模擬骰子投擲的一種隨機遊戲
林嘉祥
1陳仁義
1,2*
1國 立 嘉 義 大 學 數 學 教育 研 究 所 2私 立 南 華 大 學 資 訊 管理 學 系 所壹、緒論
在 我 們 日 常 生 活 當 中 ， 經 常 會 碰 上 「 不 確 定 性 」 的 問 題 存 在 ， 也 常 會 感 受 到 無 常 、 無 奈 、 甚 至 迷 信 的 情 況 ， 如 何 建 立 正 確 的 「 科 學 化 」 思 維 ， 以 追 尋 豐 富 而 自 在 的 美 好 人 生 境 界 ， 應 該 是 很 多 人 在 努 力 追 求 的 。 在 本 篇 文 章 中 ， 我 們 運 用 生 活 周 遭 漸 增 呈 現 的 「 機 率 語 言 」 和 統 計 方 法 ， 試 圖 來 呈 現 不 確 定 性 環 境 中 的 一 種 科 學 化 思 維 和 體 驗 ， 透 過 一 張 亂 數 表 和 遵 循 共 同 遊 戲 規 則 來 模 擬 骰 子 投 擲 ， 大 家 在 此 種 隨 機 遊 戲 過 程 中 ， 以 科 學 化 方 法 的 記 錄 、 觀 察 、 分 析 、 比 較 和 整 理 之 後 ， 做 整 體 性 的 分 享 活 動 ， 雖 然 每 位 參 與 同 學 在 亂 數 表 中 初 始 值 不 相 同 ， 但 依 循 的 順 序 都 是 由 上 至 下 、 由 左 至 右 ， 所 得 出 結 果 可 發 現 有 一 定 的 規 律 存 在 ， 由 此 可 感 受 到 「 同 中 有 異 」 的 隨 機 現 象 ， 又 能 回 到 「 異 中 求 同 」 的 情 境 。 此 外 ， 科 學 方 法 是 經 得 起 考 驗 可 以 重 做 再 現 (reproduced)， 只 要 遵 循 相 同 的 遊 戲 規 則 ， 模 擬 的 分 析 結 果 會 趨 於 一 致 ， 可 以 體 會 的 情 境 和 思 維 感 受 也 是 相 近 的 。 我 們 抱 持 著 野 人 獻 曝 的 精 神 ， 將 第 一 位 作 者 的 書 面 報 告 和 討 論 心 得 改 寫 成 本 篇 文 章 ， 且 *本文 通 訊 作 者 增 添 了 同 時 修 課 同 學 們 的 心 得 作 為 分 享 活 動 ！ 題 材 內 容 的 設 計 整 理 則 是 第 二 位 作 者 的 課 程 規 劃 和 想 法 ， 也 盼 望 著 教 學 目 標 的 可 能 實 現 ： 期 使 得 同 學 們 在 學 習 過 程 中 ， 逐 步 地 建 立 「 隨 機 」、「 隨 緣 」 和 「 無 常 」 的 正 確 「 科 學 化 」 思 維 。貳、模擬遊戲描述
一、模擬遊戲之目的
本 遊 戲 之 目 的 乃 是 藉 由 「 亂 數 表 」 的 「 具 體 操 作 」，順 著 亂 數 表 中 的 數 字 變 化 來 模 擬 投 擲 骰 子 的 樣 子 ， 經 過 60、 90、 120 次 的 投 擲 之 後 整 理 出 各 個 點 數 的 出 現 次 數 ， 期 待 藉 此 模 擬 遊 戲 可 以 看 出 「 異 中 求 同 」 的 情 境 。 雖 然 在 亂 數 表 中 的 值 皆 是 不 同 的 ， 但 因 依 循 的 順 序 都 是 由 上 至 下 、 由 左 至 右 ， 所 以 得 出 之 結 果 可 發 現 有 一 定 之 規 律 存 在，依 此 正 是 所 謂 的「 異 中 求 同 」。 記 錄 了 模 擬 骰 子 的 數 值 和 統 計 ， 我 們 利 用 卡 方 適 合 度 檢 定 來 檢 驗 骰 子 的 公 平 性 與 不 公 平 性 ， 以 體 驗 原 始 模 擬 資 料 與 期 望 情 況 的 符 合 程 度 或 者 落 差 大 小 ， 由 卡 方 值 表 現 出 來 ， 以 了 解 卡 方 檢 定 的 深 刻 意 義 。 最 後 我 們 將 模 擬 的 過 程 與 結 果 ， 以 圖 表 的 呈 現 、 心 得 的 分 享 、 以 及 書 面 報 告 的 整 理 等 具 體 化 成 果 ， 試 圖 清 楚 地 呈 現 出 來 。二、遊戲規則
我 們 使 用 Ｒ 程 式 產 生 一 個 300 數 值 的 亂 數 表 (附 錄 Ａ )， 作 為 修 課 同 學 們 的 相 同 基 礎 資 料 ， 每 位 同 學 有 個 人 初 始 位 置 做 為 起 點 ， 在 亂 數 表 中 依 循 著 由 上 至 下 、 由 左 至 右 之 順 序 得 出 一 百 二 十 個 亂 數 值 。 根 據 所 規 劃 的 三 種 情 況 來 模 擬 公 平 與 不 公 平 的 骰 子 投 擲 ， 藉 由 這 些 數 值 來 模 擬 產 生 骰 子 投 擲 所 出 現 的 點 數 ， 經 過 適 當 整 理 統 計 以 瞭 解 「 隨 機 性 」、「 必 然 性 」 等 觀 念 。 原 始 資 料 的 模 擬 情 況 分 成 三 種 情 形，敘 述 如 下： (一 ) 模 擬 公 平 骰子 投 擲 若 是 亂 數 表 值 介 於 0～ 1/6， 將 其 當 作 投 擲 點 數 1；亂 數 表 值 介 於 1/6～ 2/6，將 其 當 作 投 擲 點 數 為 2； 亂 數 表 值 介 於 2/6～ 3/6， 將 其 當 作 投 擲 點 數 為 3； 亂 數 表 值 介 於 3/6～ 4/6，將 其 當 作 投 擲 點 數 為 4；亂 數 表 值 介 於 4/6～ 5/6， 將 其 當 作 投 擲 點 數 為 5； 亂 數 表 值 介 於 5/6～ 6/6(=1)， 將 其 當 作 投 擲 點 數 為 6。 