5-1-1機率與統計(二)-條件機率與貝氏定理

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(1)5-1-1 機率與統計（二）-條件機率與貝氏定理【問題】 1. 一事件在不同條件之下，所求得的機率是否會相同呢？ 2. 在甲抽中籤的情形之下，乙抽中籤的機會是否有受到影響呢？是提高？是降低？是不變？ 3. 公益彩券第一獎已經被刮出的情形下，甲去買一張彩券能刮中第一獎的機會是否受到影響？ 4. 袋中有１紅球３藍球，甲抽中１紅球放回跟不放回的情形下，乙抽中紅球的機率是否受到影響？【定義】一般機率與條件機率： 1. P(B) ：事件 B 發生的機率，即以 B 當樣本空間。 2. P( B | A) ：在已知事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的機率，有時用＂已知．．．時，求．．．的機率＂ A B 來描述。即已知事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的 A∩B ∩B P( A ∩ B) ，其中 P( A) > 0 。機率 P( B | A) = P ( A) 【性質】 1. 統計是依照獲得的不同資訊作不同的決策而得到不同的結論。 2. 一般求的機率是以 U 為樣本空間，即 P( A) = P( A | U ) 。 3. A ∩ B 在 B 中所占的比例，即以 A 當樣本空間來看，而且分母不為零。 4. 若樣本空間內各元素發生的機率相等，且樣本空間是有限集合，則條件機率 n( A ∩ B ) n( A ∩ B ) P( A ∩ B) n(U ) = P ( B | A) = = ，其中 P( A) > 0 。 n( A) n( A) P( A) n(U ) 【性質】條件機率的性質：設 P( A) ≠ 0 ，則 1. P(φ | A) = 0 。 2. P( A | A) = 1 。 3. 0 ≤ P( B | A) ≤ 1 。 4. P( B' | A) = 1 − P( B | A) 。 5. P( B ∪ C | A) = P( B | A) + P( B | A) − P( B ∩ C | A) 。 6. 若 B ⊂ C ，則 P( B | A) ≤ P(C | A) 。【定理】條件機率的乘法原理： 1. P( A ∩ B) = P( B) ⋅ P( A | B) ，其中 P( B) > 0 。 2. P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B | A) ，其中 P( A) > 0 。 3. P( A ∩ B ∩ C ) = P( A) ⋅ P( B | A) ⋅ P(C | A ∩ B) ，其中 P( A) > 0, P( A ∩ B) > 0 。 4. P( A1 ∩ A2 ∩ " ∩ An ). = P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 ∩ A2 )" P( An | A1 ∩ A2 ∩ " ∩ An −1 ) ，.

(2) 其中 P( A1 ∩ A2 ∩ " ∩ An −1 ) > 0 。註：可用數學歸納法證明。【問題】 1. 若 A ⊂ B ，則 P( B | A) = ？ 2. 若 A ∩ B = φ ，則 P( B | A) = ？ 3. P(B) 有可能大於 P( B | A) ？ 4. P(B) 有可能等於 P( B | A) ？ 5. P(B) 有可能小於 P( B | A) ？ 6. 何種條件之下， P(B) 與 P( B | A) 會相等？【定義】抽籤原理：在 N 位學生中抽出 n 位學生當樣本，若每一次抽樣中每一位學生被抽中的機會相等，則每一樣本被抽中的機會均等。【問題】 1. 抽籤問題中(每人抽一次)，抽出後放回，是否會影響到第二位抽中籤的機率？ (解：不會) 2. 抽籤問題中(每人抽一次)，抽出後不放回，是否會影響到第二位抽中籤的機率？(解：不會) 3. 抽出球後放回，若不知道第一位抽中球的顏色時,則是否 P (第一位紅)與 P (第二位紅)相同?(解：同) 4. 抽出球後放回，若知道第一位抽中球的顏色時, 則是否 P (第一位紅)與 P (第二位紅)相同?(解：不同) 5. 抽出球後不放回，若不知道第一位抽中球的顏色時,則是否 P (第一位紅)與 P (第二位紅)相同?(解：同) 6. 抽出球後不放回，若知道第一位抽中球的顏色時, 則是否 P (第一位紅)與 P (第二位紅)相同?(解：不同) 【定義】事前機率（驗前機率）與事後機率（驗後機率）： 1. 對某事件估計其發生的機率,即 P(B) 。 2. 經由抽樣，研究報告，或產品測試等資料的蒐集，重新對某事件估計其發生的機率,此更新後的機率即事後機率,貝氏定理就是提供計算這種機率的方法,即 P( A ∩ B) P( A ∩ B) P( A) ⋅ P( A | B) = P ( B | A) = = P( A) P( A ∩ B) + P( A ∩ B' ) P( B) ⋅ P( A | B) + P( B' ) ⋅ P( A | B' ) 。 3. 即事前機率－＞新的資訊－＞貝氏定理－＞事後機率。 4. 當事前機率與事後機率不相等時，表示提供的資訊是有意義的，稱此兩事件是相關的。相關事件：事前機率與事後機率不相等時，稱此兩事件有相關(相依)，即 P( B) ≠ P( B | A) 。即事件 A 會影響事件 B 的機率。.

