三次函數圖形的三個超額特徵

三次函數圖形的三個超額特徵

朱亮儒洪有情陳昭地*

國立臺灣師範大學數學系 壹、引言 針對 95 及 99 版普通高級中學數學課綱，高三選修的微積分課程都涵蓋了三次多項 函數的繪圖，尤其指明透過函數的遞增、遞減、極值點、反曲點，以及圓形的凹凸性等 性質來探究其圓形的變 t 情形。反曲點為三次函數圓形的對稱中心，此一性質在 95 年高 中數學各版本的教材，或無涉獵或因證明過於繁瑣而僅以特例說明此一特徵;再查看早 期統一版的科教版本，高三理科數學也絕口不涉及三次函數圖形的點對稱性。最近，我 們在寫 99 版的同樣內容時，經過一而再的探討與研究，終於找到兩種簡易的證明方法， 除了把其中一種證法放在我們的新版教材內容外，想一想也應該讓有心人士先睹為快， 早一點認識此→的簡易證法;換句話說，在課綱製訂的過程中，應把「反曲點為三次函 數圖形的心對稱中心」作為一項具體的特徵 O 三次函數既然是高中生學習微積分的重頭 戲，於是，我們再進一步探究有沒有其他的特徵被遺漏且值得一併探究的內容;例如: 大學微積分的用書中， Larson 微積分(第九版第 t 章)提到兩個值得在高三選修微積分來 呈現的教材，我們也將在本文中一併提出。

對於任意的實條數三次函數 [(x)

=

ax

3

+

bx

2

+ α +

d

' 首先，由立方公式

(J+bY=α3

+

3a

2

b

+

3ab

2

+ 針，我們可以將多項式 f(x) 配方如下:

f(x)

=

(ax

3

+

bx

2)

+

ex

+

d

b .•

b

2

b

3

=

a(x

+

~

Y

+

ex

+

d 一 -x 一一

3a

3a

27a

L

b .•

b

2•,

b .

b

3

b

3

be

=

a(x

+ -;'-)' +

(e 一一)(x + 一)

+

d 一一-，

+

--，一一

3a

3a

3a

27a

L

9a

L 3。

=

a(x

+ 主)3

+

p(x

+ 主)

+

q

,

ja ja

b

2 _,,

-b.

b

3

b

3

be

_~-b

其中 p

=

e 一一 = 1'(一)

,

q

=

d

一一τ+ - - 0 一 = f(一)。

3a

3a

27a

L

9a

L

3a

-

3。 *為本文通訊作者

因此，在坐標平面上，函數 Y

=

f(x) 的圖形可由 g(x) = 的3

+

px 的圖形依向量

-b

_~-b (一 ， f(一))的方向平移而得。當三次函數的最高次項條數a

<

0 時，我們可以透過對

3a .

J ·3。 稿的方式，以 x 軸為對稱軸，描繪出對稱的圖形。因此，要研究實保數三次函數

f(x)

= 的3

+

bx2

+ α +d 的圓形，我們只需要考慮。> 0 的情況，再透過對稱性即可

了解。< 0 時的圖形。

探討 g(x) = 的3

+

px 的圖形可就 p

> 0

、 p

=

0

、 p

<

0 三種情況作分析。事

實上，由於多項式函數 f(x) = 的3

+

bx2

+ 臼 +d 在每一點都可微分，因此 'f 會有極

值的點 x 就必須滿足方程式 f'ex)

=

0

'亦即

3的2

+

2bx

+

c

=

0

而此方程式的實根個數可由判別式L1

=

(2b)2 -

4 .

(3

a) .

c

=

4(b 2 -

3ac) 來決定;很明顯

地，當 a

>

0 時，判別式L1=一 12中的值與 p 值異號。

第一種情形:

a

>

0 且 p>O

(f!P

L1

=O)

以 g(x)

=

x

3

+3x 為例:

(1) 沒有水平切線，反曲點為 (0， 0)

,

(2) 當 x

<

0 時，函數 g 遞增，圖形凹口向下， (3) 當 x

>

0 時，函數 g 遞增，圖形凹口向上， (4) 沒有極大值，也沒有極小值， (5) 圖形與 x 軸恰有一個交點 (0， 0) 。

第二種情形: a

>

0 且 p

=

0

(即 L1 =0)

