1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P1/11
CH1-1
一、 單一選擇題
1.
( )若 cosθ=tanθ,則 sinθ=? (A)2
3
(B)2
2
(C)2
1
5-
(D)2
1
3-
(E)4
1
5+
。 答案:(C) 解析:cosθ=tanθ θ
θ
θ=
cos
sin
cos
cos2θ=sinθ又sin2θ+cos2θ=1 sin2θ+sinθ-1=0
2
5
1
sin
θ=
-
取2
5
1
sin
θ=
-
+
(∵sinθ=cos2 θ>0) 故選(C)2.
( )設θ為銳角且 tanθ=3,則θ
θ-
θ
θ+
cos
5
sin
2
cos
4
sin
3
=? (A) 2 (B) 1 (C) 7 (D) 11 (E) 13。 答案:(E) 解析:由 tanθ=3,可考慮如圖3:1: 10之直角三角形θ
θ-
θ
θ+
cos
5
sin
2
cos
4
sin
3
=10
1
5
10
3
2
10
1
4
10
3
3
-
+
=5
6
4
9
-
+
=13 故選(E)一、 多重選擇題
3.
( )選出正確的選項。 (A) sin70°>sin50° (B) cos70°>cos50° (C) sin20°>cos20° (D) cos50° >2
1
(E) 2 3 85 sin > 。 答案:(A)(D)(E) 解析:(A) ○:sin 在第一象限遞增,故 sin70°>sin50° (B) ╳:cos 在第一象限遞減,故 cos70°<cos50° (C) ╳:cos20°=cos(90°-70°)=sin70°又 sin 在第一象限遞增,故 sin20°<sin70° sin20°<cos20° (D) ○:
2
1
60
cos
=
,又 cos 在第一象限遞減,故2
1
60
cos
50
cos
>
=
(E) ○:2
3
60
sin
=
,又 sin 在第一象限遞增,故2
3
60
sin
85
sin
>
=
故選(A)(D)(E)1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P2/11
4.
( )△ABC 中,AD 垂直
BC
於 D,已知AB
=
25
,4
3
tan =
B
,13
12
cos =
C
,則下列敘述何者正確? (A)BD
=
20
(B)AD
=
15
(C)AC
=
17
(D)DC
=
8
(E)BC
=
28
。 答案:(A)(B) 解析:(A)(B) ○:BD
AD
B
=
=
4
3
tan
AD
:
B
D
:
AB
=
3
:
4
:
5
=
15
:
20
:
25
AD
=
15
,BD
=
20
(C)(D)(E) ╳:∵13
12
cos =
C
∴AC
C
15
13
5
sin
=
=
AC
=
39
故 2 215
39 -
=
DC
=36,BC
=20+36=56 故選(A)(B)一、 填充題
5.
如圖,圓 O 為一單位圓,AT
及BS
分別切圓 O 於 A、B 點,PQ
與PR
分別垂直 x 軸、y 軸於 Q、R 點, 若8
15
=
BS
,求矩形 PQOR 的周長為【 】。 答案:17
46
解析:15
8
1
tan
θ=
=
BS
PQ PQ = = θ= 1 17 8 sin , θ= =OQ=OQ 1 17 15 cos 矩形 PQOR 的周長=17
46
2
(
PQ
+
O
Q
)
=
6.
某機場基於飛航安全考量,限制機場附近建築物,從機場中心地面到建築物頂樓的仰角不超過 8°。某建 築公司打算在離機場中心 3 公里,且地表高度和機場中心一樣高的地方,蓋一棟平均每樓層高 5 公尺的 大樓。在符合機場的限制規定下,該大樓在地面以上最多可以蓋【 】層樓。(tan8° 0.1405) 答案:84 解析:如圖,令機場中心位於 O 點 設大樓蓋 n 層樓,則大樓高度AB
=
5
n
公尺3
=
∵OA
=3 公里=3000 公尺1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P3/11 則 OA AB θ= tan <tan8° 0.1405 5n<0.1405×3000 421.5 n<84.3 即 n≦84 故最多可蓋 84 層
7.
設θ為銳角,已知3
2
cos
sin
θ-
θ=
,則 sinθ+cosθ之值為【 】。 答案: 3 14 解析:9
4
cos
sin
θ-
θ)
2=
(
9
4
cos
sin
2
1
-
θ
θ=
9
5
cos
sin
2
θ
θ=
2cos
sin
θ+
θ)
(
=1+2 sinθcosθ=9
14
9
5
1
+
=
因此 3 14 cos sinθ+ θ= (∵θ為銳角 ∴sinθ+cosθ>0)8.
