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高一下第一次期中考數學題庫(40)

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Academic year: 2021

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(1)

1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P1/11

CH1-1

一、 單一選擇題

1.

( )若 cosθ=tanθ,則 sinθ=? (A)

2

3

(B)

2

2

(C)

2

1

5-

(D)

2

1

3-

(E)

4

1

5+

。 答案:(C) 解析:cosθ=tanθ 

θ

θ

θ=

cos

sin

cos

 cos2θ=sinθ

又sin2θ+cos2θ=1  sin2θ+sinθ-1=0 

2

5

1

sin

θ=

2

5

1

sin

θ=

(∵sinθ=cos2 θ>0) 故選(C)

2.

( )設θ為銳角且 tanθ=3,則

θ

θ-

θ

θ+

cos

5

sin

2

cos

4

sin

3

=? (A) 2 (B) 1 (C) 7 (D) 11 (E) 13。 答案:(E) 解析:由 tanθ=3,可考慮如圖3:1: 10之直角三角形

θ

θ-

θ

θ+

cos

5

sin

2

cos

4

sin

3

10

1

5

10

3

2

10

1

4

10

3

3

5

6

4

9

=13 故選(E)

一、 多重選擇題

3.

( )選出正確的選項。 (A) sin70°>sin50° (B) cos70°>cos50° (C) sin20°>cos20° (D) cos50° >

2

1

(E) 2 3 85 sin > 。 答案:(A)(D)(E) 解析:(A) ○:sin 在第一象限遞增,故 sin70°>sin50° (B) ╳:cos 在第一象限遞減,故 cos70°<cos50° (C) ╳:cos20°=cos(90°-70°)=sin70°

又 sin 在第一象限遞增,故 sin20°<sin70°  sin20°<cos20° (D) ○:

2

1

60

cos

,又 cos 在第一象限遞減,故

2

1

60

cos

50

cos

(E) ○:

2

3

60

sin

,又 sin 在第一象限遞增,故

2

3

60

sin

85

sin

故選(A)(D)(E)

(2)

1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P2/11

4.

( )△ABC 中,

AD 垂直

BC

於 D,已知

AB

25

4

3

tan =

B

13

12

cos =

C

,則下列敘述何者正確? (A)

BD

20

(B)

AD

15

(C)

AC

17

(D)

DC

8

(E)

BC

28

。 答案:(A)(B) 解析:(A)(B) ○:

BD

AD

B

4

3

tan

AD

B

D

AB

3

4

5

15

20

25

AD

15

BD

20

(C)(D)(E) ╳:∵

13

12

cos =

C

AC

C

15

13

5

sin

AC

39

故 2 2

15

39 -

DC

=36,

BC

=20+36=56 故選(A)(B)

一、 填充題

5.

如圖,圓 O 為一單位圓,

AT

BS

分別切圓 O 於 A、B 點,

PQ

PR

分別垂直 x 軸、y 軸於 Q、R 點,

8

15

BS

,求矩形 PQOR 的周長為【 】。 答案:

17

46

解析:

15

8

1

tan

θ=

BS

PQ PQ = = θ= 1 17 8 sin , θ= =OQOQ 1 17 15 cos  矩形 PQOR 的周長=

17

46

2

PQ

O

Q

6.

某機場基於飛航安全考量,限制機場附近建築物,從機場中心地面到建築物頂樓的仰角不超過 8°。某建 築公司打算在離機場中心 3 公里,且地表高度和機場中心一樣高的地方,蓋一棟平均每樓層高 5 公尺的 大樓。在符合機場的限制規定下,該大樓在地面以上最多可以蓋【 】層樓。(tan8°  0.1405) 答案:84 解析:如圖,令機場中心位於 O 點 設大樓蓋 n 層樓,則大樓高度

AB

5

n

公尺

3

∵OA

=3 公里=3000 公尺

(3)

1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P3/11 則 OA AB θ= tan <tan8°  0.1405  5n<0.1405×3000  421.5  n<84.3 即 n≦84 故最多可蓋 84 層

7.

設θ為銳角,已知

3

2

cos

sin

θ-

θ=

,則 sinθ+cosθ之值為【 】。 答案: 3 14 解析:

9

4

cos

sin

θ-

θ)

2

9

4

cos

sin

2

1

θ

θ=

9

5

cos

sin

2

θ

θ=

2

cos

sin

θ+

θ)

=1+2 sinθcosθ=

9

14

9

5

1

因此 3 14 cos sinθ+ θ= (∵θ為銳角 ∴sinθ+cosθ>0)

8.

