98年數學統測試題C(含解答)

98 年數學統測試題 C

(

Ａ

) 1. 平面上兩點

A(5, 1)

、

B(3, 4)

。若 C 點在 y 軸上，且滿足

ACBC

，則 C 點坐標為何？

(A)

(0,

1

)

10



　(B)

(0,

1

)

15



　(C)

(0,

1

)

15

　(D)

1

(0,

)

10

。

　 　 解 析 ： C 點在 y 軸  設 (0, )C _{k 　∵ AC BC} 　∴ _{(5 0)} 2_{  ( 1 k)}2 _{ (3 0)} 2_(4k)2 2 2 1 25 1 2 9 16 8 10 k k k k k            ，故所求 C 點坐標為(0, 1) 10 

(

Ｃ

) 2. 設 ABCD 為一矩形，且

BC3AB

。令 P 點與 Q 點為

BC

上之點，且

BP PQ QC 

， 如 圖 ( 一 ) 。 若

DBC



， 且

DPC



， 則

tan(

 

 )

之值為何？　(A)

1

3

　(B)

2 3

　(C)1　(D)

2 3

。

　 　 解 析 ：∵BC3AB　∴可令 AB k 、BC3k ，且 BP PQ QC k   、 CD k 故tan 1 3 3 CD k k BC     、tan 1 2 2 CD k k PC     ，得 1 1 tan tan _{3 2} tan( ) 1 1 1 1 tan tan ₁ 3 2              _{ }

(

Ｂ

) 3. 若

sin 230 k

，則

tan 50 

？　(A)

1 k

2

k





　(B)

₂

1

k

k





　(C)

 1 k2

　(D)

2

1

1 k





。

　 　 解 析 ： 由圖可知tan 50  ₂ 1 k k   y x k 1 1 _{ k} 2 3 0 ° 5 0 ° 1 (  k)2  1 k2

(

Ｄ

) 4. 已知四邊形 ABCD（按順序）中，

AB8

，

_BC5

，

_AD3

，且

ABC ADC60

，

則

_CD

之長為多少？　(A)5　(B)6　(C)7　(D)8。

　 　 解 析 ： 令 CD x ，則： 在ABC 中， 2 _{2 2} 5 8 2 5 8 cos60 AC        在ACD 中， 2 _{2 2} 3 2 3 cos 60 AC  x    x   2 2 5 8    2 5 8 cos60 2 2 3 x 2 3 x cos 60        2 _{3 40 0 ( 8)( 5) 0 8} x x x x x           或5(不合)

(

Ｂ

) 5. 若  、  均 為 實 數 ， 且

_

3 _{ 2 5}

_，

_

3 _{ 2 5}

_{， 則  }

 

_{？ 　 (A)}

_1

_{(B)1 　 (C)2}

(D)4。

　 　 解 析 ： _{(  )}3_3_{3 }2 _32_3_3_3_{3  (  )}..._籬 利用_{   }3 3 _{(2 5)(2 5)  ，得1}   ₁ 代入籬式：_{(  )}3_{(2 5) (2  5) 3( 1)(    )} 令  t 3 3 4 0 t t     ，利用一次因式檢驗法，得t1 原式為_(t1)(t2_{ t 4) 0 ，因} 2 4 0 t    無實根，故t t ，即1   1 A B P Q C D 圖 一( )

(

Ｃ

) 6. 設

p x( )

為一元二次多項式。若

p(1) 1

，

(2)

1

2

p

 ，

(3)

1

3

p

 ，則

p(4)

之值為何？　(A)

2

3



(B)

1

2

 　(C)

1

2

　(D)

2

3

。

　 　 解 析 ： 令_{p x( )ax}2_{bx c ，將 (1) 1p}  、 ₍₂₎ 1 2 p  、 (3) 1 3 p  分別代入，可得： 1 1 1 11 4 2 , 1, 2 6 6 1 9 3 3 a b c a b c a b c a b c        _{       }        ，故 _{( )} 1 2 11 ₍₄₎ 1 6 6 2 p x  x  x  p 