其 中 每 個 區 間 均 含 右 邊 的 點 。 如 下 數 線 表 示 ： (二 ) 模 擬 不 公 平 骰 子 投 擲 情 況 A 若 是 亂 數 表 值 介 於 0～ 1/10， 將 其 當 作 投 擲 點 數 為 1 ； 亂 數 表 值 介 於 1/10～ 2/10， 將 其 當 作 投 擲 點 數 為 2； 亂 數 表 值 介 於2/10～ 3/10，將 其 當 作 投擲 點 數 為 3； 亂 數 表 值 介 於 3/10～4/10，將 其 當 作 投 擲 點 數 為 4； 亂 數表 值 介 於 4/10～7/10，將 其 當 作 投 擲 點 數 為 5； 亂 數表 值 介 於 7/10 ～10/10(=1)， 將其 當 作 投 擲點 數 為 6。其 中 每 個 區 間 均 含 右 邊 的 點。如 下 數 線 表 示： (三 ) 模 擬 不 公 平 骰 子 投 擲 情 況 B 若 是 亂 數 表 值 介 於 0～ 2/10， 將 其 當 作 投 擲 點 數 為 1 ； 亂 數 表 值 介 於 2/10～ 4/10， 將 其 當 作 投 擲 點 數 為 2； 亂 數 表 值 介 於 4/10～ 5/10，將 其 當 作 投擲 點 數 為 3； 亂 數 表 值 介 於 5/10～6/10，將 其 當 作 投 擲 點 數 為 4； 亂 數表 值 介 於 6/10～8/10，將 其 當 作 投 擲 點 數 為 5； 亂 數表 值 介 於 8/10 ～10/10(=1)， 將其 當 作 投 擲點 數 為 6。其 中 每 個 區 間 均 含 右 邊 的 點。如 下 數 線 表 示：參、模擬結果與整理分析
模 擬 結 果 除 了 可 用 人 工 處 理 且 判 斷 完 成 之 外 ， 亦 可 使 用 EXCEL 程 式 碼 (參 閱 附 錄 Ｂ )來 加 速 完 成 模 擬 工 作。部 份 的 模 擬 結 果 呈 現 在 附 錄C(模 擬 公 平 骰 子 )、附 錄 D (模 擬 不 公 平 骰 子 情 況 A)、附 錄 E (模 擬 不 公 平 骰 子 情 況 B)。我們 分 別整 理 模 擬 投擲 骰 子 60 次、90 次、120 次 的 次 數 分 配 表 ， 藉 以 觀 察 資 料 量 多 與 量 少 的 變 化 或 趨 勢 ， 另 一 方 面 則 分 別 討 論 公 平 骰 子 與 不 公 平 骰 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6=1 1 2 3 4 5 6 0 .0.2 .0.4 ..0.5 .0.6 ....0.8 ...1 1 2 3 4 5 6 0 0.1 .0.2 .0.3 ..0.4 0.7 1 1 2 3 4 5 6子 之 原 始 模 擬 資 料 的 卡 方 值 ， 在 不 同 假 設 條 件 之 下 的 卡 方 值 變 化 與 分 佈 ， 期 能 清 楚 看 見 次 數 由 少 變 多 之 間 的 檢 定 力 變 化 ， 以 及 卡 方 分 配 的 合 適 性 檢 定 成 效 。
一、模擬公平骰子投擲遊戲結果
(一 ) 『 公 平 』 假 設 之 下 投 擲 骰 子 60 次 、 90 次 、 120 次 點 數 次 數 分 配 表 (參 考 附 錄 Ｃ ) (二 )分 析 1. 投 擲 60 次 公 平 的 骰 子 卡 方 檢 定 ： 六 個 類 別 之 自 由 度 df＝ 6－ 1＝ 5,在 顯 著 水 準 0.05 下 之 臨 界 點 為 11.07。 因 此 ， 檢 定 假 設 為 公 正 的 骰 子 時 ： H0：P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
1
6
H1：P
i
1/ 6,
有個
i
1, 2,3, 4,5,6.
2 2 2 2 2 2 2 6 2 1 ( ) (9 10) (14 10) (11 10) (8 10) (10 10) (8 10) 2.6 10 10 10 10 10 10 k k k k O E E
由 於
2 2.625 11.07，表 示 此 觀 察 資 料 無 法 拒 絕 H0假 設，因 此 可 接 受 此 顆 骰 子 是 公 正 的 。 2. 投 擲 90 次 公 平 的 骰 子 卡 方 檢 定 ： 檢 定 假 設 為 公 正 的 骰 子 時 投 擲 次 數 丟 擲60次 丟 擲90 次 丟 擲 120 次 點 數 Ok次數 Ek次數 Ok－Ek Ok次數 Ek次數 Ok－Ek Ok次數 Ek次數 Ok－Ek 1 9 10 －1 12 15 －3 17 20 －3 2 14 10 4 20 15 5 22 20 2 3 11 10 1 16 15 1 21 20 1 4 8 10 －2 14 15 －1 17 20 －3 5 10 10 0 15 15 0 26 20 6 6 8 10 －2 13 15 －2 17 20 －3 總 和 60 60 0 90 90 0 120 120 0H0：
P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
1
6
H1：P
i
1/ 6,
有個
i
1, 2,3, 4,5,6.
