圓內接多邊形頂角的合分角正弦與餘弦函數值關係方程式(上)

圓內接多邊形頂角的合分角正弦

與餘弦函數值關係方程式

(上)

李輝濱

嘉 義 市 私 立 輔 仁 中 學 退 休 教 師

壹、前言

在 完 整 探 討 了 圓 內 接 多 邉 形 頂 角 的 合 分 角 正 弦 函 數 值 關 係 方 程 式 後，就 自 然 直 覺 想 到 是 否 還 存 在 有 另 一 組 頂 角 的 合 分 角 餘 弦 函 數 值 關 係 方 程 式 ？ 筆 者 旋 即 進 行 拓 展 那 新 一 組 相 呼 應 的 合 分 角 餘 弦 值 關 係 方 程 式 的 研 發 。 請 參 閱 下 圖1.， 圖 1 給 定 一 個 半 徑

R

的 圓 內 接

n

邉 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄



A

_n2

A

_n1

A

_n ， 令 邉 長 線 段

V

_i



A

_i

A

_i1 ，

n

i





1

，

A

_n1



A

₁ ；



_i





A

_i

A

₁

A

_i1，

2



i



n



1

； 對 角 線 長

d

_1j



A

₁

A

_j ,

1

3



j



n



， 頂 角

A

₁





₂





₃





₄



...





_n3





_n2





_n1， 則 有 下 列 方 程 式 ；



1 1

sin

V

V

A

n



  ) 1 ( 1 1

sin

n n n

d

V





   ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 2

sin

n n n

d

d





   ) 3 ( 1 ) 2 ( 1 3

sin

n n n

d

d



… +



14 15 4

sin

d

d





13 14 3

sin

d

d



1 13 2

sin

V

d



(L1) 方 程 式 (L1)式 稱為 圓 內 接

n

邉 形 頂 角 的 合 分 角 正 弦 函 數 值 關 係 方 程 式。如 今 眾 所 皆 知；三 角 形 的 正 弦 定 理 與 餘 弦 定 理 兩 者 的 方 程 式 內 涵 是 有 很 明 顯 的 差 異；平 面 凸 多 邊 形 面 積 的 正 弦 式 表 示 式 與 餘 弦 式 表 示 式 更 是 有 極 大 的 不 同。所 以，現 在 要 透 過 詳 盡 的 研 究 推 演 證 明， 以 得 證 出 圓 內 接 多 邉 形 頂 角 的 合 分 角 餘 弦 值 關 係 方 程 式，並 施 以 對 照 比 較 而 釐 清 出 此 兩 方 程 式 在 型 態 結 構 上 的 區 別 ！ 在 推 證 演 繹 的 過 程 中 也 細 膩 周 詳 地 比 對 圓 內 接 四 邉 形 、 圓 內 接 五 邉 形 、 圓 內 接 六 邉

形、…、圓 內 接 九 邉 形 等 等 圖 形 頂 角 的 合 分 角 餘 弦 函 數 值 關 係 方 程 式 的 各 式 內 容，發 現 到 這 所 有 公 式 彼 此 之 間 都 存 在 著 共 同 一 致 規 律 特 性；即 毎 一 公 式 中 的 各 項 式 組 合 皆 遵 守 著 特 定 規 則，而 所 有 項 式 集 體 結 合 其 來 就 形 成 整 齊 秩 序 排 列 的 方 程 式 ！ 因 此，特 地 再 將 它 們 彙 整、歸 納，進 而 編 著 成 圓 內 接

n

邊 形 一 般 化 公 式 中 各 項 式 依 序 排 列 完 整 的 3 個 綜 合 法 則。 遵 循 著 這 3 法 則的 指 引，學 習者 都 可 以精 準 美 妙 的書 寫 出 任 一個 圓 內 接

n

邊 形 完 備 特 有 的 正 確 方 程 式 ！

貳、本文

在 本 文 一 系 列 敘 述 解 說 的 導 證 過 程 中，將 詳 盡 列 舉、闡 述 出 圓 內 接 多 邊 形 頂 角 的 合 分 角 餘 弦 值 關 係 方 程 式 的 3 個綜 合 法 則 。當 在 理 論 驗證 時 必 頻 繁引 用 到 方 程式 (L1)式 與圓 內 接 多 邊 形 各 圓 周 角 的 正 弦 定 理 公 式 以 及 平 面 幾 何 學 中 慣 常 應 用 到 的 輔 助 線 幾 何 圖 形 作 圖 法 來 達 成 推 理 實 證 的 演 繹 工 作。同 時，在 下 列 撰 文 推 理 引 證 的 運 算 過 程 中，需 應 用 對 照 到 下 述 已 知 的3 個 基 本 數 學性 質 ；

一、基本數學性質—引理：

引 理1. 圓 內 接四 邊 形 的 托勒 密 公 式 ： 圖 2. 圓 內接 四 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄， 對 角 線 圖 2. 長

A

₁

A

₃



d

₁₃ ,

A

₂

A

₄



d

₂₄ ， 則 托 勒 密 定 理 為 ； 13 24

d

d

=

V

₂

V

₄



V

₃

V

₁ (Ptolemy theorem ) (L2) 證 明 ： 略 。 引 理2. 圓 內 接多 邊 形 各 圓周 角 的 正 弦定 理 ： 圖 3. 給 定 半 徑 為

