單元06-對數與對數律

(1)

92 甲

對數

　　解指數方程式₂x=4 時，利用 22=4，可以得到答案 x = 2。但是對於方程式 2x=3，是不是有實數解呢？若是，又該如何表示呢？　　前一單元提到指數函數_{y = 2}x的圖形與水平線_{y = 4 的圖} 形有唯一交點，如圖_{2 所示，方程式 2}x=4 的解就是此交點的_{x 坐標 2。而指數函數 y = 2}x的圖形與水平線 _{y = 3 的圖形} 也有唯一交點，因此可知：方程式₂x=3 也有唯一解，此實數解就是_{y = 2}x與 _{y = 3 圖形交點的 x 坐標，我們將這個 x 用}

符號log₂3 來表示。其中 2 稱為 log₂ 3 的底數，3 稱為 log₂ 3

的真數。 ▲圖₂ 　　在指數的運算中，我們知道21=2, 22=4，那麼 2 的 幾次方會等於3 呢？本單元中將定義一個與指數相對應 的概念─「對數」，並討論對數的各種運算性質。 ▲圖₁

對數與對數律

6

(2)

93

6

對數與對數律　　第一冊學過的常用對數_{log b 就是底數為 10 的情形，即 log}₁₀_{b 可以簡記為} log b。事實上，常用對數 log₁₀ b 的定義 「設 _{b > 0，當實數 x 滿足 b = 10}x時，指數 _{x 的值以符號 log}₁₀_{b 表示。」} 與上述_log₂_{3 的定義} 「當實數 _{x 滿足方程式 3 = 2}x時，此實數解_{x 的值以符號 log}₂_{3 表示。」} 兩者是互相呼應且一致的。　　一般而言，當_{a > 0 , a≠1 時，指數函數 y = a}x的圖形與_{x 軸上方的水平線} y = b（即 b > 0）都有唯一交點，也就是說，方程式 ax=b 有唯一實數解；我們將 此實數解 _{x 以符號 log}_a_{b 來表示。} 當 _{a > 0 , a≠1 且 b > 0 時，} 　　方程式 _ax_{= b 有唯一實數解 x = log}_a_b。 log_ab 稱為「以 a 為底數時 b 的對數」，其中 a 稱為底數，b 稱為真數。

對數的定義

　　來做一道對數定義的例題。求下列各對數的值：

1 log₂8。　　　2 log₃ 1₉。　　　3 log₄1。　　　4 log₅5 5。

例題

1

1 因為 8 = 23，所以log₂8 = 3。 2 因為 19 =3-2，所以log₃1 9 = -2。 3 因為 1 = 40，所以log₄1 = 0。 4 因為 5 5 = 5×5 1 2₌₅32_，所以_log 5 5 5 = 32 。解

(3)

94

求下列各對數的值： 1 log₂16。 2 log₅_{15 。} 3 log₆6。 4 log₇49 7。

隨堂練習

　　根據對數的定義，當_{x = log}_a_{b 時，我們有 a}x=b。已知_{x = log}₂_3，求₄x及 ₂-x的值。

例題

2

因為x = log₂3，所以 2x=3。故 4x=

(

2x

)

2=32=9 , 2-x=

(

2x

)

-1=3-1= 1 3。已知_{x = log}₃5，求 3x及32x的值。　　根據定義，因為_log_a_{b 是方程式 a}x=b 的解，所以 aloga b₌_b。 例如： 3log3 5₌_{5 , 10}log 7₌_7。解

隨堂練習

(4)

95

6

對數與對數律因此，任何指數函數皆可改寫成以_{10 為底數的指數函數，例如 :} y =7x=

(

10log 7

)

x=10(log 7)x。　　前一個單元介紹過常數 e = 2.71828…，當對數以 e 為底數（即 log_eb）時， 稱它為自然對數，常記作ln b。自然對數 ln b 與常用對數 log b 是不同底數的兩

種對數，其值也會有差異；例如：常用對數log 3 = log₁₀3 ≈ 0.4771，如圖 3(a) 所

示；而自然對數ln 3 = log_e3 ≈ 1.099，如圖 3(b) 所示。

乙

對數律與換底公式

　　納皮爾曾說過：「我終於發現某些優秀又簡短的規則，可以讓運算更有效益，並把困難繁瑣的乘除運算簡化成加減運算。」納皮爾所說的規則，就是接下來要介紹的對數律。　　對數是由指數來定義的，而指數滿足指數律，所以對數也有一些相對應好用的運算性質。使用指數律時，計算底數相同的兩數相乘，只要將兩數的次方相加即可。約翰・納皮爾（J o h n N a p i e r , 1550 ∼ 1617）對數的發明者，使得科學界許多繁複的計算可以簡化。　 (a) (b) ▲圖₃

(5)

