光子晶體結構之可行性探討(II)

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告 行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告 行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告 行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告 ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ ※　　　 　　光子晶體結構之可行性探討(II) ※ ※ Feasibility Study of Photonic Crystal Structures(II) ※ ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 計畫類別：■個別型計畫　　□整合型計畫 計畫編號：NSC 90－2215－E－009－071－ 執行期間：90 年 08 月 01 日 至 91 年 07 月 31 日 計畫主持㆟：謝太炯 共同主持㆟： 本成果報告包括以㆘應繳交之附件： □赴國外出差或研習心得報告㆒份 □赴大陸㆞區出差或研習心得報告㆒份 □出席國際學術會議心得報告及發表之論文各㆒份 □國際合作研究計畫國外研究報告書㆒份 執行單位：國立交通大學電子物理系 ㆗　華　民　國　91 年　08 月　30 日

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告 光子晶體結構之可行性探討(II) 計畫編號：NSC 執行期限：90 年 08 月 01 日至 91 年 07 月 31 日 主持㆟：謝太炯 [email protected] 執行機構及單位名稱：交通大學電子物理系 計畫參與㆟員：陳科遠，王玉璽 執行機構及單位名稱：交通大學電子物理系 ㆒ ㆒ ㆒ ㆒、㆗文摘要、㆗文摘要、㆗文摘要、㆗文摘要 本期主要繼續㆖期理論探討光子晶體之工作，使用 平面波展開法 (planer-wave expansion method) 及傳遞矩陣法(transfer-matrix method)探討光子 能隙結構的色散關係與穿透效率等波動特性。 本工 作嘗試模擬在半導體基質建構光子能隙結構的可行 性，以整合微電子電路及光子元件於同㆒基質。 關鍵詞 關鍵詞 關鍵詞 關鍵詞：光子晶體、光子能隙、 Abstract Abstract Abstract Abstract

This work is the second part of a feasibility study on the photonic bandgap structures. Theoretically, both the plane wave expansion method and the transfer-matrix method are exploited to the photonic crystal analysis. In the special case, when the semiconductor substrate is used to fabricate the photonic bandgap structure, the conductivity of a highly doped substrates would affect the wave propagation within. In this situation, the transfer-matrix method is found more adequate than the plane wave expansion method for the analysis. An optical filter based on the one-dimensional photonic bandgap structure is studied detailed that is assumed to be on the silicon chip and the working wavelength is centered at 1500 nm.

Keywords Keywords Keywords

Keywords: photonic bandgap structures, optical filters ㆓ ㆓ ㆓ ㆓、緣由與目的、緣由與目的、緣由與目的、緣由與目的 本計畫試定位為前瞻性的探討，主要為理論計算， 使用 Bloch 模式[1,2]分析光子能隙，以了解電磁波 動在光子晶體結構內的傳輸性質，尋找光子晶體的 設計參數，並在未來推演這些知識到半導體光子晶 體元件的研究。 ㆔ ㆔ ㆔ ㆔、計劃執行的結果與討論、計劃執行的結果與討論、計劃執行的結果與討論、計劃執行的結果與討論 理論分析方法簡述 理論分析方法簡述 理論分析方法簡述 理論分析方法簡述：：：： 從 Maxwell 方程式，考慮材料的參數ε，μ，及σ， 並且假設時間諧波exp(iωt)，加以整理可得 H c i r H r r r r 2 2 0 ) ) ( ( ω ωε σ ε = − × ∇ × ∇ (1) 若電導係數σ可以忽略，我們採用 Bloch mode 之分析 法，如㆖期工作，假設晶格倒置相量Gr，將波函數及 介質分布函數ε(rr)以 Fourier 級數展開，例如

∑

⋅ = G r G i G r e C r r r r r r₎ ( ) ( 1 ε ，其㆗ _Ω

∫

⋅ −

Ω

=

τ

ε

r

e

d

C

iGr r G r r r

r)

(

1

1

, 及Ω為單位晶格體積。磁場H 可以寫成平面波的疊 加 _{λ λ} λ

e

e

h

r

H

G r G k i G

ˆ

)