試求cos
210
+
cos
220
+
cos
230
+
cos
240
+cos
250
+
cos
260
+
cos
270
+
cos
280
之值為 【 】。答案:4
解析:
cos
210
+
cos
220
+
cos
230
+
cos
240
+cos
250
+
cos
260
+
cos
270
+
cos
280
=
(
cos
210
+
cos
280
)
+(
cos
220
+
cos
270
)
+(
cos
230
+
cos
260
)
+(
cos
240
+
cos
250
)
=(
sin
280
+
cos
280
)
+(
sin
270
+
cos
270
)
+(
sin
260
+
cos
260
)
+(
sin
250
+
cos
250
)
=1+1+1+1=49.
△ABC 中,∠C=90°,AC
:BC
=3:5,BD
:CD
=2:3,∠BAD=θ,則 tanθ=【 】。答案:
4
1
解析:如圖 B 在AD
上之垂足為 C',則△BC'D 為等腰直角三角形 設BD=2,則BC'= 'DC = 2,且AD=3 21092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P4/11
2
2
3
2
tan
+
θ=
=4
1
2
4
2
=
10.
將正方形 ABCD 放在距離為 3 的兩平行線L
1,L
2之間,其中 A、C 分別落在L
1、L
2上,若2
1
tanθ=
, 則正方形的邊長為【 】。 答案:5
解析:過 D 作L
1,L
2的垂線分別交L
1、L
2於 E、F,則EF=3 設DE=3-x,DF =
x
,又△DCF △ADE CF
=
DE
=
3
-
x
∴CF
DF
θ=
tan
=2
1
3
-x
=
x
2x=3-x 3x=3,x=1 故CF=2,DF=1,正方形邊長CD= 22+12= 51092 高一數學第一次段考題庫
1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P5/11
CH1-2
一、 單一選擇題
1.
( )若θ滿足 sinθ<0 且 cosθ>0,則 P(tanθ,1-sinθ)在何象限? (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限。【北一女中】 答案:(B) 解析:sinθ<0,cosθ>0 θ在第四象限 ∴tanθ<0,1-sinθ>0 P(tanθ,1-sinθ)在第二象限 故選(B)
2.
( )已知 A[2,50°]與 B[3,k°]為極坐標上兩點,若 O 為原點,則當 k 為下列哪一個整數值時,△OAB 的面積最大? (A) 80 (B) 90 (C) 180 (D) 190 (E) 200。【中山女高】 答案:(C) 解析: 如圖,在半徑 3 的圓上找 B 點,使△ABC 面積最大, 以OA
為底邊,高為 B 點與OA距離,距離越大則面積越大,其最大值為(50 ± 90)°時 當選項中的 k 值越接近 140 時,則面積越大,因此選(C)一、 多重選擇題
3.
( )下列哪些為 70°的同界角? (A) 290° (B)-290° (C) 430° (D) 790°。 答案:(B)(C)(D) 解析:(A) ╳:290°-70°=220°≠360°×n,n 為整數 (B) ○:70°-(-290°)=360°×1 (C) ○:430°-70°=360°×1 (D) ○:790°-70°=720°=360°×2 故選(B)(C)(D)4.
( )設 A,B,C 為△ABC 的三個內角,下列敘述何者正確? (A) sin(A+B)=sinC (B) cos(A+B)=-cosC (C) tan(A+B)=tanC (D) 2 sin 2 sin A+B= C (E) 2 sin 2 cos A+B= C 。【新 竹女中】 答案:(A)(B)(E) 解析:(A) ○:sin(A+B)=sin(180°-C)=sinC (B) ○:cos(A+B)=cos(180°-C)=-cosC (C) ╳:tan(A+B)=tan(180°-C)=-tanC (D) ╳: 2 cos 2 90 sin 2 sin A+B = -C= C (E) ○: 2 sin 2 90 cos 2 cos A+B = -C= C 故選(A)(B)(E)
1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P6/11
一、 填充題
5.
sin120°+tan240°+cos330°=【 】。【臺中一中】 答案:2
3
解析:sin120°+tan240°+cos330° =sin(180°-60°)+tan(180°+60°)+cos(360°-30°) =sin60°+tan60°+cos30°= 2 3 2 3 3 2 3 = + +6.
