國小六年級因數與倍數試題分析研究

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系 國小教師在職進修教學碩士班碩士論文 指導教授:許天維 博士. 國小六年級因數與倍數試題分析研究. 研究生:周素萍 撰. 中華民國一百年六月.

(2) 國小六年級因數與倍數試題分析研究 摘 要 本研究旨在探討學童在建造因數與倍數概念時會有何系列性結構,因此 我們以國小六年級學童為研究對象,採用紙筆測驗的方式,透過試題檢核表 及雙向細目表等對本次試題作質的分析;其次將施測結果進行統計分析以了 解個別試題的難度、鑑別度、信度及效度;最後再運用試題關聯結構分析法 進行量的考驗,並根據其結構圖所呈現的結果,來探討國小六年級學童因數 與倍數概念結構,有以下幾點發現: 一、由IRS 的結構圖顯示7的倍數是11的倍數之下位概念,學童在「7」的倍 數概念比「11」的倍數概念較感容易。 二、多數學童在公倍數概念發展上已經具備,教師可於課堂中加入高階的計 算能力的練習。 三、倍數為下位概念,而因數為上位概念,學童學習因數倍數單元時,先引 入倍數教材再引入因數教材,更符合學童的認知發展。 四、學童在各子概念試題中,常犯的錯誤為: (一)學童較易陷入於「0」、「1」之迷思概念。 (二)部分學生缺乏學生因數、倍數互逆的概念及對文字的理解能力, 以至無法正確解釋因數倍數之關係。 最後綜合並根據上述研究結果,提出若干建議,作為未來進行本課程教學及 研究之參考。. 關鍵詞:因數、倍數、試題關聯結構分析法. I.

(3) A study on factor and multiple concepts for the sixth graders by using the item relational structure analysis Abstract This study explores the differences between the knowledge construct of sixth graders in learning the concept of factor and multiple. First, by using a test with the item check list and two-way specification table investigated our test for qualitative analysis. Next, apply statistical analysis with testing results to realize difficulty, discrimination, reliability, and validity of each item. Finally, carry on the quantity again using the Theory of Item Relation Structure, and present structure drawings , we get the conception structures of sixth graders and have some findings as follows: 1. The structure graph of IRS shows that 7 multiples are lower position than 11 multiple, the schoolchild feels easily in “7” multiple concept . 2. The teacher may join the higher multiple concept computing power practice in the classroom. 3. “Multiple” is the lower position concept, and “factor” is the upper position concept. It would conform to schoolchildren's cognition development from the introduction of “multiple” concept to the introduction the concept of “factor”. 4. Under examination of each sub-concept, we generalize some mistakes that schoolchildren often make as follows: (1)The schoolchildren are easy to have misconception in “0”and “1”. (2)The partial students lack of reciprocal concept between “factor” and “multiple” and the writing understanding ability. Based on the results of the study, several suggestions are offered as reference for educators and future research. Key word: factor, multiple, Item relational structure. II.

(4) 目. 錄. 第一章 緒論 .................................................................................................................. 1 第一節 研究動機 .............................................................................................. 1 第二節. 研究目的 .............................................................................................. 6. 第三節. 名詞釋義 .............................................................................................. 6. 第四節. 研究限制 .............................................................................................. 7. 第二章 文獻探討 ........................................................................................................ 9 第一節 兒童因數與倍數概念研究 .................................................................. 9 第二節 因數與倍數國小數學課程標準 .............................................................. 13 第三節 因數與倍數概念相關研究 .................................................................... 18 第四節 試題分析理論 ........................................................................................ 32 第三章 研究方法與步驟 .......................................................................................... 47 第一節 研究架構 ............................................................................................ 48 第二節 研究對象 ............................................................................................ 49 第三節 研究工具 ............................................................................................ 49 第四節 研究流程 ............................................................................................ 55 第五節 資料處理 .................................................................................................. 56 第四章 研究結果與討論 ............................................................................................ 57 第一節 試題性質分析 ...................................................................................... 57 第二節 試題關聯順序性係數之分析 .............................................................. 60 第三節 試題關聯結構圖之分析與討論 .......................................................... 62 第五章 結論與建議 ................................................................................................ 79 第一節 結論 ...................................................................................................... 79 第二節 建議 .................................................................................................... 81 參考文獻: 參考文獻: .................................................................................................................... 84 附錄: 附錄 : ............................................................................................................................ 91 附錄一 (預試) 因數與倍數理解能力測驗 ......................................................... 91 附錄二 (正式) 因數與倍數理解能力測驗 ......................................................... 96 附錄三 選擇題試題題本檢核表 ........................................................................ 101 附錄四 國小六年級學童因數與倍數概念試題專家效度調查問卷 ................ 103 附錄五 因數與倍數在教材中的地位-南一....................................................... 107 附錄六 因數與倍數在教材中的地位-康軒....................................................... 108 附錄七 因數與倍數在教材中的地位-翰林....................................................... 109 附錄八 試題關聯順序性係數一覽表 .................................................................110 附錄九 順序性係數之 0-1 矩陣表 .....................................................................111. III.

(5) 表. 次. 表 2-1 九年一貫「數與量」主題有關因數與倍數概念之能力指標 .......... 14 表 2-2 九年一貫「數與量」主題有關因數與倍數概念之分年細目 .......... 15 表 2-3. 各家版本因數與倍數教材分析表 ................................ 17. 表 2-4. 因數與倍數的相關研究 ........................................ 19. 表 2-5. A 組學生得分情形 ............................................ 36. 表 2-6. B 組學生得分情形 ............................................ 36. 表 2-7 表 2-8 表 2-9 表 2-10 表 2-11 表 2-12 表 2-13 表 3-1 表 3-2 表 3-3 表 3-4 表 4-1 表 4-2. A 組學生得分簡表 ............................................ B 組學生得分簡表 ............................................ A 組學生總分排序簡表 ........................................ B 組學生總分排序簡表 ....................................... A 組試題答對人數總分排序簡表 ............................... B 組試題答對人數總分排序簡表 ............................... 試題 i 與試題 j 答對與答錯的人數統計表 ...................... 因數與倍數相關概念命題雙向細目表 ............................ 預試樣本人數 ................................................ 預試工具之項目分析 .......................................... 預試題目與正式施測題目修改前後對照表 ........................ 正式施測試題之難易度與鑑別度 ................................ 整體試題關聯結構圖之橫斷層面分析 ............................. IV. 37 37 38 38 39 39 41 49 50 52 53 59 62.

(6) 圖. 次. 圖 2-1 試題關聯結構圖簡化(一) ....................................... 40 圖 2-2 試題關聯結構圖簡化(二) ....................................... 40 圖 3-1 研究架構圖 ................................................... 48 圖 3-2 研究流程圖 ................................................... 55 圖 4-1 群體受試者之試題關聯結構圖 ................................... 64 圖 4-2「因數知識」子概念試題關聯結構圖 .............................. 66 圖 4-3「公因數知識」子概念試題關聯結構圖 ............................ 圖 4-4「質數合數知識」子概念試題關聯結構圖 .......................... 圖 4-5「倍數知識」子概念試題關聯結構圖 .............................. 圖 4-6「公倍數知識」子概念試題關聯結構圖 ............................ 圖 4-7「記憶向度」子概念試題關聯結構圖 .............................. 圖 4-8「了解向度」子概念試題關聯結構圖 .............................. 圖 4-9「應用向度」子概念試題關聯結構圖 .............................. 圖 4-10「分析向度」子概念試題關聯結構圖 .............................. V. 68 69 70 72 74 75 76 78.

(7) 第一章 緒論 本研究旨在應用試題關聯結構分析法(Item relational structure, 簡稱 IRS),探討國小六年級學童因數與倍數概念結構,並以此編製因數與倍數概 念測驗,用來檢測國小六年級學童在因數與倍數概念的能力表現,其結果可 做為教學者實施補救教學之參考。本章分為四節,依序為研究動機、研究目 的、名詞定義、研究限制等四節。. 第一節. 研究動機. 近年來,國民小學之課程傾向生活化,以學生為學習主體,尊重適性發 展,以終身學習為教育的目標。我們知道「數學」是一切科學之母,各種學 科課程舉凡物理學、化學、天文學、地球科學、資訊電腦及太空科學的基礎 均以數學的理論為根基。發明家培根(Roger Bacon,1214-1294)也曾說過: 「Mathematics is the gate and key to the sciences. 『數學是進入科學的門和鑰 匙。』」日常生活中包括圖形、測量、統計、買賣、記帳、旅行費用規劃等, 或多或少都要用到數學的概念或技能,顯示數學無所不在;可見數學不只是 學校眾多領域中的一個學科領域,更與我們的日常生活息息相關,與其說數 學是日常生活中的一種技能,不如說是擁有正確的數學概念,才能在生活中 運用自如。 八十二年版的國民小學數學課程(教育部,2003)即明確指出:要落實學生 為本位的觀點,認為只有在學童主動參與教學活動下,學習才會發生;並且 將數學視為解題的活動,強調學習者主動的從自己的經驗中,建構與理解數 學概念,了解、評鑑及尊重別人解題的方式與觀點,培養以數學溝通、討論、 講道理和批判事物。因此,八十二年版數學課程標準在教育目標方面凸顯「兒 童本位」及「民主素養」,在學科目標方面著重「解題為本」、 「活動取向」 。 九年一貫課程是八十二年版的延續和擴充;課程理念由「學科中心」轉. 1.