以 g(x) = 封為例:

(1)有一水平切線 Y

=

0

'反曲點為 (0， 0)

,

(2) 當 x

<

0 時，函數 g 遞增，圖形凹口向下， (3) 當 x

>

0 時，函數 g 遞增，圖形凹口向上， (4) 沒有極大值，也沒有極小值， (5) 圖形與 x 軸恰有一個交點 (0， 0) 。

第三種情形:

a

>

0 且 p

<

0

(即企 >0)

以 g(x)

=

x

3

-3x 為例:

-

22-y

y

x

x

(1) 有兩條水平切線 y

=

2

,

Y

=

-2

'反曲點為 (0， 0)

,

(2) 當 x < 一 1 時，函數 g 遞增，圖形凹口向下， 一 1

<

x

<

0 時，函數 g 遞減，圖形凹口向下， (3) 當 o

<

x

<

1 時，函數 g 遞減，圖形凹口向上，

x

>

1 時，函數 g 遞增，圖形凹口向上， (4) 有一極大值 g(一1)

=

2 及一極小值 g(l)

=

-2 '

(5) 圖形與 x 軸恰有三個交點(一布， 0) ， (0

,

0)

,

(布， 0)

0

x

註明:義大利數學家卡丹 (Cardano ，

1501

~1576)也曾經由移根的方式，將一般的三次方

程式轉換成 ax

3

₊

px

+

q -

0

'而得到求解三次方程式根的「卡丹公式」。

貳、反曲點為三;欠函數圖形對稱中心的特徵

我們知道:每一個實條數三次多項式函數都有唯一的反曲點，它不僅是函數圖形凹 口變 t 的轉折點，也是圖形的對稱中心，整理如下: 定理: 一b ~， -b

三次函數 f(x)

=

ax

3

+ bx

2

+ ex +

d 的圓形都是以反曲點 (~，f(~)) 為

;)0 ;)0 對稱中心的心對稱圖形。

b

證一:我們知道﹒當 r= 一一時 ， (r，f(r)) 為函數/圖形上唯一的反曲點;又 3。

f(x)

= αx

3

+ bx

2

+ ex +

d

= o(x

+ 主)3

+ p(x

+ 主)

+ q

,

;)0 ;)0 其中 、 2 ，/ r /1 、\ fIJ 一一 c-0 ，hu 一勻、 v

t-w

+

-勻，鈕

,

3-0 2-ob 一行 ，hu 一勻、 v-F4

cd

一一一­

pq

(r

+

h,

fer

+

h)) 因此

(r -

h,

fer -

h))

f(x)

=

o(x - r)3

+ p(x - r) +

fer) 。

於是，對任意實數 h ' 我們有

fer

+

h)

=

ah

3

+

ph

+

fer)

,

fer - h)

= α(_h)3

+

_p(一h)

+

_{fer) 。}

由此可推得

fer

+

h)

+

fer - h)

=

2f(r)

,

這表示圖形上的點。 +

h

, j

(r

+

h)) 與點。 -h，j(r-h)) 對稱於 (r，j(r)) ; 故/的圖形是 以反曲點 (r，j(r)) 為對稱中心的心對稱圖形。 證二:

令 r= 一土，將 f(x) 衰成 (x

-

r) 的多項式函數 (Taylor 展開式)

:

ja 。 ，α

+

、、，/ r

x

/{\ plu

+

2 、 1/ r' x /tt 、 '。 + 3 、、，/ r x /st 、 。 一一 、、'，/

x

/FE\ ffd 由

f'

(r)

=

3ar

2

+

2br

+

c

=

c'

,

j"

(r)

=

6ar

+

2b

=

2b'

,

f'"(r)

=

6a '

可推得

f'"(r)

LJ

j"

(r)

r\ ~，

f'

(r)

。=一一一 ，

b' -

::!...-.:::.一_

0

,

c'

= J

,,/

,

d'

= f(r) 。

6

2

因此 ， f(x) = α(x - r)3

+

f'

(r)(x - r)

+

fer) 。

接下來，仿照證法一的過程 (

p

=

f'

(r) )

，即可推得/的圖形對稱於反曲點

(r

, j

(r))

