預測與驗證平面凸多邊形面積公式
(I)
李輝濱
嘉 義 縣 私 立 同 濟 高 級 中 學壹、前言:一個以對照歸納演繹出來的思維與預測
觀 察 同 一 系 列 之 各 種 已 知 相 異 樣 本 數 據 集 合,再 採 取 其 對 映 位 置 的 數 據 現 象 來 相 互 比 較 對 照 後,整 理 出 這 所 有 樣 本 集 合 之 間 具 有 某 類 一 貫 性 共 同 規 律 秩 序 特 質 的 方 法,在 邏 輯 上 即 稱 為 同 類 歸 納 推 理 法 ! 再 重 新 審 視 本 篇 之 參 考 文 獻 1.所 刊 載 出 平 面 凸 五 邊 形 面 積 公 式 內 容 時 , 覺 察 到 此 公 式 的 內 涵 形 態 並 沒 有 符 合 一 貫 性 共 同 規 律 秩 序 特 質 ; 此 因 公 式 中 的 6 個 cosine 項 裡 每一 單 項 的 邊 長 乘 積 分 佈 明 顯 地 露 出 不 整 齊 一 致 ! 為 了 使 這 每 一 個 cosine 項 皆能 呈 現 一系 列 的 完 整 規 則 性,作 者 精 心 思 考,實 際 演 算 出 一 套 角 度 修 正 參 數 法,終 使 平 面 凸 多 邊 形 面 積 公 式 內 所 有cosine 項 都 能 展現 出 完 整 規律 秩 序 ! 又 參 考 已 知 文 獻 中 的 平 面 凸 多 邊 形 面 積 公 式 都 是 寫 成 各 邊 長 與 內 角 的 sine 函 數 關 係 式,。 現在 將 平 面凸 多 邊 形 面積 公 式 改 寫成 各 邊 長 與內 角 的 cosine 函 數 組 合表 示 式 ; 完成 後,當 著 手 進 行 全 面 比 對 平 面 凸 四 邊 形,平 面 凸 五 邊 形 及 平 面 凸 六 邊 形 等 三 種 不 同 面 積 公 式 的 內 涵 時,竟 如 作 者 所 期 望 地 發 現 這 三 組 公 式 在 推 證 過 程 中 的 相 對 映 部 分 內 容 可 被 完 美 地 歸 納 出 具 有 連 貫 性 共 同 規 律 秩 序 特 質 的 ! 依 循 著 這 特 定 規 律 秩 序 研 究 細 則 即 能 清 楚 逐 項 地 排 列 出 正 確 完 整 的 面 積 公 式。也 因 為 關 注 覺 察 到 這 個 隱 藏 的 規 律 特 性,不 禁 興 起 無 比 信 心,本 能 地 欲 藉 此 歸 納 出 來 的 特 徵 嘗 試 直 觀 的 先 來 預 測 出 平 面 凸 多 邊 形 面 積 公 式,再 輔 以 實 際 理 論 運 算 來 驗 證 檢 視 這 些 已 由 歸 納 領 先 臆 測 出 的 結 果 。 以 下 正 文 的 敘 述 導 證 過 程 中,將 詳 盡 地 列 舉 闡 述 出 預 測 多 邊 形 面 積 公 式 的 綜 合 規 則, 並 逐 步 解 說 各 種 不 同 面 積 公 式 推 證 時,在 規 則 下 見 證 出 他 們 相 互 之 間 的 一 致 共 同 規 律 秩 序 關 係 !貳、本文
在 下 列 撰 文 推 理 演 繹 的 運 算 過 程 中,須 應 用 或 對 照 到 下 述 已 知 的 數 個 基 本 數 學 性 質:一、數學基本性質--引理
引 理 1 平 面 凸 多 邊 形 的 向 量 性 質 任給一個平面凸 n 邊形 A A A A1 2 3 4...A An1 n,令邊長A A1 2=V 的向量為1 V1 ,A A2 3=V2的向 量 為V2,… ,A A =n 1 V 的向量為n Vn , 則 此 平 面 凸 n 邊形 即 為 此 n 個 向 量 按 順 序 箭 頭 接 箭 尾 相 加而 成 的 封 閉 凸 n 邊 形 。 依 向 量 加 法 性 質 知 : n 1 m 0 n 1( mcos m) n 1( msin m) 0 m V m V i m V j
此 處 為m Vm在 直 角 座 標 平 面 上 的 方 位 角 。i 為 正 X 軸 方 向的 單 位 向 量,j為 正 Y 軸 方 向的 單 位向 量 , 再 由平 面 正 交 座標 系 性 質 知: 1( cos ) 0 n m m m V
且 1( sin ) 0 n m m m V
現 在,將 頂 點A1置 於 直 角 座 標 平 面 上 的 原 點 O,如 下圖(1),使 A A1 2邊 完 全 重 疊 並 貼 置 於 X 軸 , 以使 此 n 邊 形完 全 落 在 第 1 及 第 2 象 限 區域 內(含 X 軸), 則 V1+
mn2Vmcos[(m1)
km2Ak] 0 (1) 且
nm2Vmsin[(m1)
mk2Ak] 0 (2) 圖 1 凸 n 邊 形 證 明:由 圖 1 知 凸 n 邊 形 的內 角 依 次 為 A1,A2,A3,… ,An,而V1的 方 位 角 為零,1 V2的 方 位 角 為 π −2 A2,V3的 方 位 角 為(π −3 A2) + (π − A3),V4的 方 位 角 為(π −4 A2) +(π −A3)+(π −A4),... ,Vn的 方 位 角 為(n−1)π −(n A2+A3+A4+…+An)。將 這 n 個 方 位角 全 部 代 入 以 下 方 程 式 中 :
nm1(Vmcosm) 0 且
nm1(Vmsinm) 0 , 則 1( cos ) 0 n m m m V
將 上 列 等 式 改 寫 成 下 式 : 得 V1+ 2 cos[( 1) 2 ] 0 n m m k mV m k A