R

的 圓 內 接

n

邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄



A

_n2

A

_n1

A

_n， 令 邉 長 線 段

A

₁

A

₂ =

V

₁，

圖 3 3 2

A

A

=

V

₂，

A

₃

A

₄ =

V

₃，…，

A

_n2

A

_n1=

V

_n2，

A

_n1

A

_n =

V

_n1，

A

_n

A

₁=

V

_n，而 邉 長 1

V

所 對 應 的 圓 周 角 為



₁，

V

₂所 對 應 的 圓 周 角 為



₂，

V

₃所 對 應 的 圓 周 角 為



₃，…， 2  n

V

所 對 應 的 圓 周 角 為



_n2，

V

_n1所 對 應 的 圓 周 角 為



_n1，

V

_n所 對 應 的 圓 周 角 為 n



， 則 此 多 邊 形 各 邉 長 所 對 應 的 圓 周 角 的 正 弦 定 理 方 程 式 為 下 列 (L3)式 ：



1 1

sin



V



2 2

sin



V



 

3 3

sin



V



  2 2

sin

_n n

V



sin

1_n1



n

V



R

V

n n

₂

sin





(L3) 證 明 ： 由 等 弦 對 應 等 圓 周 角 及 直 角 三 角 形 的 正 弦 值 關 係 即 可 證 明 (略 )。 引 理3. 圓 內 接

n

邉 形 頂 角 的 合 分 角 正 弦 函 數 值 關 係 方 程 式 為 前 言 中 的 (L1)式 證 明 ： 詳 見 本 文 內 文(二).之 6.內 6.2a).中的 證 明 。

二、圓內接多邊形頂角的合分角餘弦函數值關係方程式

(一 ) 歸 納 圓 內 接 多 邊 形 頂 角 的 合 分 角 餘 弦 函 數 值 關 係 方 程 式 的 綜 合 法 則 以 下 就 是 透 過 比 對 研 究 歸 納 出 的 3 個 綜 合 法 則 ， 用 來 指 引 如 何 搜 尋 頂 角 的 合 分 角 餘 弦 值 與 邊 長 及 對 角 線 長 的 乘 積 組 合，再 編 列 出 此 圓 內 接 多 邊 形 頂 角 的 合 分 角 餘 弦 函 數 值 關 係 方 程 式 。 半 徑

R

的 圓 內 接

n

邉 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄



A

_n2

A

_n1

A

_n， 請 看 圖 1.， 承 續 前言 所 列 的 各 邊 長 與 對 角 線 長 度，理 論 上 求 證 計 算 這 些 公 式 時，由 圖 形 的 一 般 性，直 觀 的 選 取 頂 點

A

₁ 作 為 定 點 ， 再 由 此 定 點

A

₁引 出 (

n



3

)段 對 角 線 長 ， 這 些 對 角 線 都 集 中 相 交 在 定 點

A

₁處 而 不 再 有 其 它 相 互 的 交 點，定 點 處 的 頂 角

A

₁，

A

₁





₂





₃





₄



...





_n3





_n2





_n1，故 頂 角 1

A

是 合 角 ， 而



₂、



₃、



₄、 … 、



_n3、



_n2、



_n1等 等 各 圓 周 角 都 是 頂 角

A

₁的 分 角 ， 則 這 被 預 先 歸 納 列 舉 出 的 每 一 個 圓 內 接 多 邊 形 頂 角 的 合 分 角 餘 弦 函 數 值 關 係 方 程 式 公 式 的 法 則 是 ；

綜 合 法 則[1]. 所 證 公 式 的 等 號 左 側 內 容 是 單 一 個 分 式 項 ， 由 定 點 處 的 頂 角

A

₁合 角 取 餘 弦 值 形 成 分 子 ， 而 分 母 則 由 頂 角

A

₁的 兩 側 邊 長 長 度 乘 積 形 成 。 所 以 這 個 單 一 分 式 項 的 完 整 內 容 為 ； 1 1

cos

V

V

A

n 。 綜 合 法 則[2]. 所 求 公 式 的 等 號 右 側 內 容 要 區 分 成 兩 組 相 異 部 份 ； 第 一 組 內 容 是 由 (

n



2

) 個 不 同 分 式 項 相 加 而 成 。 毎 一 個 分 式 項 都 型 如 法 則[1].的 結 構 ； 是 由 各 分 角 取 餘 弦 值 形 成 分 子，而 分 母 則 由 各 分 角 的 兩 側 邊 長 長 度 乘 積 形 成 的。然 後 將 各 分 式 項 依 序 由



_n1、



_n2、 3  n



、 … 、



₄、



₃、



₂排 列 相 加 而 成 ， 這 一 組 的 完 整 內 容 為 ；



  ) 1 ( 1 1

cos

n n n

d

V





   ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 2

cos

n n n

d

d





   ) 3 ( 1 ) 2 ( 1 3

cos

n n n

d

d



… +



14 15 4

cos

d

d





13 14 3

cos

d

d



1 13 2

cos

V

d



。到 目 前 為 止，由 觀 察 所 述 的 公 式 內 容 型 態 是 與 正 弦 值 的 方 程 式 (L1)式 相類 似，但 兩者 最 大 的 不同 處 就 在 於下 列 法 則[3].的 第二 組 法則 內 涵 裡 。 綜 合 法 則[3]. 所求 公 式 的 等號 右 側 第 二組 內 容 是 一非 常 巨 大 的單 一 個 分 式項 ； (3-1) 請 續見 圖 1.，這 碩 大 分 式 項的 分 母 是 由頂 角