(8) 向「學生中心」,教材組織由「學科組織邏輯」轉向「學科發生邏輯」,教學 方法由「講述式教學」轉向「討論式教學」(鍾靜,1999、2000)。再則九年 一貫中強調數學能力是國民素質的一個重要指標,臺灣學生屢屢在國際比賽 中嶄露頭角,讓世界看見臺灣學生優異的表現,因此,要把每一位學生都帶 上來,是九年一貫及國家教育政策的理念,讓每位學生充分認識重要的數學 概念及提升厚實數學能力。教育工作者應提供學生做有意義及有效率學習的 機會,使學生能學好重要的核心數學題材,並能依循九年一貫課程目標,循 序漸進學好國小的核心數學題材,因為這些重要的數學概念,是九年一貫所 強調可以「帶著走」的能力。課程目標的達成,可以培養學生的演算能力、 抽象能力、推論能力及溝通能力和學習應用問題的解題方法,奠定國高中階 段的數學基礎,並希望能培養學生欣賞數學的態度及能力。 每位教師在教學活動結束後,需要研究的課題是學童是否真正理解數學 概念及如何提升其計算能力、抽象能力及推理能力,因此,在國小階段的數 學課程中,數與量概念的學習非常重要,特別是在五、六年級課程學習中。 其中「因數與倍數」概念一直是學生學習數學倍感困難的單元之一,進入國 中階段,因數與倍數的學習加深加廣,往往造成學生學習上的挫敗和障礙, 甚至感到討厭或排斥(陳清義,1995;黃國勳,2004 )。為了讓教師瞭解學童在 因數與倍數概念學習的發展情形,研究者參考相關書籍編製一套完善的因數 與倍數概念試題,來偵測學童的概念發展,以利教師了解學童概念迷失之情 形,並進行補救教學。研究者擔任國小五、六年級數學教學時發現,學生在 五年級學習因數、公因數、倍數及公倍數單元時,部分學生對於上述相關概 念並不清楚,尤甚是公因數及公倍數應用問題類型常有遺忘或迷思概念的現 象,這些問題常在評量時一一出現,其他任教五、六年級老師也反應有相同 情形。九年一貫國小「數與量」主題中有關因數與倍數的能力指標明確指出: 在五、六年級時,能理解因數、倍數、公因數與公倍數、能認識質數、合數,. 2.

(9) 並能用短除法做質因數分解及能認識最大公因數、最小公倍數與兩數互質的 意義,並用來將分數化成最簡分數。然而因為五年級學生學習因數及倍數, 只有初步的概念,不如六年級學生深入,故本研究決定以國小六年級學生為 研究對象,以因數和倍數教材為研究重點,透過因數與倍數概念測驗,了解 學生在解題時的能力表現,探討學生在處理因數和倍數概念問題困難所在, 讓教師能更精確掌握學生之學習狀況,以期能提供教師未來補救教學之參考。 根據民國 98 年公佈的國小數學新課程標準,分為「數與量」 、 「幾何」 、 「代 數」 、 「統計與機率」和「連結」等五大主題。 「數與量」的概念可以分為整數、 分數及小數三類,在數學課程中可說占了極為重要的部分,而因數、倍數之 相關學習,更對於未來數學的學習,有極大的影響。特別是五年級的重點在 整數部分是認識因數、倍數、公因數及公倍數;而在 97 年版課程綱要中,國 小九年一貫數學領域五年級課程目標是能理解因數和倍數;能認識兩數的公 因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數。六年級課程目標是能認識質數、 合數,並用短除法做質因數的分解(質數<20,質因數<20,被分解數<100) ; 能用短除法求兩數的最大公因數、最小公倍數;能認識兩數互質的意義,並 將分數約成最簡分數。國中九年一貫數學領域能理解質數的意義,並認識 100 以內的質數;能理解因數、質因數、倍數、最大公因數和最小公倍數,並熟 練質因數分解的計算方法;能理解因數、質因數、倍數、公因數、公倍數及 互質的概念,並熟練質因數分解的計算方法。以各版本因數教材地位來看, 因數概念對於往後數學的學習是重要的,因數除了是等值分數的先備知識, 也是比例概念的基石( 劉祥通、周立勳,1999) , 更是往後學習因式、倍式、 多項式、因式分解、數列與級數的重要基礎,這些再再證明國小因數與倍數 的學習是將來數學的基礎。 根據許多研究指出,學習「因數」概念學生易犯的錯誤或迷思概念如下: 轉譯文字題的題意有困難、粗心而出現遺漏或多選的情形、名詞混淆不清或. 3.

(10) 對陌生名詞的不瞭解(黃寶彰,2003); 混淆不清、概念遺漏與概念錯誤(林 珮如,2002); 先備知識不足、概念錯誤、粗心、概念混淆不清、利用關鍵字 解題、直觀法則、語文知識不足、問題轉譯能力不足、策略知識不足、不當 的遷移(周文忠,2002);乘除運算概念錯誤、語言概念存在錯誤、策略概念 錯誤(陳標松,2003);只思考一個數的特性(如:質數)比思考二個數的關 係(如:互質),對學童而言是較困難,許多學童在「1是否為質數?」產生迷 思、由除法算式引入因數概念會比由乘法算式引入更容易使學童接受、近30 %的學童沒有具備周延的過程概念,未具備隱藏性知識的概念,無法彈性思 考解題過程中隱藏性知識的意義、近20%的學童在思考「因數」時,常會把 因數的基本成員「1」給遺忘。(施美多,2007)。 然而其他研究也顯示學生學習「倍數」概念易犯的錯誤或迷思概念如下: 國小學童在解倍數相關知識時,會因為先備知識不足、概念理解不清楚、解 題執行不正確或不解題意等原因,而造成倍數相關概念混淆、概念遺漏或概 念錯誤的迷思概念類型(邱慧珍2002);部分學童對因數與倍數的觀念模糊 及專有名詞混淆、學生缺乏因數倍數互逆的概念、部分學童常會以為任意兩 數的公倍數即為兩數互乘、學生對於0這個數字容易產生誤解、由乘法算式引 入倍數概念會比由除法算式引入更容易使學童接受、此班有25%的學生仍舊有 理解各基本概念的困難(施秀麗,2007)。 有鑑於上述所提及原因,加上因數與倍數概念是學生學習數學備感困難 的單元之一,因為它們的概念相當抽象,在學生的生活經驗中也缺乏與因數 及倍數概念結合的活動,也是老師教學頗感困難的題材(王詩惠,2003) 。此 外,學習因數與倍數概念時,容易因為學童的乘除能力計算不足,導致解題 時發計算錯誤。Piaget認知發展理論中,7-11歲屬於具體運思期 (Concrete-operation Stage),國小五年級學童初學因數與倍數概念尚無法作抽象 思考,而六年級學童進入形式運思期(Formal-operational Stage),已經能作抽象 思維。因此配合學生的認知發展順序,在不同認知發展階段,有不同的教學. 4.

(11) 方式,例如:具體運思期要注意實物教學、形式運思期提供學生運用符號抽 象思考的機會。根據許多研究發現,國小學童的因數、公因數、倍數及公倍 數的解題能力表現並不理想(游麗卿,1998;黃耀興、邱易斌,1999;謝堅, 1997;蕭金土,1995)。近年來也有許多研究發現學童在學習因數、公因數、 倍數及公倍數時所存在著各種不同迷思及可能的原因(吳彥廷,2005;周文忠 ,2002;林珮如,2002;邱慧珍,2002;施美多,2006;陳清義,1995;陳 標松,2003;黃寶彰,2003;黃國勳、劉祥通,2003;Mayer, 1992; NCTM,2000; Nevin, 2002; Vergnaud, 1983)。許多國小中低程度學生往往因為無法有系統學 習因數與倍數概念而遭遇瓶頸,導致往後的數學學習產生先備知識不足的問 題,更加深他們上了國中之後,對於數學學習的挫敗以及排斥感(陳清義,1995 ;黃國勳,2004)。且由於數學課程內容隨年級增長越來越抽象,學生無法應 付時,他們學習數學的興趣逐漸低落。因此,有研究者提出教學方法,利用 學習策略、教學補救等方式,以改善學童學習困難與迷思概念(于國善,2004 ;王詩惠,2004;蕭正洋,2004;謝哲仁、林榮貴,2006)。 而在這幾年的教育改革中,82年課程的改革、92年課綱到97年課綱,教 學方法與課程標準的改變是否幫助學生正確學得因數與倍數概念?我國九年 一貫課程綱要提及學生能力的發展始於流利的基礎運算和推演、對數學概念 的理解,然後懂得利用推論去解決數學問題,包括理解和解決日常問題,以 及在不熟悉解答方式時,懂得自尋解決問題的途徑。美國數學教師協會( National Council of Teachers of Mathematics, 簡稱NCTM)在2000年出版的「學 校數學課程準則與標準」中也提到,如果選擇適當活動讓他們挑戰,學生會 對自己處理困難問題的能力更有自信,更渴望能自己搞清楚問題,在探討數 學概念、嘗試其他解決途徑時會更加靈活,更願意堅持到底,即孩子們學習 數學時需要理解。因此,進行國小學童因數與倍數概念結構的研究,以學習 者為主體,培養學生正向的數學態度,數學領域教學(含教材、課本及教學法) 應配合學童不同階段的需求,協助學童數學智能的發展,並提供適當補救教 學教材供教學者參考,實是必要與必行的議題。. 5.