(1) 同 理 , 再 得 n 2 msin[( 1) m2 k] 0 mV m k A
(2) 證 明 完 成 。 引 理 1 的 一 組 方程 式(1)與(2)是因 以 線 段A A1 2V1為 底 , 疊 置 在 X 軸 所 求得 的 結 果 , 若 換 成 以A A2 3V2為 底 , 將 求 得 類 似 的 另 一 組 方 程 式 ; 以 此 類 推 , 總 共 會 得 出 n 組 。 這 n 組 方 程 式 是 非 常 好 應 用 的 , 尤 其 用 在 多 邊 形 尋 找 邊 長 與 內 角 之 間 的 關 係 式 時 至 為 有 效 ! 引 理 2 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 四 邊 形A A A A1 2 3 4, 如 圖 2 圖 2 令 線 段 A A1 2V1,A A2 3V2,A A3 4V3,A A4 1V4,則 此 凸 四 邊 形 的 面 積 型 餘 弦 公 式 為 2 4 V = 2 1 V + 2 2 V + 2 3V -2VV1 2cosA2-2V V2 3cosA3+ 2V1V3cos
A2A3
因 上 列 公 式 中 各 項 的 量 綱 都 是 邊 長 的 平 方 , 故 稱 為 面 積 型 餘 弦 公 式 。 證 明 : 略 。(請 參閱 本 文 末 參考 文 獻 之 1)
引 理 3 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 四 邊 形A A A A1 2 3 4,如 圖 2。令 線段 A A =1 2 V1, A A2 3=V2,A A3 4
=V3,A A4 1=V4,令 此 凸 四 邊 形 面 積 為 S(4),則 此凸 四 邊 形 的面 積 與 各 邊長 及 角 度 關 係 為
2 S(4) =V V1 2sinA2+V V2 3sinA3-V V1 3sin
A2A3
證 明 : 略 。(請 參閱 本 文 末 參考 文 獻 之 1) 引 理 4 在 平 面 上 給 定 一 個 圓 內 接 偶 數 邊 多 邊 形A A A A1 2 3 4....A An1 n,n 為 偶 數, 則 此 多 邊形 內 角 總 和 為 A1A2A3A4....An1An
n2
且 1 3 5 .... 3 1
2
2 n n n A A A A A =A2A4A6....An2An 證 明 : 略 。(請 參閱 本 文 末 參考 文 獻 之 1) 引 理 5 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 五 邊 形A A A A A1 2 3 4 5,令 線 段A A1 2=V1,A A2 3=V2,A A3 4=V3,A A4 5 =V4, A A =5 1 V5, 如 圖 3。圖 3 則 此 凸 五 邊 形 的 面 積 型 餘 弦 公 式 為 2 5 V = 2 1 V + 2 2 V + 2 3 V + 2 4
V - 2VV1 2cosA2-2V V2 3cosA3-2V V3 4cosA4+
2V1V3cos
A2A3
+ 2V2V4cos
A3A4
- 2VV1 4cos(A2A3A4)證 明 : 應 用 引 理 1. 取 n=5 代 入 一 組 方程 式(1)與(2), 並化 簡 可得
1
V =V2cosA2−V3cos
A2A3
+V4cos(A2A3A4)+V5cosA1 (1−1)V2sinA2−V3sin
A2A3
+V4sin
A2A3A4
−V5sinA1= 0 (2−1)仿 效 這 組 方 程 式 , 令 將 方 程 式(1−1)及(2−1)換 成V5為 底 , 可 得 下 列 兩 ; 5
V =V1cosA1−V2cos
A1A2
+V3cos(A1A2A3)+V4cosA5 (1−5)V1sinA1−V2sin
A1A2
+V3sin
A1A2A3
−V4sinA5= 0 (2−5)將 方 程 式(1−5)等號 兩 側 完 全平 方 再 加 上(2−5)等 號 兩側 完 全 平 方,經化 簡 , 得 2 5 V = 2 1 V + 2 2 V + 2 3 V + 2 4
V -2VV1 2cosA2-2V V2 3cosA3-2V V3 4cosA4+
2V1V3cos
A2A3
+ 2V2V4cos
A3A4
-2VV1 4cos(A2A3A4)證 明 完 成 。
引 理 6 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 五 邊 形A A A A A1 2 3 4 5, 如 圖 3.令 線 段 A A1 2=V1,A A2 3=V2, A A3 4
=V3, A A =4 5 V4, A A =5 1 V5,令 此 凸 五 邊 形 面 積 為 S(5),則 此 凸五 邊 形的 面 積 與 各 邊 長 及 角 度 關 係 為
2 S(5) =V V1 2sinA2+V V2 3sinA3+V V3 4sinA4-V V1 3sin
A2A3
-V V2 4sin(A3A4)+V V1 4sin
A2A3A4
證 明 : 應 用 引 理 3.將 五 邊 形分 割 成 四 邊形A A A A1 2 3 4和 三 角 形 A A A1 4 5,如 圖 4.
