大學物理學力測驗試題（三）

大學物理學力測驗試題（三）

編輯室

以下試題為國立臺灣師範大學科學教育中心舉辦之歷屆大學物理學力測驗之部分試題，特 予刊載。

電磁學試題

第一部分：單選題

101.如右圖，若 B 場沿 y 軸，外加電壓 V 加 在 z 軸，則下列霍耳(Hall)效應的敘述何 者正確？（物體的導電率為σ，載子密 度為n，電荷為 e）。 y z x L W B H (a) 霍 耳 電 壓 在 x 軸 測 量 ， 其 大 小 為

BV W

neL

σ

(b) 霍 耳 電 壓 在 x 軸 測 量 ， 其 大 小 為

BV H

neL

σ

(c) 霍 耳 電 壓 在 z 軸 測 量 ， 其 大 小 為

BV W

neL

σ

(d) 霍 耳 電 壓 在 z 軸 測 量 ， 其 大 小 為

BV H

neL

σ

102. 有 一 電 性 中 和 之 大 圓 球 導 體 ， 半 徑 為 R，在其內有二個球形空腔，半徑分別 為a 與 b。今分別置放一電荷

q

_a與

q

_b於 兩個空腔的中心，

q

_a與

q

_b相距

rr

_ab，設

q

_a電荷所受之力為

_F

r

_a，大圓球外距球 心

rr

處之 P 點的電場為

E

r

p，則下列何 敘述為完全正確？ R P b a qb

r

ab qa (a)

F

a

=

0

，

E

p

=

0

(b)

F

q q

r

a a b o ab

=

4

_π

_ε

2 ， p a b o

E

q

q

r

=

+

4

_π

_ε

2 (c)

F

a

=

0

， p a b o

E

q

q

r

=

+

4

_π

_ε

2 (d) a a b o ab

F

q q

r

=

4

_π

_ε

2 ，

E

p

=

0

103.某空間除了半徑為 R 的球面有電荷分布 外，其他空間均無電荷。又已知以球心

為坐標原點，r 為徑向座標，並設無限 遠處電位為 0 時，球面之電位為 V(θ) = A + B cosθ， 其中θ為球坐標之極角 (polar angle)，A 與 B 為不等於零的常 數，則下列敘述何者正確？ (a)球內之電位為 V(r,θ) = A (R/r) + B (r/R) cosθ (b)球外之電位為 V(r,θ) = A + B (R/r) cosθ (c)球外之電位為 V(r,θ) = A + B (R/r)2 cosθ (d)球外之電位為 V(r,θ) = A (R/r) + B (R/r)2 _cosθ 104.一平行板電容器，兩金屬板之面積各為 A，距離為 d，帶有電荷±Q。兩板間介電 質 之 電 容 率(permittivity) 為

ε

0。 設 d 2 <<A，則兩金屬板間之作用力為？ (a)Q2 _/(4π

ε

0d 2₎ (b)Q2 _{/( A}

ε

0) (c)Q2 _{/(2 A}

ε

0) (d)Q2 _/(πA

ε

0) 105. 電 場 由 電 容 率 (permittivity)為

ε

1之 線 性 介 電 質 ， 進 入 電 容 率 為

ε

₂之 線 性 介 電 質。如在交界面無自由電荷，則電力線 (electric field lines)彎折之角度(如圖所示) 應符合？

E

2

θ2

E

1

θ1

(a)

ε

1 /

ε

2 = tan

θ

1 / tan

θ

2

(b)

ε

₁ /

ε

₂ = tan

θ

₂ / tan

θ

₁ (c)

ε

1 /

ε

2 = sin

θ

1 / sin

θ

2 (d)

ε

₁ /

ε

₂ = sin

θ

₂ / sin

θ

₁ 106. 一 輸 電 線 由 兩 條 平 行 的 長 直 圓 導 線 組 成 。 導 線 之 半 徑 為 a ， 兩 導 線 距 離 為 d，電流 I 自其中一條流入，由另一條 流 出 。 如 d >> a ， 又 空 間 之 磁 導 率 (permeability)為

µ

₀，則此電路每單位長 度之自感量(self inductance) L 約為？ (a)(

µ

0 /π)㏑(d / a) (b)(

µ

₀ / 2π)㏑(d / a) (c)(

µ

0 /π)㏑(d / 2a) (d)(

µ

0 / 2π)㏑(d / 2a) 107.一 半徑 為 b 之 大圓線 圈載有交 流電 流

I t

( )

=

I

O

cos

ω

t

，在其中心有一半徑為 a 之小圓線圈，設 a＜＜b，則在小線圈上 的感應電動勢約為下列何者？

I(t)

b

a

(a)