2 2 2 2 2 2 2 6 2 1 ( ) (12 15) (20 15) (16 15) (14 15) (15 15) (13 15) 2.67 15 15 15 15 15 15 k k k k O E E
由 於 2.67 2 11.07 5 2
，表 示 在 顯 著 水 準 0.05 下，此 觀 察資 料 無 法 拒 絕 H0假 設， 因 此 可 接 受 骰 子 是 公 正 的 。 3. 投 擲 120 次 公 平 的 骰 子 卡 方 檢 定 ： 檢 定 假 設 為 公 正 的 骰 子 時 H0：P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
1
6
H1：P
i
1/ 6,
有個
i
1, 2,3, 4,5,6.
2 2 2 2 2 2 2 6 2 1 ( ) (17 20) (22 20) (21 20) (17 20) (26 20) (17 20) 3.4 20 20 20 20 20 20 k k k k O E E
六 個 類 別 對 應 之 自 由 度 df＝ 6－ 1＝ 5。 由 於 3.4 2 11.07 5 2
， 顯 示 在 顯 著 水 準 0.05 下 ， 此 觀 察 資 料 無 法 拒 絕 H0假 設 ， 因 此 可 接 受 骰 子 是 公 正 的 。二、模擬不公平骰子投擲情況
A
(一 )『 公 平 』假 設 之 下 骰 子 投 擲 60 次、90 次、120 次 各 點 數 次 數 分 配 表 (參 考 附 錄 Ｄ ) 投 擲 次 數 丟 擲60次 丟 擲 90 次 丟 擲 120 次點 數 Ok次數 Ek次數 Ok－Ek Ok次數 Ek次數 Ok－Ek Ok次數 Ek次數 Ok－Ek
1 6 10 －4 8 15 －7 12 20 －8 2 5 10 －5 7 15 －8 8 20 －12 3 9 10 －1 12 15 －3 13 20 －7 4 9 10 －1 12 15 －3 14 20 －6 5 16 10 6 26 15 11 36 20 16 6 15 10 5 25 15 10 37 20 17 總 和 60 60 0 90 90 0 120 120 0
(二 )分 析 1. 投 擲 60 次 公 平 的 骰 子 卡 方 檢 定 ： 檢 定 假 設 為 公 正 的 骰 子 時 H0：
P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
1
6
H1：P
i
1/ 6,
有個
i
1, 2,3, 4,5,6.
2 6 2 1 ( ) 10.4 k k k k O E E
由 於
2 10.425 11.07，表 示 在 顯 著 水 準 0.05 下，此 觀 察 資料 無 法 拒 絕 H0 假 設 ， 也 就 是 在 偏 離 較 小 情 況 下 可 接 受 骰 子 是 公 正 的 。 2. 投 擲 90 次 公 平 的 骰 子 卡 方 檢 定 ： 檢 定 假 設 為 公 正 的 骰 子 時 H0：P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
1
6
H1：P
i
1/ 6,
有個
i
1, 2,3, 4,5,6.
2 6 2 1 ( ) 23.47 k k k k O E E
由 於 23.47 2 11.07 5 2
， 表 示 在 顯 著 水 準 0.05 下 ， 此 觀 察 資 料 拒 絕 H0， 也 就 是 不 能 接 受 骰 子 是 公 正 的 。 3. 投 擲 120 次 公 平 的 骰 子 卡 方 檢 定 ： 檢 定 假 設 為 公 正 的 骰 子 時 H0：P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
1
6
H1：P
i
1/ 6,
有個
i
1, 2,3, 4,5,6.
2 6 2 1 ( ) 41.9 k k k k O E E
由 於 41.9 2 11.07 5 2
，顯 示 在 顯 著 水 準 0.05 下 ， 此 觀 察 資 料 拒 絕 H0 假 設，也 就 是 不 能 接 受 骰 子 是 公 正 的 。 由 此 三 種 骰 子 模 擬 情 況 可 知，60 次 的 模 擬 中 逼 近 卡 方 拒 絕 域 的 11.07 臨 界 值， 可 接 受 骰 子 是 公 正 的 ； 經 過 次 數 增 加 而 所 得 出 的 卡 方 值 也 越 來 越 大 ， 會 拒 絕 骰 子 是 公 正 的 檢 定 假 設 也 就 越 加 明 顯 ， 正 顯 示 出 隨 著 實 驗 次 數 增 加 時 檢 定 力 越 強 。 (三 ) 『 不 公 平 』 假 設 之 下 骰 子 投 擲 60 次 、 90 次 、 120 次 各 點 數 次 數 分 配 表 (附 錄 Ｄ ) 投 擲 次 數 丟 擲60次 丟 擲90 次 丟 擲120 次點 數 Ok次數 Ek次數 Ok－Ek Ok次數 Ek次數 Ok－Ek Ok次數 Ek次數 Ok－Ek
1 6 6 0 8 9 －1 12 12 0 2 5 6 －1 7 9 －2 8 12 －4 3 9 6 3 12 9 3 13 12 1 4 9 6 3 12 9 3 14 12 2 5 16 18 －2 26 27 －1 36 36 0 6 15 18 －3 25 27 －2 37 36 1 總 和 60 60 0 90 90 0 120 120 0
(四 )分 析 1. 投擲 60 次假定不公平的骰子卡方檢定： 檢 定 假 設 為 不 公 正 的 骰 子 時 H0：
P
1
P
2
P
3
P
4
1
10
，10
3
6 5 P
P
H1：P
i
1/10,
有個i
1, 2,3, 4
， 或 有 個 j = 5,6 使 得Pj 3/10 2 6 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) (6 6) (5 6) (9 6) 6 6 6 (9 6) (16 18) (15 18) 3.89 6 18 18 k k k k O E E