A

₁的 兩 側 邊 長 長 度 與 由 此 定 點

A

₁引 出 的 所 有 (

n



3

)段 對 角 線長 其 各 長 度的 平 方 相 乘積 而 得。因 此，此項 分 母 的完 整 內 容 為； 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 3 ( 1 2 ) 4 ( 1 2 16 2 15 2 14 2 13 1 n n n n n

V

d

d

d

d

d

d

d

d

V

_

。 檢 視 此 項 分 母 完 整 乘 積 內 容 的 量 綱(dimension)是 長 度 的 (

2

n



4

)次 方 ！ 由長 度 量 經 過冪 次 乘 積 運算 而 得 出 的 因 次 量 就 稱 為 量 綱(dimension)。 再 比 對 逐 一 觀 察 法 則 [1].與 法 則 [2].的 各 分 式 項 式 所 顯 示 的 運 算 量 綱 是 長 度 的 負 2 次方 ！ 如 此可 推 演 出 這碩 大 分 式 項分 子 裡 的 毎一 項 其 運 算 量 綱 必 是 長 度 的 (

2

n



6

)次 方 ！ (3-2) 這 碩大 分 式 項 的分 子 部 份 裡其 組 成 內 容總 計 有 下 列詳 盡 的 4 個 組 合模 式 ： [第 一 組 合 模 式]：由

V

_n

V

₁乘 積 領 軍 ， 此 模 式 下 有 (

n



4

)種 情況 組 合 敘 述於 下 ； case 1.在 所 有 (

n



3

)段 對 角 線 長中 任 取 (

n



4

)段對 角 線 長，使 被 選 取 到的 毎 一 對 角線 長 度 先 各 自 平 方 後 再 相 乘 而 得 一 乘 積 組 合 式 ， 此 情 況 計 有 (

n



3

)項 ， 再全 部 依 序 相 加 起 來 ， 得 2 ) 2 ( 1 2 ) 3 ( 1 2 15 2 14 2 13

d

d

d

n

d

n

d



+

d

₁₄2

d

₁₅2

d

₁₆2

_

d

_1(n2)2

d

_1(n1)2+

2 13 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 3 ( 1 2 16 2 15

d

d

d

d

d

d

_

_{n n n} +

d

₁₆2

d

₁₇2

d

₁₈2



d

_1(n2)2

d

_1(n1)2

d

₁₃2

d

₁₄2+ … + 2 ) 5 ( 1 2 ) 6 ( 1 2 15 2 14 2 13 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 3 ( 1n

d

n

d

n

d

d

d

d

n

d

n

d

_

+ 2 ) 4 ( 1 2 ) 5 ( 1 2 14 2 13 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1n

