6-指數與對數

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6- 指數與對數

【83-1】下列哪些方程式的部分圖形「不可能」出現在下圖中？(A) y  ( 2 1 )x_{(B) y}_{ log} 2 x　 (C) y  cot x　(D)5x2_{ 4x  6y  3  0　(E) x}2_{ y}2_{ 4x  6y  10  0} 【解答】(C)(D)(E) 【83-2】若 x  56 . 2 3 . 88 3 ，則下列哪一個敘述是正確的？（可用查表法）(A) 2.8 < x < 2.9　 (B) 2.7 < x < 2.8　(C) 2.6 < x < 2.7　(D) 2.5 < x < 2.6　(E) 2.4 < x < 2.5 【解答】(B) 【83-3】函數 y  4x_與_y_{ 2}3x2_{的圖形之交點坐標為　　　　　。} 【解答】( 2， 16 1 ) 【84-1】設 n 為自然數，則滿足 10n1_{> 9}n_的_{n 值中最小的為　　　　　。} 【解答】22

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【85】設 a  b  100。令 p  log2a．log7b，q  2 1

( log 7 a  log 7 b )，r  log7 (

2

b a

)，則下列 敘述何者正確？(A) q  log7 ab　(B) q  r　(C) r  p  q　(D) p  q  r　(E) q  p  r

【解答】(A)(D) 【86】將 3100_{以科學記號表示：}₃100_{ a  10}m_，其中₁_{ a  10，m 為整數，則 a 的整數部分} 為　　　　　。【解答】5 【87】下圖為某池塘中布袋蓮蔓延的面積與時間的關係圖。假設其關係為 指數函數，試問下列敘述何者為真？(A)此指數函數的底數為 2　 (B)在第 5 個月時，布袋蓮的面積就會超過 30 m2 (C)布袋蓮從 4 m2_蔓延到_{12 m}2_，只需_{1.5 個月　(D)設布袋蓮蔓延到 2 m}2_、_{3 m}2_、_{6 m}2_所需的時間分別為t1、t2、t3，則t1 t2 t3　 (E)布袋蓮在第 1 到第 3 個月之間的蔓延平均速度等於在第 2 到 第4 個月之間的蔓延平均速度。 【解答】(A)(B)(D)

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【89-1】假設世界人口自 1980 年起，50 年內每年增長率均固定。已知 1987 年世界人口達 50 億，1999 年第 60 億人誕生在賽拉佛耶。根據這些資料推測 2023 年世界人口數最接近 下列哪一個數？(A) 75 億　(B) 80 億　(C) 86 億　(D) 92 億　(E) 100 億 【解答】(C) 【89-2】1999 年 6 月 1 日數學家利用超級電腦驗證出 26972593_{1 是一個質數。若想要列印出此} 質數至少需要多少張A4 紙？假定每張 A4 紙，可列印出 3000 個數字。在下列選項中，

選出最接近的張數。[log 10 2  0.3010](A) 50　(B) 100　(C) 200　(D) 500　(E)700

【解答】(E) 【90】設 a  ( 2 1 )2 1 ，b  ( 3 1 ) 3 1 ，c  ( 4 1 ) 4 1 。下列選項何者為真？(A) a  b  c　(B) a  b  c (C) a  c  b　(D) a  c  b　(E) a  b  c 【解答】(C) 【91】觀察相關的函數圖形，判斷下列選項何者為真？(1) 10x_{ x 有實數解} (2) 10x_{ x}2_有實數解_{(3) x 為實數時，10}x_{ x 恆成立　(4) x  0 時，10}x_{ x}2_恆成立 (5) 10x_{  x 有實數解【解答】(2)(3)(4)(5)}

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【92-1】根據統計資料，在 A 小鎮當某件訊息發布後，t 小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人 口的100(1  2 kt_{)％，其中 k 是某個大於 0 的常數。今有某訊息，假設在發布後 3 小} 時之內已經有70％的人口聽到該訊息。又設最快要 T 小時後，有 99％的人口已聽到 該訊息，則T 最接近下列哪一個選項？(1) 5 小時　(2) 7 2 1 小時　(3) 9 小時　 (4) 11 2 1 小時　(5) 13 小時【解答】(4) 【92-2】以下各數何者為正？(1) 23 ₂_{(2) log} 23  1　(3) log32  1　(4) log 2 1 3　(5) log 3 1 2 1 【解答】(1)(2)(5) 【93-1】下列選項中的數，何者最大？（其中 n !  n  (n  1)  …  2  1） (1) 10010_{(2) 10}100_{(3) 50}50_{(4) 50 !　(5)} ! 50 ! 100 【解答】(2) 【93-2】臺灣證券交易市場規定股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價（即最後一筆的成 交價）的漲、跌7％範圍內變動。例如：某支股票前一個交易日的收盤價是每股 100 元，則今天該支股票每股的買賣價格必須在93 元至 107 元之間。假設有某支股票的 價格起伏很大，某一天的收盤價是每股40 元，次日起連續五個交易日以跌停板收盤 （也就是每天跌7％），緊接著卻連續五個交易日以漲停板收盤（也就是每天漲

