單元03-絕對值

36

透過溫度計可測得一日的最高溫度與最 低溫度，兩者的差距稱為溫差，而「差距」 的觀念在數學上常以絕對值的方式來呈現。 本單元將從國中所學的絕對值出發，並探討 與其相關的其他主題。

絕對值

3

▲ 圖1

甲

數線上的分點公式

在實數的單元中，我們學過數線上所有的點都對應到一個實數，稱作這個點 的坐標。若A點的坐標為x，我們以 x （讀做「x的絕對值」）來表示A點與原 點的距離。對於 x 我們有以下性質： ， ， ， 。 x x x x x 0 0 1 $ = -) 當_當 例如： 2 = ,2 -3 =- -^ h3 =3。 設數線上兩點A 與B的坐標分別為a 與b（以符號 A a^ h, B b^ h表示），當 a2 時， ABb = - ；當 aa b 1 時， ABb = - ，如圖b a 2。 ▲ 圖2

3

絕對值

37

不 論 a 與 b 的 大 小 ， A 與 B 的 距 離 可 以 表 成 兩 點 坐 標 差 的 絕 對 值 ， 即 AB= a-b ，如圖3。例如：兩點 A 3^ h與 B 5^ h的距離為 3 5- = -2 = 。2 ▲ 圖3 來做一道例題。 設 A` j2 , P 5 2 2+3 3 f p , B` j3 為數線上三點。 1 說明：P點在A,B兩點之間。 2 求 AP BP 。: 解 1 因為 5 2 2 3 3 2 5 2 2 3 3 5 2 5 3 3 2 0 2 + - = + - = ` - j ， 所以P點在A點右邊。又因為 5 2 2 3 3 3 5 2 2 3 3 5 3 5 2 2 3 0 1 + - = + - = ` - j ， 所以P點在B點左邊。綜合以上可得，P點在A,B兩點之間。 2 利用1可得 : AP BP 5 3 3 2 5 2 2 3 - -: = ` j ` j : : 5 3 3 2 5 2 3 2 3 2 = ` - j ` - j = 。

例題

1

38

隨堂練習

設 A 2` j, Q 5 3 2+2 3 f p , B` j3 為數線上三點。 1 說明：Q點在A,B兩點之間。 2 求 AQ BQ 。: 在數線上，若P點在 A a^ h, B b^ h之間，且AP BP: =m n: ，如圖4，則P點的 坐標為何呢？ ▲ 圖4 設P點坐標為x，且 a1 1 ，此時 APx b = - ,x a BP= - 。因為b x : : x-a b-x =m n ^ h ^ h ， 所以 n x a^ - h=m b^ -xh ，整理得 n m x na mb^ + h = + ，解得 x m n na mb = + + 。 同理，當 a2 時，也會得到相同的結果。將上述重要性質整理如下。b 設A,B兩點的坐標分別為a與b且m,n為正數。 1 兩點A與B的距離為 a-b 。 2 若P點在 AB 上，且 AP BP: = m n: ，則P點的坐標為 m n na mb + + 。 兩點距離公式與分點公式 特別的，當P是 AB 中點時（即 m=n= ），P1 點坐標為 a b a b 1 1 1 1 2 # # + + = + 。

3

絕對值

39

設數線上兩點 A^ h ,-1 B 15^ h。 1 求 AB 的長。 2 已知點 P x_{^ h}在 AB 上，且AP BP: =3 5: ，求x的值。 3 已知 AB 外一點 Q y_ i滿足AQ BQ: =3 5: ，求y的值。 解 1 AB = -^ h1 -15 = -16 =16。 2 點 P x_{^ h}在 AB 上，利用分點公式，得 x 3 5 3 15 5 1 8 40 5 # # = + + -= = ^ h 。 3 因為Q點在 AB 外，又 AQ1 BQ ，所以A介於Q和B之間。依題意作 圖如下，得QA BA: =3 2: 。點 A^ h 在 QB 上，利用分點公式，得-1 y 1 3 2 3#15 2# - = + + ， 解得 y=-25。 設 A 12^ h, B^ h 為數線上兩點。-6 1 求 AB 的長。 2 已知P點在A,B之間，且 AP=2BP ，求P的坐標。 3 已知 AB 外一點R滿足AR BR: =7 1: ，求R的坐標。