πµ

0 0

2

I

a

b

t

2

ω

cos

ω

(b)

πµ

0 0

2

I

a

b

t

2

ω

sin

ω

(c)

πµ

0 0

2

I

a

b

t

3 2

ω

sin

ω

(d)

πµ

0 0

4

I

b

a

t

2

ω

cos

ω

108. 兩 平 行 圓 盤 組 成 之 電 容 器 ， 半 徑 皆 為 R，以電流 i 充電之。設 P 點在兩圓盤之 中間，而與圓板中心連線相距 r，設 r＜ R ，則在 P 的磁場

B

r

，合於下列何種狀 況？

R

P

r

_i

i

(a)B 正比於 ri (b)B 正比於 r

di

dt

(c)B 正比於_r2di dt (d)B 正比於

i

r

109.如右圖，若有一 10-6 _{秒的脈波進入 RC} 線路（R=103_{Ω ，C=100 pf) ，則示波} 器上會看到下列那一輸出波形？

100pf

10 -6秒

接示波器

10

3

_Ω

V0(V) t (µs) 1 2 (c) (a) V0o(V)

t

(

µ

s) 1 2 (b) V0 (V) t

₍

µ

_s)

1 2 (d) V0 o (V)

t

(µs) 1 2 110.在 x＞0 之空間為一理想導體，其電阻係 數(resistivity)為 0，而 x < 0 之空間則為 真空。有一電磁波自真空垂直照射到導 體表面。設入射波之電場為

Ei(x, y, z, t) =300

$j

cos (6×108t－2x+ π/3 )，則反射波之電場 Er(x, y, z, t)為？ (a)－300

$j

cos (6×108t+2x－π/3) (b)－300

$j

cos(6×108_t+2x+π/3) (c)300

$j

cos(6×108_t+2x+π/3) (d)300

$j

cos(6×108_{t－2x+2π/3)}

第二部分：問答題

111.一圓球半徑為 R，具有朝 z 方向之均勻 磁化強度(magnetization) M。設球心為坐 標原點，則在 z 軸上，z >> R 處之磁場 為多少？ 112.一半徑為 R 的圓盤，帶有均勻面電荷 密度σ，以其中垂線為軸，作等角速度

ω

之轉動。如要使此圓盤產生之磁場， 與(a)之圓球產生之磁場在遠處相同，則

ω

應為多少？（答案以 M、R 及σ表示 之）

理論力學試題

第一部分：單選題

113.將一小石以 V0初速鉛垂上拋，設空氣阻 力與－V 成正比，V 為小石速度，若忽 略空氣浮力，則下列說法何者正確？ (a)任意時刻小石之加速度均為重力加速 度g (b)小石之加速度只有在最高點處才等於 重力加速度g (c)任意時刻小石之加速度均小於重力加 速度g (d)小石落回地面時其末速度為 V0 114.質量為 m、長度為 2L 之均勻細棒，置於 一光滑水平面上，今以一水平外力垂直 作用於此棒之一端，使其質心速度由

ru

變成

ν

r

，則下列說法何者正確？ (a)細棒受到的衝量為 m(

ν

r

－

ru

) (b)細棒質心動能的改變量與所受到衝量 的比值等於細棒質心的平均速度 (

ν

r

＋

ru

)/2 (c)外力作用後之瞬間，細棒之角速度為

(

u v

r r

)

L

−

(d)細棒另一端碰後瞬間的速度為 0 115.若一系統的線動量及角動量均守恆，則 下列說法何者正確？ (a)此系統的漢密頓函數（Hamiltonian） 為運動常數（constant of motion） (b)此系統具有空間平移及空間鏡面對稱 性 (c)此系統具有空間平移的對稱性及空間 各向同性(isotropic) (d) 此 系 統 為 一 保 守 系 統 （ conservative system） 116.一系統內共 N 個質點，假設此 N 個質點 均被限制沿一曲面運動，則下列說法何 者正確？ (a) 此 系 統 共 有 3N 個 自 由 度 (degree of freedom) (b) 此 系 統 共 有 3N 個 約 束 方 程 式 (constraint equations ) (c)此系統共有 3N 個相互獨立的運動方