則2 S(5) = [V V1 2sinA2+V V2 3sinA3-V V1 3sin
A2A3
]+V V4 5sinA5接 下 來 仿 效 方 程 式(2−1) ,但 要 換 成 以V4為 底 , 可 得 下 式 ; 5sin 5
V A −V1sin
A5A1
+V2sin
A5A1A2
−V3sinA4= 0 (2−4) 將(2−4)式 移 項,得V5sinA5=V1sin
A5A1
−V2sin
A5A1A2
+V3sinA4代 入2 S(5)中 , 得 2 S(5) =V V1 2sinA2+V V2 3sinA3-V V1 3sin
A2A3
+ V4[V1sin
A5A1
−V2sin
A5A1A2
+V3sinA4] 而 sin(A5A1)=sin A
2A3A4
,sin A
5A1A2
=sin A
3A4
轉 換 內 角 , 整 理 後 得
2 S(5) =V V1 2sinA2+V V2 3sinA3+V V3 4sinA4-V V1 3sin
A2A3
-V V2 4sin(A3A4)+V V1 4sin
A2A3A4
證 明 完 成 。二、預測平面凸多邊形面積公式的綜合規則
計 算 平 面 凸 多 邊 形 面 積 公 式 時 , 因 得 到 的 公 式 內 文 很 長,在 文 稿 書 寫 上 以 面 積 的 平 方 式 公 式 表 示 較 為 方 便 適 當。面 積 在 數 學 運 算 上 的 量 綱 是 長 度 的 平 方,而 面 積 平 方 的 量 綱 則 是 邊 長 的 四 次 方 ! 因 此 面 積 平 方 式 公 式 裡 的 每 一 項 都 必 須 以 邊 長 的 四 次 方 為 基 本 量 再 乘 上 某 些 無 量 綱 的 實 數 係 數 或 三 角 函 數 。 理 論 上 計 算 面 積 時 採 取 將 多 邊 形 分 割 成 兩 個 相 等 邊 數 的 小 多 邊 形 或 只 差 一 個 邊 數 的 兩 個 小 多 邊 形 , 再 利 用 A.引 理 中 的 餘 弦 定 理 及 面 積 關 係 式 聯 立 解 出 ; 如 此 推 演 出 的 面 積 公 式 即 能 展 現 出 最 精 簡 的 一 貫 性 共 同 規 律 秩 序 特 質 ! 以 下 為 作 者 比 對 研 究 歸 納 出 的 5 個 綜 合規 則,用 來預 測 多 邊 形面 積 的 平 方式 公 式,這 些 被 預 測 出 的 每 一 個 原 型 凸 多 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 的 內 容 恰 好 共 分 成 三 部 份;任 給 一 平 面 凸 n 邊 形 A A1 2Am2A A Am1 m m1A An1 n, 令 邊 長 線 段A A1 2=V1, A A2 3=V2,… ,A Am2 m1=Vm2, 1 m m A A =Vm1,A Am m1=Vm,A Am1 m2=Vm1,…,A An1 n=Vn1,A A =n 1 Vn,4 n ,n 為 正整 數, 且 令 1 1 ( 1) 2 4 n n m ,現 在 連 接A1和 Am兩 頂 點,形 成 一 對 角 線 A A 將 此 凸 n 邊形分割成m 1 兩 個 小 多 邊 形 。 (一) 此 平 面 凸 n 邊 形 A A1 2A A Am1 m m1A An1 n被 分 割 成 兩 個 小 多 邊 形 , 分 別 為 多 邊 形 1 2 m1 m A AA A 和 多 邊 形 A Am m1A An 1,兩 個 小 多 邊 形 的 共 同 邊 長 在 公 式 中 是 不 存 在 的, 而 其 餘 還 各 自 有 m−1 和 n−m+ 1 個 邊長 分 別 為V1,V2,V3,…,Vm1和Vm,Vm1,…,Vn1,Vn 形 成 兩 組 不 同 的 邊 長 集 合,現 在 先 從 每 一 組 邊 長 集 合 內 各 自 任 取 2 相 異 邊長 相 乘,之 後 使 每 一 乘 積 再 各 自 完 全 平 方,最 後 再 將 所 有 兩 組 的 平 方 項 相 加,這 樣 就 構 成 了 被 預測 出 的 公 式 中 第 一 部 份[ ] 內 的 平 方 項 的 和 。 此 [ ] 內 共 有 [(m−1)(m−2)+(n−m + 1)(n−m)]/2 項 ,這 完 整 的 第一 部 份 應 記為 下 列 型 式; 1 4[ 2 1 2 (V V ) + 2 1 3 (V V ) +… 2 2 1 1 2 3 (V Vm ) (V V ) + 2 2 4 (V V ) +… 2 2 1 (V Vm) + 2 3 4 (V V ) +…+ 2 2 1 (V Vm m) + 2 1 (V Vm m) + 2 2 (V Vm m ) +… ( )2 m n V V + 2 1 2 (V Vm m ) + 2 1 3 (V Vm m ) +…+ 2 1 (V Vm n) +(V Vm2 m3)2+…+(V Vm2 n)2+(V Vm3 m4)2+…(V Vn1 n)2] 第 一 部 份[ ]前 的係 數 1/4 則 是 計算 過 程中 獲 得 之 必然 常 數 。 