d

n

d

d

d

n

d

n

d

_

+

d

_1(n1)2

d

₁₃2

d

₁₄2



d

_1(n5)2

d

_1(n4)2

d

_1(n3)2 。 此 處 ， 上 述 毎 一 項 其 運 算 量 綱 都 是 長 度 的 (

2

n



8

)次 方 ！ case 2.此 情 況 由

V

₃領 軍 ， 見 圖 4.，

V

₃分 別 要 和

V

₄,

V

₅,

V

₆, … ,

V

_n4,

V

_n3,

V

_n2各 邊 圖 4 長 相 乘 形 成

V

₃

V

₄,

V

₃

V

₅,

V

₃

V

₆, … ,

V

₃

V

_n4,

V

₃

V

_n3,

V

₃

V

_n2的 乘 積，由 圖4.看 到與 第 1 乘 積 項

V

₃

V

₄的 兩 邊 長 在 圖 形 上 有 直 接 連 結 的 對 角 線 長 是

d

₁₃,

d

₁₄,

d

₁₅， 而

d

₁₄被 夾 在 中 間 ，

d

₁₄是 屬 於 與

V

₃,

V

₄各 有 直 接 連 結 但 重 疊 的 對 角 線 ， 此

d

₁₄必 須 被 扣 除 掉 ， 僅 需 保 留 取

d

₁₃,

d

₁₅的 各 單 一 值 。 而 其 餘 對 角 線

d

₁₆,

d

₁₇,

d

₁₈, … ,

d

_1(n3),

d

_1(n2),

d

_1(n1)等 都 和

V

₃,

V

₄沒 有 直 接 連 結 要 取 平 方 值 。 因 此 ， 這

V

₃

V

₄乘 積 組 合 的 一 項 正 確 式 為 4 3

V

V

d

13

d

15 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 18 2 17 2 16  



d

d

d



d

n

d

n 。 請 謹 慎 觀 察 試 算 這 一 項 的 運 算 量 綱 也 是 長 度 的 (

2

n



8

)次方 ！ 其 次 要 看 第 2 乘 積 項

V

₃

V

₅的 兩 邊 長 在 圖 形 上 有 直 接 連 結 的 對 角 線 長 是

d

₁₃,

d

₁₄,

d

₁₅, 16

d

， 見 下 圖 5， 這 4 段 對 角 線 完 全沒 有 重 疊 都須 被 單 獨 取到 ， 而 其 餘對 角 線

d

₁₇, 18

d

, … ,

d

_1(n3),

d

_1(n2),

d

_1(n1)等 都 和

V

₃,

V

₅沒 有 直 接 連 結 要 取 平 方 值 。 因 此 ， 這

V

₃

V

₅ 乘 積 組 合 的 一 項 其 正 確 式 為

V

₃

V

₅

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆



d

₁₇2

d

₁₈2



d

_1(n2)2

d

_1(n1)2 。 再 詳 予 觀 察 這 一 項 的 運 算 量 綱 也 是 長 度 的 (

2

n



8

)次 方 ！

圖 5 再 繼 續 看 第 3 乘積 項

V

₃

V

₆的 兩 邊 長 在 圖 形 上 有 直 接 連 結 的 對 角 線 長 是

d

₁₃,

d

₁₄, 16

d

,

d

₁₇， 見 下 圖 6， 這 4 段 對 角 線 完 全沒 有 重 疊 都須 被 單 獨 取到 ， 而 其 餘對 角 線 18

d

,

d

₁₉, … ,

d

_1(n3),

d

_1(n2),

d

_1(n1),

d

₁₅,等 都 和

V

₃,

V

₅沒 有 直 接 連 結 要 取 平 方 值 。 這 6 3

V

V

組 合 的 一 項 其 正 確 式 為

V

₃

V

₆

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₆

d

₁₇



d

₁₈2

d

₁₉2

_

d

_1(n2)2

d

_1(n1)2

d

₁₅2 。 圖 6 持 續 仿 效 上 述 歸 納 思 考 理 念 ， 續 得 第 4 乘 積 項

V

₃

V

₇的 正 確 乘 積 組 合 式 為 7 3

V

V

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₇

d

₁₈



d

₁₉2

d

₁₍₁₀₎2

_

d

_1(n2)2

d

_1(n1)2

d

₁₅2

d

₁₆2 。 … … … … 延 續 這 樣 的 歸 納 整 理 ， 直 到 尋 獲 第 (

n



6

)乘 積項

V

₃

V

_n3的 正 確 乘 積 組 合 式 為

V

₃

V

_n3

d

₁₃

d

₁₄

d

_1(n3)

d

_1(n2)



d

_1(n1)2

d

₁₅2

d

₁₆2

d

₁₇2

_

d

_1(n6)2

d

_1(n5)2

d

_1(n4)2 。 鍥 而 不 捨 ， 最 後 再 尋 獲 第 (

n



5

)乘積 項

V

₃

V

n₂的 正 確 乘 積 組 合 式 為

V

₃

V

n₂

d

13

d

14 2 ) 3 ( 1 2 ) 4 ( 1 2 ) 5 ( 1 2 ) 6 ( 1 2 17 2 16 2 15 ) 1 ( 1 ) 2 ( 1n

d

n



d

d

d

d

n

d

n

d

n

d

n

d

_

。 此 處 由

V

₃領 軍 的 情 況 總 計 有 (

n



5

)乘積 項 ， 再按 順 序 將 其全 部 相 加 起來 ， 得 4 3

V

V

d

13

d

15 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 17 2 16  



d

d



d

n

d

n +

5 3

V

V

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅ 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 18 2 17 16



d

d

d

n

d

n

d

_

+ 6 3

V

V

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₆

d

₁₇



d

₁₈2

d

₁₉2



d

_1(n₂₎2

d

_1(n₁₎2

d

₁₅2+ 7 3

V

V

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₇

d

₁₈



d

₁₉2

d

₁₍₁₀₎2



d

₁₍n₂₎2

d

₁₍n₁₎2

d

₁₅2

d

₁₆2+ … + 3 3

V

n

V

d

₁₃

d

₁₄

d

_1(n3)

d

_1(n2)



