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行政院國家科學委員會專題研究計畫進度報告
符合航空品保理念之疲勞裂縫成長可靠度分析(2/3)
Reliability Analysis of Fatigue Cr ack Pr opagation in Compliance
with Aer onautical Quality Assur ance (2/3)
計畫編號：NSC 90-2212-E-002-236 (第二年)
執行期限：89 年 8 月 1 日至 92 年 7 月 31 日
主持人：吳文方 國立台灣大學機械工程學系
計畫參與人員：倪志成、呂正仲 台灣大學機械系
一、中文摘要 航空完整性評估在航空結構與組件之 品保中佔有重要之地位，而金屬疲勞裂縫 成長又為航空結構完整性評估中極為重要 之一項研究課題，因此本計畫進行航空結 構材料之疲勞裂縫成長研究。本年度延續 去年度計劃，採用蒙地卡羅模擬及兩個考 慮參數變異與相關性之隨機裂縫成長模式 修正式來呈現裂縫延伸與疲勞壽命分佈， 同時進行相當數量之等振幅與隨機振幅疲 勞裂縫延伸實驗，透過模擬結果與實驗數 據之比較，我們驗證了所採用模式之可用 性與準確性。 關鍵詞：航空結構完整性評估、金屬疲勞 裂縫成長、蒙地卡羅模擬、隨機 裂縫成長模式、可靠度分析 Abstr actStructure integrity assessment plays a significant role in the quality assurance of aeronautical structures and components. Fatigue crack propagation is one of the most important issues in the integrity assessment of aeronautical structures. Therefore, fatigue crack propagation of aeronautical materials is studied. Special emphasis is put on the variability analysis of the fatigue crack growth curves. In the second year of the project, two approaches have been employed for such an analysis. The first approach is a Monte-Carlo simulation method and the second one is based on a modified stochastic fatigue crack growth model. In the latter case, the relationship between two important parameters has been considered in particular.
A sufficient amount of fatigue crack propagation tests have also been carried out to verify the simulation and analytical results. Good agreements are found for both approaches.
Keywor ds: Structural Integrity Assessment,
Fatigue Crack Propagation, Mote-Carlo Simulation, Stochastic Crack Propagation Model, Reliability analysis 二、緣由與目的 國科會所發表之「航空、太空工程技 術研究發展規劃書」中指出國內民間企業 應著重於航太零組件之製造技術研發[1]， 而教育部科技顧問室則以為我國未來需求 最亟之航太人才為品保驗證、航電及飛機 結構等方面之人才[2]，為將以上製造分 析、品保驗證與飛機結構等議題結合，本 計畫提出進行「符合航空品保理念之疲勞 裂縫成長可靠度分析」之研究工作，其中 之金屬疲勞裂縫成長乃航空結構分析中極 重要之一項工作，而可靠度分析則為品保 工作重要之一環。此外，金屬疲勞裂縫成 長之研究無論在老舊飛機之延壽或一般飛 機之維護與結構改裝方面亦均佔有相當之 地位[3, 4]。 因為疲勞裂縫成長實驗過程煩瑣、耗 時，可供以驗證一些疲勞可靠度分析模式 之實驗數據是極為有限的。有鑑於此，本 研究試圖將航空結構完整性評估有關之金 屬疲勞裂縫成長議題與可靠度工程相關議 題結合，並選擇航空常用之鋁合金材料進 行疲勞裂縫成長試驗，再依據實驗結果配
2 合適當之分析模式來預測疲勞裂縫之成長 及其可靠度，以為往後航空結構完整性評 估之參考。 三、結果與討論 第一年度已執行兩組等振幅實驗，分 別為等振幅實驗 30 片試片一組及等振幅實 驗 3 片試片一組，為便於與第一年度執行 實驗相比較，本年度實驗除施加外力不同 外，其餘條件設定相同。使用航空界常用 之 2024-T351 鋁合金所製作之 CT (Compact Tension)試片共 35 片。其中 25 片執行隨機 振幅實驗，隨機荷重之訊號產生方式採用 能量頻譜密度函數配合 Shinozuka [5]所提 出之方法產生一系列隨機訊號，設定訊號 頻 率 為 5-15 Hz，其平均荷重波峰值為 6,118.3 N，平均荷重波谷值為 3,881.7 N， 總荷重平均值為 5,000 N。計數採用規則為 「當波峰出現一次時即代表一週期」。圖 一為隨機振幅實驗所得之疲勞裂縫成長曲 線。另外 10 片試片執行等振幅實驗，為求 與隨機振幅比較，此等振幅荷重設定荷重 波峰值為 6,118.3 N，荷重波谷值為 3,881.7 N，平均值為 5,000 N，以求可與隨機振幅 實驗相比較之基準，依同方式繪製此等振 幅實驗之疲勞裂縫成長曲線及其成長率曲 線於圖二，圖三。 