六 個 類 別 對 應 之 自 由 度 df＝ 6－ 1＝ 5。 由 於 3.89 2 11.07 5 2
，表 示 在 顯 著 水 準 0.05 下 ， 此 觀 察 資 料 無 法 拒 絕 H0假 設 ， 也 就 是 無 法 拒 絕 此 顆 骰 子 其 各 點 數 機 率 分 別 為P
5 P
6
3
10
，10
1
4 3 2 1
P
P
P
P
的 假 設 。 2. 投擲 90 次假定不公平的骰子卡方檢定： 檢 定 假 設 為 不 公 正 的 骰 子 時 H0：P
1
P
2
P
3
P
4
1
10
，10
3
6 5 P
P
H1：P
i
1/10,
有個i
1, 2,3, 4
， 或 有 個 j = 5,6 使 得Pj 3 /10 2 6 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) (8 9) (7 9) (12 9) 9 9 9 (12 9) (26 27) (25 27) 2.74 9 27 27 k k k k O E E
由 於 2.74 2 11.07 5 2
，顯 示 在 顯 著 水 準 0.05 下 ， 此 觀 察 資 料 無 法 拒 絕 H0假 設 ， 也 就 是 無 法 拒 絕 此 顆 骰 子 其 各 點 數 機 率 分 別 為P
5 P
6
3
10
，10
1
4 3 2 1
P
P
P
P
的 假 設 。 3. 投 擲 120 次 假 定 不 公 平 骰 子 卡 方 檢 定： 檢 定 假 設 為 不 公 正 的 骰 子 時 H0：P
1
P
2
P
3
P
4
1
10
，10
3
6 5 P
P
H1：P
i
1/10,
有個i
1, 2,3, 4
， 或 有 個 j = 5,6 使 得Pj 3 /10 2 6 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) (12 12) (8 12) (13 12) 12 12 12 (14 12) (36 36) (37 36) 1.78 12 36 36 k k k k O E E
六 個 類 別 對 應 之 自 由 度 df＝ 6－ 1＝ 5。 由 於 1.78 2 11.07 5 2
，顯 示 在 顯 著 水 準 0.05 下 ， 此 觀 察 資 料 無 法 拒 絕 H0假 設 ， 也 就 是 無 法 拒 絕 此 顆 骰 子 其 各 點 數 機 率 分 別 為P
5 P
6
3
10
，10
1
4 3 2 1
P
P
P
P
的 假 設 。 由 此 三 種 骰 子 模 擬 情 況 可 知 ， 三 種 都 無 法 拒 絕P
1
P
2
P
3
P
4
1
10
，10
3
6 5 P
P
的 假 設 ， 恰 好 符 合 一 開 始 骰 子 模 擬 規 則 的 機 率 分 佈 情 況 ， 並 且 隨 著 實 驗 次 數 的 增 加 ， 其 卡 方 值 越 小 ， 可 依 稀 體 會 大 數 法 則 的 收 斂 表 現 。三、模擬不公平骰子投擲情況
B
(一 ) 『 公 平 』假 設 之 下 骰 子 投 擲 60 次、90 次、120 次 各 點 數 次 數 分 配 表 (參 考 附 錄 Ｅ ) (二 )分 析 1. 投 擲 60 次 公 平 的 骰 子 卡 方 檢 定 ： 檢 定 假 設 為 公 正 的 骰 子 時 H0：P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
1
6
H1：Pi 1/ 6有 個 i1, 2,3, 4,5,6. 2 6 2 1 2 2 2 2 2 2(
)
(11 10)
(18 10)
(5 10)
10
10
10
(3 10)
(13 10)
(10 10)
10
10
10
14.8
k k k kO
E
E
六 個 類 別 對 應 之 自 由 度 df＝ 6－ 1＝ 5。 由 於 14.8 2 11.07 5 2
，表 示 在 顯 著 水 準 0.05 下 ， 此 觀 察 資 料 拒 絕 H0 假 設 ， 也 就 是 在 偏 離 較 大 情 況 下 不 能 接 受 骰 子 是 公 正 的 。 2. 投 擲 90 次 公 平 的 骰 子 卡 方 檢 定 ： 檢 定 假 設 為 公 正 的 骰 子 時 H0：P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
1
6
H1：Pi 1/ 6有 個 i1, 2,3, 4,5,6. 2 6 2 1 2 2 2 2 2 2(
)
(15 15)
(24 15)
(9 15)
15
15
15
(6 15)
(20 15)
(16 15)
15
15
15
14.93
k k k kO
E
E
六 個 類 別 對 應 之 自 由 度 df＝ 6－ 1＝ 5。 投 擲 次 數 丟 擲60次 丟 擲90 次 丟 擲 120 次 點 數 Ok次數 Ek次數 Ok－Ek Ok次數 Ek次數 Ok－Ek Ok次數 Ek次數 Ok－Ek 1 11 10 1 15 15 0 20 20 0 2 18 10 8 24 15 9 27 20 7 3 5 10 －5 9 15 －6 13 20 －7 4 3 10 －7 6 15 －9 8 20 －12 5 13 10 3 20 15 5 29 20 9 6 10 10 0 16 15 1 23 20 3 總 和 60 60 0 90 90 0 120 120 0由 於
2 14.9325 11.07， 表 示 在 顯 著 水 準 0.05 下，此 觀 察 資 料 拒 絕 H0 假 設，也 就 是 不 能 接 受 骰 子 是 公 正 的 。 3. 投 擲 120 次 公 平 的 骰 子 卡 方 檢 定 ： 檢 定 假 設 為 公 正 的 骰 子 時 H0：P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
1
6
H1：Pi 1/ 6有 個 i1, 2,3, 4,5,6. 2 6 2 1 2 2 2 2 2 2(
)
(20 20)
(27 20)
(13 20)
20
20
20
(8 20)
(29 20)
(23 20)
20
