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中學生通訊解題第四十二期題目參考解答及評註

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Academic year: 2021

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(1)

- 54 -

中學生通訊解題第四十二期題目參考解答及評註

臺北市立建國高級中學 數學科

四 邊 形 ABCD 中 , ∠ABD=50o 20 DBC ∠ = oDAC=10oCAB=40o, 試 求∠ACD=?

A

B

C

D

參 考 解 答 :

E

A

B

C

D

( 如 上 圖 ) (1)在

ABD

中 :

10

40

50

DAB

DBA

=

o

+

o

=

o

= ∠

所 以

ABD

是 等 腰 三 角 形 , 即

DA DB

=

(2)在

ABC

中 : 180

ACB CAB CBA

∠ = o− ∠ − ∠ 180 40 (50 20 ) 70 ABC = o− o− o+ o = o= ∠ 所 以

ABC

是 等 腰 三 角 形,即 AC=AB (3)以

AB

向 D點 同 側 作 正 三 角 形 ABE (4)在

ADE ADC

,

中 :

AE EB AB AC

=

=

=

DAE

EAB

DAC

CAB

= ∠

−∠

−∠

60 10

40

10

DAC

=

o

o

o

=

o

= ∠

AD

=

AD

所 以

ADE

≅ ∆

ADC

(SAS全 等 性 質 ) (5)EA EB DA DB= , = ,所 以 直 線

ED

AB

的 中 垂 線,即

ED

AEB

的 角 平 分 線 因 此

60

30

2

ACD

AED

= ∠

=

o

=

o 解 題 評 註 : 從 題 意 可 找 出 關 鍵 在 於 線 段 AC 與 BD 相 互 「 垂 直 」。 1.以 AC 與 BD 當 乘 折 線,藉「 對 稱 」性 質 來 作 適 當 的 輔 助 線 , 作 法 不 唯 一 , 有 五 位 同 學 採 用,其 中 計 有 四 種 不 同 的 證 明。 2.藉 「 三 角 函 數 」 計 算 出 角 度 。 計 有 三 種 不 同 方 法 完 成 。 本 題 較 易 犯 錯 的 想 法 將 此 四 邊 形 ABCD 誤 認 為「 圓 內 接 四 邊 形 」。建 議 要 進 行 檢 驗 , 以 避 免 產 生 不 必 要 的 錯 誤 。 問 題 編 號 4201

(2)

中學生通訊解題第四十二期題目參考解答及評註 - 55 - 一 個 面 積 為 1003 的 封 閉 區 域 A,裡 面 放 了 2005 個 面 積 為 1 的 小 紙 片 , 試 證 : 存 在 兩 紙 片 , 其 重 疊 部 分 的 面 積 不 小 於 1 2005。 面 積 為 1 的 小 紙 片 面 積 為 1003 的 封 閉 區 域 A 參 考 解 答 : (1) 假 設 不 存 在 兩 個紙 片 重 疊 1 2005以 上 。 依 序 討 論 2005 塊重 疊 情 形 。 (2) 第 一 塊 與 第 二 塊重 疊 不 到 1 2005, 故 覆 蓋 面 積 減 少 的 量 不 多 於 1 2005 (3)第 三 塊再 放 進 來 時 與 前 兩 塊 各重 疊 不 到 1 2005, 故 覆 蓋 面 積 再 減 少 的 量 不 多 於 2 2005(注 意: 若 有 三 塊 重 疊 的 部 分 , 所 減 少 的 量 會 更 少) (4) … … (5)第 2005塊 再 放 進 來 時 與 前2004塊 各 重 疊 不 到 1 2005, 故 覆 蓋 面 積 再 減 少 的 量 不 多 於 2004 2005 (6) 所 以 總 覆 蓋 面 積 超 過 1 2 2004 2005 ( ) 1003 2005 2005 2005 − + + +L = 矛 盾 故 存 在 兩 個 紙 片 重 疊 面 積 不 少 於 1 2005。 解 題 重 點 : (1)假 設 結 論 不 成 立,推 得 矛 盾,以 得 原 結 論 成 立 (反 證 法 ) (2)注 意 三 塊 以 上 重 疊 的 部 分 之 說 明 M U H A C H N D 表 (一 ) 表 (二 ) Y E S W E L T H X O V E G O D Y O U 表 (甲 ) 表 (乙 ) 上 列 各 表 都 是 英 文 字 母 盤 , 每 一 次 操 作 可 以 使 某 一 行 或 某 一 列 的 字 母 同 時 改 變 , 改 變 的 規 則 是 將 每 個 英 文 字 母 都 變 成 下 一 個 問 題 編 號 4202 問 題 編 號 4203

(3)