特別地，當/有極大值和極小值時，我們有以下的結果: ---目---可 定理: 三次函數/圖形上有極大點仰，j(α)) 與極小點阱，j(β)) 時，其連線段的中點 α+β f(α)+ f(β)

即為反曲點，坐標為(-E一，

24

-證:

設 f(x)

=

ax

3

+

bx

2

+ 口 +d ， 則 α， β 為 f'(x)

=

3叫2

+

_2卸+

c =

0 的兩根。不失一

般性，可設 α<β ，則

-b -

-J

b

2 -

3ac

-b

+ 、/b

2 -

3ac

α=.. ~ -_.-

=

r -

h β=. =

r

+

h

3a

.

, 3。

、Jb

2 -

3月F

其中 r = 一了 ，

h

= 工--一一。又 (r，j(r)) 反曲點為函數圖形的對稱中心，得知: :j

a

α+β f(α)+ f(β) 仰 ，j(α)) 與阱，j(β)) 對稱於反曲點 (r，j(r)) ; 故 r= 一了一且 f(r)

=

α+β f(α)+ f(β) 此可推得 f(一τ一)=:J ，，~/ J " / ，亦即函數/圖形上極大點仰 ，j(α)) 與極小點 之 2 阱，j(β)) 的連線段中點即為反曲點。 【範例】 設實保數三次函數/有極大值 f(- 1) = 6 及極小值 f(5) =

-2

'試求其圖形上反曲 點的坐標。

解:反曲點的坐標為中并且)

=

(2， 2) 。

參、三;欠函數數值積分的一項特徵(幸浦森法及誤差分析)

定積分 J: 只圳和曲線 Y

=

f(x) 與 x 軸團成的區域面積有密切的關條;當/

是以 b] 上的連續函數時雖然/可積分但定積分 J: 只抖的值有些時候不易求得;

這就衍生出許多數值計算的方法及其估計誤差的問題。例如: ，.梯形法」是將以 b] 分成 n

b-a

等分的子區間，每一子區間的寬度都是在x= 一一，分割點依序如下: n 。 =XA_。

<

X._I

<

_{... ""'2...}X,

< ... <

_{...""'n -}X

=

b a OJ

y

G

_XI

x

₂

x

₃

x

₄

x

₅

b

x

若考慮/為非負函數，則每一子區間作一梯形(第 k 個梯形的兩底分別為 j(X

_k

_一

1)

及 j(X

_k

) )的面積為 Ti= j(X

k

_{_}

1

₎

₊

_j(X

k

_{)· Ax= 主二至 (f(X}

_k

_-

₁

₎

₊

_j(X

_k

_{» 得知這 n 個梯形的面積柏}

月 2n 為

U=ZEfh一I)

+

j(Xk ))

=ET(KX0)+叫 +

2j(x

2 )

+...

+仙

rb~. ，.

b - a l

因此，

_J

'"

_{a "}

j(x) dx

~一一 (J(x

_2n

_\

o

)

+

2j(xl )

+

2j(x

2 )

+... +

2j(x

n _

l )

+

j(x

n ))

[戶門「午午中(仔/只……

(ω仙川川)

+川川+吋卅/只(

主午

tγ旦圳+時主) +州，

n

=

1

n

=

2

梯形法是在每一分個割的子區間上，以函數/的圖形兩端點的連線段作為/的近 似圖形，因此可以看成是一次多項式函數(直線)近似 j ; 事實上，梯形法的誤差可以描 述如下: -26 國

r---

且---定理:

若 f

:

[a， 的→ R 連續，且 j" 在 [a， b] 上也連續，則對 [a， b] 的 n 等分分割

。 =Xo。

<

X.I

<

... ""'2...

x

,

< ... <

...

x.

""'n -

=

L 'b '

J:

f(x) 申=令主 (J(x

_o

) + 圳I) +圳)

+ ...