詳 細 檢 視 , 可 注 意 到 上 列 中 每 一 項 的 量 綱 都 圓 滿 地 呈 現 出 邊 長 的 四 次 方 ! (二) 由 第 一 組 邊 長 集 合V1,V2,V3,…,Vm1中 依 序 取 出 各 個 邊 長 各 自 平 方 和 2 1 V + 2 2 V + 2 3 V + 2 2 2 1 m m V V , 再 減 去 第 二 組 邊 長 集 合Vm,Vm1,…,Vn1,Vn 的 各 個 邊 長 各 自 平 方 和 2 2 1 m m V V +…+ 2 1 n V + 2 n V , 如 此 就 構成 了 公 式 中第 二 部 份( )之 平 方 內 的 n 個 項。這 完 整 的 第 二 部 份 應 記 為 下 列 型 式 ; 2 1 1 ( 16 V + 2 2 V + 2 3 V +…+ 2 2 2 1 m m V V Vm2Vm12… 2 2 1 n n V V
)
2 而 係 數
1/16 也 是演 算 時 獲 得之 必 然 常 數。又 再 度 見到 這 第 二 部份 展 開 式 後其 內 容 的 每 一 項 量 綱 都 是 邊 長 的 四 次 方 ! (三) 公 式中 組 成 第 三部 分 的 每 一項 是 由 此 多邊 形 4 個 不同 邊 長 乘 積再 乘 上 cosine 函 數 所 構 成 的。所 有 cosine 項 前 的係 數 1/2 也 是 運算 出 的必 然 常 數,在 第三 部 分裡 呈 現 出 所 有 cosine 項 的總 項 數 恰 好等 於 由 n 邊 形 中任 取 4 個 不 同 邊 長的 選 法 數 目, 即 共 有 C(n,4) = ( 1)( 2)( 3) 4 3 2 1 n n n n 項,每 項 都 由 4 個 不同 邊 長 乘 積組 成;這 麼多 項 須 按 邊長 右 下 標 數 字 的 順 序 循 環 排 列 , 形 成 以 下 各 循 環 組 ; 第1 循 環 組 :1234, 2345, 3456, 4567, 5678,…,(n−2)(n−1)n1, (n−1)n12, n123 第2 循 環 組 :1235, 2346, 3457, 4568, 5679,…,(n−2)(n−1)n2, (n−1)n13, n124 第3 循 環 組 :1236, 2347, 3458, 4569,…,(n−2)(n−1)n3, (n−1)n14, n125 … 一 直 排 列 到 所 有 的 C(n, 4)項都 出 現 為 止, 而 且 每 一項 都 不 得 重複 ! 例 1: 六邊 形 循環 組 如 下 ; 第1 循 環 組 :V V V V1 2 3 4, V V V V2 3 4 5, V V V V3 4 5 6, V V V V4 5 6 1, V V VV5 6 1 2, V V V V6 1 2 3 第 2 循 環 組 :V V V V1 2 3 5, V V V V2 3 4 6, V V V V3 4 5 1, V V V V4 5 6 2, V V V V5 6 1 3, V VV V6 1 2 4 第3 循 環 組 :V V V V1 2 4 5, V V V V2 3 5 6, V V V V3 4 6 1, 總 共 有 C(6, 4) = 15 個 不同 項 。 (四) 第三部份每一 cosine 項( )裡呈現的角度組合則以下述之內角排列法則來規範;內角排 列法則是根據每一個cosine 項前的 4 個邊長係數右下標數字來決定,請看第一個 cosine項係 數為V V V V1 2 3 4, 將其 分成 前 後兩 對, 前 一對 是V V1 2這V1與V2的兩 個邊 長 在多 邊形 圖 形上所夾的角度是A2。而後一對V3與V4在多邊形圖形上所夾的角度是 A4。這A2+A4就 是出現於第一個 cosine 項( )內的角度排列,組合起來就成為V V V V1 2 3 4cos(A2+A4)! 再 看 九 邊 形 某 一 個 cosine 項 係數 為V V V V6 7 8 2,將 其 分 成 前 後 兩 對,前 一 對 是V V6 7,這V6 與V7的 兩 個 邊 長 在 多 邊 形 圖 形 上 所 夾 的 角 度 是 A7。 而 後 一 對V8與V2在 九 邊 形 圖 形 上 依 由V8到V2順 序 所 夾 的 角 度 是 A9+A1+A2。