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一體成型希羅噴泉實驗設計與教學應用
梁立國
輔英科技大學 環境工程與科學系 通訊作者：sc013@fy.edu.tw （投稿日期：108 年 9 月 29 日，接受日期：108 年 12 月 17 日） 摘要：高 84 公分、外徑 10 公分的壓克力管被隔為三個空間，再以三支內徑 0.6 公分的壓克力管兩兩相通形成一個一體成型的希羅噴泉演示教具。幾個流體力學 的教學應用可被理解。首先，噴泉噴發過程裡，觀察三個空間液體水位，可理解 氣體在流動過程中的不可壓縮性；其次，在穩定流動過程中，測量中間層水位變 化，再以連續方程式可得到噴泉噴發速率實驗值；第三，依據各層空間的白努利 方程式，可得噴發速率理論值，並與不同噴發口徑下的實驗值比較得到結構體的 流速經驗式；最後，我們計算結構體噴發過程能量損失的百分比。此外，上中下 三層的結構體教具也有助於我們理解地表自流泉動作過程與超抽地下水導致地層 下陷的動力學機制。 期刊種類：□學術論文、□教學論文、▓實驗設計論文、□報導專文與短篇文章 請勾選一項。期刊種類請參考「物理教育學刊稿約」 關鍵詞：希羅噴泉、連續方程式、白努利方程式、流速經驗式壹、 前言
二千多年前，希臘人希羅1,2利用水位差的變化推擠空氣，並讓此被推擠的空氣達成排水 作用設計了著名的希羅噴泉，這也是虹吸作用呈現的現象之一；他也利用沸騰水產生的蒸氣 推力製作人類第一台的蒸汽機1。 我在多年前以壓克力管模仿製作了一個外徑5 公分、高約 30 公分「一體成型希羅噴泉」， 如圖 1，作為演示虹吸作用的趣味呈現；在此噴泉噴發過程中，上層水位的不變與中層蓄水 空間水位降低的速率變慢，讓我為達到定量分析的目的而製作一個更大型的希羅噴泉，做更 深入的認識。 如圖2，這是一個以黃金比例製作的「一體成型希羅噴泉」，外徑 10 公分，上層空間高 16 公分，中層空間 26 公分，下層空間 42 公分，各層空間再兩兩以外徑 1 公分、內徑 0.6 公 分的細管相通，經過一年多的實際操作與改良，藉由上層水位的不變，中層空間與下層空間氣體體積不變，讓中層空間水位變化與下層空間水位變化呈現穩定的相對關係，引導我們為 測量不同壓力差時，中層空間水位變化而制定座標格線，再以連續方程式得到噴發速率。 圖1：小型希羅噴泉 圖 2：高 84 公分的希羅噴泉 其次，我們改變噴泉噴出口徑，測量在不同口徑、不同壓力差時噴發速率，定量計算因 空間水位壓力差變化而導致噴泉產生不同的速率，這有助於普通物理 3關於流體力學單元中 連續方程式的實例應用，而由此求得的噴泉速率為實驗值；我們再列出各個空間的白努利方 程式，並以此求得噴泉速率，此為理想流體假設下的噴泉速率理論值；最後，比較實驗值與 理論值間的關係，進一步得到噴泉結構噴發速率的經驗關係式與能量損失的百分比4,5.6，應用 在流體力學的課程教學，包括：管內的流動、管徑的變化與能量損失等。 此外，區隔為上中下層的一體成型希羅噴泉，特別是流體流動過程中，氣體體積的不可 壓縮性，有助於我們理解地表自流泉動作過程與超抽地下水導致地層下陷的動力學機制。
貳、 文獻探討
關於希羅噴泉的動作與教學原理的探討，我們以四個方面敘述：
希羅噴泉動作機制、連- 73 - 續方程式、白努利方程式、流速經驗式與能量損失。 圖3：希羅噴泉示意圖。 如圖3，希羅噴泉結構有三個空間7：噴泉池A、供水瓶 B、供氣瓶 C，當水由噴泉池經 a 管流入供氣瓶時，供氣瓶內的氣體會被推入供水瓶，供水瓶氣體的增加則會讓供水瓶內的 水向噴泉池噴出，這是二千年前希羅利用 a 管的水落差大於 c 管的水落差而製作的噴泉，在 當時，並無壓力差的觀念。 接著，我們討論流體流動過程中的幾個原理。流體流經不同截面積的錐形管時，依據質 量守恆原理3可以得到 ρA 1 V1 = ρA2V2，其中 ρ 為流體密度，A1 A2為管截面積，V1 V2為 管口附近流速，在流體密度不變時可得 A1 V1 = A2V2 (1) ，這也是流體的連續方程式，如果已知兩個不同管徑截面積比值，再測得V2，則可求得V1。 