(12) 第二節. 研究目的. 基於以上敘述,本研究就因數與倍數相關概念,擬以國小六年級學童為 研究對象,透過數學測驗的編製技術,建置具有良好試題特性的因數與倍數 概念測驗工具,再經由學童的測驗結果,以日本學者竹谷誠所發展的試題關 聯結構分析法(Item relational structure, 簡稱IRS),畫出學童因數與倍數概念 的結構圖,並藉由此概念結構圖所呈現之訊息,來探討學童的群體在因數與 倍數的學習經驗與能力上的表現,進而了解國小學童在因數與倍數概念之理 解程度,以提供課程設計者及教育工作者在進行因數與倍數相關教學活動時 的參考。玆將具體的目的分述如下: 一、編製一符合良好信度與效度的國小學童因數與倍數概念整合性測驗工具。 二、運用試題關聯結構分析法來分析受試者的試題關聯結構圖。 三、根據分析結果,歸納出常犯的錯誤,提供國小六年級學童因數與倍數學 習補救教學之方向。. 第三節. 名詞釋 名詞釋義. 本研究中因數與倍數係指根據教育部公佈的「九年一貫課程數學課程綱 要」92 年課綱修訂標準有關因數與倍數之界定: 一、因數與倍數:即一正整數 a 若能整除另一正整數 b,a 稱為 b 的因數,b 稱為 a 的倍數。 二、公因數、最大公因數:即一正整數 a 同為兩個以上正整數的因數時,則 a 為這些數的公因數。在所有公因數中最大者稱為最大公因數。 三、公倍數、最小公倍數:即一正整數 a 同為兩個以上正整數的倍數時,則 a 稱為這些數的公倍數。在所有公倍數中最小者稱為最小公倍數。 四、質數:所謂質數係指一大於 1 的正整數只有 1 及本身兩個因數時,稱為 質數。. 6.

(13) 五、合數:又稱合成數,大於 1 的正整數中不是質數者稱之。 六、互質:兩正整數若除了 1 以外無其他公因數,則稱此兩數互質。 七、質因數:某數的因數如果也是質數,稱為該數的質因數。 八、短除法:判別一數或一數以上的因數時只寫出除數和商,並不詳細運算 除法過程,如:. 九、其計算型態為短除法。若除數皆為質數,其過程即稱為質因數分解。. 第四節. 研究限制. 基於人力、物力、時間等因素,本研究有若干限制之處,茲分述如下: 一、研究法的限制 本研究本研究是採用量的研究方法論,採紙筆測驗方式,以單選的選擇 題方式來呈現,因此計分方式對於未作答或不同於正確選答的反應均以零分 計算,對於學童因數與倍數概念想法上無法完全了解,如果時間、資源允許, 應該透過個別訪談的方式了解學生解題思考的想法,會對學生因數與倍數概 念有更清楚的認識。 二、研究工具的限制 本研究中的研究工具自編測驗「因數與倍數概念之測驗」,依因數與倍 數概念出題,內容多取材於九年一貫課程綱要國小六年級教科書中。因此本 研究僅限於在上述內容情境下。再者學童會隨著不同的題目內容,意境便可 能有所差異,而影響學童數學表現,文字內容即為其中之一。因此,為求研 究的嚴謹,僅能限制在此方面來討論。 三、研究範圍與對象限制. 7.

(14) 本研究在探討國小六年級因數與倍數試題分析研究,受限於人力、時間 和經費,以臺中市某國小六年級二個班級的學生為研究對象,故對於臺中市 以外之國小六年級學童因數與倍數概念,不宜過度推論。. 8.

(15) 第二章 第一節. 文獻探討. 兒童因數與倍數概念研究 兒童因數與倍數概念研究. 在八十二年國民小學數學科課程標準教材綱要中的「數與計算」部份, 所介紹的因數與倍數內容僅僅只有因數、公因數的認識、倍數、公倍數的認 識,和六十四年版相較之下,它少了最大公因數、最小公倍數、質數與合數、 因數分解與質因數分解、短除法以及 2、3、5、11 等質因數的判斷法等內容 (吳育楨,2008)。九十七年國民小學數學科課程標準教材綱要將能理解質 數、質因數分解、最大公因數、最小公倍數、互質的意義及能熟練求質因數 分解、最大公因數、最小公倍數的短除法,並將以上相關概念運用於解決生 活中的問題。以下針對九十七年國民小學數學科課程標準教材綱要數與計算 部份,與因數倍數有關教材予以介紹,以明瞭因數與倍數相關教材及活動的 設計與處理方式。(謝堅,1995). 一、因數問題 求某一數的因數就解題和運算來看,並不像加、減、乘、除或四則運算 那麼簡單,只是求得一個合理的答案,謝堅(1995)提出因數需要逐一判斷或運 算,以「窮盡」一個數可以被整除的所有情況,若有遺漏答案就殘缺不完整。 八十二年課程中幫助學童逐步形成因數的概念乃透過下列三種問題情境(謝 堅,1995):(一)在方陣排列問題中,探討給定總量的方陣之可能排法,讓學 童經驗給定總量的方陣不同的排法;(二)在包含除及等分除的情境問題中,給 定總量,要求學童回答可能的等分組方式,幫助學童掌握總量可以由哪單位. 9.

(16) 量組成的意義;(三)在倍的問題情境中,給定總數,要求學童解決可能組成單 位量的數值問題,幫助學童掌握哪些單位量可以組成總量的意義。除此之外, 亦透過限制使用除法算式來記錄解決前述問題解題過程的方式,希望學生在 各種情境問題中,都能掌握總量可以由哪些單位量組成的意義,並形成以總 量為起點,使用「除法算式」記錄解題過程的共識。在課程中不希望學生以 部分的觀點,透過合成的方式來看問題,而是希望學生用全體的觀點,透過 分解的方式來看問題。 在因數課程安排上,由情境問題進入,探討因數的意義,待學生累積足 夠的經驗後,再正式引入因數的意義(于國善,2004;謝堅,1995)。倘若直接 由數的情境進入因數的意義,學生會出現很大的不適應,因為數的本身相當 抽象,而學生的測量運思尚未發展完全,無法將等分除與包含除視為相同的 問題(黃國勳、劉祥通,2003;謝堅,1995)。在教導因數時,先由乘法的觀點 切入,藉由乘法規則讓學童知道「被乘數×乘數=積」和「因數」關係,接著 再讓學童利用除法的技巧來找出並檢驗某數是否為另一數的因數,並讓學童 從解決包含除及等分除的問題中,解決剛好分完的情況來建立因數的概念(教 育部,2003)。 九十七年國民小學數學科課程標準教材綱要中提及學生在解題、理解數 學概念時,經常需要先有適當的範例、應用來提示與引導,這些情境我們都 稱之為具體情境(對應於「認識」與「理解」)。在小學的中低年級,課程中具 體情境有相當多部分與生活相結合,也會使用較多之具體物當做教具,因此 並學生學習問題較少。但隨著學生年齡增長,熟習表徵(例如:乘法的排列模 型)或較抽象的思考(例如:數字感)隨之增加,學生學習數學時,所依賴的具 體情境,就不見得是生活情境。例如:學生在五、六年級學因數、倍數或質. 10.

