97年數學統測試題B(含解答)

(

Ｂ

) 1. 在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中，若

A

、

B

、

C

三點的坐標分別為

( 5, 4)

、

(0, 5)

、

(4, 8)

，則

D

點應落在下列哪一個象限？　(A)第一象限　　(B)第二

象限　(C)第三象限　(D)第四象限。

【97 統測 B】 解 由平行四邊形對角線互相平分性質知： BD 的中點 AC 的中點 0 5 5 4 4 ( 8) ( , ) ( , ) 2 2 2 2 x y          0 5 4 2 2 x      ，` 5 4 ( 8) 2 2 y   _   1 x    ，y1D x y( , )的坐標為 ( 1,1) ∴ D 點落在第二象限

(

Ｄ

) 2.

loga 1.0282

，則

log a

之首數為何？　(A)1　(B)0　(C)

1

　(D)

2

。

【97 統測 B】

解 loga 1.0282  2 0.9718　∴首數為 2

(

Ｃ

) 3. 下 列 何 者 為 方 程 式

(x2)(x3)(x4)(x 5) 60

的 正 整 數 解 ？ 　 (A)1 　 (B)2

(C)3　(D)4。

【97 統測 B】 解 [(x2)(x4)][(x3)(x5)] 60 0  _(x2_2x8)(x2_{2x15) 60 0 } _(x2_{2 )x} 2_23(x2_{2 ) 60 0x   (x}2_2x3)(x2_{2x20) 0} _{(x3)(x1)(x}2_{2x20) 0  x 或 13  或1} 21  　∴x 為正整數解3

(

Ａ

) 4. 設

a

為實數，若函數

_{f x( )a x( 3)}2_9a2

_在

_{x 3}

_{時有最大值 20，則}

_a

_？

(A)

2

　(B)

1

　(C)1　(D)2。

【97 統測 B】 解 ∵函數 ( )f x 在x  時有最大值 20  ( )3 f x _{a x( 3)}2_{9a 2 a x( 3)}2_20 即 9 a 2 20　∴a 2

(

Ａ

) 5. 判斷下列何者有意義？　(A)

log 50.1

　(B)

log 101

　(C)

log 93

　(D)

log ( 8)2 

。

解 log_ab 有意義  真數b ，0 a0且a1　∴(A)log 5 有意義_0.1 【97 統測 B】

(

Ａ

) 6. 方程式

(81)

3

27

x

_

_{之解為何？　(A)}

5 8 

　(B)

8 5 

　(C)

7 6 

　(D)

6

7



。

【97 統測 B】 解 原式 (81) 3 27 x _{ } 1 2 4 3 3 (3 ) 3 x_ ₃4x_35₂ 4 5 2 x  　∴ 5 8 x 

(

Ｃ

) 7. 已知



 為實數，若

tan



 3

，則

sin cos







？　(A)

3

6

　(B)

3 5

　(C)

3 4

　(D)

3 2

。

A ( 5 , 4 ) D x y( , ) B ( 0 , 5 ) C ( 4 , 8 ) M

解 ∵ tan  3 0 　∴ 可能為第一或第三象限角，如圖所示。 【97 統測 B】 (1)  為第一象限角 (2) 為第三象限角 　 x y 2 1 3 P O θ 　 x y 2  1  3 P O θ 　sin 3 2   ，cos 1 2   　sin 3 2    ，cos 1 2    　 sin cos 3 1 3 2 2 4       　 sin cos ( 3 ) ( 1) 3 2 2 4         ∴由(1)(2)知sin cos 3 4   

(

Ｂ

) 8. 下 列 選 項 何 者 為 真 ？ 　 (A)

sin 35 cos 35

　 (B)

sin 65 cos 65

　 (C)

sin 35 cos 35

　(D)

sin 65 cos 65

。

【97 統測 B】

解 由餘角關係知： cos35 sin(90   35 ) sin 55 ， cos65 sin(90   65 ) sin 25

又∵ sin x 在第一象限為遞增函數　∴(B) sin 65 cos 65 ( sin 25 )   為真

(

Ａ

) 9. 設  在 第 四 象 限 ， 若

sin

cos

2

3









， 則

sin



cos





？ 　 (A)

14

3



　 (B)

2 3

3



　(C) 14

3

　(D) 2 3

3

。

【97 統測 B】 解 _{(sin cos )}2 _{( )}2 2 3

   _sin2 _{2sin cos cos}2 4

9         1 2sin cos 4 9      ∴sin cos 5 18     2 5 14

(sin cos ) 1 2sin cos 1 2 ( )

18 9

          sin cos 14

3

 

   

∵ 在第四象限  sin  ， cos0   ∴ sin0 cos 故得0 sin cos 14

3   

(

Ｄ

) 10. 試求

2 2

1 sin

3

1 sin

3











？　(A)

3 5

　(B)