其次，關於白努利方程式成立是基於理想流體的幾個假設，其中之一為流體在流動過程 中的不可壓縮性，也就是流體在流動過程中密度維持不變，對液體的流動而言一般視為不可 壓縮流體，但對於氣體的流動則認其為可壓縮之流體，但是根據教科書 8的敘述，空氣的流 動須大於音速的0.3 倍，也就是時速超過三百六十公里時才可視之為可壓縮之流體（密度因 流動改變），希羅噴泉在噴發的過程中，我們可清楚的觀察到氣體在過程中確實是不可壓縮流 體，我們也利用此特性，在不同壓力變化下，計算流體的流速，包括水位的下降與噴泉速率。 接著是對於理想流體在流動過程的路徑裡皆須滿足白努利方程式，亦即 p+1/2ρV2+ρg h=常數 （2） 其中p 為空間的壓力，g 為重力加速度值，h 為垂直高度。 最後是關於噴泉結構對流體流速與能量變化的影響，依據白努利方程式可得到影響理想 流體（液體）流速的因子為空間壓力差與垂直高度差（重力），若空間壓力差為0，流速變化 可寫為 V =( 2gh)1/2 (3) 其中，h 為圖 3 裡 a 管與 c 管的高度差，由此求得的噴泉速率為理想值。而隨著噴泉結構變 化與流體黏滯性，結構中流體流速會減少，我們可將之與理想值比較得到
V' =k( 2gh)1/2 (4) 其中k 為噴泉結構的流速係數。也因為噴泉結構變化與流體黏滯性，導致在流動過程的 路徑裡會有能量損失，此能量損失為1/2 ρV2 - k2( 1/2 ρV2) ，能量損失百分比為 (1/2 ρV2–k2( 1/2 ρV2)/ 1/2 ρV2) x 100% (5) 。
參、 一體成型希羅噴泉結構設計
在此，我們說明一體成型噴泉的結構與其噴發過程，如圖 4，我們將此希羅噴泉分為上 層空間(噴泉池)、中層空間(供水瓶)與下層空間(供氣瓶)，左側 a 管水由中層空間往上層空間 噴出，中間b 管水由上層空間流入下層空間，右側 c 管為下層空間與中層空間的通氣孔；依 據觀察得知：上層空間的水位在流體流動過程中始終保持不變，亦即噴泉口噴出的水等於上 層空間流入下層空間的水量；當下層空間水量增加時，空氣被推向中層空間，過程裡中層空 間氣體空間的增加完全等於下層空間水位的上升，顯示著氣體體積在流體流動過程裡並未減 少；基於前述的觀察，在噴泉穩定噴發後，一體成型希羅噴泉提供我們一個可以簡單測量流 體流速的方法，即水位下降速率與噴泉噴發速率。 圖 4：一體成型希羅噴泉示意圖 接著，我們討論如何求得噴泉噴發速率的實驗值，當水由中層空間往上層空間噴出時，依據連續方程式可以得到 ρA2V2 = ρA0 V0，其中 ρ 流體密度，A2為圓管截面積，A0為噴
泉口截面積，V2中層空間下降速率，V0為噴泉口流速，消去 ρ，測量V2的值，並在A2 / A0 已知的條件下，可得到噴泉口流速實驗值V0。表1 列出不同噴泉口徑時的截面積比值，我們 將在實驗操作單元中得到不同口徑時的噴泉速率。 表 1： 內徑 截面積 A2 / A0比值 2mm 2116 3mm 940.4
- 75 - 4mm 529.0 註：大圓管的內徑為 92mm。 最後，我們討論各層空間的白努利方程式以求得噴泉流速的理論值，首先是噴出口與中 層空間的白努利方程式為 P1+ 1/2ρV02+ ρg ha = P2+ 1/2ρV22 (6) 其中P1為上層空間壓力，在此為一大氣壓，ha為噴泉口至中層空間水位高度，P2為中層空 間壓力。 中層氣體空間與下層氣體空間的白努利方程式則為 P2=P3 （7） P3為下層氣體空間壓力，在此，我們忽略了空氣的流速項與高度差項，原因是空氣的密度 約為水的八百分之一，乘上二分之一速率平方後，遠小於P2與P3。 下層空間與上層空間的白努利方程式為 P3= P1+ ρg hb （8） 其中hb上層空間水位至下層空間水位高度。將式（8）與式（7）兩邊相加後消去 P3，P2代 入式（6），忽略中層空間水位下降速率可，得到 V0 =(2g( hb -ha))1/2 （9） ，此為噴泉口流速的理論值。 在實驗操作的過程裡，我們測量不同口徑時，中層空間水位的下降速率，再以連續方 程式求得噴泉噴出速率的實驗值，並與白努利方程式得出的理論值比較，得到此結構的經 驗式，也藉此求得此噴泉結構在不同噴出口徑時，能量損失的百分比。
肆、 教具製作
一、壓克力管切割與中層空間組裝
