影響工程造價的問題。

這些課題的處理涉及兩個成本權衡的問題(the tradeoffs of two cost items) ：

1. 土地取得的時機涉及土地成本與工程造價之間的權衡。 2. 土地資源限制下，必須以更昂貴的結構型式（如高架）來做更有效的路權使用， 因此也涉及到另一個土地成本與工程造價之間的權衡。

1.3 研究目的

本研究主要目的為建構一個動態而彈性的高速公路投資評估模式，以解決傳統上靜 態且不具彈性的評估模式之缺點。可行的方法是應用實質選擇權評估法，再配合蒙地卡 羅模擬技術，來進行高速公路投資方案評估與決策分析。

第一章 緒論

1.4 研究方法及流程

本研究主要研究步驟如圖 1-1 所示。其研究方法說明如下： 1.範圍確定 本研究主要探討的是交通流量、土地價格及興建成本等因子在高速公路投資評估中 的影響。基他因子如社會成本及政策目標等並不在本研究中作討論。 2.文獻探討 蒐集傳統資本投資決策、實質選擇權決策及高速公路投資決策等相關文獻，作為本 研究建構決策模型參考之依據。 3.確定因子模型 確定本研究中三個主要不確定性因子的模型，交通需求量、土地價格及營建物價指 數模型。本研究所使用的模型是由隨機過程的概念所發展出的。 4.決策模型建構 本研究應用實質選擇權法再配合蒙地卡羅模擬技術來建構主要模型。再以一個試擬 的數值案例說明，在興建時期如何進行本模型的方案評估與決策分析過程。 5.實證案例分析 使用國道一號中山高速公路拓寬工程的案例進行實證研究，以說明如何將本研究所 建構的評估模型，應用在拓寬時期的工程決策上。

範圍確定

文獻探討

確定因子模型

決策模型建構

實證案例評估

結論與建議

圖 1-1 研究流程圖

第一章 緒論

1.5 研究架構

本研究論文共分為六章，各章內容敘述如下： 第一章 緒論 設明本研究之研究動機、問題、目的、方法與流程。 第二章 文獻回顧 回顧有關傳統資本投資決策、實質選擇權決策及高速公路投資決策等相關文獻，作 為本研究建構決策模型參考之依據。 第三章 研究方法 本章將介紹我們所使用的不確性因子發展型式，以及如何檢定歷史資料是否符合該 發展型式之檢定方法，最後介紹如何模擬未來的發展型式及模擬技術的改良方法。 第四章 模型介紹 本章將說明本研究所建構的高速公路投資方案與決策分析模型的建構過程，以及如 何使用此模型的評估程序之相關詳細說明。 第五章 實證案例分析 使用國道一號中山高速公路拓寬工程的案例，以進行實證研究。 第六章 結論與建議 本章針對本研究之結果作一總結，並提出本研究後續可發展的研究方向，以供後續 研究做參考。

第二章 文獻回顧

第二章 文獻回顧

本章將先回顧資本投資決策之定義並介紹基本之評估方法，接著進一步回顧實質選 擇權決策之相關文獻。最後我們將討探Zhao and Tseng等學者於2004年提出的高速公路 評估模型以及該模型幾個尚未考慮到並有效處理的地方。最後總結所回顧的文獻，以供 後續研究分析之應用。

2.1 傳統資本投資決策文獻

本節將針對資本投資決策之定義、基本之評估方法詳加介紹，以供後續之實證分析 得加以應用。

2.1.1 資本投資決策之定義

企業為實現長期策略規劃所進行的專案投資是為資本投資，這些資本投資通常是長 期性投資且具有實質的生產力及經營策略上的價值，並且非經常性的企業活動，但其對 企業價值的增加卻格外重要，主要在於其牽涉到企業未來一系列現金流量及永續經營的 理念。資本投資決策對企業的意義不僅僅在於財務上的貢獻，對於企業未來的發展或有 關鍵性影響，且在策略上的價值尤其重要。

2.1.2 資本投資決策之評估方法

以下將介紹五種資本投資決策之基本評估方法（謝劍平，1999），包括回收期間法 （Payback Years Method，PBY）、淨現值法（Net Present Value Method，NPV）、內部

報酬率法（Internal Rate of Return，IRR）、平均會計報酬率法（Average Accounting Return，

AAR）及獲利能力指標法（Profitability Index Method，PI）。以上各種評估方法均是利 用現金流量折現法（DCF 法），其基本假設為：現金流量之產生時點均在每年年底， 折現率為資金成本率。

1.回收期間法（Payback Years Method，PBY）

回收期間法（PBY）是指企業在專案投資計劃進行初期投入成本後，預期可以收回 此成本額所須之時間，亦即是當此專案投資計劃進行到特定時點時，累積之淨現金流量 等於期初投入成本時經歷之時間。回收時間（T）以數學式表示如下： 0 1 0 T t t CF CF = − =

∑

， CFt 表示第t 期現金流量，T 表示回收時間。

第二章 文獻回顧 淨現值法（NPV）是將所有現金流量以資金成本率折現，使產生現金流量之時間回 到相同基期，並在相同基期比較各期淨現金流量總和與投入成本的大小，作為判斷專案 投資計畫可行性之依據，若為正值（NPV＞0）則接受專案投資計畫；反之，則放棄此 計畫。淨現值是指各期現金流量之折現值總和減去期初投入成本之剩餘值，其更代表專 案投資計畫對公司價值之直接貢獻。淨現值法是考慮貨幣時間價值之專案投資計畫評估

方法，又稱為折現現金流量法（Discount Cash Flow Model，DCF model）。淨現值法（NPV）

以數學式表示如下： 1 2 0 1 2 ... (1 ) (1 ) (1 ) n n CF CF CF NPV CF k k k = + + + − + + + ， CFn 代表第n 期現金流量，k代表資金成本率。 3.內部報酬率法（Internal Rate of Return，IRR）

內部報酬率法（IRR）是計算出一個能使專案投資計畫產生之現金流量折現值總和 等於期初投入成本的折現率。IRR 的計算方式係用試誤法反覆計算而得。在觀念上，IRR 與債券的到期殖利率（YTM）相似，即是將資金用在此投資計畫時，平均在每一期可獲 得的報酬率。按一般成本效益原則，當投資計畫之IRR 大於公司之資金成本（k）時， 表示此計畫除滿足股東之必要報酬率外，並有剩餘報酬，應是可投資之計畫；反之，IRR ＜k（資金成本），則應拒絕此投資計畫。內部報酬率法（IRR）以數學式表示如下： 1 2 0 1 2 ... 0 (1 ) (1 ) (1 ) n n CF CF CF NPV CF

IRR IRR IRR

= + + + −

+ + + = ，

NPV代表現金流量折現值總和，CFn 代表第n 期現金流量。 4.平均會計報酬率法（Average Accounting Return，AAR）

平均會計報酬率法（AAR）並沒有明確的定義，一般可由平均的會計利潤除以平 均的會計成本得知，如果將平均的稅後淨利除以平均的帳面價值也是一會計報酬率。而 應用在資本投資決策時，其定義如下： 平均會計報酬率法（AAR）＝平均預期淨收益/ 平均淨投資額 上式中，平均預期淨收益（分子）是指此投資計畫平均每一期可收到之會計上的稅 後淨利（已扣掉折舊）；平均淨投資額（分母）是指平均分攤在每一期的期初支出帳面 價值，也可以是該投資之期初支出與期末殘值的簡單平均值。