另外，我們亦套用與 Paris 法則形式相 似的 Yang & Manning 法則[6]，企圖觀察除 了形式皆為 Power Law 外其內涵是否也有 類似之處。圖四為隨機振幅實驗裂縫成長 速率對裂縫長度之曲線，圖五則為等振幅 實驗裂縫成長速率對裂縫長度之曲線。兩 法則原式要求取自然對數後需呈線性關 係，觀察實驗數據圖三～五曲線中央帶皆 呈線性關係，符合兩法則之特性。另外， 圖四頭尾兩段更有一般常見於裂縫成長速 率對應力強度因子幅曲線中第一區陡昇與 第三區上揚的現象，更加深兩法則相似之 處，本研究決定以此形式相近之兩法則來 分析與模擬疲勞裂縫延伸行為。由於 Yang & Manning 法則不需考慮∆K，用於分析隨 機振幅實驗有其便利性，而 Paris 法則發展 較早，驗證資料多，較具準確性，依其個 別特性與功能，Yang & Manning 法則便於 分析隨機振幅實驗，Paris 法則可更準確預 測等振幅實驗，於本文稍後介紹電腦模擬 隨機與等振幅荷重之工作即以此為分類。 除了疲勞裂縫延伸預估式決定裂縫延 伸平均趨勢外，「變異性」亦是本電腦模 擬所欲涵括範圍。將所有包含環境、試片 規格、人為因素等種種變異情況表現於 Paris 法 則 兩 參 數 (m, C) 與 Yang &
Manning 法則兩參數 (b, Q) 上，為一方便 之假設，但欲將變異特性顯現於參數組 上，則尚需合理之假設。此合理之假設需 有兩條件，首先其參數之分佈必須對照於 真實實驗數據所求得之分佈，即「參數變 異性」必須合理假設；另外，參數彼此之 間有相關聯的情況，即「參數相關性」必 須考慮。於參數變異性部分，參考文獻[7]， 本文以參數 (m, C) 與(b, Q) 皆為隨機變 數；在參數相關性部分，參考文獻[8]，將 第一年度及第二年度各兩組實驗之參數組 繪製於圖六、圖七及表一，可發現參數 (m, C log ) 與 (b, logQ) 具有相當程度統計 上負相關性。為消除兩參數間之相關性， 將 Paris 法則與 Yang & Manning 法則修正 為下兩式： m K K C dN da ∆ ∆ = 0 0 (1) b a a Q dN da = 0 0 (2) 其中 m K C C0 = ∆ 0 ； b Qa Q0 = 0；∆K0與a 為0 任意常數。於圖八、九中可清楚看出，適 當的∆K0與a 恰可使參數 (m, 0 logC ) 與0 (b, logQ ) 間達到統計上的無相關性，而0 此適當∆K0與a 可經由圖六、七之斜率簡0 易求得。經由引進∆K0與a 的 Paris 法則與0
Yang & Manning 法則修正式，可使參數間 的變異係數 （coefficient of variation）大幅 降低，見表二可確認C 與0 Q 相較於原本的0 C 與 Q 有小得多的變異係數。 經此步驟，已處理參數之變異性與相 關性，接下來便可以式(1)、式(2)配合逐週 次法為基礎來進行電腦模擬，並以參數 (m, 0 C ) 與 (b, Q ) 取代參數 (m, C) 與 (b, 0 Q)，且參數組皆為隨機變數 (其值在裂縫 成長過程中保持定值) 來進行電腦模擬流 程。Paris 法則模擬流程如下：
3 (1) 繪出所有實驗試片的m log− C數據點 於同一張圖。 (2) 針對所有數據點嵌合出最小平方誤差 直線方程式的斜率 Bˆ ，可得∆K0，其 中 B K0 10 ˆ − = ∆ 。 (3) 求得參數m、C ，其中0 m K C C0 = ∆ 0 。 (4) 針對施加相同荷重的試片數據組中參 數 m、C 求其常態、對數常態、韋伯0 分佈函數，並利用卡方測試求其最佳 嵌合函數。 (5) 利用蒙地卡羅法創造多組電腦模擬參 數（m、C ）。0 (6) 利用逐週次法配合式(1)得到多組電腦 模擬 a－N 圖。 針對去年度 30 片等振幅實驗試片所獲得的 數據與今年度 10 片等振幅實驗試片所獲得 之共兩組數據，按照以上模擬流程所創造 之 100 條（a−N）電腦模擬數據與實驗數 據比對於圖十、圖十一，從中可發現不論 是平均趨勢或是離散度趨勢，電腦模擬數 據皆可合適地涵蓋實驗數據。除此之外， 進一步引用可靠度分析方法可更深入觀察 電腦模擬數據與實驗數據間之異同。在此 分析中，有兩個重要之隨機分佈需求得， 一為裂縫成長至任一尺寸所需之循環週次 分佈，另一為任一循環週次下之裂縫尺寸 分佈，藉由這兩類分佈可詳細描述裂縫延 伸各階段下之平均趨勢與離散趨勢。分析 流程如下： (1) 針對電腦模擬 a－N 圖求相對應的常 態、對數常態、韋伯分佈函數，並利 用卡方測試求其最佳嵌合函數。 (2) 繪製電腦模擬數據 CDF (Cumulative Distribution Function)分佈圖，並與實 驗數據分佈圖比較。 為簡化符號，將等振幅實驗 30 片試片施力 狀態所創造出的 100 組裂縫延伸（a−N） 電腦模擬數據簡稱為「U 組電腦模擬」， 等振幅實驗 10 片試片施力狀態所創造出的 100 組數據稱為「V 組電腦模擬」，隨機振 幅實驗電腦模擬數據稱為「W 組電腦模 擬」，兩組等振幅實驗之 CDF 分佈於圖十 二至圖十五，從中可發現趨勢之吻合。
以 Yang & Manning 法則分析隨機振幅 實驗流程與上述模擬流程相似，差異僅在 於以a 代替0 ∆K0。裂縫延伸電腦模擬數據 與實驗數據比較於圖十六，CDF 分佈於圖 十七、圖十八，亦可發現電腦模擬數據趨 勢對應真實數據情況良好 四、計畫成果自評 本年度研究中，考慮兩套疲勞裂縫延 伸法則中參數的變異性與相關性，提出與 去年有所不同的修正式，並配合逐週次法 與蒙地卡羅模擬法，建立一系列電腦模擬 流程與分析流程，藉著結合疲勞裂縫延伸 預估式與可靠度分析，適切地嵌合三組實 驗數據。本電腦模擬流程可提供予航空完 整性評估之應用，以供往後相關工程設計 或分析者之參考；除此之外，本研究所得 之實驗數據可提供其他曾經或未來將提出 不同隨機疲勞裂縫成長模式之驗證機會。 五、參考文獻 [1] 蕭飛賓（召集人），航空、太空工程技術研究 發展規劃書，國科會工程處航空太空學門，民 國八十八年十二月。 [2] 苗君易等，航太科技教育改進計劃---九十年至 九十三年度先期規劃，教育部連航太學會網 頁，民國八十八年十二月三十日於台大應力所 報告。