這A7+A9+A1+A2就 是 出 現 於 這 cosine 項( ) 內 的 角 度 排 列 , 組 合 起 來 成 為V V V V6 7 8 2 cos( A7+ A9+ A1+ A2) ! 面 積 平 方 式 公 式 任 一 cosine 項( )裡 的角 度 組 合 都以 上 述 之 內角 排 列 法 則來 操 作 。 像這 個V V V V6 7 8 2的 cosine 項 在 面 積 公 式 推 導 過 程 中 是 不 會 直 接 出 現 的 , 而 是 需 要 透 過 引 理 1.與 應 用 角 度 修 正 參 數 法 間 接 轉 換 得 到 的。多 數 的 cosine 項 皆 能 直 接 求出,而 不 少部 分 項 需 要經 由 間 接 轉 換 而 得,這 在 驗證 篇 幅 裡 就可 讀 到 。 (五) 第 三部 份 各 cosine 項 循 環 組自 然 出 現 的正 負 符 號 則按 下 列 規 律形 成 ; 詳 盡比 對 所 有 cosine 項 各 對 映位 置 的 內 容,發現 任 一 cosine 項 的( )內所 出 現 角度 組 合 之 內角 個 數 與 其 本 身 的 正 負 符 號 之 間 存 在 著 特 定 的 關 聯 性 ! 這 個 被 歸 納 出 的 相 關 性 特 徵 如 下;令 任 給 一 cosine 項 的四 個 邊 長 係數 為V V V Va x b y, 將 此 係 數 分 成 前 後 兩 對 ; 前 一 對 是V Va x, 這 兩 個 邊 長Va與Vx依 順 序 由 a 至 x 在 多 邊 形上 所 夾 的 內角 數 目 有k1個 。 而 後 一 對 是 b y V V , 這 兩 個 邊 長Vb與Vy依 順 序 由 b 至 y 在 多 邊形 上 所 夾 的內 角 數 目 有k2個 。 令k1+ 2 k =k,k即 為 cosine 項( )內 的 角 度總 數 目 ,因 為 面積 公 式中 cosine 項的 係 數 結 構都 是 由 此 前 後 兩 對 邊 長 相 乘 運 算 得 來,故 這 被 歸 納 出 的 正 負 符 號 關 係 式 為(−1)k+1,意 即 由 cosine 項 ( )內 的角 度 總 數目 來 決 定 正負 符 號 。 當 cosine 項( )內的 角 度 總數 目 為 奇 數 時 , 此 cosine 項 係 數 為 正。 當 cosine 項( )內 的 角度 總 數 目 為偶 數 時 ,此 cosine 項 係 數 為 負 。 因 此 第 三 部 分 每 一 個 cosine 項 的完 整 敘述 應 記 為 下列 型 式 ; 1 ( 1) k 1 2 V V V Va x b ycos(Ax(k11)Ax1Ax+ Ay(k21)Ay1Ay)。 若 x−1, x−2, … , x−(k1−1)中 任一 個 出 現 負數 或 零,那 麼這 個 負 數 或零 必 須 加 上原 凸 多
邊 形 的 總 邊 數 使 其 為 正 。 同 樣 地 ,y−1, y−2, … , y−(
k
2−1)亦 是 如 此。 例 2: 平面 凸 九邊 形 由 邊 長係 數 為V V V V5 6 7 2所 帶 領 的 一 個 完 整 cosine 項為 5 1 ( 1) 1 2 V V V V5 6 7 2cos(A6A8A9 A1A2)= 1 2V V V V5 6 7 2cos(A6A8A9 A1A2) 例 3: 平面 凸 九邊 形 由 邊 長係 數 為 V V V V4 5 7 1所 帶 領 的 一 個 完 整 cosine 項 為 4 1 ( 1) 1 2 V V V V4 5 7 1cos( A5 A8A9A1)= 1 2 V V V V4 5 7 1cos( A5 A8A9A1) 由 遵 循 上 述 的 5 個 綜 合 規 則即 可 用 來 預測 原 型 平 面凸 多 邊 形 面積 平 方 式 公式 。三、預測平面凸多邊形面積平方式公式與驗證
(一 ) 平 面 凸 四 邊 形 a. 預 測 原 型 面 積 平 方 式 公 式 圖 5 如 圖 5. n = 4,則 m = 3, 故 連接 兩 個 頂 角 A3與A1使 形 成 一 對 角 線 A A ,將 此 凸 四 邊 形3 1 分 割 成 三 角 形A A A1 2 3和 另 一 個 三 角 形 A A A3 4 1,再 參 照 B.的 5 個 綜合 規 則,先 預 測 出 這 平 面 凸 四 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 如 下 ;
2 (4) S =1 4[ 2 1 2 (V V ) + 2 3 4 (V V ) ] 2 1 1 ( 16 V + 2 2 V - 2 3 V - 2 4 V)