第二章 文獻回顧 獲利能力指標法（PI）是將此投資計畫在未來所產生的現金流量折現總值，除以期 初投入成本所得到的比率，也可稱為成本效益比率（Benefit-cost Ratio ）。PI 的意義與 NPV 相似，因為現金流量折現總值大於期初投資成本，便會有正的NPV，同時PI 也會 大於1；反之，若現金流量折現總值小於期初投資成本，則NPV＜0，同時PI 也會小於1。 所以PI 的判斷法則為，PI＞1，接受投資計畫；反之，則放棄此計畫。獲利能力指標法 （PI）以數學式表示如下： 1 0 (1 ) n t t t CF k PI CF = + =

∑

， CFn 代表第n 期現金流量，k 代表資金成本率。 綜合以上五種基本之專案評估方法，其決策法則與優缺點彙整如下表2-1、2-2： 表2-1 專案評估方法之決策法則與優缺點彙整表 專案評估方法 決策法則 優點 缺點 回收期間法 （PBY） 回收期間愈短 愈好 衡量專案投資計畫 「便現能力」的指標 主觀、無判斷標準、 未考慮回收後之現金 流量 淨現值法 （NPV） NPV＞0 考慮貨幣時間價值及 所有現金流量、符合 價值相加法、互斥計 畫中提供正確決策 未能反映成本效益之 高低 內部報酬率法 （IRR） IRR＞k （資金成本率） 考慮貨幣時間價值及 所有現金流量 互斥計畫中會產生錯 誤決策、「再投資報 酬率」假設不合理 平均會計報酬率 法（AAR） ARR＞標準值 資訊透過會計資訊系 統取得，可為進一步 評估前之參考指標 定義模糊、非現金基 礎、未考慮貨幣時間 價值 獲利能力指標法 （PI） PI＞1 充分反映成本效益 無法極大化公司價 值，不能反映投資計 畫直接貢獻 資料來源：謝劍平，1999。

第二章 文獻回顧 表2-2 各評估準則綜合比較表 資本預算評估準則 考慮貨幣時間 價值 考慮所有現金 流量 互斥方案評估 決策 符合價值相加 法則 回收期間法 （PBY） △ × △ 淨現值法 （NPV） ○ ○ ○ ○ 內部報酬率法 （IRR） ○ ○ △ × 平均會計報酬率法 （AAR） × ○ △ × 獲利能力指標法 （PI） ○ ○ △ × 資料來源：謝劍平，1999。 註：○：符合該項條件；△：必一定符合；×：不符合該項條件。 總之，一個好的資本投資決策評估技術必須符合下列條件： 1.計畫存續期間之現金流量都要考慮 2.現金流量必須以資金的機會成本來折現 3.必須能夠從互斥計畫中選出使股東財務最大化的計畫 4.必須能夠從所有計畫中獨立考慮某一計畫。 上述分析中只有NPV 法符合此四條件，所以NPV 法被認為是傳統資本投資決策中 最好的評估方法。

2.1.3 資本投資決策之限制與評論

傳統資本投資評估發展已停滯幾十年，直到最近在實質選擇權上的發展才使這個領 域有所突破。實質選擇權會引起探討的部分原因是公司管理階層及一些學者對於傳統資 本投資評估方法的不滿。在實質選擇權發展較成熟前，公司管理階層及決策者對於管理 營運彈性及策略上的應用通常是憑藉經驗與直覺作判斷。 而NPV 法做了過度僵化之假設，這些假設包括：（1）市場的變化及風險部份不會 改變預期現金流量；（2）投資計畫的實施僅適用於當期，一個遞延至下一期的計畫毫 無價值可言。這種假設無法呈現投資計畫本身之選擇彈性，特別是在面對不確定性的市 場變化時，傳統資本投資評估方法忽略了隱含於投資計畫本的選擇權所賦予的風險管理 功能。這些缺失不僅造成決策者低估投資計畫的真正價值，因而偏重計畫的短期收益，

第二章 文獻回顧 忽略長期效益，也造成投資不足及競爭力降低。（陳伯蒼，1997）

Hayes and Garvin（1982）指出早期標準的DCF 法則常常低估了投資機會，而導致 做出過於短視的決策、投資不足及造成競爭力喪失，這些都是因為忽略策略性考量。 Myers（1987）認為問題在於原始理論的誤用，其指出當DCF 法用來評估投資計畫 中營運或策略選擇權時，有先天上的限制。DCF 法在評估穩定的現金流量時，問題不 大。但在評估企業成長機會或無形資產時便有困難，特別是研究發展的價值，因為幾乎 都是選擇權價值，所以DCF 法無法適用。而Myers 建議與選擇權評價模式混用將可填 補財務理論與策略規劃的間隙。

Trigeorgis and Mason（1987）指出傳統NPV 法或DCF 法並無法適切地反應管理階 層能在未來修正原始營運策略得彈性（或稱管理彈性）。而以選擇權為基礎的或有權利 分析（contingent claims analysis ）可視為決策樹分析的一種特殊、修正過後的一種型態， 其將可反應投資計畫價值的不對稱性（asymmetry）或偏態（skewedness）的性質。 Trigeorgis and Mason 將過去傳統的NPV 視為”靜態”（static）的NPV，並提出包含管理 彈性選擇權價值的”擴展”（expanded）NPV，如下式：

擴展NPV＝靜態的NPV＋選擇權貼水

Trigeorgis and Mason 並指出愈是在不確定性的投資環境中，此管理彈性將愈加彰 顯其存在的價值。

Baldwin and Clark（1992）指出傳統資本投資決策並無法正確評估組織能量 （organizational capabilities）。組織能量的發展可使企業能更有效的開發利用市場的機 會，而獲致較佳的營運績效。Baldwin and Clark 建議應將組織能量視為投資的範疇，並 討論其在策略性資本投資的重要性。

Kulatilaka and Marcus（1992）亦指出公司投資計畫中通常內含有選擇權性質，而 傳統的DCF 架構並無法正確地評估此類投資計畫。並認為在三種情況下，將選擇權評 價分析併入投資計畫評估中是非常重要的：（1）目前難以去預測未來最佳營運模式的 情況；（2）在可能的營運模式之間，利潤的差異相當大；（3）在營運模式間的轉換成 本，使的現金流量難以估計。

第二章 文獻回顧

2.2 實質選擇權決策文獻

2.2.1 實質選擇權之定義

選擇權的觀念和理論除了應用在金融市場上的商品外，也可應用到財務管理的各個 層面，當應用在實質資產上，即為所謂的「實質選擇權」（real options）。「實質選擇 權」是指存在於實質資產投資計畫中，且其有選擇權性質的權利，即買方有權於未來以 一定之價格取得或出售實質資產投資計畫。其和NPV 法最大的不同在於將管理上的彈 性（Managerial Flexibility）列入評估投資決策時的考量。所謂的「管理彈性」是指經營 者為追求最大利潤，有權利而且有能力依不同的市場情況，修正調整投資計畫。 舉例來說，當企業決定一項投資計畫時，可以選擇今天或未來進行投資，若選擇今 天投資，則資金一旦投入，計畫便不能回復（irreversible），如果未來情況如當初預期， 則企業獲得的利益即是當初所計算的NPV 值；倘若NPV 值不如當初的預測或NPV 值 為負，此時企業可以選擇暫時不執行此計畫，俟未來市場情況有利時再進行投資，以獲 取高於原來預估NPV 值的利潤；若市場情況變壞，企業可以選擇不投資。因此當企業 多了一項何時執行投資計畫的權利時，也限制了下方的風險（downside risk）。如同企 業買了一個選擇權，等到對自己有利的情況下才執行此項權利，這一段等待期間的價 值，就是這個選擇權的價值。企業就像買了一個買權（call option），標的物為此項投資 計畫；執行價格（exercise price）為投資計畫的總成本；權利期間（maturity period）則 為此項計畫可以延遲的時間。