+圳n-I)川+吋f只川

ω

x

川

n

nρ

卅)

-…

足

滿

x

x

ε

c

x

v付 /1 、 AU

ω

→

fA 川

n寸印制們

1-UMY

=m

話

們WJ 、、 2/-i」 α-2

項二趴

差彷一

誤<一 中仆叫 主 (hMl 當 f

:

[α' 的→ R 是一線型函數時(即 f(x)

=

px

+ q)

,

j"

(x)

=

0 恆成立，此時誤

差項 ι= 0 區成立，即 s: 只此與 n 值無關，於是，可取 n

=

1 得到

S:

f(x) 申=于 CI(a) + 川))。

當函數 f(x)

=

px2

+

qx

+

r 為至多二次式時，我們也有以下更一般性的結果:

J: f叫

證:

S:

f(x) 申 =(jF3+hx2+ 口{

、 ay

a

r

+

勻，. G OA

l-2

+

-J

a

p

--3

'，.‘、、 、 ay 'b r'

+

勻& '。 GA

l-2

+

3 ,b

p

l-3

'，.‘、、 一一

=j( 圳3 _a3) 咐2 _a2)+ 州寸))

=于(圳 2+ 叫 )+3q(b+a) 刊r)

=Erhho+r)+W

=于

(f(a)+f(

_叫

p

_中

2

_句中卅

=于

(f(a)+

川的

+4f(a;b)J 。

同樣地，在每一分個割的子區間上，考慮、以函數/的圖形兩端點的二次多項式函 數圖形(拋物線)作為/的近似圖形，著名的主適亟(Thomas

Simpson

,

171

O~ 1761) 拋物線 法就是把區間 [a ， b] 分割成 n 等分的子區間(其中 n 為偶數) ，每一子區間的寬度都是

&=主二丘，分割點依序如下:

n 。=Xn_。

<

X

₁,

<

... """2...

X

,

< ... <

..."""n -

X.

,

=

b

( J 在每一個雙子區間的2' X

_k

] 上，以次數不超過二次的多項式函數作為/的近似。例如: 在區間的 2' X

_k

] 上;利用過三點的2

,f

(Xk-2

)),

_{(Xk_1}

,

_!(Xk-1

))，的 ，f(X

_k

)) 的 Lagrange 二階插值 多項式函數

(X-Xk_

,

)(X-XJ

r / '

_{(X-Xk_?)(X-Xk)}

g(X)

=

_{!(Xk_2)}

~ ,.. "k-'~:"

"k'

,+

_{!(Xk_}

,) / '"

"k 正 k

(Xk_2-

X

_k

_一

1)(X

_k

-

_{2 -Xk) ".}

.-,"

(Xk_1

-X卜2)(X

k

_

1 -Xk)

(X -

X

_k

_

₂

) 廿一 X

_k

_一

I) 2

+ !(Xk)

,..

"k-L: :..

"k-l'

- PX

L.

+ qx + r

( 至多二次式) κ (X

_k

_{- Xk_2) (Xk -}

X

_k

_一

I) 由前面的結果可得:

j

_{Jjω 此 zjJJJU)dx z 一」i(g(XK2)+4g(XK l)+g(川)}

\v 一 γ

，可←-

6

2(b -

a)

( 、 =一一一一 (g(X

_k

-

₂

)

+

4g(x

_k

_一

I)

+

_{g(Xk ))}

zt旦 (g(X

_k

_

₂

)

+

_{4g(xk_}

_l)

+

g(Xk ))

.J n 、 白 於是，

J: 川

z

t旦(J州(廿X刊削0)廿+4叮/只拘川

(μ叫x叫仙

l

.Jn1 如同梯形法的誤差，辛浦森拋物線法可以描述如下:

28

---回『目- -自由---回- -可 定理:

若 f : [a

,

b] → R 連續，且 /4) 在 [a， b] 上也連續 ， n 為偶數，則對 [a， b] 的 n 等

分分割 a

=

X

_o

<

Xl

<

_{X 2}

< .. . <

X_n

=

b '

n

E

+

、、 •• B/ 、/ n x /『\ fIJ + ) x /『\ fIJ A斗 + + 、/ 4 x ( rFJ 司/缸 + ) 3 x ( rFJ AUT + 、/ 2 x /'‘‘、 fIJ 吋/缸 + ) x ( r'J A 斗 + 、/ o x ( rFJ ', z •••• ‘巴、

川一切

一­

b

、 1/

x

/， 1 、、 ffu ba

na--•••

d

其中誤差項 EJ 一 I 于 /4)(C

_k

)(X

_2k

-

X2k~2)5

,

C

_k E [X_2k-₂

,

X_2k]