隨堂練習

例題

2

40

乙

含絕對值的一次方程式

從絕對值的定義知道兩相反數的絕對值相等，例如 2 = -2 。而且，如果 x =2，那麼 x= 2或 2- 。將上述整理如下。 設k是正數。若 x =k，則 x=k或 k- 。 方程式

x

=

k

的解 數線上點 P x^ h與點 A a^ h的距離可以表示成 x-a ，利用上述關係或幾何意 義，我們可以解含有絕對值的一次方程式。 解下列各方程式： 1 x-1 =2。　　　　2 2-x = 4。　　　　3 2x-3 =5。 解 1 因為 x 1- =2，所以 x- =1 2或 2- ， 解得 x=3或 1- 。 2 因為 2-x = x-2 ，所以將原式改寫為 x 2- =4，可得 x-2=4或 4- ， 解得 x=6或 2- 。 3 因為 x2 -3 =5，所以 x 2 - =3 5或 5- ， 解得 x=4或 1- 。

例題

3

3

絕對值

41

隨堂練習

解下列各方程式： 1 x+3 =1。　　　　2 1-x =3。　　　　3 3x+1 = 2。 例題31的解法，除了利用代數方法直接求解外，也可透過幾何的方式求 解。因為方程式 x 1- =2表示 x是數線上與1距離為2的點， 如圖5所示，所以可得 x= 3或 1- 。

丙

含絕對值的不等式

要解含絕對值的不等式，可從距離來思考。舉例如下： 1 不等式 x #2表示x是數線上與原點距離小於或等於2的點，如圖6紅色線段 所示： ▲ 圖6 此紅色線段也可用「-2#x#2」來表示。 2 不等式 x 2 表示2 x是數線上與原點距離大於2的點，如圖7紅色部分所示： ▲ 圖7 此紅色部分也可用「 x1- 或 x2 2 」來表示。2 ▲ 圖5

42

以 上 不 等 式 的 表 示 法 ， 有 另 一 種 表 示 法 ， 說 明 如 下 ：1 的 解 範 圍 「-2#x#2」，也可以記作區間「7-2 2, A」；而2的解範圍「 x1- 或 x2 2 」2 也可以記作區間聯集「_-3,-2i,_2,3i_{」，其中符號「 3 」讀作「無限大」，} 是無止境、無界限的意思，而符號「 , 」讀作「聯集」，代表「或」的意思。 任何不等式的範圍均可用區間來表示，並規定方括號表示該範圍包括邊界 點，且圓括號表示不包括邊界點，例如：區間 ,_1 5A表示所有滿足在1和5之間的 數，不包括1但包括5，即11 # 。x 5 因為 3 表示無窮無盡的概念，並不是一個實數，所以區間中的 3 或 3- 只能 使 用 圓 括 號 ， 例 如 ： 區 間810 3, i表 示 所 有 滿 足 比1 0 大 的 數 ， 且 包 括1 0 ， 即 x $10。 設k是正數。 1 若 x # ，k 則 k- #x#k。 2 若 x 1 ，則 kk - 1 1x k。 3 若 x $ ，則 xk $ 或 xk #- 。k 4 若 x > ，則 xk 2 或 xk 1- 。k 絕對值不等式的解

3

絕對值

43

利用上述性質可以解以下問題。 解下列各不等式： 1 x+1 #2。　　　　2 3-x 22。　　　　3 2x-1 15。 解 1 因為 x 1+ #2，所以 x 2# 1#2 - + ， 解得-3 #x#1，即7-3 1, A。 2 因為 3-x = x-3 ，由 x 3- 22可得 x-322或 x-31-2， 解得 x2 或 x5 1 ，即1 _-3,1i,_5,3i。 3 因為 x2 -1 15，所以 x 512 115 - - ， 移項得-412x16，解得-21 1x 3，即_-2 3, i。 解下列各不等式： 1 x-2 $1。　　　　2 - +x 2 #4。　　　　3 3x+1 22。