d

_1(n1)2

d

₁₅2

d

₁₆2

d

₁₇2

_

d

_1(n6)2

d

_1(n5)2

d

_1(n4)2+ 2 3

V

n

V

d

13

d

14 2 ) 3 ( 1 2 ) 4 ( 1 2 ) 5 ( 1 2 ) 6 ( 1 2 17 2 16 2 15 ) 1 ( 1 ) 2 ( 1n

d

n



d

d

d

d

n

d

n

d

n

d

n

d

_

。 case 3.此 情 況 由

V

₄領 軍 ， 見 圖 7.，

V

₄分 別 要 和

V

₅,

V

₆,

V

₇, … ,

V

n₄,

V

n3,

V

n2各 邊 長 相 乘 形 成

V

₄

V

₅,

V

₄

V

₆, … ,

V

₄

V

n₄,

V

4

V

n3,

V

4

V

n2的 乘 積 ， 由 圖 7.看到 與 第 1 乘 積 項

V

4

V

5 的 兩 邊 長 在 圖 形 上 有 直 接 連 結 的 對 角 線 長 是

d

₁₄,

d

₁₅,

d

₁₆，而

d

₁₅被 夾 在 中 間，

d

₁₅是 屬 於 與

V

₄,

V

₅各 有 直 接 連 結 但 重 疊 的 對 角 線 ， 此

d

₁₅必 須 被 扣 除 掉 。 而 其 餘 對 角 線 13

d

,

d

₁₇,

d

₁₈, … ,

d

_1(n3),

d

_1(n2),

d

_1(n1)等 都 和

V

₄,

V

₅沒 有 直 接 連 結 要 取 平 方 值。因 此， 這

V

₄

V

₅乘 積 組 合 的 一 項 正 確 式 為

V

₄

V

₅

d

₁₄

d

₁₆



d

₁₇2

d

₁₈2



d

_1(n2)2

d

_1(n1)2

d

₁₃2 。 量 綱 也 是 長 度 的 (

2

n



8

)次方 ！ 圖 7. 同 理 ， 繼 續 仿 效 case 2.的 歸納 思 緒 做 法， 得

V

₄

V

₆乘 積 組 合 的 一 項 正 確 式 為 6 4

V

V

d

₁₄

d

₁₅ 2 13 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 18 17 16

d

d

d

d

d

d



_

_{n n} 。 量 綱 也 是 長 度 的 (

2

n



8

)次 方！ 再 得

V

₄

V

₇乘 積 組 合 的 正 確 式 為

V

₄

V

₇

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₇

d

₁₈



d

₁₉2



d

_1(n₂₎2

d

_1(n₁₎2

d

₁₃2

d

₁₆2 。 量 綱 也 是 長 度 的 (

2

n



8

)次 方 ！ … … … … 延 續 這 樣 的 歸 納 整 理 ， 直 到 尋 獲 第 (

n



7

)乘 積項

V

₄

V

_n3的 正 確 乘 積 組 合 式 為

V

₄

V

_n3

d

₁₄

d

₁₅

d

_1(n3)

d

_1(n2)



d

_1(n1)2

d

₁₃2

d

₁₆2

d

₁₇2

_

d

_1(n6)2

d

_1(n5)2

d

_1(n4)2 。 秉 著 鍥 而 不 捨 ， 最 後 再 尋 獲 第 (

n



6

)乘 積 項

V

₄

V

_n2的 正 確 乘 積 組 合 式 為

V

₄

V

_n2

d

₁₄

d

₁₅

d

_1(n2)

d

_1(n1)



d

₁₃2

d

₁₆2

d

₁₇2

_

d

_1(n6)2

d

_1(n5)2

d

_1(n4)2

d

_1(n3)2 。 此 處 由

V

₄領 軍 的 情 況 總 計 有 上 述 的 (

n



6

)乘 積項 ， 再 依 序全 部 相 加 起來 ， 得 5 4

V

V

d

₁₄

d

₁₆



d

₁₇2

d

₁₈2



d

_1(n₂₎2

d

_1(n₁₎2

d

₁₃2+

V

4

V

6

d

14

d

15 2 13 2 ) 1 ( 1 2 18 17 16

d

d

d

d

d





_n + 7 4

V

V

d

₁₄

d

₁₅ 2 16 2 13 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 19 18 17

d

d

d

d

d

d

d





n n + … … + 3 4

V

n

V

d

₁₄

d

₁₅

d

_1(n3)

d

_1(n2)



d

_1(n1)2

d

₁₃2

d

₁₆2

d

₁₇2

_

d

_1(n6)2

d

_1(n5)2

d

_1(n4)2 + 2 4

V

n

V

d

₁₄

d

₁₅ 1( 3)2 2 ) 4 ( 1 2 ) 5 ( 1 2 ) 6 ( 1 2 17 2 16 2 13 ) 1 ( 1 ) 2 ( 1n

d

n



d

d

d

d

n

d

n

d

n

d

n

d

_

圖 8. case 4. 此情 況 由

V

₅領 軍 ，

V

₅分 別 要 和

V

₆,

V

₇,

V

₈,… ,

V

_n4,

V

_n3,

V

_n2各 邊 長 相 乘 形 成

V

₅

V

₆, 7 5

V

V

,… ,

V

₅

V

_n4,

V

₅

V

_n3,

V

₅

V

_n2的 乘 積，仿 效 上 述 完 整 的 歸 納 思 路 過 程，再 整 理 出 由 5

V

領 軍 的 情 況 總 計 有 下 述 的 (

n



7

)乘 積 項 ， 再依 順 序 全 部相 加 起 來 ，得 6 5

V

V

d

15

d

17 2 14 2 13 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 18

d

d

d

d

d

n n



_

+ 7 5

V

V

d

₁₅ 2 14 2 13 2 ) 1 ( 1 2 19 18 17 16

d

d

d

d

d

d

d





n + 8 5

V

V

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₈

d

₁₉



d

₁₍₁₀₎2



d

_1(n₁₎2

d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₇2 + … … + 3 5

V

n

V

d

15

d

16 2 ) 4 ( 1 2 ) 5 ( 1 2 ) 6 ( 1 2 18 2 17 2 14 2 13 2 ) 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) 3 ( 1n

d

n



d

n

d

d

d

d

d

n

d

n

d

n

d



+ 2 5

V

n

V

d

₁₅

d

₁₆

d

_1(n2)

d

_1(n1)



d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₇2

d

₁₈2

_

d

_1(n6)2

d

_1(n5)2

d

_1(n4)2

d

_1(n3)2 case 5. 由

V

₆領 軍 的 情 況 總 計 有 下 述 的 (

n



8

)乘 積 項 ， 依序 全 部 相 加起 來 ， 得 7 6

V

V

d

₁₆

d

₁₈ 2 15 2 14 2 13 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 10 ( 1 2 19

d

d

d

d

d

d

d

_{n n}



_

+ 8 6

V

V

d

₁₆

d

₁₇

d

₁₈

d

₁₉



d

₁₍₁₀₎2

d

₁₍₁₁₎2



d

_1(n₁₎2

d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₅2+ 9 6

V

V

182 2 15 2 14 2 13 2 ) 1 ( 1 2 ) 12 ( 1 2 ) 11 ( 1 ) 10 ( 1 19 17 16

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d





n + … … + 3 6

V

n

V

d

₁₆

d

₁₇ 2 ) 4 ( 1 2 ) 5 ( 1 2 ) 6 ( 1 2 18 2 15 2 14 2 13 2 ) 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) 3 ( 1n

d

n



d

n

d

d

d

d

d

n

d

n

d

n

d

_

+ 2 6

V

n

V

d

₁₆

d

₁₇

d

₁₍n₂₎

d

₁₍n₁₎



d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₅2

d

₁₈2



d

₁₍n₆₎2

d

₁₍n₅₎2

d

₁₍n₄₎2

d

₁₍n₃₎2

case 6. … … … … 持續 上 述相 同 的 歸 納操 作 程 序 ，… … … … ….