在坐標平面上有三點,其極坐標分別為 A[3,0°],B[2,135°],C[2,225°],則 A,B,C 三點所圍成的 △ABC 面積為【 】平方單位。【師大附中】 答案:2+
3
2
解析:A[3,0°]=(3 cos0°,3 sin0°)=(3,0)
B[2,135°]=(2 cos135°,2 sin135°)=(- 2, 2) C[2,225°]=(2 cos225°,2 sin225°)=(- 2,- 2) △ABC 面積=
2
2
(
2
+
3
)
2
1
=2+
3
2
7.
若 270°<θ<360°且5
1
cos
sin
θ+
θ=
,則 sinθ-cosθ=【 】。【新竹高中】 答案:5
7
-
解析:∵270°<θ<360° ∴sinθ<0,cosθ>0 sinθ-cosθ<0 又5
1
cos
sin
θ+
θ=
,25
1
cos
cos
sin
2
sin
2θ+
θ
θ+
2θ=
25
24
cos
sin
2
θ
θ=-
θ
θ+
θ
θ-
=
θ)
θ-
(
2 2 2cos
cos
sin
2
sin
cos
sin
=
(
sin
2θ+
cos
2θ)-
2
sin
θ
cos
θ
=25 49 25 24 1- - = 因此
5
7
cos
sin
θ-
θ=
,又 sinθ-cosθ<0,故5
7
cos
sin
θ-
θ=-
8.
設 cos160°=k,試以 k 表示 tan250°=【 】。【高雄中學】 答案: 2 1 k k - - 解析:cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=k cos20°=-k 因此 tan250°=tan(180°+70°)= 2 1 70 tan k k - - = 1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P7/11
9.
已知 270°<θ<360°且4
3
tanθ=-
,則 cosθ+sin(180°+θ)+cos(90°+θ)+sin(270°-θ)+ tan(180°+θ)+tan(-θ)=【 】。【基隆女中】 答案:5
6
解析:270°<θ<360°且4
3
tanθ=-
5
3
sinθ=-
,5
4
cosθ=
所求為 cosθ+(-sinθ)+(-sinθ)+(-cosθ)+tanθ+(-tanθ) =-2 sinθ= 5 6 5 3 2 - = - 10.
設 P(-3,4)為有向角θ終邊上一點,求1
sin
3
cos
2
θ-
θ+
=【 】。【屏東女中】 答案:-9 解析:5
4
4
3
4
sin
2 2+
=
)
(-
θ=
,5
3
4
3
3
cos
2 2-
=
+
)
(-
-
θ=
∴9
1
5
4
3
5
3
2
1
sin
3
cos
2
=-
-
+
-
.
=
θ-
θ+
1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P8/11
CH1-3
一、 單一選擇題
1.
( )在塔的正西 A 點與塔的正南 B 點測得塔頂的仰角分別為 45°,30°,AB
=
100
公尺,則塔高為多少 公尺? (A) 25 公尺 (B)25
2
公尺 (C)25
3
公尺 (D) 50 公尺 (E)50
2
公尺。【嘉義 高中】 答案:(D) 解析:設塔高CD =
h
公尺 在△ACD 中,∠DAC=45°,∠ACD=90° AC
=
CD
=
h
在△BCD 中,∠DBC=30°,∠BCD=90° BC= 3CD= 3h 在△ABC 中,∠ACB=90° AB
2=
A
C
2+
B
C
2 2 2 23
100
=
h
+(
h
)
4
h
2=
10000
h
2=
2500
h=50(公尺) 故選(D)2.
( )設 a,b,c 分別表△ABC 之∠A,∠B,∠C 的對邊長,且 sinA:sinB:sinC=3:5:7,則最大角為何? (A) 60° (B) 75° (C) 90° (D) 120° (E) 135°。【景美女高】 答案:(D) 解析:∵a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:5:7 ∴c 最大 ∠C 最大 令 a=3t,b=5t,c=7t,t>0 ab c b a C 2 cos 2 2 2 - + = = t t t t t 5 3 2 7 5 3 2 2 2 ) -( ) +( ) ( = 2 1 30 49 25 9 2 2 2 2 =- - + t t t t ∴∠C=120° 故選(D)
一、 多重選擇題
3.