試求

cos

2

10

cos

2

20

cos

2

30

cos

2

40

+

cos

2

50

cos

2

60

cos

2

70

cos

2

80

之值為 【 】。

答案:4

解析:

cos

2

10

cos

2

20

cos

2

30

cos

2

40

+

cos

2

50

cos

2

60

cos

2

70

cos

2

80

cos

2

10

cos

2

80

cos

2

20

cos

2

70

cos

2

30

cos

2

60

cos

2

40

cos

2

50

sin

2

80

cos

2

80

sin

2

70

cos

2

70

sin

2

60

cos

2

60

sin

2

50

cos

2

50

=1+1+1+1=4

9.

△ABC 中,∠C=90°,

AC

BC

=3:5,

BD

CD

=2:3,∠BAD=θ,則 tanθ=【 】。

答案:

4

1

解析:如圖 B 在

AD

上之垂足為 C',則△BC'D 為等腰直角三角形 BD=2,則BC'= 'DC = 2,且AD=3 2

(4)

1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P4/11 

2

2

3

2

tan

θ=

4

1

2

4

2

10.

將正方形 ABCD 放在距離為 3 的兩平行線

L

1

L

2之間,其中 A、C 分別落在

L

1

L

2上,若

2

1

tanθ=

, 則正方形的邊長為【 】。 答案:

5

解析:過 D 作

L

1

L

2的垂線分別交

L

1

L

2於 E、F,則EF=3 設DE=3-x

DF =

x

,又△DCF △ADE

CF

DE

3

x

CF

DF

θ=

tan

2

1

3

-x

x

2x=3-x 3x=3,x=1 CF=2,DF=1,正方形邊長CD= 22+12= 5

(5)

1092 高一數學第一次段考題庫

1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P5/11

CH1-2

一、 單一選擇題

1.

( )若θ滿足 sinθ<0 且 cosθ>0,則 P(tanθ,1-sinθ)在何象限? (A)第一象限 (B)第二象

限 (C)第三象限 (D)第四象限。【北一女中】 答案:(B) 解析:sinθ<0,cosθ>0  θ在第四象限 ∴tanθ<0,1-sinθ>0  P(tanθ,1-sinθ)在第二象限 故選(B)

2.

( )已知 A[2,50°]與 B[3,k°]為極坐標上兩點,若 O 為原點,則當 k 為下列哪一個整數值時,△OAB 的面積最大? (A) 80 (B) 90 (C) 180 (D) 190 (E) 200。【中山女高】 答案:(C) 解析: 如圖,在半徑 3 的圓上找 B 點,使△ABC 面積最大,

OA

為底邊,高為 B 點與OA距離,距離越大則面積越大,其最大值為(50 ± 90)°時 當選項中的 k 值越接近 140 時,則面積越大,因此選(C)

一、 多重選擇題

3.

( )下列哪些為 70°的同界角? (A) 290° (B)-290° (C) 430° (D) 790°。 答案:(B)(C)(D) 解析:(A) ╳:290°-70°=220°≠360°×n,n 為整數 (B) ○:70°-(-290°)=360°×1 (C) ○:430°-70°=360°×1 (D) ○:790°-70°=720°=360°×2 故選(B)(C)(D)

4.

( )設 A,B,C 為△ABC 的三個內角,下列敘述何者正確? (A) sin(A+B)=sinC (B) cos(A+

B)=-cosC (C) tan(A+B)=tanC (D) 2 sin 2 sin AB= C      (E) 2 sin 2 cos AB= C      。【新 竹女中】 答案:(A)(B)(E) 解析:(A) ○:sin(A+B)=sin(180°-C)=sinC (B) ○:cos(A+B)=cos(180°-C)=-cosC (C) ╳:tan(A+B)=tan(180°-C)=-tanC (D) ╳: 2 cos 2 90 sin 2 sin AB = -C= C             (E) ○: 2 sin 2 90 cos 2 cos AB = -C= C             故選(A)(B)(E)

(6)

1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P6/11

一、 填充題

5.

sin120°+tan240°+cos330°=【 】。【臺中一中】 答案:

2

3

解析:sin120°+tan240°+cos330° =sin(180°-60°)+tan(180°+60°)+cos(360°-30°) =sin60°+tan60°+cos30°= 2 3 2 3 3 2 3 = + +

6.

在坐標平面上有三點,其極坐標分別為 A[3,0°],B[2,135°],C[2,225°],則 A,B,C 三點所圍成的 △ABC 面積為【 】平方單位。【師大附中】 答案:

2+

3

2

解析:A[3,0°]=(3 cos0°,3 sin0°)=(3,0)

B[2,135°]=(2 cos135°,2 sin135°)=(- 2, 2) C[2,225°]=(2 cos225°,2 sin225°)=(- 2,- 2) △ABC 面積=

2

2

2

3

2

1

2+

3

2

7.