Ross（1995）認為從選擇權的觀念來看，NPV > 0 的投資計畫僅表示此計畫正處於

價內點（in the money）；反之，NPV < 0 的投資計畫也只是表示此計畫正處於價外點（out

of the money），並不表示此項計畫沒有價值，而予以放棄。

Paddock,Siegel and Smigh（1988）對石油租約作評估，藉著與政府使用相同的資料 來源和政府傳統的DCF 法則做比較，結論是用實質選擇權的評價方式會比政府的DCF 法則接近產業的報價。

McDonald and Siegel（1986）探討不可回復的投資機會，當企業在使用NPV法則決 定投資計畫的執行與否時，不應只以NPV > 0 或NPV < 0 來作判斷，必須再加上投資計 畫所擁有的實質選擇權的價值，當兩者加總的值超過成本的現值達到某一數額以上時， 才值得投資。

探討實質選擇權的文獻中，除了對NPV 決策法則的質疑外，大部分著重於分析投 資計畫中所含的選擇權價值，並探討各因素對其影響。

第二章 文獻回顧

2.2.2 實質選擇權之種類

Trigeorgis（1996）將實質選擇權歸納成以下幾種類型： 1.遞延選擇權（option to defer） 又稱為等待選擇權（option to wait），當企業決定一項投資計畫時，其最大的問題 為投資時點的選擇，管理者掌握投資時間的決定權，即所謂的遞延選擇權。若將某一投 資計畫視為一個美式買權，標的物為投資計畫，履約價格就是投資計畫總成本，企業最 大的目標是使整個投資價值最大化，所以遞延選擇權會使投資計畫更有價值。 2.延續性投資選擇權（time-to-build option） 大部分的長期投資計畫中常具有階段性，在這期間中由於新資訊產生，故需重新評 估投資計畫之可行性及價值，而每一期投入的成本可視為取得下一期投資的機會，可視 為複式選擇權（Compound option）。

3.改變營運規模選擇權（option to alter operating scale）

因市場上景氣及產品價格的變化，使產品需求量和原先預期有所差異。當市場情況 比預期中來的好時，廠商可能會擴大生產規模；當市場情況不如預期時，廠商可能減少

生產規模。此類的實質選擇權隱含了三種選擇權，分別是擴張選擇權（option to expand）、

緊縮選擇權（option to contract）及暫時中止選擇權（option to shut down）三種。管理者 可視的市場景氣的變化，隨著需求量的大小，來決定是否擴張、緊縮或暫時中止營運。 4.放棄選擇權（option to abandon） 當市場清況惡化，使投資計畫出現鉅額顧損或營運上產生嚴重困難時，投資人可考 慮是否結束投資計畫，可視為一美式賣權。 5.轉換選擇權（option to switch） 投資方案執行過種中，管理者可依據市場需求的變化，來決定最有利的投入與產 出，即管理者擁有一個轉換與否的選擇。 6.成長選擇權（growth option） 當投資計畫效良好，可選擇是否擴張營運規模以獲得更多利潤，可視為一美式買權。

第二章 文獻回顧 7.多重交互影響選擇權（multiple interacting options）

此為複式選擇權的延伸，由遞延選擇權、延續性投資選擇權、改變營運規模選擇權、 放棄選擇權、轉換選擇權、成長選擇權、多重交互影響選擇權等各種選擇權組合所產生。 各類實質選擇權之特徵及適用情境整理如表2-3： 表2-3 實質選擇權的類型 種類 特徵 適用情境 遞延 管理者持有一個有價土地或資 源的租約，可等待至直到產出價 自然資源、萃取物產 物、不動產開發、農業 延續性投資 分期投資將一系列的費用支 出，當新資訊不利時，考慮放棄 R&D 密集產業，特殊製 藥、長期開發且資本密 改變營運規模 若市場的條件比預期有利，則公 司擴充生產；反之若條件比預期 自然資源產業、循環性 設備規劃、建設業、流 放棄 若市場條件劇烈下跌，可放棄繼 續營運並變賣資本設備和資產。 資本密集產業、不確定 市場中開發新產品 轉換 若價值或需求改變，管理者能藉 由設備的混和改變產出或是相 輸出替換：玩具、機械 零件、汽車 成長 投資計畫連結一未來有開發可 能的相關計畫鏈 基礎建設、策略產業、 高科技、R&D、應用產 多重交互影響 計畫通常包含不同的選擇權。 以上所有產業均有可能 資料來源：Trigeorgis，1996。

第二章 文獻回顧

2.3 高速公路投資決策文獻

Zhao and Tseng（2004）將成長選擇權應該用在高速公路決策過程中的一環。該研 究指出因為交通量未來成長足夠造成高速公路拓寬可增加利益時，決策者可透過初期先 預買未來拓寬用地的方法，在規劃初期就將此可能拓寬的價值整合入系統價值中。透過 模擬交通流量及土地價格等不確定性因子，以美式選擇權方式處理此問題。使用模擬出 來的不確定性因子，計算不同興建與拓寬決策下，收費道路的淨現值。收費道路的淨現 值隨時間遞減，到生命週期結束後歸0。不同興建與拓寬方案的淨現值之遞減過程都不 同。該研究試圖以模擬出來不確定性因子對淨現值的遞減行為作迴歸分析。以找出最佳 興建的方案，並決定那個時點要進行那一種拓寬方案。 該決策模型為一般收費公路的評估提供一個基本模型，然而該模型中還有許多尚未 考量的地方。以臺灣高速公路拓寬的經驗來說，道路用地取得一直是充滿困難與不確定 性的，甚至因為無法取得拓寬用地，使得拓寬時必須使用特別的工法以滿足交通需求量 的成長，例如汐止到五股段的高架橋拓寬工程。眾所皆知的是，高架橋工程的施工成本 比起平地路面施工要高出許多。 另一方面，該模型提出以高速公路系統總淨現值隨時間的變化來決定最佳投資方 案，由後往前每一期計算不同方案決策對當期系統淨現值大小的影響以選取當期最佳的 方案，一直計算到初期以決定高速公路系統生命週期中的何時要進行那一種決策。然而 該評估方式隱含著一個假設，就是每個決策方案的發生，都必需在一個時間區間之內完 成。也就是說如果這期要拓寬一個車道，下一期就要完成拓寬施工且開始營運。這樣的 評估方式在實際運用上顯得不是那麼合理。此假設打破的話，該研究提出的找尋最佳興 建方案及拓寬時點的方法將無法運用。 營建物價波動也是此模型所尚未考慮到的，近年國際間的能源危機，國內外物價普 遍上漲，營建工程中一些基本原料的上漲更是明顯。營建物價的上漲，可能導致預期的 系統價值變低，亦可能導致施工停頓，甚至會改變整個決策結果。如果決策模型中有多 考量此因子，應該可以使模型更為完善。

第二章 文獻回顧

2.4 小結

最後總結以上參考的投資決策相關文獻，作為供後續決策模型研究分析之參考。本 研究想要探討的高速公路拓寬行為，是一個藉由提高營運規模以增加整體效益的行為， 可以視為一種成長選擇權，屬於美式買權的一種。拓寬與否可視當時的不確定性因子情 況而定，乃一彈性決策。如果要在一開始高速公路興建時期就將此彈性決策的效益加入 投資評估中，傳統的資本投資決策法無法有效估計此效益。