科學教育月刊 第291期 中華民國九十五年八月 - 56 - 字 母 , 即 A 變 成 B, B 變 成 C, … , 最 後 的 字 母 Z 變 成 A, 試 回 答 下 列 各 題 ( 1)試 問 可 否 經 過 若 干 次 操 作,使 得 表 (一 ) 變 成 表 (二 )? ( 2)試 問 可 否 經 過 若 干 次 操 作,使 得 表 (甲 ) 變 成 表 (乙 )? 參 考 解 答 : ( 1) 可 以 ( 2) 不 可 以 理 由 如 下 : 為 了 方 便 , 可 將 英 文 字 母 盤 中 的 英 文 字 母 用 0,1,2,… ,25 這 26 個 數 字 代 替 (即 A 是 0, B 是 1, C 是 2, … , Z 是 25) 設 第 i 列 操 作 了

a

i 次 (橫 條 為 列 ) , 設 第 j 行 操 作 了

b

j 次 (直 條 為 行 ) 則 (1)即 為 M U H A C H N D 表 (一 ) 表 (二 ) 12 20 7 0 2 7 13 3 表 (一 ) 表 (二 ) 可 列 成 以 下 之 方 程 組 1 1 1 1 2 2 2 1 3 2 2 4

12

26

7

20

26

2

26

13

7

26

3

a

b

k

a

b

k

a

b

k

a

b

k

+ + =

+

+ + =

+ + =

+

+ + =

+

取 1 2 1 2

5

21

16

1

a

a

b

b

=

=

=

=

即 可 滿 足 而 (2) Y E S W E L T H X O V E G O D Y O U 表 (甲 ) 表 (乙 ) 即 為 24 4 18 22 4 11 19 7 23 14 21 4 6 14 3 24 14 20 表 (甲 ) 表 (乙 ) 考 慮 左 上 角 的 四 個 字 母 經 轉 換 為 數 陣 a b c d       , 設 k= +(a d) (− +b c) 每 次 操 作 , 數 陣 a b c d       變 成 1 1 a b c d + +       , 1 1 a b c d    + +    , 1 1 a b c d +    +    或 1 1 a b c d +    +    不論何種情況, k值皆不變. 現在我們分別計 算表(甲)和表(乙)的左上角的 2×2 表的k值. 表 (甲 ) 的

k

值 為 (24 7) (4 19) 8+ − + = ; 表 (乙 ) 的

k

值 為 (22 21) (4 14) 25+ − + = , 它 們 的

k

值 不 同 , 所 以 表 ( 甲 ) 不 能 變 成 表 (乙 ).

(4)

中學生通訊解題第四十二期題目參考解答及評註 - 57 - 下 列 是 一 個 數 字 謎 一 年 一 小 變 三 年 一 中 變 2 0 1 0 年 + 台 北 一 大 變 榕 榕 榕 榕 榕 已 知 :台 =2 , 北 =0 , 其 餘 每 個 文 字 各 代 表 一 個 數 碼 ,不 同 的 文 字 代 表 不 同 的 數 碼。請 你 說 出 最 後 的 (五 位 數 )和 "榕 榕 榕 榕 榕 "=? 參 考 解 答 : 本次我們將台北縣江翠國中八年級 16 班 黃冠豪同學的解給大家參考。 由題意知「台」=,「北」=。因為「榕」 是一位數,所以「一」+「三」+2+2 < 10, 「一」+「三」< 6。由第三列可知3×「一」 +1 的尾數大於(4+「一」),「一」只可能是 2或5。但,經驗算5不合,所以「一」=2。 因2+2+2+1 < 10,且「年」+「年」 =「榕」,故「榕」為偶數,2+2+2+1+1= 8⇒ 「榕」=8,8-2-2-2=2但「一」已為 2,「三」不可為2 ,所以「三」=1。 且「年」+「年」> 10 ⇒ 「年」=9。將 剩下的數代入3×「變」+「年」=8(mod 10) 合於這個條件的有三組(變,年)=(4,6)(5,3)(6,0) 經驗算僅有(5,3)。下列就是本題的解: + 2 9 2 4 5 1 9 2 6 5 2 0 2 0 3 2 0 1 7 5 解 題 評 註 : 這是一個數字謎題目,題中提到「『其餘』 各文字…」,所以,所謂各文字就不應包含 「台」及「北」,也因此「一」可以是2,並 未違反題意。 在 下 列 某 些 數 字 之 間 填 入 +、-、×、 ÷、(),使 等 式 成 立。例 如 : 「 1 2 3 4 5 6 =43」 「 12÷3+ 45- 6= 43」 (1)「 999999999 =2006」 (2)「 999999999 =2007」 每 一 小 題 請 各 給 兩 個 答 案 參 考 解 答 : [( 9+9+9 ) × 9 -9-9] × 9-9 -9 =2007 999 ÷ 9 × ( 9 +9 ) +9 +9 -9 =2007 99 ×(99 ÷9 +9) +9+ 9 +9=2007 999÷9×(9+ 9)+ 9- 9÷9= 2006 999+ 999+ 9- 9×9= 2006 解 題 評 註 : 這 題 主 要 目 的 是 要 同 學 由 觀 察 的 過 程 當 中 , 找 出 規 律 來 , 其 實 答 案 會 有 許 多 種 。 8 8 8 8 8 問 題 編 號 4204 問 題 編 號 4205

參考文獻

相關文件

(一)初試:採筆試方式,題目類型為選擇題,每科目題數各 50 題(每題 2 分,各題未作 答不予計分,答錯倒扣 0.6 分) 。初試成績達參加複試標準(初試科目其中

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23 自評項目 反思重點 建議延伸學習資源 題號 1至4 關於書信寫作 參考簡報第24-25頁 題號 5至6 關於多媒體應用 參考簡報第25-26頁 題號 7至8 關於品德情意的培養

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