(

Ｄ

) 7. 設

2 2 2

5

2

4

(

1)(

1)

1

1

x

x

A

Bx C

x

x

x

x

x

x





_

_





 



 

，則

A B C  

？　(A)3　(B)4　(C)5　(D)6。

　 　 解 析 ： 2 2 2 2 5 2 4 ( 1) ( )( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) x x A x x Bx C x x x x x x x               2 2 2 2 5 2 4 ( ) ( ) ( ) ( 1)( 1) ( 1)( 1) x x A B x A B C x A C x x x x x x                  由比較係數可知： 5 2 3 , 2 , 1 6 4 A B A B C A B C A B C A C                     

(

Ｄ

) 8. 已知

i 1

，且 a、b 均為實數。若

1 3i

為方程式

_x3_3x2_{ax b 0}

_{的一根，則}

_{a b }

_？

　(A)

4

　(B)

2

　(C)8　(D)14。

　 　 解 析 ： 令_{x 1 3i(x1)}2_{ ( 3 )i} 2_， 得方程式_x2_{2x 4 0} 則a  、6 b20，a b 14

(

Ｂ

) 9. 已 知

i 1

， 化 簡

(cos

sin )(cos

10

sin

10

)

7

i

7

21

i

21



_





_



_{ ？ 　 (A) 2}

2

2



2

i

　 (B) 1

3

2



2

i

(C) 1

3

2

2

i



_

_(D)

2

2

2

2

i





。

　 　

解 析 ： 原式 [cos( ) sin( )](cos10 sin10 ) 7 i 7 21 i 21

   

    

　　 cos( 10 ) sin( 10 ) cos sin 1 3 7 21 i 7 21 3 i 3 2 2 i

     

         

(

Ｄ

)10. 設 x 、 y 為 正 實 數 ， 若

2log(x2 ) logy  xlogy

， 則

x

y

之 值 為 何 ？ 　 (A)1 　 (B)2 　 (C)3

(D)4。

　 　 解 析 ： 真數大於 0 x 2y 、0 x 、0 y0 原式可整理為log(x2 )y 2log( )xy (x2 )y 2 xy 2 _{5 4} 2 _{0 ( )( 4 ) 0} x xy y x y x y x y           (不合)、x4y，故 x 4 y  。 1 5 1 3 1 2 4 5 ( 4 ) 5 1 0 2 0 0            a b a b 1  2 4

　 　 解 析 ： 根據根與係數的關係可知 3 3 1.... 1 3 3 .... 81             驥 纜，由纜可知 ( ) 1 4 3 3 4 81   _{ }  _{    }

(

Ｂ

)12. 正整數

₇2009

_{乘開後的數字，其末二位數字為何？　(A)}

₀₁

_(B)

₀₇

_(C)

₄₃

_(D)

₄₉

_。

　 　 解 析 ： ₇4_{2401 (2400 1) } 2009 2008 4 502 502 7 _{ }7 7 _{ }7 7 _{ }7 (2400 1)_ 502 (2400 1) 502 502 502 501 502 2 500 502 502 5021 501 2400 1 500 (2400) 1 .... 0 (2400) C C C C           502 502 502 501 501 500 0 [1 100(C 24 C 24 (2400) .... C 24 (2400) )]            1 100k 故₇2009_{ 7 (2400 1)} 502 _{  7 (1 100 ) 7 700k   k100t7} 故₇2009_{乘開後的數字，其末二位數字為 07} 《另解》 由 7 的乘冪可觀察末一位數數字的變化： 1 7  、7 ₇2_{ 、9 7}3_{ 、3 7}4_1...、 4 1 7 k _{ 、}7 ₇4k2_{ 、9 7}4k3_{ 、3 7}4k _1 ∵ 2009 4 502 1   　∴₇2009_{的末一位數字為 7，故7}2009_{的末二位數可判斷為 07}

(

Ａ

)13. 設 p、q 為二相異正整數，且

an

為一等差數列的第 n 項。若

ap q

、

aq  p

，則

ap q 

？

(A)0　(B)p　(C)q　(D)

p q

。

　 　 解 析 ： d ap aq q p 1 p q p q         ，ap q apqd   q q 0

(

Ａ

)14.