20
20
16.6
k k k kO
E
E
由 於
2 16.625 11.07，顯 示 在 顯 著 水 準 0.05 下 ， 此 觀 察 資 料 拒 絕 H0 假 設，也 就 是 不 能 接 受 骰 子 是 公 正 的 。 此 三 種 投 擲 次 數 的 骰 子 模 擬 結 果 與 情 況 A 不 完 全 相 同，情 況 A 的 樣 本 數 只 有 60 次 時，尚 無 法 拒 絕 H0假 設，但 是 情 況 B 的 模 擬 資 料 則 拒 絕 了 H0假 設，這 算 是 一 種 隨 機 性 的 展 現 。 此 外 ， 隨 著 實 驗 次 數 的 增 加 其 卡 方 值 越 大 ， 是 檢 定 力 越 強 的 表 現 。 相 較 於 情 況 A 的 模 擬 資 料 則 有 卡 方 值 增 加 較 為 緩 和 的 趨 勢 ， 也 是 忠 實 反 應 原 始 模 擬 資 料 的 較 小 偏 離 分 佈 特 性 ， 此 差 距 是 偏 離 公 正 骰 子 的 大 小 或 程 度 。 (三 ) 『 不 公 平 』 假 設 之 下 骰 子 投 擲 60 次 、 90 次 、 120 次 各 點 數 次 數 分 配 表 (附 錄 Ｅ ) 投 擲 次 數 丟 擲60次 丟 擲 90 次 丟 擲 120 次點 數 Ok次數 Ek次數 Ok－Ek Ok次數 Ek次數 Ok－Ek Ok次數 Ek次數 Ok－Ek
1 11 12 －1 15 18 －3 20 24 －4 2 18 12 6 24 18 6 27 24 3 3 5 6 －1 9 9 0 13 12 1 4 3 6 －3 6 9 －3 8 12 －4 5 13 12 1 20 18 2 29 24 5 6 10 12 －2 16 18 －2 23 24 －1 總 和 60 60 0 90 90 0 120 120 0
(四 )分 析 1. 投擲 60 次假定不公平的骰子卡方檢定： 檢 定 假 設 為 不 公 正 的 骰 子 時 H0：
P
1
P
2
P
5
P
6
1
/
5
，10
1
4 3 P
P
H1：P
i
1/ 5,
有個i
1, 2,5,6
， 或 有 個 j = 3, 4 使 得Pj 1/10 2 6 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) (11 12) (18 12) (5 6) 12 12 6 (3 6) (13 12) (10 12) 5.17 6 12 12 k k k k O E E
六 個 類 別 對 應 之 自 由 度df＝6－1＝5。 由 於
2 5.1752 11.07，表 示 在 顯 著 水 準 0.05 下，此 觀 察 資料 無 法 拒 絕 H0 假 設 ， 也 就 是 無 法 拒 絕 此 顆 骰 子 其 各 點 數 機 率 分 別 為P
3 P
4
1
10
，5
/
1
6 5 2 1
P
P
P
P
的 假 設 。 2. 投擲 90 次假定不公平的骰子卡方檢定： 檢 定 假 設 為 不 公 正 的 骰 子 時 H0：P
1
P
2
P
5
P
6
1
/
5
，10
1
4 3 P
P
H1：P
i
1/ 5,
有個i
1, 2,5,6
， 或 有 個 j = 3, 4 使 得Pj 1/10 2 6 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) (15 18) (24 18) (9 9) 18 18 9 (6 9) (20 18) (16 18) 3.94 9 18 18 k k k k O E E
由 於
2 3.9425 11.07，顯 示 在 顯 著 水 準 0.05 下 ， 此 觀 察 資 料 無 法 拒 絕 H0假 設 ， 也 就 是 無 法 拒 絕 此 顆 骰 子 其 各 點 數 機 率 分 別 為P
3 P
4
1
10
，5
/
1
6 5 2 1
P
P
P
P
的 假 設 。 3. 投擲 120 次假定不公平的骰子卡方檢定： 檢 定 假 設 為 不 公 正 的 骰 子 時 H0：P
1
P
2
P
5
P
6
1
/
5
，10
1
4 3 P
P
H1：P
i
1/ 5,
有個i
1, 2,5,6
， 或 有 個 j = 3, 4 使 得Pj 1/10 2 6 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) (20 24) (27 24) (13 12) 24 24 12 (8 12) (29 24) (23 24) 3.54 12 24 24 k k k k O E E
六 個 類 別 對 應 之 自 由 度 df＝ 6－ 1＝ 5。 由 於
2 3.5425 11.07，顯 示 在 顯 著 水 準 0.05 下 ， 此 觀 察 資 料 無 法 拒 絕 H0假 設 ， 也 就 是 無 法 拒 絕 此 顆 骰 子 其 各 點 數 機 率 分 別 為P
3 P
4
1
10
，5
/
1
6 5 2 1
P
P
P
P
的 假 設 。 由 三 種 投 擲 次 數 的 骰 子 模 擬 可 知 ， 都 無 法 拒 絕P
1
P
2
P
5
P
6
1
/
5
、10
1
4 3 P
P
的 假 設 ， 恰 好 符 合 一 開 始 骰 子 模 擬 規 則 的 機 率 分 配 之 設 定 情 況 ， 並 且 隨 著 實 驗 次 數 的 增 加 ， 其 卡 方 值 越 小 ， 可 依 稀 感 受 大 數 法 則 所 呈 現 的 穩 定 狀 態 。肆、新奇感受與心得分享
