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第01期試題與參考解答

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Academic year: 2021

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(1)

中學生通訊解題第一期 問題編號 88101 阿龍帶了一大群同學上山摘梨子。摘到n 粒梨子(0≤ n≤ 10)的人數如下表: n (粒) 0 1 2 3 … 8 9 10 摘n 粒人數 6 4 0 4 … 5 2 1 已知 (a)摘到 3 粒或多於 3 粒的同學,平均每人摘到 6 粒。 (b)摘到 7 粒或少於 7 粒的同學,平均每人摘到 4 粒。 問:所有上山摘梨子的同學有多少人?他們總計摘到多少粒梨子? 答案:46 人, 220 粒 參考解答: 〈解法一〉 設上山摘梨子的同學有x 人,他們總計摘到 y 粒梨子, 由已知條件(a)知:6(x640) y(061420) 所以 6x – y = 56 由已知條件(b)知:4(x521) y(8592101) 所以 4x – y = -36 解聯立,得x=46(人),y =220(粒)。 〈解法二〉

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設共有n 位同學上山採梨子, 由(a)知:摘到 3 粒或多於 3 粒的同學有 n-10 位,共摘到 6n-60 粒梨子 由(b)知:摘到 7 粒或少於 7 粒的同學有 n-8 位,共摘到 4n-32 粒梨子 因為梨子總數不變,所以 (6n-60)+4 = (4n-32)+68, n= 46 得46(人) ,梨子總數 220(粒) 解題重點: 1. 此題可設兩個未知數,利用二元一次聯立方程組求解。也可設一個未 知數,利用一元一次方程式求解。 2. 一般而言,用二元一次聯立方程組求解,列方程式較容易,解題過程 較繁雜。用一元一次方程式求解,列方程式較不易,解題過程較簡易。   問題編號 88102 有一水果商,買進了一批橘子。當橘子分裝成11 簍時,各簍的橘子數目正好 是連續自然數。同樣,當橘子分別裝成12 簍、13 簍時,各簍的橘子數目也都 是連續自然數。問這一批橘子最少有多少個? 參考解答: 〈解法一〉設橘子總數目為n,則 n 可以表示成: <i> 11 個連續自然數的和,此時 n 為第 6 項的 11 倍。 <ii> 12 個連續自然數的和,此時 n 為(第 6 項+第 7 項)的 6 倍。 <iii>13 個連續自然數的和,此時 n 為第 7 項的 13 倍。n = (11×6×13) × k ,k 為正整數k =1 時,n 有最小值 858,所以橘子最少有 858 個。

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〈解法二〉設裝11 簍時最少一簍裝 x 個,12 簍時最少一簍裝 y 個,13 簍時最少一簍裝 z 個 全部共有n 個橘子 則 n = 11x+55 = 11(x+5) n = 12y+66 = 6(2y+11) n = 13z +78 = 13(z +6) n 為 11 , 6 , 13 的公倍數n = (11×6×13) × k ,k 為正整數k =1 時,n 有最小值 858,所以橘子最少有 858 個。 解題重點: 1. 說明橘子數是 11,6 和 13 的公倍數。 2. 利用「公倍數是最小公倍數的倍數」得解。 問題編號 88103 某棟房子中,共有排成一直線的7 個房間。每相鄰兩房間都有一個開關 ,可同時控制相鄰兩房間的燈。每一開關都只有兩個方向,改變開關方向會 使這兩房間的燈,原先亮的變暗,原先暗的變亮。  如果原先只有第 4 間(正中央)房間的燈是亮的,試問:如何操作這 6 個 開關,使得這7 個房間的燈全部變亮?  如果原先各房間的燈都是暗的,是否有方法操作這 6 個開關,讓全部房間 的燈變亮,請說明你的理由?

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參考解答: 1 。 。 。 。 。 。 (開A、F)      A   B   C   D   E   F     2 。 。 。 。 。 。 (開C)      A   B   C   D   E   F     3 。 。 。 。 。 。 (開D)      A   B   C   D   E   F     4 。 。 。 。 。 。  若原先每間房間都是暗的,則亮燈數是 0(為偶數)。 每按一次開關,左右兩邊相鄰房間,亮燈情況有下列四種情況的轉變, 即(亮,亮)ï (暗,暗) (亮,暗)ï (暗,亮) (暗,暗)ï (亮,亮) (暗,亮)ï (亮,暗) 亦即每按下一個開關,只改變兩個房間的亮燈情形。 如此一來,亮燈房間的奇偶數仍維持不變,即,若原有奇數個房間亮燈, 則在按下一個開關後,仍維持奇數個房間亮燈;如原有偶數個房間亮燈, 則在按下一個開關後,仍維持偶數個房間亮燈。 因此,因為原亮燈數0 為偶數,故永遠不可能將亮燈數變為 7(奇數)之情形。 解題重點: 1. 第 1 小題,操作開關將亮的房間向左或向右移,使得連續暗的房間數 均為偶數,即可辦到。 2. 第 2 小題的解題想法大致有兩個方向: a. 第一個是考慮開關打開前後,房間亮(或暗)的奇偶數不變,能將 7 個全暗的房間全變成亮的。 b. 第二個方向是考慮房間由暗到亮改變亮暗的次數必為奇數,故 7 個房 間亮暗改變的總數必為奇數,另一方面,每次開關操作前後改變房間 亮暗數是偶數,故不能辦到。  

