96指考數學乙

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九十六學年度指定科目考試試題

數學乙

作答注意事項

考試時間：80 分鐘

作答方式：第壹部分請用

2B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內劃記。修正時應以橡皮擦拭，

請勿在答案卡上使用修正液。

第貳部分作答於「非選擇題答案卷」，請在規定之欄位以較粗的黑色或藍色

原子筆、鋼珠筆或中性筆作答，並標明題號。

第壹部分作答示例：請仔細閱讀下面的例子。

（一）

單選題及多選題：只用

1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到

，，以及

6，7，8，9，0 等格子。

例：若第

1 題為單選題，選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，亦即

選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列的 劃記（注意不是 7），如：

例：若第

5 題為多選題，正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 5 列

的 與 劃記，如：

（二）選填題的題號是

A，B，C，…，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的

格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

3 1 3 20 21

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   解 答 欄

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 單 選 題 、 多 選 題 及 選 填 題 共 佔 7 4 分 ）

一 、 單 選 題 （

1 8 分 ）

說明：第

1 至 3 題為單選題，每題選出一個最適當的選項，劃記在答案卡之「解答欄」。每題

答對得

6分，答錯或劃記多於一個選項者倒扣1.5分，倒扣到本大題之實得分數為零為

止。未作答者，不給分亦不倒扣分數。

1. 科 學 家 測 得 南 極 上 空 臭 氧 層 的 破 洞 面 積 大 約 是 2 30 0 萬 平 方 公 里 ， 約 相 當 於 北 美 洲 的 面 積 。 根 據 上 述 數 據 ， 估 計 地 球 的 表 面 積 ， 請 選 出 最 接 近 地 球 表 面 積 的 選 項 ： ( 1) _5106_{平 方 公 里 ( 2 ) 平 方公 里 ( 3 ) 平 方公 里} ( 4) 平方 公里 ( 5 ) 平 方公 里 2. 某地 區 1 2歲 以上 人口 中吸 煙的 比率 為 2 8% 。今 將1 2歲 以上 人口 區分 為中 老年、青 壯年 及 青 少 年 三 類 ， 所 佔 比 率 各 為3 0% 、45% 及2 5% 。已 知中 老年 與青 壯年 人口 中吸 煙的 比 率 各 為25% 與3 0% ， 請問 青少 年人 口中 吸煙 的比 率為 多少 ？選 出正 確的 選項 ： ( 1) 24% ( 2 ) 2 8% ( 3 ) 3 2% ( 4 ) 3 6% ( 5 ) 4 0% 3. 中國 古代 流傳 的一 本數 學書 中有 下面 這段 文字 ：（ 標點 符號 為現 代人 所加 ） 今 有 多 數2 1， 少數 15 ，問 等數 幾何 ？草 曰： 置 21 於上 ， 1 5於 下， 以下 15 除去 上 2 1， 上 餘6 ；又 以上 6除 去下 15 ，下 餘 3 ；又 以下 3除 去上 6， 適盡 。則 下 3 為等 數合 問 。 在 上 文 中 「 等 數 」 指 的 是 ： ( 1) 兩數 之和 ( 2 ) 兩 數之 差 ( 3 ) 兩 數之 積 ( 4) 兩數 之商 ( 5 ) 兩 數之 最大 公因 數

二 、 多 選 題 （

3 2 分 ）

說明：第 4 至 7 題，每題各有5個選項，其中至少有一個是正確的。選出正確選項，劃記在

答案卡之「解答欄」。每題8分，各選項獨立計分，每答對一個選項，可得1.6分，每答

錯一個選項，倒扣1.6分，完全答對得8分；整題未作答者，不給分亦不倒扣分數。在

備答選項以外之區域劃記，一律倒扣1.6分。倒扣到本大題之實得分數為零為止。

4. 假 設 地 面 是 一 個 可 以 無 限 延 伸 的 平 面 ， 如 果 採 用 形 狀 大 小 一 致 的 大 理 石 地 磚 鋪 在 地 面 上 ， 並 且 要 求 鋪 設 時 地 磚 之 間 緊 密 連 接 不 留 空 隙 ， 試 問 可 以 採 用 哪 一 種 形 狀 的 地 磚 ？ 請 選 出 正 確 的 選 項 ： ( 1) 正三 角形 ( 2) 正方 形 ( 3) 圓形 ( 4) 正五 邊形 ( 5) 正六 邊形 5. 下面 每一 個選 項 都 是以 行列 式表 達坐 標平 面上 的方 程式 ，請 問 哪 些選 項代 表 橢 圓？ ( 1) 0 1 1 3 1 2 1  x y x ( 2 ) 2 2