程式(equations of motion) (d)此系統可有 2N 個相互獨立的廣義座 標(generalized corrdinates) 117.一粒子沿一光滑軌道從靜止下滑，軌道 之方程式為

y

=

x

2

/

4

，y 軸取鉛垂向 下為正，設重力加速度為 g，則粒子沿 光滑軌道下滑的切線加速度為？ (a)0 (b)

gx

x

2

₊

₄

(c)

g

₂

(d)g 118.一粒子被限制在一直線上運動，己知粒 子之位能為 kx3_{，粒子在 t} 1時，從 x1開 始運動，在 t２時運動至 x２，若粒子運動 軌跡的兩個端點固定，則下列那個物理 量須為極值（extremum value）？ (a)

mv

kx

2 3

2

+

(b)

mv

kx

2 3

2

−

(c)

mv

kx dt

t t ₂ 3

2

1 2

+













∫

(d)

mv

kx dt

t t ₂ 3

2

1 2

−













∫

119.一粒子受到一形式為

1

₃

r

指向力源點之 力作用取 r=

∞

為位能零點，則下列說 法何者正確？ (a) 粒 子 的 漢 密 頓 函 數 (Hamiltonian) 為

mv

r

2 2

2

1

2

+

(b)粒 子 的 拉 格 蘭 日 函 數(Lagragian)為

mv

r

2 2

2

1

2

+

(c)粒子將作穩定的圓軌道運動 (d)粒子對力源點的角動量不一定為一 常數 120.兩半徑很小的 A、B 球，質量各為 m 及 3m，以兩條同長度的細繩將各球懸於天 花板上同一點。開始時，將 A 拉高（細 繩仍維持直線）使其距 B 之垂直高度為 h，然後讓 A 下落，A 碰上 B 後黏在一 起，則最後A 及 B 可再上升的高度為？ B A _h 0 (a)h/16 (b)h/8 (c)h/4 (d)h/2 121.若向量函數

A

r

=(2xy＋z3_，x2_＋2y，3xz2 －2)，純量函數 V(x,y,z)=－(x2y＋xz3＋y2－2z)V，則下列 說法何者正確？ (a)

∇

r

V 的方向係沿 V 的切線方向 (b) ( ) ( )

r r

A dr

⋅

−

∫

1 1 1 2 1 2 , , , , 的值隨積分路徑不同而改

變 (c)

A

r

為一保守場 (d)

A

r

=

∇

r

V 122.一位於鉛垂面之光滑圓環，以其直徑為 軸轉動，見圖所示。環的半徑為 R，環 上有一質量可忽略之滑珠，長度為 R 的 細繩，將滑珠與一質量為 M 之小物體相 連。若系統以等角速度ω轉動時，細繩 與鉛垂線夾成45o_角，則

ω

_為？

ω

θ M 2R R R (a)

g

R

2

(b)

g

R(1 2 2

+

)

(c)

g

R( 1

+

2

)

(d)

g

R

2

第二部分：計算題

123.兩個圓筒各自繞固定軸轉動，轉軸沿水 平方向。兩圓筒半徑均為 R，位於同一 水平線上，兩轉軸相距 d（d＞2R），圓 筒各以等角速度Ω及－Ω 轉動，如圖所 示。今若將一質量為 m 的長木板放在兩 圓筒上，開始時，質心偏離兩圓筒連心 線的中心點，假設木板與滾筒的滑動摩 擦 係 數 為

µ

_K， 在 圓 筒 轉 動 中 ， 木 板 做 水 平 方 向 的 簡 諧 運 動 ， 試 求 其 振 動 頻 率？ Ω R －Ω R d

C.M

熱學試題

第一部分：單選題

124.凡德瓦（Van der Waals）以（P+a/V2_）

(V+nb)=nRT 的狀態方程式來描述具有體 積及互相吸引的非理想氣體分子，則在 本式中，常數 a 與 b 的符號下列何者為 正確？ (a)a＞0，b＞0 (b)a＞0，b＜0 (c)a＜0，b＞0 (d)a＜0，b＜0 125. 以 下 有 關 理 想 氣 體 之 敘 述 ， 何 者 為 正 確？ (a) 壓 力 和 分 子 的 方 均 根 （ root-mean-square）速率成正比 (b)分子間的碰撞機率和其密度成正比 (c)平均自由徑（mean free path）和分子

的方均根速率成正比

(d)分子的方均根速率和絕對溫度成正比

126.下列積分中，W 代表熱力學系統所做的 功，Q 代表熱量，i 代表初態，f 代表末

(a)

dW

i f

∫

(b)

dQ

i f

∫

(c)

dQ

T

i f

∫

(d)

TdQ

i f

∫

127.一莫耳的理想氣體經歷如圖所示的 P-V 圖形中的 ABCA 可逆循環，其中 AB 是 一等溫曲線。設一莫耳的定壓熱容為 C p、定容熱容為 CV。氣體在一循環所輸 入的熱量等於？ Th