因此我們使用Trigeorgis and Mason於1987年所提出的，包含彈性決策之選擇權價 值的”擴展”（expanded）NPV，如下式： 擴展NPV＝靜態的NPV＋實質選擇權效益 其中實質選擇權效益指的是未來可能的拓寬行為所帶來的效益。又該實質選擇權可以由 決策者在不同的時點履行，是一美式買權，因此要完整評估此實質選擇權的效益，要同 時考量何時執行以及執行何種拓寬方案。 在評估此彈性決策的效益時，我們如繼續把相關的不確定性因子如交通需求量、土 地成本與工程造價當成已決定變數（deterministic variables）時，則所建構的投資 評估模式將不符合實際狀況，而且所提供的決策資訊也相對有限。如果我們把這些因子 當作隨機變數（stochastic variables），應可更符合實際的決策情境，而且所建構的 模型，也可提供更多的決策資訊。 在評估美式選擇權時，其評估的公式解通常不存在或是很難找到，而數值方法像是 有限插分法、樹狀結構及蒙地卡羅法等可以使用來解決此評估問題。而本研究同時考量 了三個隨機變數以及之間的相關性，此時蒙地卡羅法會是較佳的評估工具。雖然蒙地卡 羅法也有本身使用上的問題，變數設定也需要歷史資料佐證，但使用它所建構的模型比 較符合實際的決策狀況，所能提供的投資評估資訊也較完善。

第三章 研究方法

第三章 研究方法

本章將介紹我們所使用的不確性因子發展型式，以及如何檢定歷史資料是否符合該 發展型式之檢定方法，最後介紹如何模擬未來的發展型式及模擬技術的改良方法。

3.1 隨機過程

任一變數，其值會遵循某種機率法則隨著時間而變化，我們稱為隨機過程。隨機過 程可分為連續時間與離散時間，後者是指變數的值只有在某些固定的時點會改變；而前 者則是變數值在任何時間都可以改變。本節將著重於介紹連續變數與連續時間隨機過 程，但是實際上我們所觀察的變數並非連續的，可能會被限定為一些離散的值（例如： 車流量必須為正整數），而且可能只能在某些特定時間才可以觀察這些變數值。然而這 種連續變數，連續時間過程的假設仍可以提供本研究有用的模型。

3.1.1 馬可夫特性

馬可夫過程為隨機過程的其中一種類型，變數目前的值是影響其未來預期值的唯一 因素，以股價來說，通常我們都會假設股價遵循馬可夫過程。舉例設明：若IBM 目前 股價是100 元且遵循馬可夫過程，我們對未來的預期不會受到一星期、一個月或一年前 IBM 股價的影響，唯一相關的資訊便是目前的股價 100 元。對未來的預期是不確定的， 所以需以機率分配來表示，而馬可夫特性隱含著：在未來任何時間上的股價之機率分 配，與過去股價所遵循的路徑是無關的。 股價的馬可夫特性符合弱勢市場效率，這表示目前的股價已反映了所有歷史股價所 包含的資訊。若弱勢市場效率不成立，投資人將可藉由技術分析獲取超額報酬，然而相 當少證據顯示技術分析能夠獲得超額報酬。 市場上的競醉能確保弱勢市場效率的成立，有許許多多的投資人密切注意著市場的 狀況並試著由中獲利，而這種情況使得任一時點的股價都反映了過去股價的資訊。假設 股價遵循某種路徑，下一期的股價有65％的機率會上漲，投資人一旦發現了些種情況便 會馬上去買進股票，而股票的需求立刻增加，會導致股價立即上漲，只有存在著這種有 利可圖的交易機會，觀察效果將會被排除。

3.1.2 連續時間隨機過程

假設某一變數遵循馬可夫義機過程，目前價值為10，且在未來一年其值的變化為 ψ（0 , 1），其中ψ（μ,σ）定義為一平均數μ，標準差σ的常態機率分配。而未來兩

第三章 研究方法 年變數值之變化就是兩個常態分配加總。因為變數遵循馬可夫過程，所以兩個機率分配 是獨立的，又兩個獨立的常態分配相加後仍為常態分配，其平均數為原來兩個平均數相 加，變異數為原本兩變界數相加。因些兩年期的變數變化期望值為0，變異數為 2.0，也 就是兩年期的變數值變化的機率分配為ψ（0 , √2）。更一般化表示，我們可以將任何 長度為T 的期間，其變數值變化的機率分配寫為ψ（0 , √T）。當期間非常短為δt 時， 機率分配為ψ（0 , √δt）。 1.Wiener 過程 馬可夫隨機過程中，變數值之變化的平均數為0，變異數為 1.0 的，又特別稱為 Wiener 過程。其使用於物理學在描述微小粒子受到分子相當多次的撞擊所造成的運動， 有時稱為布朗運動（Brownian motion）。 假設變數ｚ遵循Wiener 過程，其有以下兩個特性 特性一：在很短的時間區間δt 內，z 的變化為δz z= t δ ε δ (3.1) 其中，ε為一標準常態分配ψ（0 , 1）的隨機變數。 特性二：任何兩個長度為δt 的不同時間區間，δz 的值是獨立的。 由特性一可知δz 本身為一常態分配，其中 δz 的平均數=0 δz 的標準差=√δt δz 的變異數=δt 而第二個特性敗隱含著：z 遵循馬可夫過程。 再來考慮一相對較長的期間T，在整個時間內增加的 z 值可以表示為 z（T）－z（0）， 我們可將其視為在N 個長度為δt 的小期間，z 值增加量的總和 N= T t δ N i=1 ( ) (0)= i z T −z

∑

ε δt (3.2) 其中，εi （i=1,2,…,N）為遵循ψ（0,1）的隨機變數。由Wiener過程的第二個特性可知 εi間彼此互相獨立，所以z（T）－z（0）為常態分配，其中 z（T）－z（0）的平均數=0 z（T）－z（0）的標準差=Nδt =T z（T）－z（0）的變異數=√T

第三章 研究方法 2.Wiener 過程的一般式

在普通微積分，通常由微小的變化逼近到極限（變化趨近於零），因此在極限時δz

變成dz。基本的 Wiener 過程 dz 發展至今已經有 0 的偏差率（drift rate，以下用 DR 代

表）及1.0 的擴散率（variance rate。以下用 VR 代表）。DR 為零是指在未來任何時間， z 的期望值會等於目前的值；VR 為 1.0 是指在任何長度為 T 的時段，z 值之變化的變異 數會等於T。變數 x 的 Wiener 過程整般式可利用 dz 定義如下： (3.3) dx=a dt+b dz 其中，a,b 為常數。 為了瞭解上式，我們將等號右邊的兩項分開考慮。a dt 隱含著 x 每單位時間的預期 DR 為 a，先不考慮 bdz，上式變成 dx＝adt dx a dt = 對時間t 積分可得 x＝x0+at x0為x在t＝0 時的值。在長度為T的時間區間，x的值會增加aT。b dz可視為x所遵循路徑 的噪音（noise）或波動性，此噪音或波動性的量為b乘以一Wiener過程，因為Wiener過 程的標準差為 1，所以b乘以一Wiener過程後標準差會變成b。在微小的時間區間δt，x 值的變化為δx δx＝aδt＋bε√δt 與前面一樣，ε為一來自標準常態分配的隨機變數，因此δx 為一常態分配 δx 的平均數= aδt δx 的標準差=b√δt δx的變異數=b2δt 相同的，在任何長度為T 的時段，x 的值之變亦為常態分配 x 值之變化的平均數= aT x 值之變化的標準差=b√T x值之變化的變異數=b2T 因此，Wiener過程一般式之預期DR（即每單位時間的平均drift）為a，VR（即每單位時 間的變異數）為b2，詳見圖 3-1。