(17) 數課題時,最恰當的具體情境,就是學生對整數性質的熟悉,而不是日常生 活的問題。. 二、倍數問題 在數學上,如果 a 是 b 的倍數(b 是 a 的因數),則 a,b 要滿足下列三個條 件:(一)a,b 都是整數;(二)b≠0;(三)存在一個整數 q,滿足 a=b×q(教育部, 1993)。在倍數方面,高年級學生已有足夠的倍數解題經驗,也習慣倍數的數 學語言,因此可以直接引入倍數的意義,在課程中透過乘數未知的乘法算式 填充題「2×( )=10」,先要求學童解題,再經由語言的轉換,2 的 5 倍是 10, 所以 10 是 2 的 5 倍,引入倍數的意義。在國小因數與倍數課程中經常被提及 之問題「2 是否為 0.2 的倍數?」、 「0 是否為 2 的倍數?」 、「0.2 是否為偶數?」 等問題在上述定義中能獲得澄清。當然這和日常生活所談論的倍數關係是不 同的。. 三、因數和倍數的關係 在數學上因數與倍數的關係是以除法原理(若有a、b 兩個正整數,則必可 找到q、r兩個非負整數,滿足a=b×q+r的關係,且b>r≧0)為基礎,透過判斷 a是否能整除b(餘數是否為0)的方式,也就是我們將因數與倍數定義為: 「設a、 b是兩個正整數,若a=b×q+r,其中q 是正整數且r=0,則稱b 是a的因數, 或稱a是b的倍數」(教育部,1993)。 對測量運思尚未發展完全的學童而言,若直接透過因數的意義來引入倍 數(若b是a的因數,就等同於a是b的倍數),並不易掌握因數與倍數的相對關係 (黃國勳、劉祥通,2003;黃耀興、邱易斌,1999),然而由於成人已發展出測 量運思,因此可以彈性地互換單位量與單位數的角色,並已瞭解乘法、除法. 11.

(18) 互為逆運算的關係,掌握因數與倍數的相對關係,明白a是b的因數時,b 就是 a的倍數的意義。因此在課程安排上,建議不採用此方式來介紹倍數,而利用 不同的角度引入因數與倍數的意義。謝堅(1995)建議透過下列活動,有助於培 養學童測量運思的發展:(一)透過判斷一個整數是否為其因數的整數倍的方 式,讓學童察覺此整數為其所有因數的倍數;(二)透過先求出某數所有的因 數,再判斷該數是否為其所有因數的倍數的方式,幫助學童察覺一數是其所 有因數的公倍數;(三)透過解決兩數相乘問題,幫助學童察覺兩數相乘的積數 為兩數的公倍數,並希望學童能不經過計算的過程,就直接能判斷兩數相乘 的積數為兩數的公倍數。上述方法除了可幫助學童察覺因數與倍數間的相對 關係,並且提供學童數概念乘法性結構經驗。. 四、公因數和公倍數的問題 謝堅(1995)認為倍數與因數問題一樣,在課程安排上也透過下列三種問題 情境,幫助學童逐步形成公因數的概念:(一)在方陣排列問題中,探討兩個方 陣的可能連接方式;(二)透過包含除及等分除的情境問題,先要求學童分別找 出兩相異量各自的可能等分組的方式,再透過比較各自的等分組方式,解決 等分組的可能數值問題;(三)在倍的問題情境下,給定兩總量,透過比較各自 可能的單位量數值,找出相同單位量的可能數值。希望學童在各種情境問題 中,都能解決兩總量可以有哪些相同單位量的問題,來為形成公因數的概念 舖路。而透過先分別找出兩個數的所有因數,再從中找出公因數,從公因數 求法中來讓學童知道公因數的意義。課程安排學童開始學習公因數意義時, 經驗公因數是兩數共同的因數,待學童確實掌握公因數的意義後,再嘗試其 他的解題策略。 相同的,以探討一個指定正整數有哪些倍數為基礎,可以探討兩個正整 數有哪些共同的倍數的問題,這些共同的倍數稱為公倍數。當學童已有求出. 12.

(19) 某數在某一數量範圍內的所有倍數,以及求取兩數公因數的經驗後,應該也 能夠掌握公倍數的意義。. 第二節 因數與倍數國小數學 因數與倍數國小數學課程 數學課程標準 課程標準 壹、NCTM(2000)的課程標準 NCTM(2000)的課程標準中有關因數與倍數的課程標準簡單敘述如下: (一)能根據數字的性質描述其特性:辨別不同的數字有不同的特性,例如:能 被2 整除的數,叫做偶數;或是只有兩個因數的叫做質數。 (二)能分析因數、倍數和質數來解決問題:對因數、倍數與質數進行演算與分 析,完成問題的解決程序或推論。如:說明為什麼任何數只要將各個數字加 起來,總合是 3 的倍數,則該數必能被 3 整除。. 貳、我國九年一貫課程綱要 為了促進教學現場教師之教學效能,並增習學生學習成效在民國100年即 將開始實施之新的「九年一貫課程綱要數學學習領域」 ,將其分為四個階段: 第一階段為國小一至二年級,第二階段為國小三至四年級,第三階段為國小 五至六年級,第四階段為國中一至三年級;反觀現行課程綱要中將數學領域 分為四個階段:階段一為一至三年級,階段二為四、五年級,階段三為六、 七年級,階段四為八、九年級,學童往往在銜接國中小課程中產生挫折感。 另外數學內容分為「數與量」、 「幾何」、 「代數」 、「統計與機率」、 「連結」等 五大主題。能力指標以三碼編排,其中第一碼表示主題,分別以字母N、S、 A、D表示「數與量」、「幾何」、 「代數」和「統計與機率」四個主題;第二碼 表示階段,分別以1、2、3、4表示第一、二、三、四階段;第三碼則是能力 指標的流水號,表示該細項下指標的序號。指標雖以主題與階段來區分,仍 有若干能力指標採跨主題方式同時編列,如「數與量」 、「幾何」 ,以強調其連. 13.

(20) 結,此類指標皆以相關連結編碼註記。第五個主題「連結」亦以三碼編排, 第一碼以字母C表示主題,第二碼分別以字母R、T、S、C、E表示察覺、轉化、 解題、溝通、評析;第三碼流水號,表示該細項下指標的序號(教育部,2008)。 茲就上述五大主題,條列數學學習領域中之第二階段(國小四至五年級)以及第 三階段(國小六年級至國中一年級階段)之能力指標及其分年細目做說明: 表 2-1 九年一貫「數與量」主題有關因數與倍數概念之能力指標 N-2-04 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 N-3-01 能認識質數、合數,並做質因數分解。 N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義,並用來將分 數約成最簡分數。 課程綱要的能力指標係依主題及階段學習能力而訂定,然因多數指標須採分 年進階式教學方能達成其教學目標。因此,由階段能力指標演繹出更細緻的分年 細目及詮釋,以利分年進階式教學進度目標的明確掌握。 能力指標、分年細目與本綱要附錄二「分年細目詮釋」之內容應為教師教學 及教科書編輯的主要參考依據。此外,教師教學及教科書編輯亦可依詮釋內容為 基礎,在深度與廣度方面做適度的延伸。國小五、六年級階段及國中一年級階段 在因數與倍數的學習為一完整學習,從認識、理解到應用,學生依此細目循序漸 進學習每一環節。. 14.

(21) 表 2-2 九年一貫「數與量」主題有關因數與倍數概念之分年細目 分年細目. 階段 能力指標. 5-n-03 說明:. 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。. N-2-04. 以 1-n-07(幾個一數),2-n-08(九九乘法) ,3-n-04(除法) 為前置經驗,理解因數、倍數的概念。  用列表的方式,尋找兩數的公因數與公倍數。學童應知 道兩整數的乘積一定是此兩數的公倍數。. 6-n-01. 能認識質數、合數,並作質因數的分解(質數<20,質因 數<10,被分解數<100)。. 說明:. 在 5-n-03,製作整數的因數表時,可以發現有一些整數不 能再被分解,這些數稱為質數,他們的因數只有 1 與自己而 已。大於 1 且不是質數的整數(或有 3 個以上因數的整數) 稱為合數。  在對一數做因數分解的練習裡,發現遇到質數就必須停 下來。同時在紀錄分解的樣式及整理中(此時的質因數乘積 不寫成指數形式),發現不管怎麼分解,形式都一樣。  例:60=6×10=(2×3)×(2×5)=2×2×3×5,或 60 =15×4=(3×5)×(2 ×2)=2×2×3×5=22×3×5 等。 (★)  牽涉因數分解的細目(參見 6-n-02) ,都應遵循如下原 則:質因數<10,被分解數<100。  讓學童熟悉 20 以內的質數之倍數(小於 200)。並可從 活動中,讓學童掌握 2、3、5 的倍數規則。. 6-n-02. 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意 義,理解最大公因數、最小公倍數的計算方式,並能將分 數約成最簡分數。. 說明:.  最大公因數、最小公倍數的初步教學,以列舉觀察為 主,熟悉其意義(5-n-05)。本細目則更進一步以 6-n-01 求質因數的短除法經驗,發展以短除法計算兩數最大公 因數與最小公倍數的方法,數目大小原則參見 6-n-01。. N-3-01. N-3-02.  學童應在過程中觀察到互質的意義(6-n-03)。 . 小學只處理兩個數的最大公因數和最小公倍數。. 7-n-09. 能理解質數的意義,並認識 100 以內的質數。. 說明:. 能理解質數的定義,並能檢驗 100 以內的任何數是否為質 數。. 15. N-3-01.