C

B P2 P1 V1 V2 TC A P V (a)RTh(V2／V1) (b)–CP(Th－TC) (c)CV(Th－TC) (d)RTh ln(V2／V1)－R(Th－TC) 128.下列何者可以提升一卡諾熱機（Carnot heat engine）的效率？ (a)將其高溫與低溫熱庫各降低相同的溫 度 (b)將其高溫與低溫熱庫各提高相同的溫 度 (c)將兩個絕熱過程改成等壓過程 (d)使用較有效率的工作物質 129.一燒杯內裝有溫度為 300K 的水，若採 用下列三種方式將水溫提昇至 400K，試 問 總 系 統( 包 括 燒 杯 、 水 及 熱 庫 ) 的 熵 (entropy)之變化的大小順序為何？(1)和 溫度為 400K 之熱庫接觸而直接加熱至 400K；(2)先和溫度為 350K 之熱庫接觸 而加熱至 350K，再和溫度為 400K 之熱 庫 接觸加熱 至 400K；(3)用溫度分別為 333K，366K 及 400K 之熱庫依序加熱至 400K。令(△S)1，(△S)2及(△S)3分別表 示三種加熱方式總系統熵的改變，則？ (a) (△S)1=(△S)2=(△S)3=0 (b) (△S)1=(△S)2=(△S)3＞0 (c) (△S)1＜(△S)2＜(△S)3 (d) (△S)1＞(△S)2＞(△S)3

第二部分：計算題

130. 熱 力 學 第 二 定 律 有 幾 種 不 同 的 敘 述 方 式，其中 Kelvin 與 Planck 兩人以熱機 ( heat engine) ， Clausius 以 冷 凍 機 (refrigerator)的操作敘述之。寫出這兩種 說法。 131. 證 明 前 面 這 兩 種 說 法 是 等 效 的 (equivalent)。 132.證明一氣體的一條等溫曲線(isotherm)和 一 條 絕 熱 曲 線(adiabatics)不 可 能 相 交 於 兩點(如圖一所示)。 133.證明一氣體兩條不同的絕熱曲線不可能 相交(如圖二所示)。

等 溫 絕 熱 P V 圖一 絕 熱 絕 熱 P V 圖二

近代物理試題

第一部分：單選題

134.質子不可能衰變成兩個正電子及一個負 電子（即 p→e+_+e+_+e－ 是不可能的衰 變）。原因為何？ (a)能量不可能守恆 (b)動量不可能守恆 (c)角動量不可能守恆 (d)輕子數不可能守恆 135. 某 實 驗 室 以 能 量 E （ 包 括 靜 止 質 量 能 moc2）之質子撞擊另一靜止的質子，產 生 3 個質子及 1 個反質子：p＋ p→p ＋ p ＋ p ＋

p

。設質子之靜止質量為

m

o， 此反應所需之最小能量

E

min為何？ (a)7 moc2 (b)5 moc2 (c)4 moc2 (d)3 moc2 136.一位在地面上的靜止觀察者，觀測到兩 艘太空船 A、B 以 0.5c（c＝光速）的高 速沿正好相反的方向飛行，此時太空船 A 上的太空人所觀察到另一太空船的速 率是多少？ (a)c (b)0.8c (c)0.6c (d)0.5c 137.在非相對論（non-relativistic）量子力學 中，一個速度為υ的粒子，其物質波的 相速度（phase velocity）為何？ (a)2

υ

(b)

2υ

(c)

υ

(d)

1

2

υ

138. 若 把 電 子 之 位 置 限 制 在 1×

10

−10 公 尺 （相當於原子的半徑）範圍內，利用測 不準原理估計電子的動能大約是多少？ （電子質量大約是

m

o

=

0 5

.

MeV c

2， 浦 郎 克 常 數 乘 以 光 速 大 約 是

hc

=

_{1 24 10}

_.

×

−6

eV m

−

_{，m 為公尺）} (a)0.04eV (b)4eV (c)400eV (d)4MeV

139.一個質量為 m 的粒子，放入一個一維位 能 井 內 ， 井 的 寬 度 為 L ， 井 內 位 能 為 零，井外之位能為無限大。根據量子力 學理論，此粒子的動能為何？ (a)

E

n

=

n

+









1

2 h

ω

，

ω

=L 2_{/2m ，} n=0,1,2,…。 (b)

E

_n

=

n n

(

+

1

)

2

mL

2

h /

， n=0,1,2,…。 (c)

E

_n

=

n

2

_π

2 2

₂

mL

2

h /

，n=1,2,3,…。 (d)