若 270°<θ<360°且

5

1

cos

sin

θ+

θ=

,則 sinθ-cosθ=【 】。【新竹高中】 答案:

5

7

解析:∵270°<θ<360° ∴sinθ<0,cosθ>0  sinθ-cosθ<0 又

5

1

cos

sin

θ+

θ=

25

1

cos

cos

sin

2

sin

2

θ+

θ

θ+

2

θ=

25

24

cos

sin

2

θ

θ=-

θ

θ+

θ

θ-

θ)

θ-

2 2 2

cos

cos

sin

2

sin

cos

sin

sin

2

θ+

cos

2

θ)-

2

sin

θ

cos

θ

25 49 25 24 1- - =      因此

5

7

cos

sin

θ-

θ=

,又 sinθ-cosθ<0,故

5

7

cos

sin

θ-

θ=-

8.

設 cos160°=k,試以 k 表示 tan250°=【 】。【高雄中學】 答案: 2 1 k k - - 解析:cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=k cos20°=-k 因此 tan250°=tan(180°+70°)= 2 1 70 tan k k - - = 

(7)

1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P7/11

9.

已知 270°<θ<360°且

4

3

tanθ=-

,則 cosθ+sin(180°+θ)+cos(90°+θ)+sin(270°-θ)+ tan(180°+θ)+tan(-θ)=【 】。【基隆女中】 答案:

5

6

解析:270°<θ<360°且

4

3

tanθ=-

5

3

sinθ=-

5

4

cosθ=

所求為 cosθ+(-sinθ)+(-sinθ)+(-cosθ)+tanθ+(-tanθ) =-2 sinθ= 5 6 5 3 2 - = -       

10.

設 P(-3,4)為有向角θ終邊上一點,求

1

sin

3

cos

2

θ-

θ+

=【 】。【屏東女中】 答案:-9 解析:

5

4

4

3

4

sin

2 2

(-

θ=

5

3

4

3

3

cos

2 2

(-

θ=

9

1

5

4

3

5

3

2

1

sin

3

cos

2

=-

θ-

θ+

(8)

1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P8/11

CH1-3

一、 單一選擇題

1.

( )在塔的正西 A 點與塔的正南 B 點測得塔頂的仰角分別為 45°,30°,

AB

100

公尺,則塔高為多少 公尺? (A) 25 公尺 (B)

25

2

公尺 (C)

25

3

公尺 (D) 50 公尺 (E)

50

2

公尺。【嘉義 高中】 答案:(D) 解析:設塔高

CD =

h

公尺 在△ACD 中,∠DAC=45°,∠ACD=90°

AC

CD

h

在△BCD 中,∠DBC=30°,∠BCD=90° BC= 3CD= 3h 在△ABC 中,∠ACB=90°

AB

2

A

C

2

B

C

2  2 2 2

3

100

h

+(

h

4

h

2

10000

h

2

2500

h=50(公尺) 故選(D)

2.

( )設 a,b,c 分別表△ABC 之∠A,∠B,∠C 的對邊長,且 sinA:sinB:sinC=3:5:7,則最大角

為何? (A) 60° (B) 75° (C) 90° (D) 120° (E) 135°。【景美女高】 答案:(D) 解析:∵a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:5:7 ∴c 最大 ∠C 最大 令 a=3t,b=5t,c=7t,t>0 ab c b a C 2 cos 2 2 2 - + = = t t t t t 5 3 2 7 5 3 2 2 2   ) -( ) +( ) ( = 2 1 30 49 25 9 2 2 2 2 =- - + t t t t ∴∠C=120° 故選(D)

一、 多重選擇題

3.

( )下列何者可成為鈍角三角形的三邊長? (A) 1,2,3 (B) 2,3,4 (C) 3,4,6 (D) 7,9, 10 (E) 6,8,10。【臺中女中】 答案:(B)(C) 解析:(A) 1+2=3 不可能為三角形之三邊長 (B) 2+3>4 且 2 2 2

4

3

2

,為鈍角三角形 (C) 3+4>6 且 2 2 2

6

4

3

,為鈍角三角形 (D) 7+9>10 且 2 2 2

10

9

7

,為銳角三角形 (E) 6+8>10 且 2 2 2

10

8

6

,為直角三角形

(9)

1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P9/11 故選(B)(C)

4.