(22) 表 2-2 續 7-n-10. 能理解因數、質因數、倍數、最大公因數和最小公倍數, 並熟練質因數分解的計算方法。. 說明:. 能由尋找正整數的正因數和正倍數的過程理解短除法、和質 因數分解的計算方法。  教學以熟練質因數分解的計算方法為主,正整數位數不 宜過高。  例:48 的標準分解式: 2 48 2 24 2 12 2 6 3 所以 48 = 2×2×2×2×3(或 2.2.2.2.3) ,其中 2、3 稱 為 48 的質因數,而 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 皆為 48 的因數,且 48 則為 1、2、3、4、6、8、12、16、 24、48 的倍數。  例:求 36,48 的的最大公因數。 仿上,36 的因數有 1、2、3、4、6、9、12、18、36,則 兩數最大公因數為 12,亦可簡化兩者的因數分解為: 2 36 48 2 18 24 3. 9 12 3 4. 則兩數的最大公因數(36,48)= 2×2×3 = 12,而兩數的 最小公倍數 [36,48] = 2×2×3×3×4 = 144。  做正整數的質因數分解時,其質因數以不大於 47 為宜。  能解相關應用問題。 例:一數既是 2 的倍數,也是 3 的倍數,那麼一定也是哪 個數的倍數?為什麼?. 資料來源:教育部 92 課程綱要. 16. N-3-02.

(23) 三、現行國小數學課程教材分析 表 2-3 各家版本因數與倍數教材分析表 南一 第九冊. 康軒. 翰林. 單元2因數和倍數 單元4因數與倍數 單元 因數和倍數 單元 因數與倍數 理解因數、公因數和 認識因數、公因. 單元1公因數與公倍數 單元 公因數與公倍數 認識倍數、公倍數、. 倍數. 數、倍數. 因數、公因數. 判別 2、3、5、10 的倍數. 因數和倍數的關係 判別 2、5、10 的倍數. 第十一冊 單元1最大公因數和 單元1最大公因數與 單元 最大公因數與 單元 最大公因數和 最小公倍數 最小公倍數 認識質數、合數與 質數和合數 認識質因數,並能做 質因數 認識最大公因 質因數分解 最大公因數、最小公 數、最小公倍數 倍數. 單元3最大公因數與最 單元 最大公因數與最 小公倍數 質數與合數 質因數與質因數分 解 最大公因數與互質 最小公倍數的應用. 資料來源:研究者自行整理 根據南一(附錄五)、康軒(附錄六)、翰林(附錄七)三家出版商有關因 數與倍數在教材中的地位整理如表 2-3,可了解現今三家出版商在因數 與倍數單元教材之編排方式,有以下特色: 1.研究者發現出版商在數學課程的規劃上確實符合九年一貫課程綱要分 年細目之規定,但是各家版本教科書呈現的方式及教學法就大不相同。目前 南一、康軒版本教科書皆由因數開始介紹,接著認識倍數,而唯有翰林版本 教科書由倍數開始介紹,接著認識因數。 2.黃培甄和葉啟村(2005)發現學童在因數與倍數學習上的確遭遇瓶頸與困 難,其中因數學習困難更甚於倍數,這樣的研究發現,和現行課程先教因數 再教倍數大不相同,值得教學者作一深思。. 17.

(24) 第三節 因數與倍數概念相關研究 國內探討因數倍數問題的研究中,其研究對象幾乎都是國小學童, 國外則大都是集中在國中以上的階段。茲將近年來因數與倍數的相關研 究整理如表 2-4:. 18.

(25) 表 2-4 因數與倍數的相關研究. 研究者. 研究內容. 研究結果. 年代 陳清義. 分析國小五年級. (1996). 因數、倍數兩單元 部分必須做調整、 筆試資料顯示學生出現學習. 黃寶彰. 教材的內容概念。 瓶頸。 探討六、七年級學 學生粗心而出現遺漏或多選的情形、對名詞混淆. (2002). 陳標松 (2002) 林珮如 (2002). 邱慧珍 (2002). 吳彥廷 (2005) 何欣玫 (2004). 黃培甄 葉啟村 (2005). 生,在因數與倍數 的思考方式和解題 策略。 了解國小六年級學 生在因數倍數問題 的解題表現。 探討國小五年級學 童在因數問題的解 題策略、迷思概念 及可能成因。 分析歸納國小學童 在倍數方面的解題 策略,探討學童的 倍數迷思概念和成 因。 了解學生本身在數 學學習知識中存在 哪些迷思概念 了解學生在因數與 倍數之解題溝通表 現, 探討學生在因數與 倍數之解題溝通測 驗的類型分析。 國小六年級因數與 倍數單元之創新架 構研究. 部份概念練習的出現次數太少、教材的編製有一. 不清或對陌生名詞的不瞭解及轉譯文字題的題 意有困難。 對倍數和公倍數的觀念較容易著手,且主要迷思 概念大概有:乘除法運算概念錯誤、語言概念錯 誤、策略概念錯誤。 國小學童在因數答題表現不佳,迷思概念共計有 概念混淆不清、概念遺漏與概念錯誤三大類。原 因包括先備知識理解不清產生錯誤連結、相類似 知識的造成混淆干擾、缺乏閱讀解釋問題能力以 致誤解題意、採用用關鍵字解題…等。 錯誤解題策略、先備知識不足、概念理解不清 楚、解題執行不正確或不解題意,而造成倍數相 關概念混淆、概念遺漏或概念錯誤的迷思概念類 型。 針對分數的除法、最大公因數與最小公倍數及有 關小學數學概念進行詮釋,提供教師在教學上的 參考依據。 因數與倍數概念之錯誤類型可分為:語言概念錯 誤、認知概念錯誤、策略概念錯誤和個人態度錯 誤。. 先引倍數教材再引因數教材、透過分的記錄引入 因數教材、整合強化學童因數與倍數關係,研究 結果顯示學童學習成效極佳。. 19.

(26) 表2-4 (續) 賴容瑩. 探討國一學生在解 國一學生解題困難在於:. (2006). 最大公因數與最小 了解題意的困難、理解整除概念的困難、理解各 公倍數相關試題時 基本概念的困難、過於依賴短除法計算錯誤、無 所遇到的困難。. 法判斷題目中有哪些條件是不必要的。. 施美多. 探討學童學習因數 一、學童在因數概念之知識結構發展如下:. (2007). 概念的知識結構與 1.「互質概念」→「質數概念」。 專家知識結構的不 同,並了解學童學 習因數概念易犯的 錯誤或迷思概念。. 施秀麗 (2007). 探討學童學習倍數 概念的知識結構與 專家知識結構的不 同,並了解學童學 習倍數概念易犯的 錯誤及其迷思概 念。. 劉伊祝 (2007). 國小五年級學生在 因數與倍數單元常 見的錯誤類型,並 探討其成因。. 2.「合數概念」→「質數概念」。 3.「公因數概念」→「質因數分解概念」。 二、學童學習因數概念易犯的錯誤或迷思概念如 下: 1.只思考一個數的特性(如:質數)較困難。 2.在「1是否為質數?」產生迷思。 3.由除法算式引入因數概念會比由乘法算式引 入更容易使學童接受。 4.無法彈性思考解題過程中隱藏性知識的意義。 5.常會遺忘「1」。 一、學童在倍數概念之知識結構發展如下: 認識乘法的意義→認識倍數的意義→認識公倍 數的意義→認識 2、3、5的倍數概念→能找出指 定數的最小公倍數 二、學童學習倍數概念易犯的錯誤及迷思概念有 對因數與倍數的觀念模糊、專有名詞混淆、缺乏 因數、倍數互逆的概念、以為任意兩數的公倍數 即為兩數互乘、對於「0」產生誤解、由乘法算 式引入倍數概念會比由除法算式引入更容易使 學童接受。 一、錯誤類型:遺漏的錯誤、概念連結的錯誤、 計算的錯誤、文字轉譯的錯誤、不完全的計算過 程、看不懂題目,隨便回答。 二、錯誤成因:對專有名詞概念認知不清或混 淆、發生遺漏、忽略1和本身均為因數、忽略本 身也是倍數、誤認1也是本身倍數、誤解短除法、 運用關鍵字解題、題意認知不清、缺乏文字轉譯 能力、計算粗心或忽略題目條件限制。. 20.

