第二次期中考數學+解答

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國立台灣師大附中九十七學年度第一學期 第二次期中考 高一數學科試題

一、是非題:每題 2 分,答錯倒扣 1 分,共 10 分。 1. 0.9+0.34 1.34= 。 2.對任意自然數 n,n(n+1)(n+2)必為 6 的倍數。 3.無窮等比級數 1-4 16 64 ... ( 4)n 1 ... 3 9 27 3 − + − + + − + 之和為3 7。 4.若<an>為收斂數列,則 n也一定收斂。 n 1 a ∞ =

5.若數列<an>、<bn>皆為發散數列,則<an+bn>必為發散數列。 二、多重選擇題:每題5分,共20分。每個選項答對得1分,答錯倒扣1分。 1.下列哪些極限值為0? (A) n n 3 lim ( ) →∞ −π (B) n n 1 ( 1) lim 2 →∞ + − (C) n n ( 1) lim n →∞ − (D) n n lim 1 2 3 ... n →∞ + + + + (E) 2 nlim ( n→∞ +3n− −5 n) 。 2.若多項式f(x)除以3x+2的商為Q(x),餘式為r,則下列敘述何者正確? (A) f(x)除以x+2 3的商為3Q(x) (B) f(x)除以x+2 3的餘式為3r (C) xf(x)除以3x+2的商為xQ(x) (D) xf(x)除以3x+2的餘式為rx (E) f(x 3)除以x+2的餘式為r。

3.設<bn>為等差數列,則當數列<an>滿足下列哪些條件時,<an>也會是等差數列? (A)對任意自然數

n,an=bn-2008 (B)對任意自然數 n,an=2008bn (C)對任意自然數 n,an=b2n+1 (D)對任意自然數 n,

a1+a2+a3+…+an=2n2-3n+1 (E)對任意自然數 n,a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)2。

4.某甲自 96 年 1 月起,每月 1 日均存入銀行 1000 元,言明以月利率 0.5%按月複利計息,到 97 年 1 月 1 日提出。某乙則於 96 年 1 月起,每單月(一月、三月、五月…)1 日均存入銀行 2000 元,亦以月 利率 0.5%按月複利計息,到 97 年 1 月 1 日提出。一整年中,兩人都存入本金 12000 元。提出時, 甲得本利和 A 元,乙得本利和 B 元。問下列選項何者為真? (A) B> A (B) A=1000 12 k k 1 1005 ( ) 1000 = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣

⎦ (C) B= 2000 6 2k k 1 1005 ( ) 1000 = ⎡ ⎢ ⎣

⎦ ⎤ ⎥ (D) A<12000(10001005)12 (E) B<12000(1005 1000) 12 三、填充題:每格 5 分,共 50 分。

1.設<an>為等差數列,已知a5=8,a11= -10,若前n項和最大,則此最大和為 (1) 。

2.已知一無窮等比級數的和為2,第二項為-3 2,若此級數之前n項和為Sn,則 c此級數之首項為 (2) ;d若Sn 2 1 1000 − < ,則n的最小值為 (3) 。 3.多項式 3x2008-5x2007+2 除以x2-1 之餘式為 (4) 。

(2)

4.試求175-16×174-18×173+15×172+30×17+168之值 (5) 。 5.已知二多項式f(x)=x+2x2+3x3+...+50x50= 50 k k 1 kx =

,g(x)=50+49x+48x2 +…+2x48+x49= ,則f(x) 與g(x)的乘積中,x20項係數為 49 k k 0 (50 k)x = −

(6) 。

6.設a、b為常數,若多項式6x4+ax3+2x2+bx+2可被2x2-x+1整除,則數對(a,b)= (7) 。

7.如右圖,∠ABC=60°,圓C1與 AB suur 、 BCsuur均相切,圓C2與 AB suur 、 BCsuur、圓C1均相切,圓C3與AB、 suur BCsuur、圓C2均相切,……, 依此規則繼續下去,已知最大圓C1之半徑4公分,則無數個圓 C1、C2、C3、…、Cn、…之面積和為 (8) 平方公分。 8.設 f(x)=x4-3x3-7x2+5x+2,若 f(x)=a(x-1)4+b(x-1)3+c(x-1)2+d(x-1)+e,試求 A B C C1 C2 C

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3

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(1)數對(a,b,c,d,e)= (9) 。 (2) f(0.999)的近似值 (10) 。(四捨五入到小數點後第三位)。 四、計算證明題:每題 10 分,共 20 分。 1.利用數學歸納法證明:1×3+2×4+3×5+…+n(n+2)=1 6n(n+1)(2n+7),對任意自然數n都成立。 2.對於一切自然數n,f(n)=3n+2+42n+1恆為一正質數p的倍數,試求p之值,並以數學歸納法證明之。

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國立台灣師大附中九十七學年度第一學期 第二次期中考 高一數學科 答案卷

班 號 一、是非題:每題 2 分,答錯倒扣 1 分,共 10 分。 1 2 3 4 5 二、多重選擇題:每題5分,共20分。每個選項答對得1分,答錯倒扣1分。 1 2 3 4 三、填充題:每格 5 分,共 50 分。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 四、計算證明題:每題 10 分,共 20 分。 1. 2.

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國立台灣師大附中九十七學年度第一學期 第二次期中考 高一數學科 參考答案

班 號 一、是非題:每題 2 分,答錯倒扣 1 分,共 10 分。 1 2 3 4 5 ○ ○

×

×

×

二、多重選擇題:每題5分,共20分。每個選項答對得1分,答錯倒扣1分。 1 2 3 4

ACD AE ABCE ABCDE

三、填充題:每格 5 分,共 50 分。 (1) (2) (3) (4) (5) 77 3 11 -5x+5 100 (6) (7) (8) (9) (10) 9170 (7,3) 18π (1,1,-10,-14,-2) -1.986 四、計算證明題:每題 10 分,共 20 分。 1. 證出 n=1 成立-->給 2 分 2. (1) p=13 (2 分) (2)證明(8 分,證出 n=1 成立-->給 1 分)

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參考文獻

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