， 滿足

2880

t't

(b -

ai

I

r(4)/

,

I

|ι| 三一-7max|f()(x)| → o

0

IOUn

a 臼歪 b| ! 雖然辛浦森拋物線法的形式略為複雜，但當 n 足夠大時，它所產生的誤差明顯比梯形法 的誤差小。當 f 是四次以上的多項式函數時，很明顯誤差項 En 是存在的，又當 f 是

至多三次式函數時 ，

/4)(X)

=

0 恆成立此時提項 En

=

0 恆成立，即 J: 只以與

偶數 n 的值無關，於是，可取 n

=

2 得到以下的恆等式:

J: f叫

此一恆等式也可以直接證明如下:

i 定理:

r

b

~.

• •

b -

a ( .. .

~.a +

b.

..."

~

I

若 f 為三次函數，則 I

f(x) dx

= 一一一 I

f(a)

+

4f(一一一) +

feb)

I

0 : Ja "

6

\"

2 ' .)

;

證:

先前已證明過至多二次的多項式函數 g(x)

=

px

2

+

qx

+

r 都滿足恆等式:

J: 你)申午 (g(a)

+

4g中+份))

由於定積分具有線性的性質，因此，我們僅須再證明

s: 川=午 (α3

+

4(平)3

+

b3 )

事實上，

f: 川 =j(b4-a4)= 于(仇的 +b心

=于(%(b

3

_+心

\巴巴‘自}}』 lj/ 3 '。

+

、‘'， F 3 '。

+

勻，旬 , O G 令、 J

+

'。 Z G 令、 ν

+

α '，.‘、

l-2

+

3 G fill--\

h-6

一一

=干什 +j(α +

b)3 + b

3

)

。 \、ill-'J/ 司、 v '。

+

司3 、、，/ '。一 +一句 b G 一 /'、、、 A 國T

+

司3 G /f1Ill-t 、、 G 一 一 -4U '。一 【範例】

若 f 為三次函數其圖形通過點(圳叫阱， 11) ，試求 f

f(x)

dx 之值。

解:已知 f(l)

=

2

,f

(5)

=

8

,f

(9)

= 日，利用上面的恆等式，可得

ff叫

【範例】 如圖為一正拋物線拱形，試證明區基主挂面積公式:

「底邊長 b 、高為 h 的正拋物線拱 7院面積為 :bh 。」

b

b.

~.b 解:取拋物線 y

=

f(x) 滿足: f(一)=f(~)=O，f(O)=h ' 則此正拋物線拱形的面積為

2

~

- '2

jzf叫

【範例】

三次函數 f 有極大值 f(a) 及極小值 feb) ， 試求 S:

f(x)

dx 之值。

-

30-解:函數/的反曲點恰為極大點徊 ，f(α)) 與極小點 (b，f(b)) 的連線段中點，故皮曲點為 a+bf(α)+f(b) r/ a+bf(α)

+

feb)

c

~ ~

,

J

,-/

~J '~/) ，得知﹒ /(-7)=

2

。因此，

j恥:〉〉/只(叫

=

主午

t7旦 (f只拘仙(臼

α

=

立午

tγ旦 (f只拘仙

(ωα

=于(仙川)

肆、三次函數定積分的另一個特徵

在 Larson 第 9 版微積分第七章解題第 8 題(第 517 頁)提到了以下的問題: r--- 咀---問題:

以曲線 r

:

y

= 計上一點 A(l，l) 為切點作 r 的切線，設與 r 另交於一點

B ， 再以 B 為切點作 F 的切線交 F 於另一點 e ，並設 R 為 F 與切線 AB 所團成區域的面積，而 S 為 F 與切線 Be 所團成區域的面積。試問 R 與 S 面積有何關條?又此關條與起始點 A 的位置是否有關?

y

X 10

宜接計算可以得到:

A

(1,

1)

,

B

(一2，

-8)

,

C(4

,

64)