2 1 2 VV V V1 2 3 4cos(A2A4) (4−1) 此 方 程 式(4−1)式 就是 原 型 的 平 面 凸 四 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 ! 繼 續 運 算 , 得
2 (4) S = 1 16[ 2 1 2 (2V V ) + 2 3 4 (2V V ) − 2 1 (V + 2 2 V - 2 3 V - 2 4 V)
2+ 8V V V V1 2 3 4]
1 2VV V V1 2 3 4[cos(A2A4) 1] = 1 16[(2VV1 2+ 2 3 4 2V V ) - 2 1 (V + 2 2 V - 2 3 V - 2 4 V)
2]
V V V V1 2 3 4cos2( 2 4) 2 A A = 2 2 1 2 3 4 1 [( ) ( ) ] 16 V V V V 2 2 3 4 1 2 [(V V ) (V V ) ]-V V V V1 2 3 4cos2( 2 4) 2 A A 再 因 式 分 解 , 即 得
S(4)
2 = 1 2 3 4 1 ( ) 16 V V V V (V2 V3 V4V1) (V3V4 V V1 2) (V4 V V1 2V3)-V V V V1 2 3 4cos2( 2 4) 2 A A (4−2) 方 程 式(4−2)式 即 為 著 名 的 Bretschneider 平 面 凸 四 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 ! 這 立 即 驗 證 出 原 型 平 面 凸 四 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 的(4−1)式 是完 全 正 確 ! b. 令 S(4)circle 為圓 內 接 四邊 形 的 面 積, 因 A2A4 , 則(4−2)式 化 簡 變成 下 式 ;
2 (4)circle S = 1 ( 1 2 3 4) 16 V V V V (V2 V3 V4 V1) (V3V4 V V1 2)(V4 V V1 2V3) (4−3) (4−3)式 即 為 著 名的 Brahmagupta 圓 內 接四 邊 形 面 積平 方 式 公 式!(二 ) 平 面 凸 五 邊 形 a. 預 測 原 型 面 積 平 方 式 公 式 圖 6 見 圖 6. n = 5,則 m = 3,故 連 接 兩 個 頂角 A3與A1使 形 成 一 對 角 線 A A ,將 此 凸 五 邊3 1 形 分 割 成 三 角 形 A A A1 2 3和 另 一 個 四 邊 形 A A A A3 4 5 1, 再 參 照 B.的 5 個 綜 合規 則,先 預測 出 平 面 凸 五 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 如 下 ;
2 (5) S =1 4[ 2 1 2 (V V ) + 2 3 4 (V V ) + 2 4 5 (V V ) + 2 3 5 (V V) ] 2 1 1 ( 16 V + 2 2 V - 2 3 V - 2 4 V - 2 5 V)
2
12[VV V V1 2 3 4cos(A2A4)+V V V V2 3 4 5 cos(A3A5)+V V V V3 4 5 1cos(A4+A1)+ 4 5 1 2cos( 5 2) V V VV A A +V VV V5 1 2 3cos(A1A3)] (5−1) 此 方 程 式 (5-1)式 就是 原 型 的 平 面 凸 五 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 ! 若 令V5= 0, 使 頂 點 A5趨 近 於 A1, 則 平 面 凸 五 邊 形 即 退 化 成 平 面 凸 四 邊 形 , 而 方 程 式 (5−1)式 即 退 化 成(4−1)式 ! 令 圓 內 接 五 邊 形 的 面 積 為S(5)circle, 由 圓 內 接 奇 數 邊 形 的 性 質 知 圓 內 接 五 邊 形 5 個內 角 之 間 任 2 個 內角 和 無 任 何其 它 特 殊 關係 , 故 此方 程 式 (5−1) 式 也 是 原 型 的 圓 內 接 五 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 ! 則
2 (5)circle S =
2 (5) S .(5−1) b. 驗 證 如 圖 6. 將 五 邊形 分 割 成 三角 形A A A1 2 3和 四 邊 形 A A A A1 3 4 5, 則 由 餘 弦 定 理 及 引 理 2, 得 2 1 V + 2 2 V − 2 3 V − 2 4 V − 2 5V = 2VV1 2cosA2−2V V3 4cosA4−2V V4 5cosA5+ 2V3V5cos