第三章 研究方法 dx = a dt 時間 x變數值 dx＝adt＋bdz dx＝bdz 圖 3-1 Wiener 過程：a = 3, b = 1.5。 3.艾多過程

接下來更進一步的介紹另一種隨機過程，艾多過程（Itō's process），其為 Wiener

過程的一般式，其中a,b 兩參數為 x,t 的函數。代數上，艾多過程可寫為： (3.4) dx = a(x , t)dt + b(x , t)dz 在艾多過程，預期DR 及 VR 都可能隨著時間而改變。在 t 到 t＋δt 這個小時區，變數 會由x 變為 x＋δx，其中 δx＝a（x , t）δt＋b（x , t）ε√δt 此關係式牽涉到一個近似估計，其假設在t到t＋δt這個時間區間，x的DR及VD仍維持不 變為a（x , t）及b（x , t）2。

3.1.3 艾多輔助定理

廣義的說，隨機變數為相關的隨機變數本身及時間的函數，所以要嚴謹的研究前， 一定要對隨機變數的函數行為有一些認識。在此將介紹數學家Kiyosi Itō 於 1951 年所發 現的一個重要定理，稱為艾多輔助定理（Itō's lemma）。 假設變數x 的值遵循艾多過程： dx＝a（x , t）dt＋b（x , t）dz 其中dz為Wiener過程，a,b 都是x及t的函數，變數x的DR為a、VR為b2。由艾多輔助定理， x及t的函數G遵循以下過程：

第三章 研究方法 2 2 2 1 2 G G G G dG a b dt bdz x t x x ⎛∂ ∂ ∂ ⎞ ∂ =_⎜ + + _⎟ + ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ (3.5) 其中dz 也是 Wiener 過程，因此 G 也遵循艾多過程，其 DR 為 2 2 2 1 2 G G G a b x t x ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ VR 為 2 2 G b x ∂ ⎛ ⎞ ⎜ _∂ ⎟ ⎝ ⎠ 艾多輔助定理的證明詳見附錄一。 接著我們考慮常見的股價變化模型 dS =μSdt+σSdz (3.6) 其中μ及σ為常數，此為股價變化的一個合理模型。由艾多輔助定理，其遵循G (S , t) 所遵循的過程為 2 2 2 2 1 2 G G G G dG S S dt Sdz x μ t S σ x ⎛∂ ∂ ∂ ⎞ ∂ =_⎜ + + _⎟ + ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ σ S (3.7) 現在我們利用艾多輔助定理去推導常見的對數常態特性下的隨機過程。考慮一變數 取自然對數後的變化。定義G=ln ，因為 2 2 2 1 1 0 G G G S S S S t ∂ ∂ ∂ = = − ∂ ， ∂ ， ∂ = 將此代入式(3.7)可得 G 的過程為 2 2 dG=⎛_⎜μ−σ ⎞_⎟dt+σdz ⎝ ⎠ (3.8) 因為μ及σ為常數，上式顯示出G = lnS也遵循Wiener過程的一般式，其有固定的DR： μ-σ2／2 及固定的VR：σ2。因此lnS在期初到T此時區的變化為常態分配 2 0 ln ln ~ , 2 T S − S φ μ_⎢⎡_⎜⎛ −σ _⎟⎞T σ T_⎥⎤ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (3.9) 在此顯示出lnST為常態分配。一變數的自然對數若為常態分配，此變數便為對數常 態分配。本研究採用的不確定性因子發展模式屬於對數常態分配。

第三章 研究方法

3.2 資料檢定法方法

3.2.1 適合度檢定

統計分析上，對於實際次數分配與理論分配是否配合適當的問題，是屬於適合度檢 定問題，可以卡方檢定法進行。以卡方檢定法檢定適合度，是依Pearson 近似式進行的， 所謂的Pearson 近似式為： 2 2 1 ( k i i i i o e e χ = − =

∑

) n (3.10)

式中oi為第i組的樣本觀測次數，ei為第i組的理論次數或期望次數，i=1,2,…,k，即共分k

組。 因 ，只要k－1 組理論次數決定後，剩下的一組理論次數為 1 1 k k i i i i o e = = = =

∑

∑

1 1 k i i n e − = −

∑

， 也就決定了。故沒有其他限制條件時，自由度υ為k－1。如果求算理論機率須用樣本統 計量來估計母數，則每估計一個，自由度喪失一個，如果要估計m 個才可得到理論機率 而求得理論次數，則自由度υ為k－1－m。 本檢定的理論基礎：虛無假設H0為「此實際分配適合某理論分配」，當實際分配不

適合某理論分配時，oi與ei相去甚遠，故｜oi－ei｜越大，χ2值越大，應拒絕H0，故此檢

定應為右尾檢定。即顯著水準α置於自由度υ為k－1－m的卡方分配的右端，當χ2＞χ 2 (1－α_,υ₎時，拒絕H₀。 在利用Pearson 近似式作卡方檢定時，須注意以下的事項： 1.因 Pearson 近似式的統計量為不連續量數，故當自由度υ＝1 時，要考慮連續校 正數1／2，即 2 2 1 1 2 i i k i i o e e χ = ⎛ _{− −} ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ =

∑

⎠ (3.11) 若｜oi－ei｜＜1／2，則將視其為零。 2.理論上為使檢定效率高，要求各組理論次數ei≧5，如有一組或多組的ei小於 5， 則須合併至大於或等於 5。但在用上採取較寬的限制，即只有一、二組的ei≧2，其他各 組皆ei≧5 即可。 3.參數oi與ei必為絕對次數，不能採取相對次數進行檢定。 4.樣本大小 n 太小，值理論次數不能合於要求，不能使用本檢定法作適合度檢定。 5.當樣本大小n大時，有時會使檢定失效，而使結論永遠為拒絕H0。

第三章 研究方法

3.2.2 隨機性檢定

抽樣時，常假設樣本觀測值的出現係隨機的。靜態資料也許可能是隨機的，但動態 資料的觀測值，在出現的順序上可能前後有關濕而不是隨機產生的。隨機性檢定（Test for Randomness）或稱連檢定（Run Test），就是用來檢定樣本觀測值講出現的順序上是否是 隨機的統計方法。其主要功用是檢定樣本的出現是否是隨機的，故雙尾檢定假設的建立 為： H0：樣本觀測值的出現是隨機性的 H1：樣本觀測值的出現不是隨機性的 此檢定法是將樣本資料分成兩個互斥的類別，如好與壞、贊成與反對、大於中位數 與小於中位數等等，普別以符號（如＋與－，a與b等等）代表。計算同類觀測值的個數 n1與n2。將觀測值是隨機出現的，其連數r適當；否則，連數多長度短或連數少長度長， 都不是出現隨機性應有的現象。當互斥兩類之個數n1與n2皆小於或等於 20，可查表得rL及 rU，如果r介於rL及rU之間（不含rL、rU），則接受H₀，即拒絕區為r≦rL及r≧rU。 如觀測值太多，由查表得的rL及rU無法做成決策，則可改用常態分配處理，即當n 大，且n1＝n2＝n／2 時，連數r的分配為常態分配，其期望值及變異數分別為： ( ) 1 2 n E r = + ( 2 ( ) 4( 1) n n V r n ) − = − 又因 n 大，V（r）可趨近於： 1 ( ) 4 n V r = − 而 ( ) ( ) r E r Z V r − = 為標準常態隨機變數。