設

_a  4,3

，

_b  x y, 

為平面上兩向量，且

_x2_y2_40

_{，則此二向量內積}

a  b

的最大值為何？　(A)

10 10

　(B)

12 10

　(C)

14 10

　(D)

16 10

。

　 　

解 析 _{： a  b  a || b}| _{| cos 4}2_32 _x2_y2_{cos 5 2 10 cos }

又 1 cos_{ 所以 a  b 的最大值為 5 2 10 1 10 10}1   

(

Ｃ

)15.

下列敘述何者錯誤 ？　(A)直線

L x: 2y4

的斜率為

1

2

 　(B)方程式

x4

的圖形是

一 條 通 過 點

(4,5)

， 且 平 行

y 軸 的 直 線 　 (C) 通 過 點

A(1, 2)

、

B( 2,3)

的 直 線 方 程 式 為

3x y  1 0

　

(D)當點

A( 1,1)

、

B(2, )x

、

C(3,11)

為共線的三點時，則

17

2

x



。

　 　 解 析 ： (A) 直線 :L x2y 的斜率為4 1 2 a b    (B) 方程式x 的圖形是一條通過點 (4,5) ，且平行 y 軸的直線4 (C) 通過點 (1,2)A 、 ( 2,3)B  的直線方程式為 2 3 2 3 7 0 1 2 1 y x y x           (D) 當點 ( 1,1)A  、 (2, )B x 、 (3,11)C 為共線的三點時，則 1 11 1 17 2 ( 1) 3 ( 1) 2 x x  _  _{ }    

(

Ｄ

)16.

在坐標平面上，滿足不等式方程組

2

6 0

3

3 0

0

x y

x y

y

  



   





_



的區域，其面積為何？　(A)

22

5

　

(B)

32

5

　(C)

42

5

　(D)

48

5

。

　 　 解 析 ： y x ( 3 , 0 ) ( , ) ( 1 , 0 ) 3 5 2 45 O 2 x y  6 0 3 x y  3 0 由圖可知面積為 24 1 48 4 5 2 5   

(

Ｂ

)17.

若圓

C 的方程式為

_x2_y2_{6x4y 4 0}

_{，則下列各方程式的圖形，何者與圓}

_{C 相}

切？　

(A)

3x4y 1 0

　(B)

3x4y 2 0

　(C)

3x4y 7 0

　(D)

3x4y14 0

。

　 　 解 析 ： 圓_C：(x3)2_(y2)2 _32_{圓心坐標為 (3, 2) 圓的半徑為 3，} 因為與圓 C 相切，代表圓心到直線的距離等於半徑 2 2 9 8 2 3 3 4      ，故選(B)

(

Ｃ

)18. 若雙曲線

2 2 : 9 4 72 8 176 0 H x  y  x y 

，則下列直線何者是雙曲線 H 的漸近線？　(A)

1: 2 3 14 0 L x y 

　(B)

L2: 2x3y10 0

　(C)

L3: 3x2y14 0

　(D)

L4: 3x2y10 0

。

　 　 解 析 ： 原式_9x2_4y2_{72x8y176 0 9(x4)}2_4(y1)2_{ 36} ( 1)2 ( 4)2 1 9 4 y x    其漸進線為 2(y 1) 3(x4) 0 ，即 3x2y14 0 或 3x2y10 0

(

Ｂ

)19.

下列各問題中，何者的解答是

10 6 C

（其中

!