( )下列何者可成為鈍角三角形的三邊長? (A) 1,2,3 (B) 2,3,4 (C) 3,4,6 (D) 7,9, 10 (E) 6,8,10。【臺中女中】 答案:(B)(C) 解析:(A) 1+2=3 不可能為三角形之三邊長 (B) 2+3>4 且 2 2 24
3
2
+
<
,為鈍角三角形 (C) 3+4>6 且 2 2 26
4
3
+
<
,為鈍角三角形 (D) 7+9>10 且 2 2 210
9
7
+
>
,為銳角三角形 (E) 6+8>10 且 2 2 210
8
6
+
=
,為直角三角形1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P9/11 故選(B)(C)
4.
( )△ABC 中,BC=2,AC=3,AB=4,下列何者正確? (A)△ABC 的面積為 4 15 3 (B)外 接圓半徑為 15 8 (C) 8 15 sin =A (D)BC
邊上的高為 4 15 3 (E)△ABC 為銳角三角形。【嘉 義高中】 答案:(A)(B)(C)(D) 解析:(A) ○: 8 7 4 3 2 2 4 3 cos 2 2 2 = - + = A 8 15 8 7 1 sin 2 = - = A ∴ABC
bc
sin
A
2
1
=
△
= 4 15 3 8 15 4 3 2 1 = (B) ○: 15 16 8 15 2 2R= = 外接圓半徑 15 8 = R (C) ○:承(A) (D) ○:設BC
邊上的高為 h, ABC 2h 2 1 4 15 3 = = △ 4 15 3 = h (E) ╳: 0 12 16 9 4 3 2 2 4 3 2 cos 2 2 2 < - + = - + = C ∠C 為鈍角,△ABC 為鈍角三角形 故選(A)(B)(C)(D)一、 填充題
5.
如圖所示,ABCD 為圓內接四邊形,若∠DBC=30°,∠ABD=45°且AD
=
6
,求CD
的長度為【 】。 【臺中二中】 答案:3
2
解析: 45 sin 6 2 30 sin = R= CD 3 2 2 1 2 2 6 = = CD6.
如圖,△ABC 中,D 為BC
上一點且∠BAD=30°,∠CAD=90°。已知AB
=
10
,AD=4 3,則△ACD與△ABC 外接圓面積的比值為【 】,
AC
的長為【 】。【臺中一中】答案:
25
12
1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P10/11 解析:設 R1,R2 分別為△ACD,△ABC 之外接圓半徑 則 C AD R sin 2 1= , C AB R sin 2 2=
5
3
2
10
3
4
2 1=
=
=
AB
AD
R
R
,面積的比值為 25 12 2 2 1 = R R設
AC =
x
,由△ABC 面積=△ABD 面積+△ACD 面積
10
sin
120
2
1
x
=
4
3
sin
90
2
1
30
sin
3
4
10
2
1
x
+
x
x
20
3
4
3
3
5
=
+
x=20 ∴AC
=
20
7.
如圖,A,B 兩點分別位於一河口的兩岸邊。某人在通往 A 點的筆直公路上,距離 A 點 10 公尺處的 C 點 和距離 A 點 40 公尺處的 D 點,分別測得∠ACB=60°,∠ADB=30°,求 A,B 兩點的距離為【 】 公尺。【生活應用題】【臺中女中】 答案:10
7
解析:AC
=
10
,AD
=
40
C
D
=
30
∵∠ACB=60°,∠ADB=30° ∴∠CBD=30° C
B
= D
C
=
30
由餘弦定理知,AB2=102+302-21030cos60=1000-300=700 AB=10 7 故 A,B 兩點的距離為10
7
公尺8.
草帽小子一行人為了解救落入世界政府手中的羅賓,搭乘黃金梅莉號以時速 30(公里/小時)的速度向 東 47°北航線前進,一開始騙人布觀測到司法之島的方位在船的北 13°東,經過三小時後,再觀測司法之 島的方位在船的北 32°西,則此時船和島距離為【 】公里。【生活應用題】【臺中一中】 答案:45
2
解析:設一開始的位置為 O,三小時後在 Q,司法之島位置為 A 可知∠OAQ=13°+32°=45°,∠AOQ=90°-47°-13°=30°90
3
30
=
=
OQ
,由正弦定理知, 30
sin
45
sin
90
AQ
=
2 1 2 1 90 AQ = AQ=45 2(公里)1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P11/11