(5)

  問題編號 88104 一個有蓋子的長方體木盒,其內部的底面是邊長40 公分的正方形,深 35 公分。試問:這個木盒是否能裝入 5 個「直徑都是 20 公分」的木球,並且 蓋子能完全蓋好?請說明你的理由。 參考解答: 分析:底面放進四個木球,並在底面四球上方再放一 個球,放置的位置必須使得所有相鄰的球皆兩 兩外切,如圖1 所示。五球疊好後計算它們的 總高度是否超出35 公分即可。 參考解答: 底面放進四個木球,並在底面四球上方再放一 個球,使得所有相鄰的球皆兩兩外切,如圖1, 所示。五球疊好後,計算它們的高度。 疊好後的五個球的球心正好是正四角錐(金字 塔)的五個頂點,如圖2 所示。 在圖2 中,M 為 中點,O 是正四角錐底部正 方形的中心,ΔABD 為邊長 20 公分之正三角形。 由畢氏定理,得 =10 (公分), = 故五個球疊好後的高度為 10+10 +10 34.14 公分<35 公分 所以,此木盒可以裝進五個「直徑20 公分」的木球。 解題重點:

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1. 先算出「以五個球心為頂點」之正四角錐的高度 h=10 。 2. 正四角錐的高度 h,加上"頂球"的半徑及"底球"的半徑,就是五個球 疊好後的總高度20+10 <35(木盒的深度)。 3. 畢氏定理的應用:直角三角形中,斜邊的平方等於兩條直角邊的平方 和。 4. 能估算 2 約等於1.414...。 問題編號 88105 有互相垂直的兩組平行線,每組各有12 條,我們把這兩組平行線的 144 個交點中的每一點都染成紅、黃、綠三色之一。試證明:可以找到一個矩 形,它的頂點是144 個交點中同色 4 點,並且它的邊都在這兩組平行線上。 (解答這條題目要用到一個淺顯的原理:把12 隻鴿子放入 5 個籠子裏,必 有一個籠子至少有3 隻鴿子。) 參考解答: 在開始說明之前,我們不妨先假設有兩組平行直線:一組為水平直線;另一 組 為垂直直線。我們稱水平直線為列;垂直直線為行。 1. 因每一列、每一行上都恰有 個點,而共有 種顏色,所以每一列、每 一行上的 個點的染色情形可分成兩種可能: ¬ 每一列及每一行上都恰有紅、黃、綠點各 點; 存在一列或一行,其上有 個或 個以上同色點。 2. 先考慮¬ 的情形。這時,不妨設第 列上的 個紅點落在第 、 、 、 行的位置上。則在第 、 、 、 行上都恰剩下3 個紅點,而且它們落 在第 列至第 列之間,於是共有 個紅點落在這11 列之上。所以至

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少有 個紅點落在同一列上。不妨設它們落在第 列上且在第 、 行 上,於是在第 列且在第 、 行上的兩個紅點與在第 列上且在第 、 行上的 個紅點便是滿足要求的 點。 3. 考慮 的情形。不妨設第 列上有 5 個紅點,且他們分別在第 、 、 、 、 行上。若 上的紅點數超過5,我們只需取其中 5 個紅點討論 即可。 假設結論不成立。於是像情況 中那樣可證得 、 、 、 、 上, 除了第 列上的5 個紅點外,至多還有 11 個紅點。因而其中的黃點與 綠點至少有 個。不妨假設黃點數不少於22 個,因 此 到 的5 條鉛直線中必有一直線,其中至少有 5 個黃點,不妨設 其中5 個黃點是 與 、 、 、 、 五列的交點。     s s n n n s s s s

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s s s s             圖(一) 圖(二)   考慮上圖(一)中介於 與 之間且介於 與 之間的交點(共 個),由反證假設知其中至多有5 個紅點、4 個黃點,所以至少有 個綠點,從而 、 、 、 、 五條線中必有一條線中其上 至少有3 個綠點。不妨設 上有 3 個綠點,且他們分別在 、 、 上。 考慮圖(二)中介於 與 之間且介於 與 之間的交點(共 個), 由反證假設知其中至多有4 個紅點、3 個黃點、4 個綠點,所以最多可得 個點,此與這區域裡共有12 個點矛盾。故結論錯誤的假設不成 立,也就是必定存在一個四頂點同色之矩形。   解題重點: 由鴿籠原理知,在144 個交點中,塗上 3 色必至少有同色點 48 個,且在同 列(或同行)的12 個點中塗上 3 色也必有同色點至少 4 個,再針對下列情 況作討論:(1)考慮每一列與每一行同色點皆為 4 個的情況。

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