_

_

圖 9 case (

n



6

).由

V

_n5領 軍 的 情 況 總 計 有 下 述 的 3 乘 積 項， 依 序相 加 起 來 ，得 4 5   n n

V

V

d

_1(n5)

d

_1(n3) 1( 6)2 2 ) 7 ( 1 2 ) 8 ( 1 2 15 2 14 2 13 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1     



d

_n

d

_n

d

d

d

_

d

_n

d

_n

d

_n + 3 5   n n

V

V

d

_1(n5)

d

_1(n4)

d

_1(n3)

d

_1(n2)



d

_1(n1)2

d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₅2

_

d

_1(n8)2

d

_1(n7)2

d

_1(n6)2+ 2 5   n n

V

V

d

_1(n5)

d

_1(n4)

d

_1(n2)

d

1(n1) 2 ) 3 ( 1 2 ) 6 ( 1 2 ) 7 ( 1 2 ) 8 ( 1 2 15 2 14 2 13    



d

d

d



d

n

d

n

d

n

d

n case (

n



5

).由

V

_n4領 軍 的 情 況 總 計 有 下 述 的 2 乘 積 項， 依 序相 加 起 來 ，得 3 4   n n

V

V

d

₁₍n₄₎

d

1(n2) 2 ) 5 ( 1 2 ) 6 ( 1 2 ) 7 ( 1 2 ) 8 ( 1 2 15 2 14 2 13 2 ) 1 ( 1     



d

n

d

d

d



d

n

d

n

d

n

d

n + 2 4   n n

V

V

d

_1(n4)

d

_1(n3)

d

_1(n2)

d

1(n1) 2 ) 5 ( 1 2 ) 6 ( 1 2 ) 7 ( 1 2 ) 8 ( 1 2 15 2 14 2 13    



d

d

d

_

d

_n

d

_n

d

_n

d

_n case (

n



4

).由

V

_n3領 軍 的 情 況 總 計 只 有 1 乘 積 項， 它 的 正 確乘 積 組 合 式為 2 3   n n

V

V

d

_1(n3)

d

_1(n1)



d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₅2

_

d

_1(n8)2

d

_1(n7)2

d

_1(n6)2

d

_1(n5)2

d

_1(n4)2 綜 上 所 述 就 是 [第 一 組 合 模 式] 下 的 所有 (

n



4

)種 情 況組 合 局 部 內容。這 個 組合 模 式 內 總 計 出 現 的 項 式 有 ； 1+2+3+…+(

n



8

)+(

n



7

)+(

n



6

)+(

n



5

)+(

n



3

) =

)

4

(

)

3

)(

2

(

2

1









n

n

n

項。所 有 這 些 項式 要 依 序 全部 相 加 起 來，然 後 將 相加 的 總 和 再乘 上 此 組 合 模 式 的 領 軍 項

V

_n

V

₁就 得 到 [第 一 組 合 模 式]中 的 完整 項 式 內 涵。此 處，也 能 檢 視 出 這 組 合 模 式 裡 的 毎 一 項 量 綱 都 是 長 度 的 (