透 過 『 具 體 操 作 』 來 模 擬 骰 子 投 擲 的 實 驗 過 程 中 ， 我 們 初 步 體 會 到 「 隨 機 性 」 的 情 境 ， 每 個 人 在 亂 數 表 中 之 初 始 位 置 皆 不 相 同 ， 然 而 大 家 遵 循 共 同 之 遊 戲 規 則 ， 得 出 來 的 結 果 雖 然 整 個 路 徑 是 不 一 樣 ， 但 是 經 過 整 理 之 後 的 卡 方 值 ， 卻 有 可 掌 握 的 共 通 之 處 ： 模 擬 公 平 骰 子 的 大 多 符 合 公 平 骰 子 的 結 論 ； 模 擬 不 公 平 骰 子 的 資 料 若 要 假 想 是 公 平 骰 子 時 ， 幾 乎 是 無 法 通 過 符 合 公 平 的 檢 驗 ； 然 而 當 我 們 如 實 地 作 不 公 平 骰 子 假 設 之 時 ， 就 可 能 會 通 過 卡 方 檢 定 。 這 也 讓 我 們 體 會 到 卡 方 檢 定 的 精 髓 ， 或 可 類 比 為 人 與 人 間 的 溝 通 交 流 ， 人 們 常 會 使 用 自 己 心 中 認 為 「 公 平 」 的 量 尺 ， 要 去 衡 量 周 遭 的 人 ， 往 往 沒 想 過 要 將 心 比 心 的 用 當 事 人 的 尺 度 來 看 待 ， 所 以 常 常 造 成 期 待 的 落 差 。 此 隨 機 模 擬 實 驗 的 有 趣 ， 第 一 位 作 者 推 廣 到 任 教 的 班 級 ， 讓 同 學 們 體 會 出 數 學 與 統 計 結 合 的 奧 妙 ， 透 過 具 體 操 作 來 給 予 學 生 有 個 數 學 的 學 習 新 體 驗 ， 不 再 是 感 覺 生 硬 、 理 論 的 數 學 ， 而 是 有 趣 而 靈 活 的 數 學 。 此 外 ， 我 們 整 理 一 些 同 時 修 讀 此 課 程 之 同 學 們 的 感 受 作 為 分 享：『 完 成 這 個 作 業 是 很 奇 妙 的 經 驗 ， 讓 我 體 驗 亂 數 表 竟 然 可 以 這 樣 運 用 ， 改 變 了 我 對 機 率 與 統 計 的 刻 板 印 象 ， 不 再 會 害 怕 思 考 這 一 類 的 問 題 。 』 “ 初 次 體 會 了 隨 機 的 趣 味 ， 更 對 機 率 的 理 解 有 了 更 深 一 層 的 體 認 ， 機 率 不 再 只 是 以 往 單 一 想 法 的 計 算 。 ＂ 「 對 於 這 次 投 擲 骰 子 隨 機 性 遊 戲 ， 讓 我 有 了 新 的 體 驗 ， 原 來 骰 子 遊 戲 可 以 藉 由 亂 數 表 來 模 擬 真 實 投 擲 情 境 。 以 往 對 於 機 率 的 接 觸 ， 總 是 局 限 在 瞭 解 理 論 、 透 過 演 算 練 習 題 來 加 深 機 率 公 式 的 印 象 ， 卻 不 知 該 如 何 運 用 在 生 活 中 ， 只 能 按 照 老 師 教 導 的 機 率 內 容 來 學 習。」『 學 生 過 去 對 於 機 率 的 概 念 大 多 由 課 堂 教 材 學 習 得 知 ， 鮮 少 對 於 真 實 生 活 情 境 加 以 實 驗 或 證 明 ， 雖 然 本 次 活 動 並 非 實 際 投 擲 骰 子 ， 但 能 將 亂 數 表 透 過 操 作 呈 現 其 隨 機 性 ， 同 時 在 課 堂 的 討 論 分 享 與 意 見 交 流 ， 讓 我 對 於 隨 機 性 有 更 多 的 了 解 。 』 “ 從 求 學 開 始 到 現 在 身 為 教 師 ， 接 觸 數 學 、 機 率 已 有 多 年 ， 但 殊 不 知 亂 數 表 竟 可 以 如 此 神 奇 的 運 用 在 機 率 的 活 動 中 ， 著 實 讓 我 在 這 門 科 目 中 乍 現 幾 許 曇 花 ！ 更 是 個 奇 妙 的 體 驗 ！ 經 由 這 一 次 的 操 作 ， 讓 我 對 教 學 產 生 幾 許 不 同 的 省 思 ， 也 激 盪 出 不 同 思 緒 ， 在 冰 冷 生 硬 的 數 學 理 論 架 構 ， 在 學 生 心 中 嚴 肅 無 聊 得 數 學 世 界 裡 ， 其 實 是 可 以 透 過 活 動 賦 予 它 生 命 力 和 活 力 ， 諸 如 這 一 次 ， 利 用 亂 數 表 為 平 凡 無 奇 的 骰 子 投 擲 ， 增 添 了 許 多 意 想 不 到 的 精 采 呢 ！ 我 想 ， 這 是 我 往 後 在 教 學 活 動 中 又 獲 得 的 一 項 可 貴 的 豐 富 資 產 喔 ！ ＂ 「 透 過 此 次 實 作 活 動 ， 發 現 亂 數 表 雖 然 表 面 上 是 由 一 堆 亂 七 八 糟 的 數 字 所 組 合 而 成 ， 卻 是 亂 中 有 序 ！ 就 卡 方 檢 定 值 而 言 ， 結 果 是 漂 亮 地 落 在 接 受 區 ！ 正 因 如 此 ， 亂 數 表 在 我 的 認 知 概 念 中 徹 底 改 觀 ， 它 不 再 是 一 個 雜 亂 無 章 的 數 字 表 格 ， 現 在 的 它 已 是 一 份 良 好 工 具 ， 讓 我 可 以 放 心 的 透 過 它 來 了 解 隨 機 性 遊 戲 的 奧 秘 。 」 “ 過 去 學 機 率 的 經 驗 只 是 不 停 的 做 紙 筆 運 算 ， 隨 機 一 詞 對 我 而 言 更是 抽 象 ， 但 這 次 藉 由 亂 數 表 的 模 擬 活 動 ， 及 同 學 們 模 擬 後 的 成 果 分 享 ， 讓 我 體 驗 了 隨 機 中 的 『 亂 中 有 序 』、『 異 中 求 同 』 之 真 諦 。 ＂
伍、結論
藉 由 一 個 簡 單 的 亂 數 表 來 模 擬 投 擲 骰 子 的 『 具 體 操 作 』 遊 戲 ， 不 難 從 中 體 驗 到 隨 機 性 之 真 諦 (黃 文 璋 ， 2003)， 從 事 中 小 學 教 職 的 修 課 同 學 們 置 身 其 境 而 體 會 到 可 以 活 化 數 理 課 程 的 教 學 活 動 等 ， 普 遍 的 反 應 均 是 正 面 而 肯 定 的 。 我 們 在 初 步 階 段 分 成 公 平 與 不 公 平 兩 種 情 況 下 ， 進 一 步 將 不 公 平 的 情 境 設 計 兩 種 不 同 偏 離 程 度 以 作 比 較 ， 大 家 依 循 相 同 遊 戲 規 則 來 模 擬 骰 子 投 擲 一 百 二 十 次 ， 分 別 整 理 了 60 次 、 90 次 、 120 次 的 結 果 ， 經 過 卡 方 值 的 適 合 度 檢 定 來 做 觀 察 和 分 析 比 較 ， 次 數 由 少 到 多 所 反 應 出 來 的 趨 勢 ， 可 呼 應 潛 藏 的 理 論 或 法 則 ， 也 逐 步 展 現 出 原 始 資 料 的 自 然 狀 態 ， 藉 此 可 多 元 地 體 驗 隨 機 中 的 穩 定 性 、 趨 勢 性 、 檢 定 力 和 大 數 法 則 等 重 要 觀 念 (黃 文 璋 ， 2003； 鄭 惟 厚 ， 1998； Berry and Lindgren , 1996)。