（一） 表2 說明製作所需的主要材料 （二） 將外徑10 公分壓克力別切割為 16 公分、26 公分與 42 公分三個圓管，圓管先以銼 刀磨平再分別以粗砂紙與細砂紙置於平整地面，進一步磨平圓管兩端底部後。 （三） 將外徑1 公分壓克力別切割為 28 公分、28 公分與 25 公分三個圓管，以銼刀磨平兩 端。 （四） 將兩個壓克力圓盤中心以鑽床鑽一直徑1 公分圓孔，每盤分別在距圓心 2.5 公分再 鑽一直徑1 公分圓孔。 （五） 28 公分細圓管插入盤中心孔，與盤切齊(水流入下層空間)。另一支 28 公分管則插入 盤側孔並突出圓盤2.5 公分(噴泉出口)，以氯仿滴入壓克力相接處，等待硬化。 （六） 將外徑1 公分長 25 公分圓管插入另一鑽孔圓盤側孔(中間層與下層空間的通氣孔) ， 一端與盤切齊，以氯仿滴入壓克力相接的地方，等待硬化。 （七） 將步驟（五）成品穿過外徑10 公分長 26 公分圓管，在另一端 28 公分細圓管會穿過 步驟（六）成品之盤中心孔，略為調整兩圓盤的位置，可讓中間層空間緊密契合， 再以氯仿滴入壓克力相接的地方，等待硬化。 （八） 為了增加空間的密封性 可將壓克力環 套入盤與大圓管交接處以氯仿滴入，圖 5 為中間層空間完成圖。（上層空間圓管僅需以氯仿固定） 表2：製作所需的材料 編號 類別 數量 說明 1 壓克力管 1 外徑 10 公分 內徑 9.2 公分 2 壓克力管 1 外徑 1 公分 內徑 0.6 公分 3 壓克力盤 3 個 直徑 10 公分 厚 0.5 公分(壓克力行訂製) 4 壓克力環 4 個 外徑 10 公分 內徑 11.2 公分 厚 0.5 公分 5 塑膠管 40 公分 取自 RO 逆滲透 6 原子筆頭 4 個 取自 unimall 原子筆 7 長尾夾 4 個 8 橡膠環 1 個 外徑 10 公分 內徑 9.2 公分 工具 尺、銼刀、粗細砂紙各一張、鑽床、氯仿、手機碼表功能 圖5：中層空間與上層空間完成圖。
二、下層空間製作與希羅噴泉組裝
（一） 將長42 公分圓管一端與圓盤先以氯仿密封，再以壓克力環套住管與盤交接處，以氯 仿固定可增加其密封性與強度。 （二） 圓管另一端以壓克力環套住，並讓環突出管0.3 公分，以氯仿固定。 （三） 步驟（二）之圓管端置入一厚2mm 的橡膠環，再將中間層空間嵌入，對齊後以四個 長尾夾夾住，圖2 為希羅噴泉組裝完成。三、座標格線繪製
（一） 將原子筆頭以電鑽分別鑽2mm、3mm 與 4mm 的口徑，並擇一壓入噴泉出口噴。 （二） 以噴泉口為原點，向下取6 公分為中間層（供水瓶）初始水位，以噴泉口為原點， 向下取2 公分為上層空間（噴泉池）初始水位，如圖 6，由上層初始水位向下量 54 公分為下層空間的初始水位。 （三） 由中間層初始水位，向下16 公分標定為預備線，預備線下方每隔一公分取一格線，- 77 - 共取六個隔線，量取五個不同壓力下的流速，如圖7。 （四） 噴泉噴發後，待中間層水位降至17 公分時開始測量，此時 ha=6+17=23 公分 hb =54-17=37 公分，因此，測量的初始 水位差＝hb- ha=14 公分。 （五） 中間層水位每降1 公分，噴出的水位差由 14 公分降至 12 公分，此測得的速率，我 們取在13 公分時的水流平均速率，依次可得 11 公分、9 公分、7 公分、5 公分的水 位差平均速率。 圖 6：上層空間初始水位。 圖 7：中間層水位下降與格線。
肆、 實驗操作與教學應用
一、
上層空間水位不變與流體不可壓縮性觀察
（一） 下層空間裝水至管口附近的紅色標線處。 （二） 管口內放入橡膠圈，再以長尾夾將中層空間與下層空間夾緊。 （三） 將噴泉結構體倒置，水將由下層空間流入中層空間，等待水快流至紅色初始位置時 將結構體復歸正位，準備進行噴泉噴發活動。 （四） 在上層空間倒水至紅色標線處，水由中間管流入下層空間，並與噴出管形成壓力差，噴泉開始噴發。（此時可以繼續倒水至紅色標線處） （五） 無論噴發口徑改變，或流速發生變化，在泉水噴發的過程裡，上層空間紅色標線處 的水位始終不變，亦即，噴泉噴出水量等於流入下層空間水量。 （六） 上層空間的水位不變顯示由中層空間流出水量等於水由上層空間流入下層空間的量， 亦即，下層空間的氣體被推入中層空間時亦等於中層空間水量的流失，此說明系統 流體流動時液體與氣體的體積並不會改變，這是流體不可壓縮性的呈現。