A4A5
(5−2) 而 應 用 引 理 3. 得 五邊 形 面 積關 係 式 為2 S(5) =V V1 2sinA2+V V3 4sinA4+V V4 5sinA5-V V3 5sin
A4A5
.(5−3) 則 由(5−2)式 的 平方 加 上(5−3)式 的 平 方 ,再 經 化 簡 ,得 4
2 (5) S +1( 4 2 1 V + 2 2 V − 2 3 V − 2 4 V − 2 5 V)
2 = 2 1 2 (V V ) + 2 3 4 (V V ) + 2 4 5 (V V ) + 2 3 5 (V V ) −2VV V V1 2 3 4cos(A2A4)−2VV V V1 2 4 5cos(A2A5)+ 2VV V V1 2 3 5cos(A2A4A5)−2 2 3 4 5 cos 4 V V V A −2 2 3 4 5cos 5 V V V A +22 3 4 5cos( 4 5) V V V A A .(5−4) 現 在 首 先 要 注 意 的 是 那 些 帶 有 cosine 的 六個 項 , 由觀 察(5−4)式最 後 3 項 ,發 覺 每 一 項 都 出 現 一 個 邊 長 的 平 方。依 據 思 考 的 理 解; 每 一 cos 項 都 只能 出 現 4 個 完 全相 異 邊 長 的 乘 積,而 對 照 歸 納 也 顯 示 凸 五 邊 形 每 一 cosine 項 都需 僅 出 現 4 個 不 同邊 長 乘 積, 由 組 合 原 理 知 ; 總 共 只 能 有 5 個 cosine 項 數, 故 這最 後 3 個 有邊 長 平 方 的項 必 須 被 修 正 成 只 有 4 個 不 同邊 長 乘積 的 2 項 !令 這 最 後 3 個 有 邊 長 平方 的 項 為 R,則 R = −2 2 3 4 5 cos 4 V V V A −2 2 3 4 5cos 5 V V V A +2 2 3 4 5cos( 4 5) V V V A A
=2V V V V3 4 5[ cos3 A V5 4cos(A4A5)V5cosA4] ..(5−4a) (5−4a)式 的[ ]內 3 個 項 要 修 正變 換 成V1cosX和V2cosY 的 組 合 !
即 V3cosA V5 4cos(A4A5)V5cosA4= V1cosX +V2cosY . (5−4b)
(5−4b)式 的 內 涵呈 現 出 五 個邊 長 的 各 項組 合, 要 尋找 到 這 樣 的型 式 就 必 須回 到 引 理 1. 的 方 程 式(1−1)及(2−1), 仔 細 比 對 方 程 式(1−1)及 (5−4b)式 發 覺 此 五 邊 形 的 內 角 須 分 成 兩 組;A1,A4為 一 組,而 A2,A3,A5為 另 一 組 ! 將 多 邊 形 所 有 內 角 分 成 兩 組 的 組 合 情 形 有 很 多 種 , 需 要 詳 盡 比 對 才 能 找 到 最 適 合 的 兩 組 組 合 。 **角 度 修 正 參 數 法 ** : 角 度 修 正 參 數 法 是 作 者 獨 自 精 心 研 究 思 考 所 發 現 到 既 有 理 論 又 能 正 確 的 找 出 (5−4b) 式 的 方 法 ! 以 下 即 為 角 度 修 正 參 數 法 的 應 用 ; 平 面 凸 五 邊 形 內 角 總 和 為 3 π , 令 為 角 度 修 正 參 數 , 並 設 定 1 4 3 2 AA 且 2 3 5 3 2 A A A , 將 這2 個 組 合代 入 方 程 式(1−1)及 (2−1)中 ; 得 1
V =V2cosA2-V3cos
A2A3
+V4cos(A2A3A4)+V5cosA1 (1−1)1 V = 2cos(3 3 5) 2 V A A − 3cos(3 5) 2 V A + 4cos(3 4 5) 2 V A A + 5cos(3 4) 2 V A
=V2sin(A3A5)−V3sin(A5)+V4sin(A4A5)−V5sin(A4)
= sin
[ cos(V2 A3A5)−V3cosA5+V4cos(A4A5)−V5cosA4]+ cos
[ V2sin(A3A5)+V3sinA5+V4sin(A4A5)−V5sinA4] (5−5a)另.V2sinA2−V3sin
A2A3
+V4sin
A2A3A4
−V5sinA1= 0 (2−1)2 3 5 3 sin( ) 2 V A A − 3 5 3 sin( ) 2 V A + 4 4 5 3 sin( ) 2 V A A
5sin(3 4) 2 V A = 0, 展 開 此 等 式 , 得0 =−V2cos(A3A5)+V3cos(A5)−V4cos(A4A5)+V5cos(A4)