，而兩切線方程式分別為

AB : y

=

3x -

2 、 BC

: y

=

12x +

16

於是 ，

R

=

r2

(j(x) 一伽心兩= r2 以 -

3x + 2) dx

= 子，而

S=j:(仙+

16) -

f(x)) dx

=

f2

(_x

3

一

12x 一 16)

dx

=

108 0

27

同樣地，在起始點 A 為阱， h

3

_{) 時，可以得到 R = 一肘，}

_S

₌

_108h

4

_{; 故可得知面積 S}

4

恆為 R 的 16 倍。 這裡自然會好奇的想知道上述的倍的面積關像，是不是一般三次函數圖形的共同現 象?如果是，這也應該算是三次函數圓形的微積分一項特徵吧!首先，我們對簡{仁的主

次函數 f(x)

=

ax

3

+

px

+

q 作研究，發現以下的結果:

定理:

設 A仰， f(h)) 為三次函數 f(x)

=

ax

3

+ px +

q 圓形上異於反曲點的任意一

點，以 A 為切點的切線 y

=

R(x) 必交曲線 r:

y

=

f(x) 於另一點 B ， 且此 交點 B 的坐標為(一劫， f(一2h)) ， 而曲線 F 與切線 AB 所圍成區域的面積

27

T(的 =trh|h4 。

證:由 j'(x)

=

3ax2 + p

， 得知切線方程式為 y

烈的 =

j'

(h)(x - h)

， 整理得

y

=

(3

ah

2

+ p)x - 2ah

3

+

q 。

又 rex) = 6缸，得知函數/圓形的反曲點為 (0，

q)

， 故 h

*-

0

0

解方程式 ax

3

_{+ px + q}

₌

₍₃

_ah

2

_{+ p)x - 2ah}

3

_{+ q}

_{， 即}

a(x

3 -

3h

2

x + 2h

3) =

0 '

a(x - h)2(x

+

2h)

=

0 '

解得 x =

h

(重根)或 x - 一訕。因此，另一交點 B 的坐標為(一劫， f(-2h)) 。 至於所圍成區域的面積的求法，不妨設 a

>

0

,

h

>

0

'此時，曲線 F 位在 AB 的上 方，故所圍成區域的面積為

T(h)

=

f

:2h

Ifω - R(x)1 品 =jlw

32

-=

r2J的3+PX+q 一叫 +

p)X

+ 叫一 ψ) 申

=ι (x

3

-

3的+ 2h

3

) 申

1 "

3.7 7 _ . ' l , Iι =α(..:.

x" -

~

hLx

L

+

2h

O

x)

I:叫

4

2

'I 叫

=α(廿一;心h

4

_J-

_{a 倍 (M)4-7(M川封(-2h)}

_J

27

,

4

=

一一-

an

4

推論:

設 A 為三次函數 j(x) = ω3 +

px

+

q 圖形上異於反曲點的任意一點，並設以

A 為切點的切線交曲線 r:

y

= j(x) 於另一點 B ， 再以 B 為切點作 r 的切 線交 r 於另一點 Co 若 R 表示 r 與切線 AB 所圍成區域的面積，而 S 為 r 與切線 BC 所圍成區域的面積，貝Ij

S

=

1 忱。 於是可得 S = 1 忱。

上面得到的面積公式 T(的=竺 lal h

4

_與

_x

_項的條數

_p

_及常數項

_q

_{都無關;至於}

4

x

2 _{工貞的條數不為}

_O

_時，面積

_{T(h) 的公式又是如何呢?事實上，此性質推廣到一般的}

實條數三次函數時，結果及其推論也都是正確的，整理如下:

r--- 用---四---且---自由-

--

-,

陳朱洪性質:

設 A 為三次函數 f(x) = 前3

+

bx

2

+

ex

+

d 圖形上異於反曲點的任意一點，

並設以 A 為切點的切線交曲線 r:Y=f(x) 於另一點 B' 再以 B 為切點作 r 的切線交 F 於另一點 Co 若 R 表示 F 與切線 AB 所圍成區域的面積， 而 S 為 F 與切線 BC 所團成區域的面積，則 S =

16R

; 且當點 A 的 x 坐 標為 h 時，我們有下列的公式:

b

(1)點 B 的 x 坐標為 2h 一 ，點 C 的 x 坐標為 4h + 一，

a

a

27

I

,,_

b

(2) 面積公式 R

=

L.:

IαI(h + 頁)4 ， S

=

108

1αI(h + 頁)4 。

證:

令 r - 芋，並將坐標原點 O 平移到 O'(r， O) ， 建立 XY 坐標志:原 x 軸仍為新吋

;j

a

X 軸，而以 x

-

r 為新的 Y 軸，則原三次函數/變成

g(X)

=

f(X - r)

=

aX

3

+

pX

+

q

， 其中 p

=

f'(r)

,

q

=

fer) 。

若起始點 A 的坐標為快，

f(h))

， 其中 h oi'

r

' 則對應的點 B， C 及其在 XY 坐標率 的對應點 A'， B'， C' 之坐標可以推導如下:

點 A 的 x 坐標 h 變成 X 坐標 h+手，

;j

a

b.

" . . . ._ "

b.

b

點 B 的 x 坐標為一 2(h+ 一) ，故其 x 坐標為 -2(h+ 一)一 =-2h 一一， 3α3α 3a

a

b

.. . . _ "

b

b .

b

點 C 的 x 坐標為 4(h+ 一) ，故其 x 坐標為 4(h+ 一卜一 =4h+ 一。 3α3α 3a

a

A

B

C

xy

坐標志

_(h

_,

_f(h))

_{(一2h 一 ，f(一2h 一))}

b

~_

_.

b

_(4h

_{+~，f(4h + 一))}

b

~_

__

b

G G G G

A'

B'

C'

XY

坐標委主 _{(h+ 一 ， g(h+ 一))}

b

b

_{(一的+一)， g(一2(h+ 一)))}

b.

_ __

b

₍

_{4(h+ 一)，到的+一)))}

b.

..__

b

3a'~' 3α _{3α3α 3α3α} 再利用坐標軸平移面積不變量，得知區域面積 R 及 S 可以計算如下:

b

,

27"..

b

R

=T(h+ 一)= ~JαI(h+ 一)'，

3α4

' "

3a

b

27

S= T(一2(h+ 一)) =一 |αI(一的+一 ))4

=

108 1αI(h+ 一)4

,

3α4

-

34-因此，

S

= 1 忱。證畢! 註明:

-b

~， -b 在上面的性質中，當點 A 恰為反曲點(

-:::-

,f(-:::-)

)的特殊情況，這時，過切點 A 的

3a"

'3。

切線方程式為

b

, ~.一b"

b

y-

f(一)

=

1'(一)(x+ 一)

,

3a'

" '3a"

3。

即仰+土)3

=

a 。故此切線與 F 的交點之 x 坐標滿足

3。

你+主)3+

p

(X+主)+q=p(x+ 主)+q

,

~a ~a ~a

,

,=~.. -b 一 即。(x+~)j=

a

'得到 x= 一(二重根) ，所以交點 B 的 x 坐標亦為一;同理，交

3a'

3a

.

3。

-b

點 C 的 x 坐標也是一 O 此時 ， A， B， C 是同一點，而 R 與 S 都是縮成一點的區

3。

域，面積都是 0' 故 S 的面積單是 R 的 16 倍 O 另一方面，當 f 為至少四次的多 項式函數時，給了起始點 A ' 另一交點 B 可能不存在;即使存在，也可能不是唯 一的或者不容易求得。 伍、結論 本文所指出的三個超額特徵應可提供教導學生微積分課程有關三次函數很好的教材 內需;它們都是值得高三學生選修微積分之優美有用的題材!尤其是三次曲線的反曲點 所扮演的重要角色，以及連續兩次作切線而與此三次曲線圍成的兩區域面積的關條，更 能製作電腦動畫來呈現，以展現作切線與求區域面積的兩大主題，必能增進這些特徵的 有趣性與應用價值。

參考資料

李政豐、陳庭雄、陳昭地(民100) ，探討五種數值積分的近似值求法及其誤差分析，預定 刊登於教育部高中數學學科中心電子報100 年 3 月第 53 期。 李虎雄、陳昭地、黃登源、朱亮儒等(民97) ，普通高級中學選修數學(II) ，康熹文他事業 有限公司版。 李虎雄、陳昭地、黃登源、朱亮儒等(民100) ，普通高級中學選修數學甲(II) ，康熹 文{七事業有限公司版。