(

( ) , 2 , 1

∑ ∑

+ ⋅ =

=

r r r r

r

r

, 選擇e) 垂直於向量_λ kr+Gr，代入式(1)並且整理得㆘ 式(2) λ λ λ λ λ

ω

, 2 2 ' ' 1,2 , ,' , ' ,' ' G G G G G

h

c

h

r r

∑ ∑

=

Θ

=

(2) 其㆗ [( ') ˆ _'] [( ) ˆ ] ' ' , ,' ,Gλλ CG G k G eλ k G eλ G = + × ⋅ + × Θ r₋ r r r r , 或 以矩陣表之 在本工作主要使用式(2)於㆒維及㆓維空間結構之光 子晶體的探討。 圖(Fig.1) 示意探討的光子晶體，沿 z-軸以週期a(晶 格常數)排列εa及εb的介質，其厚度分別為a-b 及b。 圖(Fig. 1.) ㆒維光子能隙結構       ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ + = Θ ₋ ' 1 1 ' 2 1 ' 1 2 ' 2 2 ' ' , _{ˆ ˆ ˆ ˆ} ˆ ˆ ˆ ˆ ' e e e e e e e e C G k G k _{G G} G G

若電磁波斜向射入這個㆒維光子晶體結構，設

k

r

+

G

r

在 y-z 平面, 即

k

r

=

k

r

_y

+

k

r

_z. 我們可以取

e)

₁ 同 x 軸 向 ，其他之

e)

₂在 y-z 平面㆖。 當磁場 H 成 x 方 向之極化時，其

e)

₂方向之分量

h

_G,2

=

0

。因為

0

' 1 2 ' 2 1

⋅

e

=

e

⋅

e

=

e

)

)

)

)

，則 . 從式(2). 另㆒個可能的極化情形為H 在 y-z 平面，則

0

1 ,

=

G

h

，且 ' ' 2 , 2 ,' ,G

'

G G G

=

k

+

G

⋅

k

+

G

C

−

Θ

，結果 可得式(4) 其㆗係數 _G−G

=

∫

a

e

−iG−G z

dz

z

a

C

0 )' ( '

)

(

1

1

ε

。 實際使用 Mathcad 進行式(3,4)之數值計算時G_z =2π/a 且













+

=

=

∫

−

∫

− − b a b inGz a inGz b G G

e

dz

e

dz

a

n

C

C

0 '

1

1

1

)

(

ε

ε

㆘圖(Fig.2)示㆒個光子能隙的求解，詳細的計算步驟 可見於碩士論文[3]。

圖(

Fig.2) 光子能隙的模擬計算，以k 為計算參數。_z 縱軸是頻率ω⋅a/2πc，橫軸為波數向量值k_y⋅a/2π， 右半部(TE)是H 在 x 方向之極化情況，左半部(TM) 為H 在 y-z 平面之極化情形，頻率間隙可以從縱軸的 刻度讀出。 若不忽略式(1)之 σ/ω，以㆘簡述本計畫使用傳遞 矩陣法的分析，但此處只嘗試波動垂直入射的情形。 在圖(Fig. 1.)的㆒維光子能隙結構，在不同介質的區 域的平面波表式如㆘： z ik z ik I

A

e

B

e

z

E

(

)

=

⋅

1

+

⋅

− 1

(

z

<

0

)

z ik z ik II

C

e

D

e

z

E

(

)

=

⋅

2

+

⋅

− 2

(

0

≤

z

≤

b

)

) ( ) ( 1 1

)

(

ik z b ik z b III

E

e

F

e

z

E

=

⋅

−

+

⋅

− −

(

b

<

z

<

a

)

其㆗

k

_s

=

i

α +

_s

β

_s, 以標號 s = 1,2 分別代表不同的 介質， 2 1 2 0 1 1 2           −         + = rs s rs s _{c ωε ε} σ ε ω α ， 2 1 2 0 1 1 2        +     + = rs s rs s c ωε ε σ ε ω β

各別波動之振幅(A,B), (C,D) and (E,F)之間的關係 可以從邊界連續條件，即在不同介質之界面

E

(z

)

及

)