隨堂練習

例題

4

例題 41的解法，除了利用代數方法直接求解外，也可透過幾何的方式求 解。因為不等式 x 1+ #2表示 x是數線上與 1- 距離小於或等於2的點， 如圖8可得-3#x#1，即7-3 1, A。 ▲ 圖8

44

我們用以下的例題說明如何解兩個以上的聯立不等式。 解下列各不等式： 1 ， 。 x x 2 2 1 1 1 -* 　　　　21# 2x-1 15。 解 1 因為 x 1 ，所以2 x 21 12 - 。…… 又因為 x 2- 11，所以-11x-211，解得 x 11 1 。……3 聯立不等式的解為滿足不等式與的所有實數 x，即數線上兩不等式 重疊的解區間，如下圖： 故得x的解為11 1 ，即 ,x 2 _1 2i。 2 不等式1# 2x-1 15表示x需滿足聯立不等式 ， 。 x x 1 2 1 2 1 15 # -* 因為1# 2x-1 ，所以 x2 -1$1或 x2 -1#-1，解得 x$ 或 x1 # 。……0 因為 x2 -1 15，所以-512x-115，解得 x 21 13 - 。…… 聯立不等式的解為滿足不等式與的所有實數x，即數線上兩不等式 重疊的解區間，如下圖： 故得x的共同範圍為-21 #x 0或1#x13，即`-2 0, A,81 3, i。

例題

5

3

絕對值

45

隨堂練習

解下列各不等式： 1 ， 。 x x 1 3 1 4 1 # + -* 　　　　211 2x-3 14。 最後練習一道應用問題。 人體體溫超過38度稱為發燒，低於35度稱為失溫。已知人體體溫為x度 且發燒或失溫的體溫範圍恰可用 x-a 2b來表示，求a,b的值。 解 依題意可知發燒或失溫的體溫範圍為 x238或 x135。…… 又不等式 x-a 2b表示 x-a2b或 x-a1-b，即 x2 + 或 xa b 1 - 。……a b 比較與可得 ， ， a b a b 38 35 + = - = * 解得a=36 5. , b=1 5. 。

例題

6

世界衛生組織規範男性標準體重的公式為 標準體重 身高 0 7. kg =a cm -80 # _ i ^ h k 。 根據此規範回答下列各題： 1 身高180公分的男性，其標準體重為多少公斤？ 2 標準體重增減10%為正常體重的範圍，已知一位身高為180公分的男性 體重為x公斤，其正常體重的範圍恰可表示成 x-a #b，求a,b的值。

隨堂練習

46

3

一、觀念題

以下各小題對的打「○」，錯的打「×」。 1 數線上 A a^ h與 B^ h 的距離為 a 4-4 + 。 2 若 a 1 ，則b a b a b 3 2 3 2 2 + + 。 3 不等式 x-1 #3與 1-x #3的解相同。

二、基礎題

設數線上兩點 A 5^ h, B 12^ h。 1求 AB 的長。 2已知點 P x^ h在 AB 上，且AP BP: =3 4: ，求x的值。 3已知 AB 外一點 Q y_ i滿足AQ BQ: =3 4: ，求y的值。 設 a1 ，下列各數中何者最大？b 1 a b 5 4 + 2 a b 5 2 +3 3 a b 5 3 +2 4 a b 5 4 + 。 解下列各方程式： 1 - +1 x =5。 2 3x+5 =2。 解下列各不等式： 1 x-5 #3。 2 x+2 25。 3 5-2x #7。

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解下列各不等式： 1 ， 。 x x 2 3 4 1 2 -* 2 2# -3x+2 15。 懷孕的正常生產週數為37至41週。已知一孕婦生產週數為x週，其正常生 產週數的範圍恰可表示為 x-a #b，求a,b的值。

三、進階題

已知x為實數且 x+7 =3 x-1 ，求x之值。（x有兩解） 設a,b為實數，已知 x a2 + #b的解為-8#x #2，求a,b的值。 已知不等式 x a， x b 1 2 3 1 $ -+ * 的解為2#x 13，求a,b的值。