此 外，陳 仁 義、魏 志 安 、 鄭 信 源 （ 2007） 指 出 ： ``機 率 概 念 並 不 是 單 靠「 一 個 人 」、「 當 下 」的 情 況 來 解 釋 的 ， 需 要 有 多 個 人 或 多 次「 重 複 性 」在「 長 期 」 的 情 境 中 運 作 ， 才 能 有 效 地 呈 現 。 ＂ 這 也 強 調 了 分 享 和 討 論 的 重 要 性 。 因 此 ， 相 關 課 程 的 教 學 活 動 中 若 能 設 計 類 似 的 遊 戲 ， 讓 學 生 們 從 做 中 學 來 體 驗 數 理 概 念 ， 將 會 比 單 純 講 述 和 理 論 推 導 更 容 易 引 起 學 生 的 學 習 動 機。附 錄 B 中 有 EXCEL 的 原 始 碼 可 精 確 而 較 為 快 速 完 成『 具 體 操 作 』遊 戲， 並 可 多 元 化 設 計 大 量 的 重 複 操 弄 遊 戲 情 境 來 完 成 多 樣 化 結 果 ， 以 加 深 體 會 檢 定 力 和 大 數 法 則 等 重 要 概 念 。陸、誌謝：
本 文 之 順 利 完 成 要 感 謝 國 科 會 計 畫 NSC98-2511-S-343-001-M 的 補 助。此 外 ， 嘉 大 數 教 所 修 課 同 學 們 的 心 得 報 告 和 課 堂 討 論 也 是 本 文 的 重 要 素 材 。柒、參考書目
黃 文 璋 著 (2003)： 隨 機 思 考 論 。 台 北 ： 華 泰 文 化 。 陳 仁 義 、 魏 志 安 、 鄭 信 源 (2007)： 一 個 隨 機 遊 戲 中 的 機 率 概 念 。 台 灣 數 學 教 師 (電 子 )期 刊 ， 12， 33-46。 鄭 惟 厚 譯 (1998)。 統 計 ， 讓 數 字 說 話 。 台 北 ： 天 下 文 化 。Berry and Lindgren (1996), Statistics:
Theory and Methods (2nd), Belmont.
捌、附錄
A、亂數表
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [1,] 0.372 0.423 0.815 0.656 0.398 0.150 0.907 0.409 0.254 0.034 [2,] 0.044 0.321 0.810 0.915 0.140 0.459 0.762 0.823 0.856 0.646 [3,] 0.710 0.198 0.610 0.715 0.079 0.619 0.486 0.535 0.220 0.963 [4,] 0.658 0.163 0.993 0.183 0.550 0.956 0.250 0.491 0.186 0.361 [5,] 0.250 0.523 0.843 0.240 0.261 0.101 0.359 0.014 0.022 0.970 [6,] 0.300 0.913 0.716 0.836 0.810 0.228 0.009 0.643 0.465 0.492 [7,] 0.585 0.207 0.019 0.386 0.545 0.555 0.236 0.320 0.297 0.932 [8,] 0.333 0.814 0.305 0.233 0.474 0.771 0.106 0.534 0.189 0.601 [9,] 0.622 0.020 0.883 0.069 0.664 0.480 0.611 0.954 0.668 0.352 [10,] 0.546 0.925 0.941 0.062 0.092 0.881 0.205 0.040 0.281 0.088 [11,] 0.880 0.435 0.234 0.125 0.651 0.968 0.215 0.285 0.220 0.182 [12,] 0.707 0.442 0.937 0.023 0.368 0.690 0.016 0.492 0.490 0.110 [13,] 0.732 0.761 0.567 0.392 0.246 0.867 0.328 0.481 0.225 0.368 [14,] 0.932 0.333 0.843 0.860 0.299 0.560 0.270 0.438 0.821 0.009 [15,] 0.455 0.394 0.821 0.718 0.559 0.305 0.914 0.438 0.382 0.079 [16,] 0.590 0.233 0.280 0.339 0.480 0.999 0.418 0.186 0.627 0.299 [17,] 0.820 0.072 0.047 0.081 0.477 0.293 0.691 0.945 0.952 0.586 [18,] 0.224 0.913 0.225 0.037 0.936 0.903 0.900 0.145 0.778 0.703 [19,] 0.412 0.772 0.673 0.773 0.470 0.042 0.208 0.779 0.107 0.749 [20,] 0.039 0.108 0.959 0.995 0.678 0.599 0.461 0.813 0.230 0.314 [21,] 0.701 0.079 0.685 0.147 0.934 0.681 0.606 0.220 0.217 0.387 [22,] 0.957 0.434 0.776 0.040 0.274 0.983 0.563 0.317 0.693 0.988 [23,] 0.213 0.680 0.776 0.566 0.947 0.502 0.277 0.264 0.597 0.681 [24,] 0.661 0.734 0.983 0.889 0.313 0.743 0.226 0.522 0.279 0.889 [25,] 0.923 0.453 0.010 0.871 0.876 0.911 0.984 0.203 0.443 0.319 [26,] 0.796 0.784 0.953 0.982 0.167 0.988 0.098 0.653 0.897 0.462 [27,] 0.071 0.680 0.323 0.880 0.469 0.765 0.880 0.277 0.054 0.405 [28,] 0.389 0.519 0.428 0.510 0.652 0.821 0.233 0.409 0.664 0.926 [29,] 0.406 0.691 0.134 0.334 0.034 0.940 0.772 0.837 0.829 0.327 [30,] 0.659 0.588 0.018 0.613 0.435 0.672 0.472 0.435 0.752 0.111 Generating method by R: > set.seed(101)B、使用EXCEL計算的原始碼