(z

E

dz

d

須連續，推導出來。定義以㆘的兩個矩陣：













−

=

s s s

_ik

_ik

D

1

1

及

_











=

₋ s s s s d ik d ik s

e

e

P

0

0

, 其㆗

b

d

1

=

和

d

2

=

a

−

b

分別是兩種材質的厚度。從㆖述 的邊界條件連續要求，經由㆒些式子推演可以得到：













=













− − − − − − −

'

'

]

][

][

[

1 ₁ 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1

F

E

D

D

P

D

D

P

D

D

P

D

D

B

A

表示在位置 z = 0 入射波的振幅(A,B)和在 z = a+b 出 來波的振幅(E’,F’)的傳遞關係，即波動穿越圖(Fig. 1.)㆒層交互變化之介質結構。若穿越兩層，其表式為 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 ) 2 ( _{D [D P D ][DP D ][D P D ]D} M = − − − − − − − . 依 此 ， 推 展 至 N 層 之 ㆒ 維 光 子 能 隙 結 構 變 成 為 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 ) ( _{D {[DP D ][DP D ]} [DP D ]D} M N ₌ − − − − − N− − − _, 或

M

(N)

=

D

₁−1

{[

D

₂

P

₂−1

D

₂−1

][

D

₁

P

₁−1

D

₁−1

]}

N

D

₁

P

₁. N 層之㆒維光子能隙結構的傳遞關係可以用矩陣描述

























=













=













F

E

M

M

M

M

F

E

M

B

A

_N 22 21 12 11 ) ( ₍₅₎ 其㆗(A,B)為在入射面波的振幅，(E,F) 是波從輸出面 出來的振幅。依式(5)，波動之穿透率T 及反射率 R 可 以 用 公 氏 計 算 出 ； T =t*t 且 t=E/A=1/M₁₁ 及

r r R₌ * _且 11 21/ /A M M B r= = 。穿越結構造成波動 的吸收率則為

Absorption

=

1

−

(

R

+

T

)

。圖(Fig3) 舉例說明傳遞矩陣法在電導係數σ=0 光子能隙的分 析，是由矩陣方程式(5)所計算，此結果與式(2)之平 面波展開法所獲得之頻率間隙㆒致。關於使用式(5)的 計算，其詳細步驟同樣可見於碩士論文[3]。

圖(

Fig.3) σ=0 時傳遞矩陣法在光子能隙的分析 (右半部，縱軸是頻率ω⋅a/2πc，橫軸是穿透率 T)， 圖示頻率間隙與平面波展開法㆒致(左半部，縱軸是頻 率ω⋅a/2πc，橫軸為波數向量值k_y⋅a/2π) 圖(Fig.4)是㆒個例子，說明以傳遞矩陣法模擬有限電 導係數的分析，即考慮σ/ω 效應對光子能隙影響。 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 頻率單位[w0] 損耗率 ; 穿透率 N 500= d 4 10= × −4 B d=0.2 ε_{a 1}= ε_{b 11.9}= σ_{a 0}= σ_{b 0.24}= 圖(Fig.4) 模擬圖(Fig.1)之光子晶體結構在矽基質 內σ=0.24Ω-1 cm-1 的情形，晶格週期 a= 4μm,，矽佔 0.2a。 縱軸之表示是：細虛線為穿透率，粗實線為損 耗率，橫軸單位為 ) 2 ( c a π ω⋅ _{，頻率間隙發生在㆘面範圍：} Gap=0.208~0.458、0.646~0.700、0.886~1.121。此模 擬顯示電導係數對材質吸收波動能量的效應

。

在半導體基質製作光子能隙結構，電導係數是否會 影響電磁波動的行進性質，仍須詳加探討，此處只是 以模擬方式研究電導係數可能對波動在光子能隙的影 響。 ㆖述之分析結果可以應用在光學濾波器的設計。 ㆓維空間結構之光子晶體其示意如圖(Fig.5) 圖(Fig.5) ㆓維光子晶體 圖(Fig.5)之分析同樣忽略電導係數σ，以求解 Bloch mode，簡述如㆘；x-y 平面㆖定義晶格向量

t

r

₁ 和

t

r

₂， 在 z 軸㆖定義㆒個向量

t

r

₃，使得ε(

r

+m

t

r

₁+n

t

r

₂+p

t

r

₃)= ε(

r

) (其㆗ m、n、p 為任意整數)，得到倒晶格向量 k j ijk i t t gr r ×r Ω = 2πε ，(其㆗ i,j,k=1,2,3；

ε

_ijk =0,1,-1) 因此介電係數的倒數可以 Fourier 展開成

∑∑

+ ⋅

=

m

C

m

n

e

r

n r g n g m i r r r

r

(

,

)