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【93-3】設 a，b，c 為正整數，若 a log520 2  b log520 5  c log52013  3，則 a  b  c 　　　　

。

【解答】15

【94-1】設 a, b 為正實數，已知log7a11, log7b13，；試問log (7 a b )之值最接近下列哪個選項？ (1) 12 (2) 13 (3) 14 (4) 23 (5) 24 【解答】(2) 【94-2】設 x 為一正實數且滿足_x_₃x _₃18_；若_{x 落在連續正整數 k 與 k+1 之間，則 k =?} 【解答】15 【95】在養分充足的情況下﹐細菌的數量會以指數函數的方式成長﹐假設細菌 A 的數量每兩 個小時可以成長為兩倍﹐細菌B 的數量每三個小時可以成長為三倍.若養分充足且一開 始兩種細菌的數量相等﹐則大約幾小時後細菌B 的數量除以細菌 A 的數量最接近 10﹖ (1)24 小時 (2)48 小時 (3)69 小時 (4)96 小時 (5)117 小時. 【解答】(5)

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【96-1】設 a 為大於 1 的實數，考慮函數 f (x)=a x_與_{g (x)=} _x a log ，試問下列哪些選項是正確？(1) 若 f (3)=6，則 g (36)=6 (2) f_f(₍238₂₁₉₎)  _ff(₍₁₉38)₎ (3) g (238)g (219)=g(38)g(19) (4) 若 P,Q 為 y=g(x)的圖形上兩相異點，則直線 PQ 之斜率必為正數 (5) 若直線 y=5x 與 y=f (x) 的圖形有兩個交點，則直線 y= 5 1 x 與 y=g(x)的 圖形也有兩個交點【解答】(1)(2)(4)(5) 【96-2】設實數 x 滿足 0< x <1，且log_x4log₂ x1，則x= 。(化成最簡分數) 【解答】 4 1 【97-1】對任意實數 x 而言， ₍ 2 2₎ 3 27x  的最小值為　(1) 3　(2) 3 3　(3) 9　(4) 27　(5)

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【97-2】已知在一容器中有 A，B 兩種菌，且在任何時刻 A，B 兩種菌的個數乘積為定值 10 10 。為了簡單起見，科學家用PAlog( )nA 來記錄A 菌個數的資料，其中nA為A 菌的個數。 試問下列哪些選項是正確的？(1) 1PA10　(2) 當PA5時，B 菌的個數與 A 菌的 個數相同　(3) 如果上週一測得PA值為4 而上週五測得PA值為8，表示上週五 A 菌的 個數是上週一A 菌個數的 2 倍　(4) 若今天的PA值比昨天增加1，則今天的 A 菌比昨 天多了 10 個　(5) 假設科學家將 B 菌的個數控制為 5 萬個，則此時 5PA5.5 【解答】(2)(5) 【98】某公司為了響應節能減碳政策，決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前排 放量的75%。公司希望每年依固定的比率（當年和前一年排放量的比）逐年減少二氧化碳的排放量。若要達到這項目標，則該公司每年至少要比前一年減少_________ ___%的二氧化碳的排放量。 （log 9.44 0.9750 ，計算到小數點後第一位，以下四捨五入。）【解答】5.6% 【99】在密閉的實驗室中，開始時有某種細菌 1 千隻，並且以每小時增加 8%的速率繁殖。 如果依此速率持續繁殖，則100 小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項？ (1) 9 千隻 (2) 108 千隻 (3) 2200 千隻 (4) 3200 千隻 (5) 32000 千隻。

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【解答】(3) 【100-1】設 1 2 2 1 ( ) ( ) 10 n n a _  a ，n 為正整數，且知an皆為正。令bn logan，則數列 1, 2, 3, b b b  為(1)公差為正的等差數列　(2)公差為負的等差數列　(3)公比為正的等 比數列　 (4)公比為負的等比數列　(5)既非等差亦非等比數列。 【解答】(2) 【100-2】請問下面哪一個選項是正確的？ (1)₃7 _₇3₍₂₎₅10 _₁₀5₍₃₎₂100_₁₀30 (4)log 3 1.52  　(5)log 11 3.52  。【解答】(5)