2

n



6

)次 方 ！

[第 二 組 合 模 式]：由

V

_n

V

₂乘 積 領 軍 ， 此 模 式 下 有 (

n



4

)項 式組 合 ， 敘 述於 下 ； 圖 10 見 圖 10.， 此

V

_n

V

₂乘 積 分 別 要 和

V

₃,

V

₄,

V

₅,

V

₆, … ,

V

_n4,

V

_n3,

V

_n2各 邊 長 相 乘 形 成 3 2

V

V

V

_n ,

V

_n

V

₂

V

₄,

V

_n

V

₂

V

₅,

V

_n

V

₂

V

₆, … ,

V

n

V

₂

V

n₄,

V

n

V

2

V

n3,

V

n

V

2

V

n2 的 乘 積 ， 第 1 乘 積 項 3 2

V

V

V

n 裡

V

2與

V

3的 兩 邊 長 在 圖 形 上 有 直 接 連 結 的 對 角 線 長 是

d

13,

d

14 ， 而

d

13 是 屬 於 與 2

V

,

V

₃各 有 直 接 連 結 但 重 疊 的 對 角 線 ， 此

d

₁₃必 須 被 扣 除 掉 ， 僅 保 留 取

d

₁₄的 單 一 值 。 而 其 餘 對 角 線

d

₁₅,

d

16,

d

17,

d

18, … ,

d

1(n3),

d

1(n2),

d

1(n1)等 都 和

V

2,

V

3沒 有 直 接 連 結 要 取 平 方 值。 因 此 ， 歸 納 搜 尋 出 這

V

_n

V

₂

V

₃乘 積 組 合 的 一 項 正 確 式 為 3 2

V

V

V

_n

d

₁₄



d

₁₅2

d

₁₆2

d

₁₇2

d

₁₈2

_

d

_1(n2)2

d

_1(n1)2 。 仔 細 觀 察 這 一 項 的 運 算 量 綱 也 是 長 度 的 (

2

n



6

)次 方 ！ 同 理 ， 第 2 乘 積項

V

_n

V

₂

V

₄仿 效 前 述 取 值 的 歸 納 策 略 ， 可 得 出 正 確 乘 積 組 合 式 為 4 2

V

V

V

_n

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅



d

₁₆2

d

₁₇2

d

₁₈2

_

d

_1(n2)2

d

_1(n1)2 。 同 理 ， 再 得 第3 乘 積 項

V

_n

V

₂

V

₅的 正 確 乘 積 組 合 式 為 5 2

V

V

V

_n

d

₁₃

d

₁₅

d

₁₆



d

₁₇2

d

₁₈2



d

_1(n₂₎2

d

_1(n₁₎2

d

₁₄2 。 … … … …

同 理 ， 再 得 第(

n



5

)乘積 項

V

_n

V

₂

V

_n3的 正 確 乘 積 組 合 式 為 3 2 n n

V

V

V

d

13

d

1(n3)

d

1(n2) 2 ) 1 ( 1 2 ) 4 ( 1 2 ) 5 ( 1 2 18 2 17 2 16 2 15 2 14   



d

d

d

d

d



d

n

d

n

d

n 。 同 理 ， 最 後 再 得 第(

n



4

)乘 積 項

V

n

V

₂

V

n₂的 正 確 乘 積 組 合 式 為 2 2 n n

V

V

V

d

_1(n2)

d

1(n1)

d

13 2 ) 3 ( 1 2 ) 4 ( 1 2 ) 5 ( 1 2 18 2 17 2 16 2 15 2 14   



d

d

d

d

d

_

d

_n

d

_n

d

_n 。 以 上 敘 述 就 是 [第 二 組 合 模 式] 下 的 所有 (

n



4

)個 項 式完 整 組 合 內容。這 個 組合 模 式 內 總 計 出 現 的 項 式 有 (

n



4

)項。所 有這 些 項式 要 依 序 全部 相 加 起 來，就得 到 這[第 二 組 合 模 式] 中 的 完 整 項 式 內 涵 。 此 處 ， 也 能 檢 視 出 這 組 合 模 式 裡 的 毎 一 項 量 綱 都 是 長 度 的 (

2

n



6

)次方 ！ [第 三 組 合 模 式]：由

V

₁

V

n₁乘 積 領 軍 ， 此 模 式 下 有 (

n



4

)項 式組 合 ， 敘 述於 下 ； 圖 11 見 圖 11. ， 此

V

₁

V

_n1乘 積 分 別 要 和

V

_n2,

V

_n3,

V

_n4, … ,

V

₆,

V

₅,

V

₄,

V

₃ 各 邊 長 相 乘 形 成 2 1 1

V

n

V

n

V

,

V

₁

V

_n1

V

_n3,

V

₁

V

_n1

V

_n4, … ,

V

₁

V

_n1

V

₆,

V

₁

V

_n1

V

₅,

V

₁

V

_n1

V

₄,

V

₁

V

_n1

V

₃的 乘 積 ， 第 1 乘 積 項

V

₁

V

_n1

V

_n2裡

V

_n1與

V

_n2的 兩 邊 長 在 圖 形 上 有 直 接 連 結 的 對 角 線 長 是

d

_1(n1),

d

_1(n2)，而 ) 1 ( 1n

d

是 屬 於 與

V

_n1,

V

_n2各 有 直 接 連 結 但 重 疊 的 對 角 線 ， 此

d

_1(n1)必 須 被 扣 除 掉 ， 僅 取 ) 2 ( 1n

d

的 值 。 而 其 餘 對 角 線

d

₁₃,

d

₁₄,

d

₁₅,

d

₁₆, … ,

d

_1(n5),

d

_1(n4),

d

_1(n3)等 都 和

V

_n1,

V

_n2沒 有 直 接 連 結 要 取 平 方 值 。 因 此 ， 這

V

₁

V

_n1

V

_n2乘 積 組 合 的 一 項 為

2 1 1

V

n

V

n

V

d

_1(n2)



d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₅2

d

₁₆2

_

d

_1(n5)2

d

_1(n4)2

d

_1(n3)2 。 仔 細 觀 察 這 一 項 的 運 算 量 綱 也 是 長 度 的 (

2

n



6

)次 方 ！ 同 理 ， 第 2 乘 積 項

V

₁

V

_n1

V

_n3仿 效 前 述 取 值 的 歸 納 策 略 ， 可 得 出 正 確 乘 積 組 合 式 為 3 1 1

V

n

V

n

V

d

_1(n3)

d

_1(n2)

d

_1(n1)



d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₅2

_

d

_1(n5)2

d

_1(n4)2 。 同 理 ， 再 得 第3 乘 積 項

V

₁

V

_n1

V

_n4的 正 確 乘 積 組 合 式 為 4 1 1

V

n

V

n

V

d

_1(n4)

d

_1(n3)

d

_1(n1)



d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₅2

_

d

_1(n5)2



d

_1(n2)2 。 … … … … 同 理 ， 再 得 第(

n



5

)乘積 項

V

₁

V

_n1

V

₄的 正 確 乘 積 組 合 式 為 4 1 1

V

V

V

n

d

14

d

15

d

1(n1) 2 ) 2 ( 1 2 ) 3 ( 1 2 ) 4 ( 1 2 18 2 17 2 16 2 13



  