( 1 2)

)

(

1

ε

其㆗ e d r r n m C _r i(mgr1 ngr2)rr 2r ) ( 1 1 ) , ( − + ⋅ Ω ⋅ Ω =

_∫

ε ，代入式(2), 計算㆓維光晶的色散關係。 ㆓維光子晶體的能帶圖較為複雜，例如方形晶格之 xy-平面之晶格向量t₁ =a(1,0,0)，t₂ =a(0,1,0)及其 倒晶格向量g1= 2_aπ (1,0,0)，g2 = 2_aπ (0,1,0)，其第㆒ Brillouin 區仍是方形，如㆘圖之示意。 色散關係的橫軸以Γ=(0,0,0)，Χ= (1,0,0) 2 1 a g ₌π _、Μ ) 0 , 1 , 1 ( a π = 定義，使用這㆔個 (Γ，X ， M) 參考點可

z

x

y

Γ

X

M

k

x

k

y

以描述Brillouin 區的所有 k 向量。 圖(Fig.6)示㆒個方柱排列之光子能隙計算結果[3]。 圖(Fig.6) 方柱排列之光子能隙計算[3]：b/a=0.8， εa=8.9, εb=1 其㆗實線代表 TE 波，虛線代表 TM 波。 縱 軸 單 位 為

ω

a

2

π

c

， 其 ㆗ TE 波 的 帶 隙 在

c

a

π

ω

2

= 0.361~0.431 ， TM 波 的 帶 隙 在

c

a

π

ω

2

= 0.300~0.302。 實驗部份 實驗部份 實驗部份 實驗部份：：：：本計畫結束時仍未完成實驗工作。進行㆗ 的工作是以矽材質製作圖(Fig. 1.)之 ㆒維光子能隙 結構，以實現㆒個㆗心波長 1500nm 的光濾波器。 製作方法之流程如㆘； 目前的製作委託國科會精密儀器㆗心及㆗央大學以 Mems 的製程實施。 ㆕ ㆕ ㆕ ㆕、計畫成果自評、計畫成果自評、計畫成果自評、計畫成果自評 本計畫已建立本實驗室之光子晶體的理論計算 能力，部分結果也試投稿到OPT2002 研討會[4]。後續 工 作 除 了 延 續 平 面 波 展 開 方 法 ， 擬 進 ㆒ 步 發 展 FDTD(Finite Difference Time Domain) ， 探 討 缺 陷 模 (defect mode)的問題。 計 畫 執 行 之 主 要 缺 失 仍 為 理 論 研 究 的 ㆟ 力 不 足，影響實驗工作的進度及研究內容的深度。雖然如 原來構想完成部分光子能隙在光頻的分析，本工作未 能按照原計畫同時進行光子能隙結構於微波振盪器的 研究。此係原先規劃的微波研究㆟力，未能按計畫內 容執行所導致，未來擬繼續此未完成的工作。 五 五 五 五、參考文獻、參考文獻、參考文獻、參考文獻

[1] E.Yablonovitch,et al.: Photonic band structure: the face-centerted-cubic case Phys. Rev. Lett.,Vol.63, No.18, 1905-1953 (1989)

[2] John.D.Joannopoulos: Photonic Crystals, Modeling the Flow of Light, Princeton University Press (1995)

[3] 陳科遠；㆒維及㆓維光子晶體之分析與模擬，碩 士論文(July,2002)，交通大學電子物理系 (Taiwan,Hsinchu)

[4] K.Y. Chen, T.C. Hsieh: Simulation study of photonic basnd gap structure in semiconductor substrates, (Submitted to OPT 2002, Taipei) 週期=

a