2

1

2

1

0

3

1

1

x

y

x



( 3) 2 2

2

1

2

1

0

3

1

1

x

y

x



( 4 ) 0 1 1 3 1 2 1 2 2 2  y y x x ( 5) 0 1 1 3 1 2 1 2 2   y y x x

6. 假 設a b, 是 整 數 ， 且b0。 已 知

2

3

3

a b

c

 

i

是 實 係 數 一 元 二 次 方 程 式 _x2_{kx 1 0} 的 一 個 解 。 請 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的 ？ ( 1)

1

c

是 上 述 方 程 式 的 另 外 一 個 解 ( 2)

1

2

3

3

a b

i

c

 

( 3)

c

1

k

c

 

( 4) k一 定 是 整 數 ( 5) a一 定 是 奇 數 7. 代表 實數 ，請 選出 正確 的選 項： ( 1) 當時 ，cos 2x之 值 恆 為 正 ( 2) 當時 ，sin 2x之 值 恆 為 正 ( 3) 不論 為何 ， 恆 成立 ( 4) 不 論為 何， 恆成 立 ( 5) 不 論x為 何 ， 恆 成 立

三 、 選 填 題 （

2 4 分 ）

說明：A至C各題為選填題，劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號（8-14）內。每一題完

全答對得8分，答錯不倒扣；未完全答對不給分。

A.

某 棒 球 比 賽 有 實 力 完 全 相 當 的 甲 乙 丙 丁 四 隊 參 加 ， 先 將 四 隊 隨 機 抽 籤 分 成 兩 組 比 賽， 兩 組 的 勝 隊 再 參 加 冠 亞 軍 決 賽 。 如 下 圖 ： 根 據 過 去 的 紀 錄 ， 所 有 隊 伍 比 賽 時 各 隊 獲 勝 的 機 率 均 為 0. 5。則 冠亞 軍決 賽由 甲、乙 兩 隊 對 戰 的 機 率 為 （ 四 捨 五 入 到 小 數 三 位 ） 。 B . 平 面上 坐標 皆為 整數 的點 稱為 格子 點。我 們將 原點 以外 的格 子點 分層 ，方 法如 下： 若 ( , )a b 是 原 點

 

0,0 以 外 的 格 子 點 ， 且 a 和 b 中 最 大 值 為n， 則 稱( , )a b 是 在 第n層 的 格 子 點 （ 例 如(3, 4) 是 在 第 4 層；(8, 8) 是 在 第8 層） 。則 在第 15 層的 格子 點個 數為 。

冠軍

勝

勝

第一組

第二組

C . 如 圖

A 城 到B 城 之間 有 甲、乙、丙、丁、戊 五城 ，其 間 連 結的 道路 如圖 所示。今 從A 城出 發走 向B 城， 要求 每條 道路 都 要 經過 並且 只 經 過一 次， 則總 共有 種 走法 。

第 貳 部 分 ： 非 選 擇 題 （ 佔 2 6 分 ）

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號（一、

二），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題配分標於題末。

一、某 別 墅 有 一 個 由 四 塊 正 方 形 的 玻 璃 拼 成 的 田 字 形 窗 戶 ， 窗 外 路 燈 的 光 線( 假 設路 燈 是 一 個 點 光 源) 透過 窗戶 在地 板上 形成 一個 變形 的田 字形 光影。在 地板 上建 置一 個 直 角 坐 標 系 ， 發 現 田 字 形 光 影 外 框 的 四 個 頂 點 的 坐 標 分 別 為 ( 4, 40)  ， (16,0) ， (16, 40) 和(28,16) 。 求 田 字 形 窗 戶 的 中 心 投 影 在 地 板 上 的 坐 標 。 （1 3 分 ） 二 、 設r,s為 整 數 ， 已 知 整 係 數 多 項 式 _x3_{ rx s的 因 式 分 解 是x}3_{  rx s (x a ) (}2 _{x b )，} 其 中a,b為 相 異 實 數 ， 求 證a,b都 是 有 理 數 。 （13 分）