(27) 研究者針對多位學者在探討因數與倍數概念的主題之相關研究,包括: 1.學習因數與倍數的困難及迷思概念之研究。2.學習表現差異之研究。3.補救 教學之策略與原則之研究。4.因數倍數教材的編製與創新之研究,做以下之分 析:. 壹、學習因數與倍數的困難及迷思概念之研究 迷思概念是指當個體在自然的狀態下對自己的先前經驗或先備知識作抽 象分類,逐漸形成一些概念或想法,當這些個體自行發展出的概念或想法與 科學科目學者專家之概念或想法不相容時。(張川木,1995;鍾聖校,1994; 謝青龍,1995) 。認知心理學與建構主義均認為個體是可以用學習的方式來建 構知識的,所以學生在學習一項新知識的過程中,就很可能自行發展出某些 自以為是正確的但與學者專家不同的概念就被稱作「迷思概念」 (misconception)。Wandersee, Mintzes and Novak(1994)則認為迷思概念是 學生對於某一科學事物已留存心中且能自我報告(self-reported)的另有概念。 現在對迷思概念主要的定義,係指學習者在接受學校教育之前,對於學習的 定義、學科內容、教科書內容、教學內容等,已持有一些不同於教學者或課 程內容的想法、信念等原有知識概念,此概念可能造成對課程內容的誤解, 與正式的學習容易產生衝突,而且不容易透過學習扭轉過來。 學童數學迷思概念可以從三個方面來探討:1.學生個人因素方面: (1)學 生從日常生活經驗中學習到錯誤數學概念。(2)學生本身學科知識不足,因 此對數學概念不瞭解。 (3)學生本身認知發展不夠成熟。2.環境因素: (1)來 自數學教材和多媒體的錯誤訊息或誤解。 (2)受到長輩或同儕的想法或經驗 所影響。3.學校教育方面: (1)授課教師本身數學知識不足或存有迷思概念。 (2)教科書內容或圖片的引導錯誤。(3)過度使用單一教學法。. 21.

(28) Vergnaud (1983) 在其所提出的乘法概念域(multiplicative conceptual field,MCF)中認為乘法、除法與因數概念的關係是密不可分的,若學生因乘、 除法等概念理解不清楚,則會因先備知識的不足、造成因數概念的解題因難。 黃國勳與劉祥通(2002)認為因數概念對於學童發生學習困難的原因可以從以 下兩點討論:. (一)乘法概念域(multiplicative conceptual field,MCF)的先備知識缺乏 以因數的概念階層來看,因數是由整數的乘除法等幾個元素組成,這些 組成的元素為子概念(sub-concept)。相對的,因數概念為其子概念的「上位概 念」 。因此,學童若未具備學習因數的「先備能力」 ,也就是未具備整數的乘 除法相關概念,當然在學習因數概念時,會產生困難。. (二)過程概念上隱藏知識未被強調 從過程概念的觀點來看,有些數學概念要經由操作程序而獲得,例如: 經由「數數」的過程獲得數的概念。這些經由操作程序而獲得的概念稱之為 「過程概念(pro-concept)」(Gray and Tall,1994)。過程概念是由過程衍生而來, 所以此種概念含有隱藏的知識(tacit knowledge),此隱藏知識往往在教學中未 被強調和注意。所以會造成學童在尋找因數或解題上的困難。. Graeber and Tirosh (1990)觀察以色列及美國地區四、五六年級學童的乘除 法表現,發現學童仍存在「乘法會變大,而除法會變小」的錯誤概念。NCTM (2000)在其所發表之「數學課程之原則與標準」(The Principles and Standards for School Mathematics)中亦提到:由於學生受到整數經驗的影響,學生有「乘法 會變大,而除法會變小」的錯誤概念。因此當學生在解題中,需要使用乘法. 22.

(29) 或除法時,此錯誤概念影響了其判斷,導致學習因數概念時會有迷思概念存 在。 Mayer (1992) 則是認為語意轉譯能力的不足,對數學名詞意義理解不 清,使得學生在問題的閱讀理解及解釋上產生困難,造成因數解題上的錯誤。 陳清義(1995)為了分析國小五年級數學科因數、倍數兩單元教材的內容概 念,編製紙筆測驗,運用知識結構分析技術及無參數試題反應理論所發展出 的 ICCNP 軟體探索試題與受試者的量化特性,並藉由晤談的方法探討國小五 年級學生在因數與倍數這兩個單元的學習瓶頸。研究中發現:1.學生對質數、 奇數、合數、偶數等概念的定義、相互之間的關係混淆不清,經常誤用、混 用;2.學生會使用短除法來解決問題,但卻不會使用試除法或是因數分解來解 決問題,因此當題目規定不能使用短除法時,學生就發生了學習瓶頸。其原 因可能是平時學生練習都只注重短除法,且未能了解此法的真正涵意;3.在解 決文字應用題方面,學生缺乏判斷題意是要求最大公因數或最小公倍數的能 力,而當告知學生短除法與除法各數的相互關係後,學生便能判斷要求最大 公因數或最小公倍數。 Nevin (2002)研究發現 38 名土耳其小學六年級學生對於因數與倍數的解 題策略,顯示學生對於問題中的語意、字彙無法完全瞭解,因此理解問題上 產生困難;且學生在問題解決的過程中,因為不理解題意及無法轉譯符號, 使用不正確的錯誤概念。 林珮如(2002)為了探討五年級學童在因數問題的解題策略、迷思概念及可 能成因,依據 R.E. Mayer 與 R. Brainbridge 的解題理論(problem solving theory) 和直觀法則(intuitive rules),自編因數迷思概念診斷工具,研究對象共 145 位 五年級學童。其研究發現:1.學童在「因數迷思概念診斷工具」中的答題表現 23.

(30) 不佳;2.學童在學習因數時的錯誤解題策略和原因很多,除了用乘除解題時錯 誤連結、粗心或計算錯誤、缺乏閱讀解釋問題能力、採用關鍵字解題錯誤等; 3.學童學習因數時的迷思概念共計有概念混淆不清、概念遺漏和概念錯誤等。 原因包括先備知識理解不清、類似的知識造成混淆干擾、缺乏閱讀解釋問題 能力、採用關鍵字解題錯誤等。 邱慧珍(2002)以 150 位國小五年級學童為研究對象,自編倍數迷思概念診 斷試題,將試題施測結果分析及晤談資料,整理出在倍數的相關知識的錯誤 解題策略與迷思概念如下:1.學童在倍數迷思概念診斷試題的答題表現並不理 想;2.學童的錯誤解題策略有:以乘除符號直接判斷是否為倍數、將專有名詞 誤解、認為 1 是倍數、遺漏數字本身是倍數、以及用猜測的方式找解題策略、 或用關鍵字解題、計算粗心、空白未作答等不正確的解題策略;3.由於先備知 識不足、概念理解不清楚、解題執行不正確或不了解題意等原因,造成倍數 相關概念混淆、概念遺漏或概念錯誤的迷思概念類型。 周文忠(2002)為了深入了解學生對於因數及倍數的解題歷程,及所出現的 迷思概念,並探討其成因,利用診斷工具測驗及採用半結構晤談方式。研究 發現國小高年級學童在學習因數及倍數時所產生之迷思概念如下:1.先備知識 不足;2.概念錯誤;3.粗心;4.概念混淆不清;5.利用關鍵字解題;6.直觀法則; 7.缺乏閱讀問題的能力;8.缺乏解釋問題的能力;9.策略知識不足;10.不當的 遷移。 陳標松(2003)以 636 名國小六年級學童為研究對象,發現數學學習困難學 生主要迷思概念有以下三點:1.乘除運算概念錯誤,顯示學生需要加強乘除運 算能力;2.語言概念存在錯誤,主要錯誤類型可分為題意了解錯誤與專有名詞 (因數、倍數、公因數、公倍數和因數倍數關係)概念錯誤兩種,顯示這些學生. 24.

(31) 需要加強語言識字和概念學習的能力;3.策略概念錯誤,主要錯誤類型又可分 為解題策略錯誤和隨機反應錯誤,可見這些學生需要加強解題策略的能力。 黃寶彰(2003)為了了解學生在學習困難部分的思考方式、錯誤的解題策略 或迷思概念,以 109 位六年級和 96 位七年級學生為研究對象,發現六、七年 級學童在「因數與倍數」學習困難和錯誤情形為:1.學童在因數與倍數解題上, 仍易犯粗心而出現遺漏或多選的情形;2.因為名詞混淆不清或對陌生名詞的不 瞭解,在求法上出現顛倒或錯誤的答案,其中在因數、公因數、最小公倍數 上,七年級比六年級嚴重;3.在利用最大公因數及最小公倍數解決文字題方 面,學童主要困難是在於轉譯題意困難。 黃國勳和劉祥通(2003)從實務經驗和學童因數教材診斷的探討,發現因數 教材對國小學童產困難的原因如下:1.從認知運思能力來看:因數屬於 R. J. Gagné所提的概念學習,它是由整除概念抽象後再抽象而得概念。從 J. Piaget 的認知發展論(cognitive-developmentaltheory)來看,剛升上國小五年級學童尚 處於具體運思期,他們的推理思維能力只限於眼見的具體情境或熟悉的經 驗,因此對於因數概念的學習是感到困難的;2.從先備知識來看:因數是由整 數的乘除法等幾個元素所組成,因數概念為其子概念的「上位概念」 ,而這些 組成的元素為「下屬概念」 ,因此,因數可說是由複雜概念所組成之更複雜更 抽象的概念,學生若未具備先備知識(整數乘除法)的能力,則學習因數時會產 生困難;3.從生活經驗來看:因數的概念很抽象,比較難透過具體的活動讓學 生真正理解因數的意義,學生因為不了解數學名詞字彙,不理解特定的專有 名詞,導致對因數、公因數概念的混淆不清;4.從語意理解來看:學生在學習 因數時,因為無法理解特定的專有名詞,以致基本概念混淆不清,或是在問 題的閱讀理解和解釋能力不足,往往造成學習上的障礙,此外語意知識的不 足和錯誤,也會影響解題上的錯誤。 25.