步 驟 1.請 先 開 啟 一 個 新 的 EXCEL檔 (預 設 工 作 表 為 Sheet1)， 並 輸 入 底 下 設 定 表 格 ： A B C D E F 1 公 平 性 設 定 2 點 數 1 點 數 2 點 數 3 點 數 4 點 數 5 點 數 6 3 1/5 1/5 1/10 1/10 1/5 1/5 步 驟 2.新 增 一 個 工 作 表 ， 名 稱 自 訂 ， 筆 者 以 「 counter」 舉 例 ， 並 輸 入 底 下 表 格 ： 步 驟 3.返 回 工 作 表 Sheet1， 並 仿 照 輸 入 如 下 圖 ：注 意 ： C6格 輸 入 的 程 式 碼 ： =HLOOKUP(B6, counter!A2:F8, 7, TRUE)
D6格 輸 入 的 程 式 碼 ： =HLOOKUP(B6, counter!A2:F8, 6, TRUE)
E6格 輸 入 的 程 式 碼 ： =HLOOKUP(B6, counter!A2:F8, 5, TRUE)
F6格 輸 入 的 程 式 碼 ： =HLOOKUP(B6, counter!A2:F8, 4, TRUE)
G6格 輸 入 的 程 式 碼 ： =HLOOKUP(B6, counter!A2:F8, 3, TRUE)
H6格 輸 入 的 程 式 碼 ： =HLOOKUP(B6, counter!A2:F8, 2, TRUE)
C7格 輸 入 的 程 式 碼 ： =HLOOKUP(B7, counter!A2:F8, 7, TRUE)
依 此 類 推 ~ (可 用 EXCEL的 拖 曳 功 能 )
步 驟 4.上 圖 中 右 方 的 表 格 和 卡 方 值 計 算 方 式 ， 請 參 閱 EXCEL使 用 手 冊
A B C D E F
0 點 數 1 點 數 2 點 數 3 點 數 4 點 數 5 點 數 6
1 0 =Sheet1!A3 =B2+Sheet1!B3 =C2+Sheet1!C3 =D2+Sheet1!D3 =E2+Sheet1!E3
2 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 0 4 0 0 0 1 0 0 5 0 0 1 0 0 0 6 0 1 0 0 0 0 7 1 0 0 0 0 0
C:模擬公平骰子丟擲120次資料表 (p1=p2=p3=p4=p5=p6=1/6)
注 意 ： 亂 數 初 始 位 置 為 (8,9)且 亂 數 初 始 值 為 0.189。 實 驗 次 別 亂 數 值 X 1 2 3 4 5 6 1 0.189 0 1 0 0 0 0 2 0.668 0 0 0 0 1 0 3 0.281 0 1 0 0 0 0 4 0.220 0 1 0 0 0 0 5 0.490 0 0 1 0 0 0 6 0.225 0 1 0 0 0 0 7 0.821 0 0 0 0 1 0 8 0.382 0 0 1 0 0 0 9 0.627 0 0 0 1 0 0 10 0.952 0 0 0 0 0 1 . . . . . . … … . . . . . . … … . . . . . . … … . . . . . . … … 111 0.519 0 0 0 1 0 0 112 0.691 0 0 0 0 1 0 113 0.588 0 0 0 1 0 0 114 0.815 0 0 0 0 1 0 115 0.810 0 0 0 0 1 0 116 0.610 0 0 0 1 0 0 117 0.993 0 0 0 0 0 1 118 0.843 0 0 0 0 0 1 119 0.716 0 0 0 0 1 0 120 0.019 1 0 0 0 0 0 實 際 觀 察 次 數 17 22 21 17 26 17 期 望 公 平 次 數 20 20 20 20 20 20D:模擬不公平骰子丟擲120次資料表 (p1=p2=p3=p4=1/10，p5=p6=3/10)
注 意 ： 亂 數 初 始 位 置 為 (8,9)且 亂 數 初 始 值 為 0.189。 實 驗 次 別 亂 數 值 X 1 2 3 4 5 6 1 0.189 0 1 0 0 0 0 2 0.668 0 0 0 0 1 0 3 0.281 0 0 1 0 0 0 4 0.220 0 0 1 0 0 0 5 0.490 0 0 0 0 1 0 6 0.225 0 0 1 0 0 0 7 0.821 0 0 0 0 0 18 0.382 0 0 0 1 0 0 9 0.627 0 0 0 0 1 0 10 0.952 0 0 0 0 0 1 . . . . . . … … . . . . . . … … . . . . . . … … . . . . . . … … 116 0.610 0 0 0 0 1 0 117 0.993 0 0 0 0 0 1 118 0.843 0 0 0 0 0 1 119 0.716 0 0 0 0 0 1 120 0.019 1 0 0 0 0 0 實 際 觀 察 次 數 12 8 13 14 36 37 期 望 次 數 (公 平 ) 20 20 20 20 20 20 期 望 次 數 (不 公 平 ) 12 12 12 12 36 36