第三章 研究方法

3.3 數值方法

3.3.1 蒙地卡羅模擬

蒙地卡羅法藉由抽取電腦亂數，可隨機模擬一個動態系統的變化，例如一個經濟體 系的轉變、金融市場上商品的價格、指數的變化或是本研究中的交通流量變化及土地價 格變化。這套工具廣泛地應用到工程以及計量經濟的領域上。在財務工程的領域上，蒙 地卡羅法可用來處理衍生性金融商品定價的問題；在專案評估領域上可供大型專案風險 預估的模擬工具。 蒙地卡羅模擬的優點是不論欲評價的專案與其變數的路徑有關，或是只與其終值有 關，都可以用它來估計。且不論變數的路徑滿足何種隨機過程，都可以計算。當欲評價 的專案報酬與不只一個變數有關時，蒙地卡羅模擬仍然適用。當有三個以上隨機變數 時，蒙地卡羅模擬法通常比其他數直方法如格子樹或有限差分法更有效率。因為隨著變 數數目增多，蒙地卡羅模擬所需的計算時間會呈線性增加，但其他數值方法所需的時間 通常會呈指驄倍增。蒙地卡羅模擬的另一個優點是可以算出估計值的標準差，且在專案 有複雜的報酬方式與隨機過程時仍然適用。 然而蒙地卡羅法也有幾個缺陷：1.計算出的價值每次都不相同，只能確定當模擬次 數夠多時，計算結果接近正確值的機率很高。2.程式計算所需的時間太長 3.當抽取的隨 機變數品質不佳時，會影響到計算的結果。為了改善這些缺失，下節將介紹改良蒙地卡 羅法評價效率的可行方法。 引用3.1 節的結論，lnS 在期初到 T 此時區的變化為常態分配： 2 0 ln ln ~ , 2 T S − S φ μ_⎢⎡_⎜⎛ −σ _⎟⎞T σ T_⎥⎤ ⎝ ⎠ ⎣ _⎦ 上式也等於 2 0exp 2 T S =S ⎡_⎢⎜⎛μ−σ ⎞_⎟T+σdz T⎤_⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (3.12) 蒙地卡羅的工作，就是不斷的從上式中，dz 這個 Wiener 過程的母體中取樣。給定 變數初始值、μ及σ後，我們就可以藉由抽取一個dz 來模擬計算下一次的變數值。如 此由前往後地計算至變數的生命週期結束。如此變可以模擬出變數生命週期中的一條可 能路徑。模擬次數愈多，模擬出來的路徑集合愈接近變數母體的機率分配。

第三章 研究方法

3.3.2 對偶變數法（Antithetic variates）

使用蒙地卡羅法評價時，評價結果的精確度隨模擬的次數增加而提高，但是其計算 所需的時間也會不成比例的提高。此外，如果抽取隨機變數的品質不佳，也會影響到蒙 地卡羅法評價的品質。在上述的蒙地卡羅過程中，會從標準常態變數的母體中抽樣。標 準常態變數的母體平均值為0，而且母體的分配左右對稱。但是從該母體抽取樣本時， 樣本的平均值不見得為0，且其分配不會左右對稱。為了讓抽樣的樣本和原來母體具備 有相同的統計性質，可採用的antithetic variates 的方式。在本方法中，每抽取一個常態 隨機變數ε時，就同時產生另一個常態隨機變數-ε。由於 E(ε)＋E(-ε)＝0，所以樣本 的平均值為0，且抽樣的樣本分配左右對稱。 對偶變數法一次必須計算兩個價格估計值。第一個估計值f1是以一般方法算出，接 著改變自標準常態中抽出的隨機樣本之正負符號後，算出第二個做值f2（若以ε計算f1， f2就用相對應的-ε來計算）。而f1與f2的平均值就是一次模擬所算出的商品樣本值。由於 這兩個值中會有一個大於真實值，另一個小於真實值，因些求出的結果較準確。 定義f為f1與f2的平均值，所有試驗得到的f之平均值就是最後估計出來的專案價值。 若ω為f的標準差，M為模擬次數（指總共算了幾“對”估計值），則估計值的標準差等於 ω／√M，這通常會比試驗 2M次的標準差小很多。 圖 3-2 顯示出使用對偶變數法前後路徑的模擬結果。控制後的路徑較為均稱，會比 較接近理論的路徑分配結果。圖3-2 中路徑參數為S0=100、μ=0.03、σ=0.05、T=20。 對偶變數控制前 0 50 100 150 200 250 300 1 3 5 7 9 _{11 13 15 17 19 21} 對偶變數控制後 0 50 100 150 200 250 300 1 3 5 7 9 _{11 13 15 17 19 21} 圖 3-2 對偶變數法比較圖

第三章 研究方法

3.3.3

Cholesky 分解法（Cholesky decomposition）

一般而言，欲模擬之標的變數可能不只一個，而且變數間可能有相關性存在。如果 我們希望在抽取自標準常態分配的兩個相關樣本，可以利用Cholesky 分解法來決解這個 問題。考慮服從以下過程的兩個變數，其中兩個變數變化率之相關性為ρ。 1 1 1 1 dS dt dz S =μ +σ 1 2 2 2 2 dS dt dz S =μ +σ 2 首先自標準常態分配中抽取兩個獨立樣本x1，x2,，則樣本dz1及dz2的算法如下： 1 1 dz = x 2 2 1 (1 ) dz =ρx + −ρ x₂ 上式以矩陣表示為： 1 1 2 2 2 1 0 1 dz x dz ρ ρ x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ = ⎢ ⎥ ⎤ ⎢ ⎥ ₋ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢_⎣ ⎥_⎦⎣ ⎦ 2 1 0 ₁ 1 1 T ρ ρ ρ ρ ⎡ ⎤ _{⎡ ⎤} Λ =⎢ ⎥ Λ × Λ =_{⎢ ⎥} − ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ， 若我們需要n個取樣目常態的相關樣本，且i，j間的相關係數為ρij。首先由標準常 態分配中抽取n個獨立變數xi（1≦i≦n），則我們要的樣本dzi（1≦i≦n）如下 1 i i i k dz α x = =

∑

k k 要使dzi有正確的變異數，及dzi（1≦j < i）之間有正確的相關係數，必須使 2 1 1 ik i k α = = ≤ ≤

∑

， 1 j i 1 j ik jk ij k α α ρ = =

∑

， j < i 12 1 21 2 1 2 1 1 1 n n T ij n n α α α α α α α ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Λ = Λ × Λ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " # # " # " ，

第三章 研究方法 Cholesky分解法的理論及方法如下，若A為一正定矩陣（相關係數矩陣必為一正定 矩陣），則A可被分解為如A＝GGT_{的形式，其中G為下三角矩陣且其主對角線上的項皆} 為正數（且分解的方式為唯一的）。 若A＝（aij） ＝ 11 12 1 11 11 12 1 21 22 2 21 22 22 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n n n nn n n nn nn g g g g g g g g g g g α α α α α α α α α ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢₌ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ " " " " # # " # # # % % # " " g ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ 首先找出g 的第一行： Step1 11 11 11 11 11 g g g α α = ⇒ = Step2 21 21 21 11 21 11 1 1 1 11 1 11 n n n n g g g g g g g g α α α α = ⇒ = = ⇒ = # 接著再求g 的第二行： 2 22 g g21 21 g g22 22 g22 22 g21 α = + ⇒ = α − In general, For j＝1…n, 1 2 1 j ii jj _K jk g = α −