5 3

　(C)2　(D)7。

【97 統測 B】 解 2 2 2 ₂ 3 1 sin 1 ( ) 3 2 ₇ 3 1 sin _{1 ( )} 3 ₂        _

(

Ｄ

) 11. 設

a1

,

a2

,

a3

,



,

an

是一

n

項等差數列，若第 9 項

a9 58

且第 15 項

a15 100

，則

674 是這個等差數列的第幾項？　(A)94　(B)95　(C)96　(D)97。

【97 統測 B】

啟芳／啟發

解 公差_d an am n m    100 58 42 7 15 9 6      由anam(n m d ) ana9(n9)d674，即 58 ( n  9) 7 674  n 97

(

Ｃ

) 12. 試求無窮級數

0

2

5

3

n n n  



_



？　(A)

2 3

　(B)8　(C)

21 2

　(D)



。

【97 統測 B】 解 原級數 0 2 3 n n n   



0 1 5 3n n   



0 2 ( ) 3 n n   



0 1 5 ( ) 3 n n   



12 1 3   1 5 1 1 3    15 21 3 2 2   

(

Ｂ

) 13. 在坐標平面上，設

k

為 實 數 ， 若

(2,3)

、

(4, 5)

、

( , 3)k 

三 點 共 線 ， 則

k 

？

(A)3　(B)

31 2

　(C)

3

3

4

　(D)

1

4

3

。

【97 統測 B】 解 ∵ (2,3)A 、 (4, 5)B  、 ( , 3)C k  三點共線  mABmBC  5 3 3 ( 5) 4 2 k 4          2k 　∴7 1 3 2 k

(

Ａ

) 14. 若

A(2,5)

、

B( 1, 2)

、

C(3, 4)

為坐標平面上三點，且

D

為

_BC

之中點，則

_{A D}

的直

線方程式為何？　(A)

y2x1

　(B)

y2x1

　(C)

2y x 1

　(D)

2y x 1

。

【97 統測 B】 解 BC 的中點為 ( 1 3 2 4, ) (1,3) 2 2 D    D 則經過 (2,5)A 、 (1,3)D 兩點，由兩點式： 1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x      可得 A D 直線方程式為 y_x5₂  5 3_{2 1}    y 5 2(x2) y2x1

(

Ｂ

) 15. 在坐標平面上，兩直線

x y  5 0

，

x3y 3 0

與

y

軸所圍成之三角形面積

為何？　(A)5　(B)6　(C)7　(D)8。

【97 統測 B】 解 兩直線與 y 軸所圍的三角形區域， 如圖所示： 得三頂點坐標為 (0,1) ， (0,5) ， (3, 2) ∴所圍成的面積為 1 4 3 6 2   

(

Ｄ

) 16. 在坐 標平 面上 ，在

x 1 y 3 2

的 平 面 區 域 中 ，

x2y

的 最 大 值 為 何 ？

(A)3　(B)5　(C)9　(D)11。

【97 統測 B】 解 (1)當x ，1 y ：3 x 1 y   (3 2 x 1) (y  3) 2 x y 6 (2)當x ，1 y ：3 x 1 y   (3 2 x  1) (3 y) 2  x y 0 (3)當x ，1 y ：3 x 1 y   (13 2 x) ( y  3) 2 x y  4 (4)當x ，1 y ：3 x 1 y   (13 2 x) (3 y) 2  x y 2 取(1) (2) (3) (4)結果如圖所示。 x y ( 3 , 2 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 5 ) O x3y 3 0 x+ y 5 0 y ( 1 , 5 ) ( 3 , 3 ) ( 1 , 3 )

圖示可行解區域得四頂點坐標為 ( 1,3) ， (1,5) ， (3,3) ， (1,1) 目標函數為 ( , )f x y  x 2y ( , )x y x 2 y ( 1 , 3 ) 5 ( 1 , 5 ) 1 1 ( 3 , 3 ) 9 ( 1 , 1 ) 3 ∴x2y的最大值為 11

(

Ｃ

) 17. 試求函數

f x( ) x  4 x 3

的最小值為何？　(A)3　(B)4　(C)7　(D)12。

解 令y f x( )，則 【97 統測 B】 (1)當x ：3 y x4  x3 　 ( x4) ( x 3) 2x_{  (∵}1 7 x )3 (2)當 4   ：x 3 y x 4 x3 　 ( x4) (3 x) 7 (3)當x  ：4 y x 4 x3 　  (x 4) (3 x)_{    (∵}2x 1 7 x  )4 由(1)(2)(3)及圖示可得 ( )f x 的最小值為 7 另解：利用公式 a  b  a b ( ) 4 3 4 3 ( 4) (3 ) 7 f x  x  x  x  x  x  x  ( ) 7 f x   ，故得 ( )f x 的最小值為 7