(32) 吳彥廷(2005)以 33 位五年級學童為研究對象,發現五年級學童在因數與 倍數這個單元的學習上,存在著許多的錯誤概念和障礙,其研究歸納因數與 倍數迷思概念,分為 1.教學上的不足或錯誤的迷思:(1)學生經常使用一種方 法解決問題;(2)學生有名詞混淆的情形發生,且學生是因為教師的教學方法 有問題或是教學不清楚而產生;(3)學生常常在解決文字應用題時,無法判斷 題意是要求最大公因數或最小公倍數的能力。2.學習者自行建構錯誤的迷思為 學生有名詞混淆的情形發生,因為學生自己類化錯誤而產生。 施美多(2006)探討學童學習因數概念的知識結構,研究結果發現學童學習 因數概念易犯的錯誤或迷思概念為:1.只思考一個數的特性(如:質數)比思考 二個數的關係(如:互質),對學童而言是較困難;2.許多學童在「1 是否為質 數?」產生迷思;3.由除法算式引入因數概念會比由乘法算式引入更容易使學 童接受;4.近 30%的學童沒有具備周延的過程概念,未具備隱藏性知識的概 念,無法彈性思考解題過程中隱藏性知識的意義;5.近 20%的學童在思考因 數時,常會把因數的基本成員「1」給遺忘。 施秀麗(2007) 探討學童學習學童學習倍數概念易犯的錯誤及其迷思概 念如下:對因數與倍數的觀念模糊、專有名詞混淆、缺乏因數、倍數互逆的 概念、以為任意兩數的公倍數即為兩數互乘、對於「0」產生誤解、由乘法算 式引入倍數概念會比由除法算式引入更容易使學童接受。 劉伊祝(2007) 分析國小五年級學生在因數與倍數單元常見的錯誤類 型,並探討其成因。研究發現五年級學生對專有名詞概念認知不清或混淆、 發生遺漏、忽略 1 和本身均為因數、忽略本身也是倍數、誤認 1 也是本身倍 數、誤解短除法、運用關鍵字解題、題意認知不清、缺乏文字轉譯能力、計 算粗心或忽略題目條件限制,導致在文字應用題上使用錯誤解題策略。. 26.

(33) 綜合上述,國小學童在因數與倍數的學習上,確實存在許多學習因難與 迷思概念,使其在學習上備感困惑,因此教學者在教學時,若能瞭解這些困 難與迷思概念的存在,才能針對這些困難之處,設計教學活動或補救教學活 動,如此不但能避免學生產生迷思概念,更有助於學習的成效。. 貳、因數與倍數學習表現差異之研究 蕭金土(1995)研究國小五年級數學學習障礙學生和普通學生學習錯誤類 型,及學習策略教學對數學學習障礙學生之學習成效發現:部分學生無法理 解因數倍數的概念,因其缺乏因數倍數關係形成和類化的能力,而在因數倍 數單元教學中,學習策略教學確能提昇數學學習障礙學生之學習成效。 陳標松(2003)研究 636 名國小六年級學生在因數倍數問題的解題表現,比 較數學學習困難和數學表現優異學生在因數倍數問題解題之差異,研究發 現:1.國小六年級學生在因數倍數問題測驗中,對於運算題目表現較佳,且對 倍數和公倍數的觀念較容易著手,但對因數和公因數的學習則較感困難;2. 數學學習困難和數學表現優異學生在因數倍數測驗試題中,無論在得分或是 各題的選答狀況上,都有明顯的差異存在,而且組別與選項間具有關聯性。 何欣玫(2004)探討學生的因數與倍數的解題溝通能力,以因數與倍數之數 學解題溝通能力的內涵,編製因數與倍數解題溝通能力測驗,以 364 位六年 級學童為施測對象,研究發現:1.「表達自我想法」與「理解他人想法」優於 「評價他人想法」 ; 「因數」的溝通能力優於「倍數」的溝通能力;2.在「表達 自我概念」上, 「因數」優於「公因數」及「倍數」 , 「倍數」優於「公倍數」; 「符號表徵」的了解優於「理解題意」, 「解題」優於「表達溝通」。在「理解 他人想法」中,其能力表現依次為「判斷」、 「轉化」、 「認同說明」 、「質疑辯. 27.

(34) 證」 。在「評價他人想法」中,「因數」優於「公因數」、 「倍數」 、「公倍數」, 而「公因數」優於「公倍數」 ;「辨別」優於「澄清與補充」和「評鑑」 ;3.其 研究溝通類型分為內向表達型、外向理解型、全能優越型及多層障礙型;其 中多層障礙型的人數百分比最高,全能優越型最少。 施美多(2006)採用自編之因數試題為研究工具,經 SPSS/PC 統計套裝軟體 及試題關聯結構理論之 IRS 電腦程式進行統計分析後,探討學童學習因數概 念的知識結構與專家知識結構的不同,研究發現學童在因數概念之知識結構 發展有以下的特點:1.「互質概念」是「質數概念」的下位概念;2.「合數概 念」是「質數概念」的下位概念。;3.「公因數概念」是「質因數分解概念」 的下位概念。 因此因數與倍數學習表現優異或是學習表現困難的學生,兩者在解題得 分或是知識類型上雖有差異之處,但對於因數與倍數教材仍皆有迷思概念的 存在。. 參、補救教學之策略與原則之研究 許多研究者對於學童因數、倍數迷思概念之研究後,開始有研究認為提 出補救教學方法,利用學習策略、教學補救等方式,都可有效改善學童學習 困難與迷思概念。 于國善(2004)對三位個案設計「國小因數單元」補救教學活動,採個別化 教學方式進行,過程強調以學生為主體,教學活動以生活化、情境化、具體 化及個別化為設計原則,並將學習問題結合其經驗、情境,讓學生能動手操 作、實際參與,且由學生自己說出「整除」意義,進而逐步建構「因數之概 念」 。其研究發現:1.發展因數補救教學活動必須把握三點原則:(1)由學生動. 28.

(35) 手操作實物,以協助其認知發展之不足;(2)運用具體物,建構學生「整除」 概念,並強調「順序性」 ,以避免遺漏或多找的情形產生;(3)結合學生生活經 驗與週遭情境(如分裝農業特產等),使轉譯題目時不致產生困擾;進而瞭解「1」 是任何數的因數概念。2.經過補救教學後,個案在筆試測驗、解題能力與因數 概念改變上均有提升的效果;3. 個案透過補救教學活動後,均能說出因數及 整除之意義。 王詩惠(2004)開發國小數學科因數教學模組運用作為國小五年級補救教 學之材料,並探討四位學生的學習成效,研究顯示因數教學模組確實能幫助 學童突破學習因數概念的困境。運用因數教學模組其學習成效為:1.在因數窮 舉方面,除法運算能力快的學童,若能掌握求出因數所需的原則,則能將因 數完全窮盡;2. 可以改變學童「數字越大,因數個數就越多」的迷思;3.學 童歸納出因數的組成情況,就可以理解質數與合成數的概念;但在「1 不是質 數」的概念上仍有待加強;4.學童不僅澄清「比較數字越多時,公因數個數就 越多」的迷思,同時也能幫助理解「互質」的概念;5. 可以改正學童「公因 數只指兩個數共同擁有的因數」及「因數一定比本身還要小」的迷思;6.學童 透過具體物的操弄及師生共同討論,能增進對文字題的理解。 蕭正洋(2004)探討學童倍數迷思概念及錯誤解法,並設計倍數補救教學活 動,研究發現:1.透過實物對照及操作,著重於單位量、單位數與總量的概念, 進而引入總量為單位量之倍數概念的教學設計有其成效;2.在補救教學後,學 生原有的迷思概念及錯誤解題情形已獲得改善。在筆試測驗、解題能力和數 學學習態度方面,亦有明顯的進步及改善。 謝哲仁和林榮貴(2006)設計「國小因數與倍數單元」補救教學活動,以六 年級一個低成就生為對象,藉由電腦的動態情境操作,進行補救教學課程,. 29.