∑

−₌ g 1 1 ( ) , 1 j ij _k ik jk ij jj g g g i g α − = − =

∑

= j+ "n 以行的方式來找出gij（先找gii再找gij）。

第三章 研究方法

3.4 小結

本章介紹的研究方法，是為了從大量的歷史資料中，找出不確定性因子的隨機發展 過程，並且相信未來不確定性因子的發展會遵循此隨機過程。以此為基礎，再以蒙地卡 羅法模擬未來不確定性因子的發展路徑，當作後續評估分析之依據。 因此在處理我們所觀察到的歷史資料上，我們要先考慮該歷史資料的數據是否受到 外在因素影響。以高速公路交通量來說，可能的外在因素有其他交通替代方案，或是受 限於高速公路容量上限，使得觀察到的交通量成長率不如預期等。 以圖3-3 來說，圖中數據為國道一號高速公路的總交通量成長。我們可以發現資料 取樣期間如果在民國67 年到 80 年間，會有較高的平均年成長率。然而較長的取樣期間 從民國67 年到 95 年間，變得到較底的平均年成長率。要找出交通量的正確發展型式， 我們應使用未受到容量上限影響之民國67 年到 80 年的資料當作未來預測的基準。 若是考慮到其他交通替代方案（如二高通車）的外在因素，可行的做法是將二高的 車流量也考慮進來，以期求得高速公路使用者整體的成長發展型式。 圖 3-3 資料取樣比較圖 另一方面，資料取樣的頻率也是很重要的一環。以高速公路交通流量歷史資料來 看，我們發現月資料的交通量成長，並不是我們預期的隨機過程，年資料的交通量成長 才是。月資料可能有其季節性的交通特性存在，而年資料的隨機過程是由月資料的非隨 機過程組合而成，因此使用交通量歷史資料時，宜以年度的資料當作未來預測的基準。

第四章 模型介紹

第四章 模型介紹

在高速公路系統的生命週期中，需要進行許多複雜的決策。在規劃階段，決策者必 須考量地區特性、使用者需求、對使用者的利益等因子。在設計階段時需決定的設計參 數有：線路規劃、設計速度、車道數目、路權寬度、幾何樣式、排水系統及交流道等。 每一種設計參數可能提供不同程度的決策彈性。 高速公路完成後，也可能要進行維護及拓寬等決策以因應大環境的變化。藉由高速 公路系統生命週期中附加的實質選擇權，我們可以探討那些方案可以提供未來決策彈 性，或那些方案可以及時彈性地執行以因應系統中的不確定性。

4.1 模型中的實質選擇權

高速公路投資過程通常包括五個階段：規劃、初步設計、細步設計、用地取得與興 建。興建營運後，隨著交通流量成長達到設計流量，此時高速公路將面臨拓寬決策。在 整個高速公路發展的生命週期中，拓寬決策是不可乎視的一環，因此在初期的投資決策 中就應該考量後續可能的拓寬行為。然而傳統的高速公路投資方案評估過程，並沒有把 此一拓寬行為考量進去，因此可能會低估了投資的效益。 以下將建構一個動態而彈性的高速公路投資評估模式，以解決傳統上靜態且不具彈 性的評估模式之缺點。我們將應用實質選擇權的方法，來評估此拓寬行為的效益。我們 使用 Trigeorgis and Mason 於 1987 年所提出的，包含彈性決策之選擇權價值的”擴展” （expanded）NPV，如下式：

擴展 NPV＝靜態的 NPV＋實質選擇權效益

其中實質選擇權效益為未來可能的拓寬行為所帶來的效益。又該實質選擇權可以由決策 者在不同的時點履行，是一美式買權，因此要完整評估此實質選擇權的效益，要同時考 量何時執行以及執行何種拓寬方案。

本研究評估此實質選擇權效益的方法，是以 Zhao and Tseng 等（2004）提出的模型 構架為基礎，額外考量拓寬工程實際面的問題所發展出來的，是一個較為實務可行的評 估型模。本模型主要額外處理的是拓寬工程的施工時間長短問題，亦即執行拓寬選擇權 的不是瞬間執行完畢。另一個處理的重點是營建物價指數的變動，對拓寬決策的影響。 本章後面將詳細的討論此因子的影響。

第四章 模型介紹

4.2 模型中的不確定性因子

高速公路生命週期中無疑地有許多不確定性因子，一些會影嚮投資決策的外部不確 定性因子如：交通需求、土地價格、興建成本、社會經濟環境、土地可得性及自然災害 等。而本研究所欲探討的實質選擇權（拓寬決策），將只受到以下三個不確定性因子影 嚮，分別是交通流量需求、土地價格及營建物價指數。

4.2.1 交通流量需求

交通流量的基本量測單位是年平均的日交通流量（annual average daily traffic,

ADT），指一年平均下來每日 24 小時通過某一特定地點的車量數。該基本量測單位亦可

轉換成其他指標。通常規劃評估以一年為單位，因此交通流量的量測單位亦可直接使用 一年觀察到的年交通流量（annual traffic, AT）。

雖然每條高速公路規劃時都有進行流量預測，然而預測結果通常有些潛在的缺陷導 致預測失真，包含：資料品質及模型準確度、高速公路系統穩地性、土地使用、旅運行 為及時間價值等。其他的缺陷可能在存於高速公路系統完成後，政治社經環境的變動。 這些缺陷導致流量預測的不準確，最後成為了高速公路系統中的不確定性。 交通流量有隨時間的變動性，本研究假設流量需求 F 的模型，為以下的隨機過程： ( , ) F F F dF F t dt dz F =μ +σ (4.1) 其中zQ為Wiener過程，而μF（F , t）為流量的漂移項，σF為流量的變動項。正的 漂移項指不確定性有隨時間增加的傾向；而較大的變動項值代表不確定性本身較不穩 定。使用方程式(4.1)的好處是可以程現出交通流量需求的變動性。雖然方程式(4.1)是連 續的隨機過程，但我們在履行時可以使用離散的時間點去模擬之。

4.2.2 土地價格

土地價格依時間而變動。一塊土地的市值應該以它所能提供最好的使用情況來評 估，地價評估通常以下列三種方式之一履行：成本、銷售比較及資本化收入。本研究假 設土地價格 L 的模型，為以下的隨機過程： ( , ) L L L dL L t dt dz L =μ +σ (4.2) 其中zL為Wiener過程，而μL（L , t）為土地價格的漂移項，σL為土地價格的變動項。

第四章 模型介紹

4.2.3 營建物價指數

本研究使用臺灣地區營造工程物價指數作為工程成本的修正值。民國 62 年，國際 間首次發生能源危機，國內外物價普遍上漲。政府為避免因營建材料及工資大幅上漲， 影響已發包工程進度，乃自 64 年度起在中央政府總預算執行條例中明定以「臺灣地區 躉售物價分類指數之營造業投入物價指數」作為補償救濟手段，由於該指數只涵蓋材料 部分，工資並未納入，未盡周延；78 年度起，材料價款仍用「臺灣地區躉售物價分類指 數之營造業投入物價指數」，而工資價款則依據「臺灣地區營造業受雇員工平均經常性 薪資指數」。至於地方政府方面，臺灣省政府及臺北市政府主計處自民國 70 年起分別編 有「臺灣省營造工程物價指數」及「臺北市營造工程物價指數」，除總指數外，另細分 為材料及勞務（含工資及設備租金）兩類指數，作為調整工程價款依據，而高雄市政府 則援用中央政府總預算執行條例規定辦理。 鑑於中央政府及省、市政府調整工程條款依據不同指數，且民國 77 年來營造工程 勞務類指數漲幅與營造業受雇員工薪資指數漲幅差距較大，造成因適用指數不同而補償 金額差異現象。故為衡量整體營造工程價格變動狀況，提供調整工程價款之適當指數， 於 79 年 6 月組成專案小組，研究「臺灣地區營造工程物價指數」查編方式，並自 80 年 1 月起試編，同年 7 月正式編布。 總指數下分材料及勞務 2 個大類，12 個中類；另依工程性質編算建築工程及土木 工程兩複分類指數。建築工程下再分住宅商店類、工廠倉庫、辦公室類、學校類，土木 工程下再分道路類、橋樑類、地下管道類、河川整治類。為簡化模型，本研究僅使用總 指數當作高速公路工程成本的修正值。 本研究假設臺灣地區營造工程物價總指數 I 的模型，為以下的隨機過程： ( , ) I I I dI I t dt dz I =μ +σ (4.3) 其中zI為Wiener過程，而μI（I,t）為物價指數的漂移項，σI為物價指數的變動項。