二、
流速觀察與測量
（一） 承接前面的觀察，我們可以理解在三個空間水流速率與空氣速率是相等的（不討論 細管的流速），即下層空間水位上升等於中間層水位下降，而上層空間的水流速率 亦同，只是水位不變。 （二） 待水位變化表現穩定後，可以手機碼表測量中層空間水位每下降一公分花費的時間 得到各層空間的流速。 （三） 表3、表 4、表 5 列出不同水位差時，測量的水位下降速率。 表 3：口徑 2mm 時的實驗值與理論值 高度差 (公分) 時間 (秒) 水位速率 (公分 / 秒) 噴口流速（實驗 值）(公分 / 秒) 噴口流速（理論 值）(公分 / 秒) 經驗係數 k 13 25.6 0.039 82.8 159.6 0.52 11 28.7 0.035 73.8 146.8 0.50 9 31.1 0.032 68.2 132.8 0.51 7 37.6 0.027 56.3 117.1 0.48 5 44.0 0.023 48.1 99.0 0.49 表 4：口徑 3mm 時的實驗值與理論值 高度差 (公分 ) 時間 (秒) 水位速率 (公分/秒) 噴口流速（實驗 值） (公分 / 秒) 噴口流速（理論 值） (公分 / 秒) 經驗係數 k 13 11.0 0.091 85.4 159.6 0.54 11 11.8 0.085 79.6 146.8 0.54 9 12.8 0.078 73.7 132.8 0.55 7 15.6 0.064 60.2 117.1 0.51 5 18.1 0.055 51.9 99.0 0.52 表 5：口徑 4mm 時的實驗值與理論值 高度差 (公分 ) 時間 (秒) 水位速率 (公分 / 秒) 噴口流速（實驗 值）(公分 / 秒) 噴口流速（理論 值）(公分 / 秒) 經驗係數 k 13 5.54 0.181 95.5 159.6 0.60 11 5.93 0.169 89.2 146.8 0.61 9 6.44 0.155 82.1 132.8 0.62 7 7.41 0.135 71.4 117.1 0.61 5 9.27 0.108 57.1 99.0 0.58- 79 -
三、
以連續方程式計算噴泉口噴泉速率
（一） 以前面敘述測量之水位速率，再利用表1 不同的截面積比，帶入式（1），可得不同 噴泉口徑時，在不同壓力差時的噴泉噴發速率，此為此噴泉結構體噴發速率的實驗 值。 （二） 表3、表 4、表 5 分別列出不同口徑，不同壓力的水位速率與噴泉速率。四、
噴發速率經驗公式與能量損失
（一） 利用白努利方程式與式（9）可計算此流體在理想流體的假設下噴泉噴發理論值 （二） 將實驗值與理論值相除可得到噴泉結構的噴發速率經驗係數，表3、表 4、表 5 分別 列出不同口徑時的經驗係數。 （三） 利用式（5），可得到不同口徑噴泉結構流體所損失的能量百分比，如表 6 所示。 表 6：不同口徑噴泉結構所損失的能量百分比 噴泉口 口徑 經驗係數 k 能量損失百分比 (1 – k2)*100% 2mm 0.50 75 3mm 0.53 72 4mm 0.60 64伍、結論與心得
一、作者在多年前即完成一個約三十公分高的一體成型希羅噴泉（如圖 8）演示虹吸噴泉過 程，不僅體積小，課堂上學生觀察不易外，但也確實觀察到上層水位的不變與理想流體 流動假設的性質之一-不可壓縮性的呈現，為定量認識希羅噴泉的運動過程與動力學機制， 必須將噴泉結構放大以方便觀察與計算，也得到不錯的認識與理解。 二、希羅噴泉的噴發是在一大氣壓的環境裡，利用水位差的變化形成壓力，啟動噴泉噴發與 流體流動，上層水位的不變適用於所有形式的希羅噴泉，而將三個空間的管徑單一化， 並透過座標格線標定，讓幾個流體力學的原理教學呈現出，包括：連續方程式的應用， 白努利方程式的理解，流速實驗值的測量，及其與理論值的比較。 三、由噴發速率的實驗值與理想流體白努利方程式而得的理論值比較，噴泉口徑越小，噴發 速率越小，經驗係數越小。 四、關於噴泉噴發過程能量的損失，口徑越小能量損失越大，能量的損失主要來自於水的黏 滯力與管徑變化，管徑的變化有三個地方：噴泉口、中間層進入噴出圓管與水由上層空 間往下層空間流動的過程。。 