96

先來看一個例子：

102×103=102+3=105，

也就是說，當底數相同的兩數進行乘法運算時，它們的次方（也就是對數）實際上是在做加法運算。接著，利用對數的定義，得

log 100 + log 1000=2 + 3 = 5 = log 105=log 100000 ，

最後，整理可得

log (100×1000)=log 100 + log 1000。　　以上的結果並非偶然，一般而言，我們有以下對數律。

若 _{r , s 皆為正數，則}

1 log rs = log r + log s。 2 log rs = log r- log s。 3 log rt= t log r（t 是實數）。

常用對數的對數律

證明：設x = logr 且 y = logs，即 10x=r 且 10y=s。

　　　1 因為rs = 10x×10y=10x+y（指數律），所以由對數的定義得

logrs = x + y = logr + logs。

　　　2 因為 rs = 10

x

10y =10

x - y_{（指數律），所以由對數的定義得}

log r_s =x - y = logr - logs。

　　　3 因為rt=

(

10x

)

t=10tx（指數律），所以由對數的定義得

(6)

97

6

對數與對數律　　對數律和指數律是一體兩面的，都是重要的運算性質。來做一道例題。求下列各式的值： 1 log4 + log25。 2 log 1 6 -log 12542 -log 56。

例題

3

1 log4 + log25 = log(4×25)=log100 = 2。

2 log 1₆ -log 125₄₂ -log56 = log

(

1

6÷ 12542 ÷56

)

=log

(

16× 42125× 156

)

= log 1

1000 = -3。

求下列各式的值：

1 log2 + log0.2 + log5 + log0.5。

2 log2 - log20。

解

(7)

98

　　利用對數律可以解決較複雜的求值問題。

求3 log 2 + log 5 - 2 log 20 的值。

例題

4

3 log 2 + log 5 - 2 log 20 = log 23+log 5 - log 202 = log 8×5

400 =log 110 = -1。

求_{2 log 5}

3 +log 2735 -log 314的值。

　　計算機上我們很容易按出_{log 2 和 log 3 的值，那麼要如何得出 log}₂_{3 的值}

呢？它跟 _{log 2 和 log 3 又有什麼關係呢？這就是底下要介紹的換底公式。}

若 _{a , b 均為正數，且 a≠1，則}

log_ab = log b_{log a}。

換底公式

解

(8)

99

6

對數與對數律證明：設_{x = log}_{a 且 y = log}_{b，即 a = 10}x且_{b = 10}y。　　　因為_{b = 10}y=(10x) y x₌_ayx_，所以

log_a_{b = yx =} log b_{log a}。

　　根據換底公式，就可以知道我們要算的log₂3 = log 3 log 2。一般而言，其他底數的對數都可換成常用對數後再來求值。求下列各式的值： 1 log₄ 5×log₅ 4。 2 log₈ 2。

例題

5

1 log₄ 5×log₅4 = log 5_{log 4} × log 4 log 5 =1。 2 log₈ 2 = log 2 log 8 = log 2 1 2 log 23 = 1 2×log 2 3×log 2 = 16 。求下列各式的值：

1 log₃ 5×log₅ 7×log₇ 9。 2 log₂₅ 15 。

解

(9)

100

　　練習綜合換底公式與對數律的求值問題。

1 1

log₂ 6 + log1₃ 6 。

2 (log₂ 3)×(_log₃_{4 + log}₉₂)。

例題

6

1 1 log₂ 6 + log1₃ 6 = 1 log 6 log 2 + _{log 6}1 log 3 = log 2

log 6 + log 3log 6 = log 6log 6 =1。

2 (log₂ 3)×(log₃ 4 + log₉ 2)=

(

log 3

log 2

)

×

(

log 4log 3 + log 2log 9

)

=

(

log 3

log 2

)

×

(

2×log 2log 3 + log 22×log 3

)

=

(

log 3 log 2

)

×

(

52× log 2 log 3

)

= 52。求下列各式的值： 1 log₂ 24 - log₄ 9。

2 (log₂ 5)×(log₅ 8 + log₂₅ 16)。

解

(10)

101

6

對數與對數律　　利用換底公式並搭配計算機，我們可以求出引言中的方程式解的值。解方程式 2x=3。（四捨五入到小數點以下第 4 位）

例題

7

根據對數的定義，方程式2x=3 的解為 log₂ 3。利用換底公式可得 log₂ 3 = log 3 log 2 ，使用計算機依序按下 3 2 可得 log₂ 3 = log 3 log 2 ≈ 1.5850。解方程式 ₃x=7。（四捨五入到小數點以下第 4 位）解

隨堂練習

(11)

102

　　來看一道與大自然相關的對數例題。海嘯是一種有強大破壞力的海浪，其強度規模的等級_{I 與該海嘯的平均} 海浪高度 _{H（公尺）有著以下的關係式：} I = 12 +log2 H。問：海嘯等級4 的平均海浪高度為等級 3 的幾倍 ?