E

_n

=

_h

2

_/

n mL

2 2_{，n=1,2,…。} 140.X-射 線 波 長 為 0.50 Å， 經 電 子 康 普 頓 （Compton）散射後，反向 (180º) 折返 時其波長？ (a)不變 (b)增加 0.05 Å (c)減少 0.005 Å (d)增加 0.018 Å (h = 6.63×10-34 _J·s，m e = 9.11×10-31 kg，c = 3.00×108 _m/s) 141.原子某一受激態的壽命（life-time）約為 10-8 秒，則原子在此受激態的能量不準 度△x 約為若干？ (a)1.5×10-10 _eV (b)3.3×10-8 eV (c)2.0×10-6 _eV (d)4.5×10-4 eV 142.假設矽晶中的矽原子被 5 價雜質的原子 所取代，該雜質原子與其不參與共價的 電 子 之 系 統 可 用 波 耳 (Bohr) 的類氫原 子模型來表示，假設此電子在矽晶內之 有效質量（effective mass）m* 僅為正常 值之1/5 (即 m*/me =0.2)，且矽晶之介電 常數為

κ

ε

ε

=

o = 11.7，因為 m* 及介電 常數 k 的關係，此不參與共價的電子的 軌 道 半 徑 須 修 正 為

r

d

=

κ

a

o

/

(

m

∗

/

m

e

)

(Bohr radius

a

0

h

m e

e 2 2

≡

/

=

0.523 Å)。這項修正使電子的束縛能大減，而 極易被游離到矽晶的傳導帶而變成負載 子。若知氫之游離能為13.6 eV，則此雜 質原子之基態能階應處於矽傳導帶下方 何處？ (a)20 meV (b)0.46 eV (c)Fermi level 的所在處 (d)0.04 eV 143. 假 設 一 氫 原 子 之 波 函 數 是

ψ

=

c(

ψ

100

+

3

ψ

21 1−

−

2

ψ

321

)

其中c 為歸 一化常數且

ψ

_nlm是量子數為 n,l,m 之氫 原 子 的 本 徵 函 數 (eigenfunction) ， 則 〈L2 〉與〈LZ〉的期望值分別為？ (a)

3

2

h

，

−

_{5 14h}

(b)0，

_2h

(c)

14

2

h

，0 (d)

3

2

h

，

−

_5h

144.若雙原子的量子化旋轉角動量大小可用

K K

(

+ ⋅

1 h

)

表示，其中 K 為轉動角動 量子數，若雙原子之互旋轉慣量為 I， 則當其旋轉能階由量子數 K+1 躍遷至 K 時，躍遷之紅外光頻率當為？ (a) (K+1)h/4πI (b) (K+1)h/4π2 I (c)3K

_h

2_/2I (d)K

_h

2_/2I 145. 靜 止 質 量 為 m0(=9 .11×10- 3 1kg ) 之 電 子 ， 當 其 被 加 速 至 動 能 為 其 靜 止 能 量 m0c2 之 0.25 倍時，該電子之速率 v 應 為如何？(請以光速 c 為單位) (a)0.707 (b)1.28 (c)0.60 (d)3×10-4 146.有關中性氦原子(2He)的基態，考慮電子 自旋下，下列敘述，何者為正確？ (a)其基態具有單線態(singlet state)與三 重態(triplet state)，且單線態能階略高 於三重態 (b)其基態具有單線態(singlet state)與三 重態(triplet state)，且三重態能階略高 於單線態 (c)僅具有單線態 (d)僅具有三重態 147.量子力學中的穿隧(tunneling)概念無法在 古典力學成立的原因是，在古典的容許 運動區域不允許？ (a)運動粒子的總量能為負值 (b)運動粒子的速率為負值 (c)運動粒子之總能量低於位能 (d)能量不守恆

第二部分：計算題

148. 試 利 用 水 丁 格 (Schrödinger) 方 程 式 解 電 子在一維無限深方勢井在 0

≤

x

≤

L 區間 運動的量子化能階及本徵波函數。 149.假設有一由 GaAs (厚度 L = 5 埃) 夾在 上下兩層 GaAlAs 所形成的量子井，其 能 階 可 用 一 維 無 限 深 方 勢 井 結 果 來 模 擬 。 若 電 子 的 有 效 質 量 （ effective mass）m* = 0.067 me，求井內最低之E1 及 E2兩個能階。 150.試求量子井內 n = 1 能階電子停留在 20 至30 埃間的機率。 註：

₋

h

₊

₌

2 2 2

2m

d

dx

V

E

ψ

ψ

ψ

，

sin

2

sin

2

2

4

ydy

= −

y

y

+

C

∫

， h=6.63×10-34_J‧s

h

=

6 58 10

_.

×

−16

_{eV s}

⋅

me = 9.11×10-31 kg