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4.2.4 不確定性因子間的相依性

我們考慮的變數之間可能存在一定程度的相依性。在經濟發展的情況下，可能會造 成當地的土地價格上漲；另一方面，也可能因為較多的經濟活動，而產生更多交通需求 量。因為某些誘因而產生出交通量，也會促進當地社會經濟情況，結果導致當地土地的 開發使用而增加土地價格。同理也可能因為當地經濟發展而需要興建較多的建物，導致 當地營建物料需求上升，物料價格亦跟著上漲。交通需求量、土地價格及營建物價的發 展變化，可能因為局部性的發展而受到某些正的相關性。要將以上相依性考慮到模型 中，我們需要在這三個變數隨機發展的 Wiener 過程中加入彼此間的相關係數 FF LF IF T FL LL IL FI LI II ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ Λ × Λ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (4.4) 其中Λ便是 dz 取樣時所需的係數矩陣。 另外為了簡化模型，本研究隱含一個假設，即決策者所決定的決策，並不會改變上 述三個不確定性因子的發展。這個假設實際上可能不正確，舉例來說，高速公路擴張可 能會使得原本的交通需求量以更快的速度成長，土地價格也及營建物價也可能因此決策 而有所反映。如果要完全地處理關於決策變數與不確定性之間的相依性問題，那麼這個 問題就變成了一個均衡問題，通常而言此均衡問題將會變得非常複雜而難解。

4.2.5 不確定性因子的離散化

當我們將交通需求量、土地價格及營建物價指數當作是連續時間隨機過程來處理 時，我們不表明他們每一秒都是連續的，也不表明他們的觀察資料是由連續的機制得 到。相反地，我們使用近似的連續時間隨機過程，該過程的偏差率（drift rate）及擴散 率（variance rate）便指明了模型中的不確定性因子是連續時間發展的。實際上，決策的 訂定及決策的履行都是在離散的時間點上，因此這三個連續隨機過程必須行進離散化以 供實際運用。我們使用一個比較迂迴的方法來處理此離散問，在離散的時間上取得的資 料，轉化成為連續時間的隨機過程，然後再將此連續過程轉化回離散時間的資料以供實 際上的決策運用，這個方法在實務上已被普遍的運用了。

第四章 模型介紹

4.3 模型建構

在上一節的三個不確定因子下，決策者必須持續地評估整個高速公路系統的價值， 並妥善考量可行的實質選擇權（拓寬決策）以將其價值最大化。以下將介紹其數學模型。

4.3.1 模型的數學公式表述

先前我們已定義了Ft及Lt分別為t時期的交通需求量及土地價格，接著我們定義模型 中其他參數及變數的標注代號。 t＝時間指標（t＝0,…,T）以年表示，其中T＝高速公路系統生命週期長度。nt＝在t 期時的車道數；Δnt＝在t期時決定要擴張的車道數；wt＝在t期時的路權寬度，這裡我們 假設高速公路延線的路權寬度是均勻的；Δwt＝在t期時決定要擴張的路權寬度，其中Δ wt≧0；ω＝一個車道的寬度；ct＝（nt , wt）是情況集合，指在t期時的車道數及路權寬 度的情況變數；dt＝（Δnt , Δwt）是決策集合，指在t期時增加額外車道數及路權寬度 的決策變數；Xt＝（Ft , Lt , It）不確定性因子的集合，指在t期時的不確定性變數值（交 通需求量、土地價格及營建物價指數）。 收入方程Rt＝（ct；Xt），指在t期時的營運情況及不確定性下，所呈現的淨收入， 其淨收入已扣除掉高速公路其他的營運花費。資本支出方程Et＝（dt；ct），指在t期時的 營運情況下，作出的決策變數所反應的決策成本支出。 初步模型如圖 4-1 所示：在t期時所觀察到的交通流量，或許超過現有車道（深色 區）能提供的容量；也或許還在設計容量內，經過收費站時可產生一組淨現金流Rt。決 策者可以考慮拓寬車道量（淺色區）以增加收入，這個決策的土地成本可以由t期時所觀 察到的土地價格來決定，而資本支出為Et。高速公路生命週期中，各期的現金流即由各 個Rt與Et組成。 圖 4-1 模型概念圖

第四章 模型介紹

4.3.2 細部模型

本節將呈現模型中收入方程Rt＝（ct；Xt）與資本支出方程Et＝（dt；ct）的細節。 1.收入方程 本研究假設高速公路容量是車道數目的線性式。即將要興建或正在興建的高速公路 的收入方程為 0。對現存的收費高速公路而言，其收入方程為以下的線性方程： ( ; ) min( , ) t t t t t R = c X =γ α×n Q (4.5) 其中γ為單位流量一年的平均收入，α為車道的設計容量。所以交通量收入是取設 計的總容量與當期交通需求量的最小值，再乘於平均收入可得。 交通量收入＝單位平均收入 × min（設計容量×車道數，t 期的交通需求量）。 2.資本支出方程 決策的資本支出方程為拓寬興建成本與土地購買成本兩項成本的總合，我們用以下 的線性方程表示之： (4.6) ( , ) ( ) t t t t n t t E = d c =d I ×c +n +L w+ t 其中d為路段長度，cn為單位長度一個車道的興建成本。 資本支出＝長度×（營建物價指數×興建成本×增加車道數+土地價格×額外路權）。 我們進一步說明資本支出方程中的單位興建成本，cn。拓寬工程本身的技術性較 高，以國道一號的拓寬工程來說，工程本身以邊坡增設車道為主，邊坡穩定的施工增加 施工難度。而在施工前，原本路堤處有埋設許多管線，管線遷移也增加施工成本。另外 因為屬於拓寬工程，為了不影響原有車道的交通，施工時間會規劃在夜間時段或其他交 通量較少的時段。因此單位興建成本也會提高。 工法選擇也是一個增加拓寬單位興建成本的因素。以汐止到五股高架橋拓寬為例， 因為要拓寬的車道數多，既有的土地量無法提供傳統路工車道所需，因而採取高架橋施 工，其單位興建成本比起路工車道而言，提高了許多倍。 研究國道一號興建時與拓寬時的成本花費，我們排除營建生產力的變動，再以 4% 當作時間成本的折現率，本研究發現拓寬工程及興建工程的單位興成本有極大差異。楊 梅到高雄的拓寬工程，其單位成本（百萬/車道×公里）約為原始興建工程的 1.65 倍；汐 止到五股的拓寬工程約為原始興建工程的 6.4 倍，此差異即由施工困難度的不同而來， 詳細資料請見附錄二。