(36) 研究結果顯示個案學生在處理因數與倍數問題時,以行動為主的電腦設計圖 形表徵,更能理解問題的意義,掌握各種外在表徵之間的關係變化,並產生 具體可操作的心靈影像,進而提升其學習成效。 因數與倍數的概念相當抽象,因此近年來教材設計日趨生活化、情境化, 配合具體物的操作與電腦輔助的融入,是補救教學中不可或缺的一環,如此 才能順利改善學童學習因數與倍數之困境。. 肆、因數倍數教材的編製與創新之研究 Bassarear (1997)認為可以使用維恩圖(Venn diagram)來協助學童對於在學 習最大公因數與最小公倍數概念的理解,這種以圖形來展示不同事物群組(集 合)之間的數學或邏輯聯繫,不僅幫助學童以視覺的方式來理解兩數各自擁有 的質因數之間的關聯,即交集和聯集的關係,而且幫助學童理解最大公因數 和最小公倍數的運算。. Kennedy, Tipps and Johnson (2004)認為在因數概念的學習上,使用樹狀圖 將一個數以其因數一層一層的分解並往下擴展,直到最底層皆為質數為止, 因數樹(factor tree)展示某數的結構,可以有效的協助學童對於概念的釐清,因 此,因數樹狀圖在目前教學上應用相當廣泛。 黃國勳和劉祥通(2003)認為由於定義因數和因數教材文字題的語意學童 較難理解,且因數是個抽象、複雜的概念,無法直接透過具體物來說明其意 義。由於生活中使用因數概念的經驗較缺乏,而且因數的解題與計算過程較 繁雜,使得學童在因數教材的學習上產生困難,因此因數教材常造成師生彼 此的障礙。再則,因數的先備知識是整數乘法除法,但除法對多數的孩子而 言,是較難計算和不容易理解的概念,對剛升上五年級的學童來說,部分學. 30.

(37) 童解決除法問題、運算能力和發展能力仍不完備,因此學習因數教材時,常 因先備知識不足會造成學習的障礙。其研究結果提出五點建議,以供教師在 因數教材教學的參考:1.以具體活動來進行整除的教學;2.因數教材教學前注 意先備知識是否完整建立;3.以簡單明確的文字來定義因數;4.指導學童正確 解釋數學問題的題意;5.重視演算法與意義的連結,以協助學生發展過程概 念:例如,因為因數通常是配對出現的,只要做配對檢查,就容易察覺遺漏 之因數,所以求因數時無須將整除的算式逐一算完,;或者是教導學童能被 2、 3、5 和 11 數字整除的判別方法,以減輕學童在計算上的負擔。 黃培甄和葉啟村(2005)更發現學童在因數與倍數學習上的確遭遇瓶頸與 困難,其中因數學習困難更甚於倍數,反思現行國小課程在因數與倍數的課 程編排方式,是以先教因數再教倍數,以除法的觀點,由總量為問題的起點, 探討可能組成的單位量,來處理因數問題。其研究經由思考學童學習發展及 分析課程架構後,認為因數與倍數課程之創新架構應該依照下列方式:1.先引 入倍數教材再引入因數教材;2.透過分的記錄引入因數教材;3.整合強化學童 因數與倍數關係。此套創新教材經由實驗教學與筆試測驗後,結果顯示學童 學習成效極佳,並可提升低分組學童學習成效,維持中高分組學童學習水平。 綜合上述,學童在因數與倍數相關概念的學習上,確實存在許多的學習 因難與迷思概念,而透過瞭解不同類型學童的表現差異,設計良好的補救教 學方法與學習策略,以及針對現行課程作一深思以提出新的學習架構,皆是 提昇學童因數與倍數學習成效的重要環節。. 31.

(38) 第四節. 試題分析理論. 壹、試題關連結構分析法的由來及功能 一、 試題關連結構分析法的由來 在班級實施數學教學活動後,學童之概念能力的表現,是每位教學者應 當重視的議題,長久以來,現場教學者一直對於使用何種考驗的方法傷透腦 筋。然而,美國學者 Airasian & Bart 於 1973 年揭示關鍵性的「順序理論」 (Ordering theory,簡稱 OT)在教育工學的功用(Airasian & Bart, 1973),用 來分析皮亞傑 (J. Piaget) 等學童運思能力的次序性 (Bart & Mertens, 1979;Bart & Read, 1984) ,由於學童的數學知識具有次序性的階層結構,因此,次序理 論便被應用於數學試題階層結構之分析,並以次序理論之分析結果,繪製出 學童次序階層結構圖。1977 年日本學者竹谷誠參加美國威斯康辛大學的研討 會,因 F.B. Baker 的介紹,在返回日本後,便致力於改良「順序理論」的缺 點,於 1979 年發明「試題關聯結構分析法」,於 1980 年提出以測驗試題的 結果,按照題目彼此間反應所得的次序關係,製成具有指向性的圖形結構, 來分析試題的特性,此種方法稱之為試題關聯結構分析法(Item relational structure analysis),簡稱 IRS 分析法(引自許天維,1995),並在教育現瑒 實驗使用,前後有七、八年之久,由此可證明是一個有效的分析工具。這個 重大的發現給予教學者新的思考方向。. 32.

(39) 二、試題關連結構分析法的功能 有了「試題關聯結構分析法」 ,才使班級學習情況分析獲得解決。經過研 究的結果,試題關聯結構分析法具有下列五種功能(引自許天維,1995): (一) 教學設計 教師在進行單元教學活動之前,先將課程內容之先備經驗概念,詳細作知 識結構分析,之後再依知識結構所對應的概念分別出題,並加以施測,所得的 結果以「試題關聯結構分析法」進行分析,可以考驗出學生先備經驗概念不足 之處或學習困難所在,以作為進行教學活動設計的參考。. (二)了解學生概念形成過程 對橫斷研究(cross section study)而言,可知班上學童的概念形成過程的分 布。對縱貫研究(longitudinal study)而言,兒童概念的形成過程有層次之分,例 如:山田完提出教師在進行評定兒童的概念形成,設有四層次,即操作經驗層 次、知學內化層次、言語抽象層次、困果論理層次等,用來評定各年級班上學 生概念的形成過程,並建立各年級的結構圖,即可知學生的概念形成過程的發 展。. (三)形成性評量 單元教學活動後,教師可以透過了解學生知識結構,編製形成性評量 (formative evaluation),並將施測結果以「試題關聯結構分析法」進行分析,就 可以知道班級學生的學習結果,以便針對兒童不清楚之處,進行補救教學。 (四) 認知學習構造. 33.

(40) 可利用佐藤 S-P 表獲得注意係數,進而偵測出異質性的兒童的形成性評 量之反應結果,將此類兒童所畫出結構圖與班上的結構圖互相比較,即可知道 此類兒童異質的原因,從而加強輔導教學。 (五) 課程教材構造 由母群體隨機抽出樣本進行考驗後,透過「試題關聯結構分析法」進行構 圖,可得一般兒童的學習結構,對編纂教科書的作者而言,是相當珍貴的資料 及對於分析優秀教師的教學特質,都有很大的作用。 值得注意的是,「詮釋結構圖」與「試題關聯結構圖」,不但可解決日本 教育學者坂元昂的授業改造技法一書中,所注重的教材構造分析與學習結構圖 的編製(坂元昂,1980),亦可解決美國著名的教育學者 J.M. Scandura 所倡導 的結構式學習理論(Structural learning theory, 簡稱 SLT)的不足之處(湯維 玲,1994)。因為結構式學習理論,必須尋找理想化教師(idealized teacher), 藉著其專業能力,對教材內容的結構,進行有系統的分析。理想化教師依據教 材的問題型式著手,並將知識化約成一套由領域(domain)、範圍(range) 和運作(operation)三部份所組成的「規則」(rule),再以此「規則」為基 礎,細分成許多原子要素,然後確認學習者已知或未精熟(nonmastery)之處, 理想教師便從學習者失敗的路徑(path)要素,開始執行教學設計與活動。此 時,在教學過程中可用「詮釋結構分析法」形成「規則」的結構路徑,而確認 學習者已知困難。再者根據 Scandura 的研究,以結構分析的方式,處理計算 技巧、幾何作圖問題、代數證明、小學數學課程以及 Piaget 保留概念問題等, 都有極豐碩的實證性研究成果(Scandura, 1980)。 「詮釋結構圖」沒有透過成就測驗或是形成性評量,而是使用經過設計的 兩兩關係概念問卷來找出受試者概念間指向,或是藉由受試者自行建構的兩兩 34.

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參考文獻

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