五、對地表自流湧泉的認識：運用一體成型希羅噴泉，我們可假設上層空間可同時扮演平原地表與山上地表，中間層空間為平原地表的地下一層，下層空間為更多層次的地下空間。 當山上下雨因重力而流入地下多層次的空間裡，空間裡的空氣或水流到達平原地下層時， 流體的的不可壓縮性便會將地下一層的水或空氣推上地表，而產生湧泉或氣泡。 六、超抽地下水的動力學機制：農民在地表挖井一般不深，也僅及地下一層，所缺的水會由 地表自然滲入補充，如果沒水，則以空氣補充，但不同目的的挖深井抽水，抽水量速率 越大，抽水的地下空間越深，當地層空間來不及補充的流體體積時，地層間的岩石便會 崩蹋，流體抽水量越大，抽得越深影響空間範圍越廣，這可視為一廣大空間的帕斯卡原 理。 七、噴泉結構的建議與改進：（一）噴泉的下層空間與中上層間分離，可於活動結束後將水倒 掉，不僅有助於方便攜帶，也有助於教具不被水浸蝕，產生滲漏；（二）教師可於每次實 驗活動後，等待教具乾燥，以氯仿加強縫隙間的接合，有助日後實驗再進行；（三）將下 層空間底部支撐面加大可增加教具操作的穩定；(四)論文中的噴泉結構仍舊稍大，裝水 後也重，將結構稍微縮小更有利於教師的教學。
參考文獻
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The Design of An Integrated Heron Fountain And Its Related
Teaching Applications
Lih-Kuo Liang
Department of Environmental Science and Engineer, Foo Yin University
Corresponding author: sc013@fy.edu.tw
Abstract
The acrylic tube with a height of 84 cm and an outer diameter of 10 cm is divided into three containers: top basin, water supplier and air supplier. Three pipes connect each two containers to form an integrated Heron fountain. Several teaching applications of fluid mechanics can be understood. First, during the eruption of the fountain, observe the liquid level of the three containers can help us to understand the incompressibility of the gas of the flow in different pressures. Secondly, when the flow is steady, the speed of the water level change in the water supplier is measured, and the experimental speed of the fountain eruption can be obtained by the principle of continuity
equation. Third, according to the Bernoulli，
s equation of each container, we can get the theoretical speed of the eruption , and the empirical formulas can be understood for different eruption caliber structure; Finally, we calculate the percentage of energy loss during the eruption of the structure.