+ sin ·[V2sin(A3A5)+V3sinA5+V4sin(A4A5)−V5sinA4] (5−5b)
現 在 令 P5=V2cos(A3A5)−V3cosA5+V4cos(A4A5)−V5cosA4
Q5=V2sin(A3A5)+V3sinA5+V4sin(A4A5)−V5sinA4
則 (5−5a)式 變 成 V = sin1 ·P5+ cos ·Q 5 (5−6a) (5−5b)式 變 成 0 = cos ·(P5)+ sin ·Q 5 . (5−6b) 聯 立 解(5−6a)式 與(5−6b)式 ,得V1cos =Q5且V1sin =P5
而 cos(A1+A4) = cos( 3
2 ) = −sin ,代入V1sin =P5中 , 得
−V1cos( A1+ A4) =V2cos(A3A5)−V3cosA5+V4cos(A4A5)−V5cosA4
移 項 整 理 後 即 找 到(5−4b)式 的下 述 修 正 型式(5−4c)了 ;
3cos 5
V A −V4cos(A4A5)+V5cosA4=V1cos( A1+A4)+V2cos(A3A5) (5−4c) 將(5−4c)式 代 回(5−4a)式 ,再 一 起 代 回(5−4)式 , 再將cos(A2A4A5)轉 換 成
cos(A1A3), 即 得 下 列(5−7)式 ; 4
S(5)
2+1( 4 2 1 V + 2 2 V − 2 3 V − 2 4 V − 2 5 V)
2 = 2 1 2 (VV ) + 2 3 4 (V V ) + 2 4 5 (V V) + 2 3 5 (V V) -2VV V V1 2 3 4cos(A2A4)-2V V V V2 3 4 5 cos(A3A5)−2V V V V3 4 5 1cos( A4+A1)−2V V VV4 5 1 2cos(A5A2)−2V VV V5 1 2 3cos(A1A3) (5−7) 將 (5−7)式 再 移項 , 化 簡 ,最 後 整 理 得到 所 期 待 的下 式 ;
2 (5) S =1 4[ 2 1 2 (VV ) + 2 3 4 (V V ) + 2 4 5 (V V) + 2 3 5 (V V) ] 2 1 1 ( 16 V + 2 2 V - 2 3 V - 2 4 V - 2 5 V)
2− 12[VV V V1 2 3 4cos(A2A4)+V V V V2 3 4 5 cos(A3A5)+V V V V3 4 5 1cos( A4+A1)+ 4 5 1 2cos( 5 2) V V VV A A +V VV V5 1 2 3cos(A1A3)] (5−1) 驗 證 完 成 。 驗 證 過 程 中 可 看 到V V V V2 3 4 5及V V V V3 4 5 1兩 項 是 需 要 經 由 轉 換 而 間 接 獲 得 的 。 角 度 修 正 參 數 法 在 演 算 過 程 中 必 扮 演 重 要 且 決 定 性 的 任 務 。 c. 將 (5−1)式 前 兩 項 組 合 後 再 分 解 , 則 持 續 運 算 如 下 ;
2 (5) S = 1 16[ 2 1 2 (2VV ) + 2 3 4 (2V V ) + 2 4 5 (2V V) + 2 3 5 (2V V) +8V V V V1 2 3 4+8V V VV4 5 1 2+ 8V VV V5 1 2 3+8 2 3 4 5 V V V +8 2 3 4 5 V V V +8 2 3 4 5 V V V ] 2 1 1 ( 16 V + 2 2 V - 2 3 V - 2 4 V - 2 5 V)
2
12{VV V V1 2 3 4[cos(A2A4) 1] +V V V V2 3 4 5 [cos(A3A5) 1] +V V V V3 4 5 1[cos(A4+A1)+1]+ 4 5 1 2[cos( 5 2) 1]
V V V V A A +V VV V5 1 2 3[cos(A1A3) 1] }+ 1
= 1 16[(2V V1 2+2V V3 4+2V V4 5+ 2 3 5 2V V ) − 2 1 (V + 2 2 V − 2 3 V − 2 4 V − 2 5 V
)
2]− 12{VV V V1 2 3 4[cos(A2A4) 1] +V V V V2 3 4 5 [cos(A3A5) 1] +V V V V3 4 5 1[cos(A4+A1)+1]
+V V V V4 5 1 2[cos(A5A2) 1] +V VV V5 1 2 3[cos(A1A3) 1] }+1 2V V V3 4 5(V +1 V -2 V -3 V -4 V ) 5 將 第 1 項 作 因 式分 解 並 將 cosine 化 成 半角 , 則 得