(

)! !

n k

n

C

n k k





）？　

(A)10 位學生中任意

挑選

6 位同學排成一列，共有幾種情形？　 (B)10 個不同顏色的球中任意挑選 4 個出來，

共有幾種情形？　(C)10 張椅子排成一列，6 位同學各自任意挑選 1 張椅子坐下，共有

幾種情形？　(D)10 個相同的白色球任意挑選 4 個出來，共有幾種情形？

　 　 解 析 ： (A)為 10 6 P 　(B)為 10 6 C 　(C) 10 6 6! P  　(D)1 種方法。

(

Ｂ

)20.

設

S 為一試驗之樣本空間，集合 A、B 皆為 S 中的事件，且

P A( )

為事件

A 發生的機

率。下列敘述何者 錯誤 ？　

(A)若 A 與 B 為互斥事件，則

P A B(  )P A( )P B( )

恆成立

(B)

P B A(  )P B( )P A( )

恆 成 立 　

(C)

P S A(  ) 1 P A( )

恆 成 立 　

(D)

P A B(  )P A( ) ( ) ( ) P B P A B

恆成立。

　 　 解 析 ： P B A(  )P B( )P A B( _ )，所以(B)選項錯誤

(

Ｄ

)21.

一袋中有大小相同的紅球

5 個、白球 3 個、黑球 2 個。今從袋中一次取 3 球，則所取

3 球中至少有兩球顏色相同的機率為何？　(A)

1

4

　

(B)

41

120

　

(C)

79

120

　

(D)

3

4

。

　 　 解 析 ： 1 P (3 球皆不同色) 5 3 2 1 1 1 10 3 3 1 4 C C C C   

(

Ａ

)22.

若

( )

(

1)(

2)

5

x x

x

f x

x









，則

f (0)

？　(A)

2

5

 　(B)

1

5

 　(C)

1

5

　(D)

2

5

。

　 　 解 析 ： f x( ) ( 5)( 3 3 2 2 ) (₂3 3 2 2 )( 5) ( 5) x x x x x x x x x            2 3 2 (x5)(3x 6x2) ( x 3x 2 )x 

2 (2 1)(4 3) y x x 

　(C)

47

1

x

y

x







　(D)

2 (3 1) y x

。

　 　 解 析 ： (A) _{y 3(x}2 _1)2_{(2 )x 則x 代入1 m 3 2}2_{ 2 24} (B) _{y 2(4x}2_{ 3) (2x1)(8 )x 則x 代入1 m   2 3 8 26} (C) ( 1) ( ₂ 47) ( 1) x x y x       則x 代入1 2 ( 46) 12 4 m    (D) y 2(3x  則1) 3 x 代入1 m   2 4 3 24

(

Ｃ

)24.

已 知

b

( )

6

a

f x dx





，

b

( )

12

a

g x dx





，

b

( )

4

a

h x dx





， 且

b

(

( )

( ))

13

a

mf x



ng x dx





，

(

( )

( ))

5

b a

mg x



nh x dx





，則

6m8n

？　

(A)6　(B)8　(C)10　(D)12。

　 　 解 析 ： b( ( ) ( )) 13 b ( ) b ( ) 13 6 12 13 a mf x ng x dx m a f x dx n a g x dx  m n







( ( ) ( )) 5 ( ) ( ) 5 12 4 5 b b b a mg x nh x dx m ag x dx n ah x dx  m n







則 2 3 m 、 3 4 n ，6m8n  4 6 10

(

Ｄ

)25.

函 數

_{f x( ) 1 x}2

_{的 圖 形 與}

_{x 軸在區間}

_{[0, 2]}

_{所 圍 區 域 面 積 為 何 ？}

_(A)

2

3

 　(B)

2

3

(C)

4

3

　

(D)2。

　 　 解 析 ： 由圖可知所圍面積為 1 ₂ 2 _{2 3 1 3 2} 0 1 0 1 1 1 (1 ) ( 1) ( ) ( ) 2 3 3 x dx x dx x x x x        





y x ( 2 , 3 ) O ( 0 , 1 )