[3] K. Ono, “Nondestructive Testing of Aging Aircraft,” Proceedings of the Fourth Far East Conference on Nondestructive Testing, pp. 3-18, Cheju-Do, Korea, October, 1997.
[4] C. C. Seher, etc., Special Session on Aging Aircraft, Proceedings of the Seventh International Fatigue Congress, Vol. IV, pp. 2499-2582, 1999. [5] M. Shinozuka, “Digital Simulation of Random
Processes and its Applications,” Journal of Sound and Vibration, Vol. 25(1), pp. 111-125, 1972. [6] J. N. Yang and S. D. Manning, “A Simple Second
Order Approximation for Stochastic Crack Growth Analysis,” Engineering Fracture Mechanics, Vol. 53, pp. 677-686, 1996.
[7] I. Hiroshi, I. Tetsuo and P. Y. Huang, “Experimental Estimation of the Probability Distribution of Fatigue Crack Growth Lives,” Probabilistic Engineering Mechanics, Vol. 8, pp. 25-34, 1993.
[8] F. Bergner and G. Zouhar, “A New Approach to the Correlation Between the Coefficient and the Exponent in the Power Law Equation of Fatigue Crack Growth,” International Journal of Fatigue, Vol. 22, pp. 229-239, 2000.
4 -13 -12 -11 -10 -9 -8 lo g 1 0 (Q ) Slope: -1.2860 Intersection: -4.2442 Index of fit: r = -0.987 constant 30 specimens constant 3 specimens constant 10 specimens random 25 specimens 圖三 等振幅實驗 10 片試片之da/dN−∆K圖 100 101 102 10-5 10-4 10-3 ∆K (MPa√m) d a /d N ( m m /c y c le ) log(da/dn)=1.55e-007 + 2.3741*log(∆K) ex perimental data points fitted line for median crack growth curve
圖四 隨機振幅實驗 25 片試片之da/dN−a圖 101 10-4 10-3 a (mm) d a /d N ( m m /c y c le )
ex perimental data points
圖五 等振幅實驗 10 片試片之da/dN−a圖 101 10-5 10-4 a (mm) d a /d N ( m m /c y c le )
ex perimental data points
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 -9.5 -9 -8.5 -8 -7.5 -7 -6.5 -6 -5.5 m lo g1 0( C ) Slope: -0.9893 Intersection: -3.9287 Index of fit: r = -0.992 constant 30 specimens constant 3 specimens constant 10 specimens 圖六 m−log10C之關係圖 表一 四組實驗參數相關係數之比較 表二 四組實驗參數之變異係數比較 0 2 4 6 8 10 12 14 16 x 104 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 Cy cles C ra c k s iz e (m m ) 圖一 隨機振幅實驗 25 片試片之 a-N 圖 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x 105 18 20 22 24 26 28 30 32 34 Cy cles C ra c k s iz e (m m ) 圖二 等振幅實驗 10 片試片之 a-N 圖 26 28 30 32 34 C ra c k s iz e (m m ) o
5 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 C D F left to right: a=20.5 mm a=23.0 mm
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