例題

8

令海嘯等級 3 與 4 的平均浪高分別為 a 與 b。 由題意可得： 3 = 1 2 +log2 a ,  4 = 1 2 +log2 b ,  由可得 log₂ a = 5 2 ，即 a=2 5 2_。由可得 log₂ b = 7 2 ，即 b=2 7 2_。因此， b a =2 7 2- 52₌_2。故海嘯等級 4 的平均浪高為等級 3 的 2 倍。承例題，已知當海嘯等級2 時，人會被海浪沖走，求此時的平均海浪高度（公尺）。（四捨五入到小數點以下第一位）解

隨堂練習

(12)

103

6

對數與對數律

丙

常用對數與科學記號

　　第一冊曾使用科學記號來判斷一個很大的數是幾位數，例如： 5.12×105是 _{6 位數。} 接著，我們進一步來探討任意正數的乘冪，先看一個大於_{1 的例子：利用計算機} 的 _鍵可得 250≈1.1×1015，由上式可知₂50是最高位數字為_{1 的 16 位數。} 　　此外，將一個介於_{0 到 1 之間的數字表為科學記號，亦可知道它在小數點後} 第幾位開始出現不為_{0 的數字，例如：} 0.00543 = 5.43×10-3 從小數點後第₃ 位開始出現不為_{0 的數字，此數字為 5。再來看一個例子：利用} 計算機的 _鍵可得 0.3100≈5.2×10-53，由上式可知將 _0.3100表示小數時，從小數點後第₅₃位開始出現不為_{0 的數字，} 此數字為 _5。　　以上的例子都是利用計算機中的 _{鍵得到答案，但因為計算機的位數有} 限，所以當數字太大或太小就會超過計算機的範圍而無法計算，此時，可透過常用對數與指數律，先將它化為_{10 的冪次後再表為科學記號來求得其位數，我們} 先以₂50說明驗證，再來看計算機按不出來的例子。

(13)

104

回答以下各小題： 1 250是幾位數？ 2 3200×₇1000是幾位數？ 3 將 0.5500表示成小數時，從小數點後第幾位開始出現不為_{0 的數字？}

例題

9

1 因為 250=

(

10log 2

)

50=1050 log 2≈1015.05 =100.05×1015≈ 1.1×1015，所以 250是最高位數字為 1 的 16 位數。可看出此結果與之前直接利用計算機求得的位數是相同的。 2 因為

3200×71000=

(

10log 3

)

200×

(

10log 7

)

1000=10200 log 3+1000 log 7≈10940.52 =100.52×10940≈3.3×10940，所以 3200×71000是最高位數字為 3 的 941 位數。 3 因為 0.5500=2-500=

(

10log 2

)

-500=10-500 log 2≈10-150.51 =100.49×10-151≈3.1×10-151，所以將 0.5500表示成小數時，從小數點後第 151位開始出現不為 0 的數字。回答以下各小題： 1 440×3100是幾位數？最高位數字為何？ 2 將 0.4100表示成小數時，從小數點後第幾位開始出現不為 0 的數字？此不為_{0 的數字為何？} 解

隨堂練習

(14)

105

6

對數與對數律　　日本發行了一本書《_{2017 年最大質數》，全書僅印了一個質數 2}77232917-1。仿照例題_{9 的方法可求得其位數為 23249425，如果一頁印約 32350 個數字的話，} 就能在書本印製前估計其頁數為_{719 頁。} 　　相較於碳_{14 的半衰期約為 5700 年，碳 15 的半衰期短得許多，僅有約 2.4 秒。} 那麼，1 分鐘後，碳 15 的數量會衰變至約為原來數量的

(

1 2

)

25 倍，而20 分鐘後，它的數量會衰變至約為原來數量的

(

1 2

)

25×20 =0.5500倍，也就是例題_{9 中第} (₃) 小題的這個數。

(15)

106

6

觀念澄清

下列敘述對的打「」 1 2log2 3₌_3。

2 log (5 + 9)=log 5×log 9。 3 log _{5 = 12 log 5。} 4 log₂ 3 = _log1 3 2。 5 若 log a = 5.67，則 a 的整數部分為 5 位數。

一、基礎題

利用對數的定義，求出下列各對數的值： 1 log₂ 4。　　　　2 log₁ 3 27。已知 _{x = log}₅_{7，求 25}x及 ₅-x的值。 3

(16)

107

6

對數與對數律

1 log 15 + log 23 。

2 log 30 - log 15 - log 6。

求_{log 47 +} 1

2 log 49- 43 log 8 的值。

1 log₁₆ 64。

2 log₂ 3×log₃ 7×log₇ 8。

1 log₂ 4 3

3 +log4 6。

(17)

108

二次世界大戰製造轟炸機時發現：製造第 _{n 架轟炸機所需的工時為 T} （年），且 _{T 與 n 之間的關係為} T =

(

4 5

)

log₂ n 。 1 求製造第 4 架轟炸機所需的時間（年）。 2 問：製造第 6 架轟炸機所需的時間是第 3 架的幾倍？將 0.054321表示成小數時，從小數點後第幾位開始出現不為 0 的數字？

二、進階題

已知 _f(_x)=log ₃_{x，且 f (a) - f (b) = 6，求 ab 的值。}

(18)

109

6

對數與對數律做某項試驗共有三種可能的結果，其發生的機率分別為 _log₄_k、log₈_k、 log₆₄ k，求實數 k 的值。 解方程式 ₉x+4×3x-45 = 0。