(3) 【方法】表示條件機率各種情形之方法： 1. 文氏圖：. A. B A∩B. 2.. 3.. 表格： B' 集合 A P( A ∩ B' ) = P( A) ⋅ P( B' | A) A' P( A'∩ B' ) = P( A' ) ⋅ P( B' | A' ) P(B' ) 計. B P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B | A) P( A'∩ B) = P( A' ) ⋅ P( B | A' ) P(B). 機率 A A' 計. B' 0.97 0.94 0.961. B 0.03 0.06 0.39. 計 0.7 0.3 1. 個數 A A' 計. B' 679 282 961. B 21 18 39. 計 700 300 1000. 計 P(A) P( A' ) U. 樹形圖：. P( B | A). 即 P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B | A). P( B'| A). 即 P( A ∩ B' ) = P( A) ⋅ P( B'| A). P( B | A' ). 即 P( A'∩ B) = P( A' ) ⋅ P( B | A' ). P( B'| A' ). 即 P( A'∩ B' ) = P( A' ) ⋅ P( B'| A' ). P(A). U P( A' ) 【定義】分割： k. 設樣本空間 U = ∪ Ei ，其中 Ei 兩兩互不相交，即 E i ∩ E j = φ ， 1 ≤ i < j ≤ k ，則 i =1. {E1 , E 2 ,", Ek } 稱為 U 一個分割。【應用】分割應用： 1. P( B) = P( A) ⋅ P( B | A) + P( A' ) ⋅ P( B | A' ) 。 n. 2.. k. P ( B ) = ∑ P ( E i ) ⋅ P ( B | E i ) ，其中 U = ∪ Ei 。 i =1. i =1.

(4) 【定理】貝氏定理： P( A ∩ B) P( A ∩ B) P( A) ⋅ P( A | B) = = P ( B | A) = ， P( A) P( A ∩ B) + P( A ∩ B' ) P( B) ⋅ P( A | B) + P( B' ) ⋅ P( A | B' ) 其中 P( A) > 0, P( B) > 0, P( B' ) > 0 。為西元 1763 年在貝士(Thomas Bayes 十八世紀英國牧師)的遺著中所發現的。一般的貝氏定理： k. 設樣本空間 U = ∪ Bi ，其中 Bi 兩兩互不相交， i =1. 即 Bi ∩ B j = φ ， 1 ≤ i < j ≤ k ，. P ( B j | A) =. P( B j ∩ A) P( A). =. P( B j ∩ A) k. ∑ P( B i =1. i. ∩ A). 其中 P( A) > 0, P( B) > 0, P( B' ) > 0 。. =. P( B j ) ⋅ P( A | B j ) k. ∑ P( B ) ⋅ P( A | B ) i =1. i. i. ，.

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