d

d

d

d



d

n

d

n

d

n 。 同 理 ， 最 後 再 得 第(

n



4

)乘 積 項

V

₁

V

_n1

V

₃的 正 確 乘 積 組 合 式 為 3 1 1

V

V

V

_n

d

_1(n1)

d

13

d

14 2 ) 2 ( 1 2 ) 3 ( 1 2 ) 4 ( 1 2 18 2 17 2 16 2 15   



d

d

d

d



d

_n

d

_n

d

_n 。 以 上 敘 述 就 是 [第 三 組 合 模 式] 下 的 所有 (

n



4

)個 項 式完 整 組 合 內容。這 個 組合 模 式 內 總 計 出 現 的 項 式 有 (

n



4

)項。所 有這 些 項式 要 依 序 全部 相 加 起 來，就得 到 這[第 三 組 合 模 式] 中 的 完 整 項 式 內 涵 。 此 處 ， 也 能 檢 視 出 這 組 合 模 式 裡 的 毎 一 項 量 綱 都 是 長 度 的 (

2

n



6

)次方 ！ [第 四 組 合 模 式]：由

V

₂

V

_n1乘 積 引 領 的 單 一 項，見 圖 12.，與

V

_n1,

V

₂各 有 直 接 連 結 的 對 角 圖 12

線 為

d

_1(n1)與

d

₁₃， 兩 者 都 不 重 疊 ， 都 各 取 單 一 值 。 而 其 餘 對 角 線

d

₁₄,

d

₁₅,

d

₁₆, … ,

d

_1(n4), ) 3 ( 1n

d

,

d

_1(n2)等 都 和

V

_n1,

V

₂沒 有 直 接 連 結 要 取 平 方 值。因 此，這

V

₂

V

_n1乘 積 組 合 的 唯 一 項 完 整 正 確 式 為 1 2

V

n

V

d

_1(n1)

d

13 2 ) 2 ( 1 2 ) 3 ( 1 2 ) 4 ( 1 2 18 2 17 2 16 2 15 2 14   



d

d

d

d

d



d

_n

d

_n

d

_n 。 仔 細 觀 察 這 一 項 的 運 算 量 綱 也 是 長 度 的 (

2

n



6

)次 方 ！ 敘 述 到 目 前 為 止，4 個 組 合模 式 的 所 有個 別 項 式 都被 歸 類 搜 尋完 成。這 4 個 組 合 模 式裡 的 乘 積 組 合 總 項 式 數 目 為 [

(

2

)(

3

)

(

4

)

2

1

_

_

_

_

n

n

n

] + (

n



4

) + (

n



4

) +1 =

(

3

)

2

n



n

=

n

n

n

_{ )}

_

1

(

2

= n n

_C

C

2



1 項 ， 且 在 此 處 任 何 單 一 項 的 運 算 量 綱 都 是 長 度 的 (

2

n



6

)次 方 ！ 這

C

₂n



C

₁n項 數 的 各 項 式 要 依 順 序 排 列 成 串，再 全 數 相 加 起 來 才 能 構 成 巨 大 分 式 項 的 分 子 部 份 所 擁 有 的 完 整 項 式 。 現 在，就 將 上 述 綜 合 法 則[1]. [2]. [3].指 示 的規 則 下所 尋 獲 的 各項 式 依 順 序排 列，編 輯 整 合 成： 法 則 [1]的項 = 法 則 [2]的 總 項式 減 去 法 則 [3]的 巨 大分 式 項 式，如 此 即 尋 得完 整 精 確 的 圓 內 接

n

邊 形 頂 角 的 合 分 角 餘 弦 值 關 係 方 式

(

n



5

)

！ 1 1

cos

V

V

A

n =



  ) 1 ( 1 1

cos

n n n

d

V





   ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 2

cos

n n n

d

d





   ) 3 ( 1 ) 2 ( 1 3

cos

n n n

d

d



… +



14 15 4

cos

d

d





13 14 3

cos

d

d



1 13 2

cos

V

d







     1 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 3 ( 1 2 ) 4 ( 1 2 16 2 15 2 14 2 13 1

]

[

V

_n

V

d

d

d

d

_

d

_n

d

_n

d

_n

d

_n {

V

_n

V

₁



[( 2 ) 2 ( 1 2 ) 3 ( 1 2 15 2 14 2 13

d

d

d

n

d

n

d

_

+

d

₁₄2

d

₁₅2

d

₁₆2



d

₁₍n₂₎2

d

₁₍n₁₎2+ 2 13 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 3 ( 1 2 16 2 15

d

d

d

d

d

d



_n _n _n + 2 14 2 13 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 18 2 17 2 16

d

d

d

d

d

d

d



_n _n + … + 2 ) 5 ( 1 2 ) 6 ( 1 2 15 2 14 2 13 2 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 3 ( 1n

d

n

d

n

d

d

d

d

n

d

n

d

_

+

d

_1(n2)2

d

_1(n1)2

d

₁₃2

d

₁₄2



d

_1(n5)2

d

_1(n4)2+ 2 ) 3 ( 1 2 ) 4 ( 1 2 ) 5 ( 1 2 14 2 13 2 ) 1 ( 1n

d

d

d

n

d

n

d

n

d

_

) + (

V

₃

V

₄

d

₁₃

d

₁₅



d

₁₆2

d

₁₇2



d

_1(n2)2

d

_1(n1)2+ 5 3

V

V

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆



d

₁₇2

d

₁₈2



d

₁₍n₂₎2

d

₁₍n₁₎2+