(

Ｂ

) 18. 在 坐 標 平 面 上 ， 設

m

，

b

為 實 數 ， 若 直 線

y mx b 

與 圓

2 2 6 4 12 0 x y  x y 

相 切 於 點

( 1,1)

， 則

2m b 

？ 　 (A)4 　 (B)5 　 (C)6

(D)7。

【97 統測 B】 解 ∵_{( 1)} 2_{     1}2 _{6( 1) 4 1 12 0 　∴點 ( 1,1)} _在圓上 由切線公式得( 1) 1 6 ( 1) 4 1 12 0 2 2 x y x y              4x3y 7 0 故切線為 4 7 3 3 y x ，與 y mx b  比較係數可得 4 3 m ， 7 3 b 所以2m b 5

(

Ａ

) 19. 在 坐 標 平 面 上 ， 圓 心 為 點

(2, 3)

且 通 過 點

( 1,5)

的 圓 方 程 式 為 何 ？ 　 (A)

2 2 4 6 60 0 x   y x y 

　

(B)

2 2 4 6 8 0 x     y x y

　

(C)

2 2 4 6 50 0 x   y x y 

(D)

2 2 4 6 8 0 x     y x y

。

【97 統測 B】 解 ∵圓的半徑_{r [2 ( 1)] } 2_{  ( 3 5)}2 _{ 73，又圓心為 (2, 3)O}  由圓標準式：_{(x h )}2_{ (y k)}2_{ r}2 2 2 2 (x2) (y3) ( 73) ∴所求圓方程式為 2 2 4 6 60 0 x y  x y 

啟芳／啟發

x y y = 2x1 7  4 1 3 y =2x1 O

(

Ｃ

) 20. 假設在招呼站有三輛計程車，每輛至多可搭乘 4 位客人，招呼站現來 5 位要

搭 計 程 車 的 旅 客 ， 試 問 共 有 幾 種 不 同 的 載 客 方 式 ？ 　 (A)122 　 (B)125

(C)240　(D)243。

【97 統測 B】 解 由題意知：可重複的是「計程車」，不可重複的是「人」 5 人同坐一輛計程車的情形  3 種 載客方法  (任意坐法)  (5 人同坐一輛計程車)  有₃5_{ 3 240(種)}

(

Ｃ

) 21. 三位數中，十位數字是 7 且個位數字是偶數，共有多少個？　(A)36　(B)40

(C)45　(D)50。

【97 統測 B】 解 只 能 排 、0 2 4 6 8 7 1 ~ 9 、 、 、 只 能 排 可 排  三位數共有9 1 5 45   (個)

(

Ａ

) 22. 試問方程式

x y z  5

之正整數解有幾個？　(A)6　(B)8　(C)10　(D)12。

解 正整數解有： 【97 統測 B】 令x x  ，1 y  ，y 1 z z  ，1 u u 1 則x y z   正整數解個數可視為 (5 x 1) (y 1) (z  的非負整數解個數1) 5 即求x   的非負整數解個數y z 2 3 4 2 2 6 H C    另解：可直接視為 3 3 5 3 2 6 H _ H 

(

Ｄ

) 23. 若展開

2 6 2

1

(

x

)

x



時將同類項合併，則常數項為何？　(A)1　(B)6　(C)15　(D)20。

解 (x2 1₂ )6 x  _{[( ) (x}2 _{ x}2_)]6_{展開式中的「一般項」為 【97 統測 B】} 6_{( )}2 6 r₍ 2₎ r r C x  x  6_{( )}2(6 r) 2r r C x  x 6 12 4r r C x    ∵求常數項，令12 4 r 0 r 　∴常數項3 6 3 6 5 4 20 1 2 3 C       

(

Ｃ

) 24. 若同時投擲一枚不公正的硬幣與一枚公正的硬幣一次，兩枚都出現正面的機

率是

log 3

，試問只投擲該枚不公正的硬幣一次時，出現正面的機率為何？

(A)

log 3

　(B)

1

log 3

2

　(C)

2 log 3

　(D)

2 (log 3)

。

【97 統測 B】 解 設只投擲該枚不公正的硬幣一次時，出現正面的機率為 ( )P A 而只投擲該枚公正的硬幣一次時，出現正面的機率為 ( ) 1 2 P B  因兩者互不影響，故為獨立事件P A B( _ )P A( )P B( ) 即 ( ) 1 log3 2 P A   P A( ) 2log3

(

Ｂ

) 25. 設甲袋有 1 紅球、3 白球、1 黑球；乙袋有 3 紅球、1 白球、1 黑球，今隨機任選

一袋，再從袋中取出一球，試求取出為白球的機率為何？　 (A)

1 3

　(B)

2 5

(C)

3 5

　(D)

4 5

。

【97 統測 B】 解 P P 1(甲袋 白球, )P2(乙袋 白球, ) 1 3 1 1 2 2 5 2 5 5     

啟芳／啟發