( )△ABC 中,BC=2,AC=3,AB=4,下列何者正確? (A)△ABC 的面積為 4 15 3 (B)外 接圓半徑為 15 8 (C) 8 15 sin =A (D)

BC

邊上的高為 4 15 3 (E)△ABC 為銳角三角形。【嘉 義高中】 答案:(A)(B)(C)(D) 解析:(A) ○: 8 7 4 3 2 2 4 3 cos 2 2 2 = - + =   A  8 15 8 7 1 sin 2 = - =       A

ABC

bc

sin

A

2

1

= 4 15 3 8 15 4 3 2 1 =    (B) ○: 15 16 8 15 2 2R= =  外接圓半徑 15 8 = R (C) ○:承(A) (D) ○:設

BC

邊上的高為 h, ABC 2h 2 1 4 15 3 = = △  4 15 3 = h (E) ╳: 0 12 16 9 4 3 2 2 4 3 2 cos 2 2 2 < - + = - + =   C ∠C 為鈍角,△ABC 為鈍角三角形 故選(A)(B)(C)(D)

一、 填充題

5.

如圖所示,ABCD 為圓內接四邊形,若∠DBC=30°,∠ABD=45°且

AD

6

,求

CD

的長度為【 】。 【臺中二中】 答案:

3

2

解析: 45 sin 6 2 30 sin = RCD  3 2 2 1 2 2 6 = =   CD

6.

如圖,△ABC 中,D 為

BC

上一點且∠BAD=30°,∠CAD=90°。已知

AB

10

AD=4 3,則△ACD

與△ABC 外接圓面積的比值為【 】,

AC

的長為【 】。【臺中一中】

答案:

25

12

(10)

1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P10/11 解析:設 R1,R2 分別為△ACD,△ABC 之外接圓半徑 C AD R sin 2 1= , C AB R sin 2 2= 

5

3

2

10

3

4

2 1

AB

AD

R

R

,面積的比值為 25 12 2 2 1       R R

AC =

x

,由△ABC 面積=△ABD 面積+△ACD 面積

10

sin

120

2

1

x

4

3

sin

90

2

1

30

sin

3

4

10

2

1

x

x

x

20

3

4

3

3

5

x=20 ∴

AC

20

7.

如圖,A,B 兩點分別位於一河口的兩岸邊。某人在通往 A 點的筆直公路上,距離 A 點 10 公尺處的 C 點 和距離 A 點 40 公尺處的 D 點,分別測得∠ACB=60°,∠ADB=30°,求 A,B 兩點的距離為【 】 公尺。【生活應用題】【臺中女中】 答案:

10

7

解析:

AC

10

AD

40

C

D

30

∵∠ACB=60°,∠ADB=30° ∴∠CBD=30°

C

B

= D

C

30

由餘弦定理知,AB2=102+302-21030cos60=1000-300=700  AB=10 7 故 A,B 兩點的距離為

10

7

公尺

8.

草帽小子一行人為了解救落入世界政府手中的羅賓,搭乘黃金梅莉號以時速 30(公里/小時)的速度向 東 47°北航線前進,一開始騙人布觀測到司法之島的方位在船的北 13°東,經過三小時後,再觀測司法之 島的方位在船的北 32°西,則此時船和島距離為【 】公里。【生活應用題】【臺中一中】 答案:

45

2

解析:設一開始的位置為 O,三小時後在 Q,司法之島位置為 A 可知∠OAQ=13°+32°=45°,∠AOQ=90°-47°-13°=30°

90

3

30

OQ

,由正弦定理知,

30

sin

45

sin

90

AQ

 2 1 2 1 90 AQ =  AQ=45 2(公里)

(11)

1092 高一數學第一次段考題庫 1092 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P11/11

9.

英台於她家正東方公園入口 A 處觀看樓頂測得仰角為 45°,東 30°南超商 B 處觀看測得仰角為 60°,已知 A 與 B 相距 100 公尺,則英台家樓頂有【 】公尺高。【生活應用題】【嘉義女中】 答案:

100

3

解析:設樓高

CD =

x

公尺,則

AC

CD

x

45

tan

tan

60

3

x

CD

BC

又∠ACB=30°,由餘弦定理知,

30

cos

3

2

3

100

2 2 2

x

x

x

x

3

3

2 2 2 2

x

x

x

x

3

100

x

(公尺)

10.

已知點 G 為銳角△ABC 的重心,若 G 點到

BC

CA

AB

三邊的距離分別為 6、3、4,求 sinA:sinB: sinC=【 】。【臺中一中】 答案:2:4:3 解析:

3

1

△ABC 面積= 2 4 2 3 2 6    CA AB BC = = 

BC

CA

AB

4

1

3

1

6

1

=2:4:3=sinA:sinB:sinC

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