第
一
章
一
、
單
選
題
（ 1.甲 8 次 (1) 會 4 次 4 次 (2) 若 ） 枚均勻幣一丟硬 確 ﹖的些正是哪有項選﹐下列 面正到得好正 及反面 前 4 次 4 次 4 次 4 次 4 次 (3) 恰 4 到面正得 則後﹐ 得到正面 面反得到於小機的率 的機率 好得到 次 4 次 正面及 反面的機率大於 1 4 (4) 若 4 次 4 丟完硬幣知出現正面已共 與反面 次 4 次 4 次 大前在中集面正是程過擲丟﹐於率正則丟擲過機是程反面交錯出現的 或後 的機率﹒ 3 解答 解 (1) 不 4 次 4 次 析 面正到得好正會定一 及反面 ﹒ (2) 若 4 次 4 次 4 次 4 次 4 次 4 前 得面正到 後則﹐ 得到正面 面反得到與率的機 的機率皆為 1 ( ) 2 ﹒ (3) 恰 4 次 4 次 84 4 4 到好得 正面及 面的機率為反 1 1 35 1 ( ) ( ) 2 2 128 4 C ﹒ (4) 正 4 4 反面交錯出現的機率為 1 1 1 2 ( ) ( ) 2 2 128 ﹐ 4 次 4 次 4 4 若集面正前中在 則後﹐ 機為率面以所﹐反皆為 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 256 ﹐ 4 次 4 次 4 4 若集面正後中在 則前﹐ 機為率面以所﹐反皆為 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 256 ﹐ 因為 1 1 1 128 256 256 ﹐ 所以機率相等﹒ 故 (3)﹒ 選 （ 2.下 (1) 任 (2) 每 40 ） 述 ﹖列正者﹐確敘隨有的關「何機碼」表號 都 同相碼表號機個兩隨 列 個 4 個 0 (3) 每 000 的 字裡﹐恰好有數 裡現出﹐組字數的一個三 機率是 1 1000 (4) 表 0000 這 4 個 (5) 能出現像可中不 樣 連續的數字 從 樣果結的同相有會都﹐抽任機隨單簡的始開列一﹒ 3 解答 解 (1) 不 析 機因此任兩個隨號同﹐表不一定相碼不同生同的方法所產的能隨機號碼表可﹒ (2) 隨 出不能代表每個數字現﹐的次數都是相同的但的機出號碼表每個位置上現等各數字的機率都是相﹒ (3) 隨 現都率機的字數各出機上置位個每表碼號是 1 10 ﹐ 000 的 3 因此出現 機率為 1 1 10 1000 ﹒ (4) 出 0000 這 4 個 4 現 樣 連續的數字的機率為 1 1 10 10000 ﹐ 0﹐ 還 是不仍但﹐小很然雖 是有可能出現 0000﹒(5) 隨 列但不能代表從不同取的出的結果是相同的﹐等機出號碼表每個位置上現相各數字的機率都是﹒ 故 (3)﹒ 選 （ 3. ） 某 廠 商 委 託 民 調 為百分比（以下簡稱「民知名度」）﹒結果之居機該構在甲地調查聽過品地牌洗衣粉的居民占當在 95%信 [0.608,0.672]﹒ 準的水為間區賴信之度名知地之心在粉衣洗牌品該﹐下甲 試 (1) 此 64% 項次問 ﹖的確正是此選中些調民﹐下列哪 地有恰中民居體全解甲﹕為讀可果結查調次 的 (2) 若 [0.608,0.672] (3) 過產品 聽人該 所為仍間區賴信得次﹐調民一實再地甲在施 真 95%的 [0.608,0.672] 中 (4) 正的知名度有 機會在區間 若 95%會 民有約中間區得以﹐調所次式多樣方同在甲地進行 包含真正的知名度﹒ 4 解答 解 (1) 調 析 表果結的體全並代不﹐果結的查﹒ (2) 若 [0.608,0.672]﹒ 施區實為樣一必未間賴一再得所﹐調民次信 (3) 真 [0.608,0.672] 的 0﹐ 就 1﹒ 正知的間區在度名 率不是機 是 (4) 正 確﹒
二
、
多
選
題
（ 1.在 20 次 (1) 可 20 次 (2) ） 硬幣重勻均枚一丟複 是 ﹖的確正述者何敘列﹐中驗試的下 能出現 正面 恰 10 次 出現 正面的機率為 1 2 (3) 出 6 次 14 次 (4) 現 面的機率等正出現於 正面的機率 出 10 次 現正面次數的期望值為 ﹒ 134 解答 解 (1) 正 0 1 2 … 20﹐ ﹐ ﹐ ﹐ 次 析 面的次數可能為 ﹒ (2) 恰 10 次 1020 10 10 出現 正面的機率為 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 C ﹒ (3) 出 6 次 206 6 14 現 正面的機率為 1 1 ( ) ( ) 2 2 C ﹐ 14 次 1420 14 6 出現 正面的機率為 1 1 ( ) ( ) 2 2 C ﹐ 兩者相等﹒ (4) 出 現正面次數的期望值為 1 20 10 2 次 ﹒ 故 (1)(3)(4)﹒ 選（ 2.某 ） 測個班級進行數學考驗﹐取慮下列兩個方法一中選孝校欲從高三「忠﹑﹑機仁﹑愛」四個班級隨﹕ 甲 中級班測抽為班該師導的抽方﹐籤抽師導的班個四﹕法﹒ 乙 學級班測施為級班的在所他以﹐生三方高名一取選樣抽機隨單簡以﹕法﹒ 若 (1) 班﹐ ﹖的確正是些哪述敘列下則多的四數人班愛中其﹐同不均數人最 甲 (2) 乙 法抽中方 等均率的測機被位生每一﹐高三學 生等均率機的測抽被方學三高位一每﹐中法 (3) 甲 (4) 乙 (5) 的中方 等均率機法測被級班個四﹐抽 測 等均率機的個抽被級班四﹐中法方 愛 方高法方乙用使較法甲班用使﹐率機的測抽被﹒ 13 解答 解 (1) 甲 析 生皆率機的測抽被高學三位一每﹐中法方為 1 4 ﹒ (2) 乙 方 法 中 ﹐ 每 一 位 高 三 學 生 被 抽 測 的 機 率 不 一 定 相 同 ﹐ 以 愛
班 為 例 學率最高﹐因此愛班生的被抽測的機率也最高機班﹐﹐因為愛班人數最多從愛所有高三學生中抽到﹒ (3) 甲 班等均率機的測抽被班個四此因﹐愛方﹑仁﹑孝﹑忠為間空本樣﹐中法﹒ (4) 乙 方 法 中 ﹐ 樣 本 空 間 為 所 有 高 三 學 生 ﹐ 四 個 班 被 愛班人數最多﹐因此班如被抽測的機率也最高愛例抽數測的機率為該班人與﹐全高三學生人數的比﹒ (5) 使 用甲方法時﹐愛班被抽測的機率為 1 4 ﹐ 機大以所﹐級班他其於大率的使測抽被班愛﹐時法方乙用於 1 4 ﹒ 抽高法方甲較率機的測被因班愛﹐法方乙用使此﹒ 故 (1)(3)﹒ 選 （ 3.隨 X 是 (20,0.3) 的 0.3 的 20 次 20 ） 變機數 參數為個一 成為率機功複做重即（分項二布 伯努利試驗 ﹐ 次 X ） 成功的次數為中 布下如圖﹐分率機其﹕
選 (1)X的 6 (2)X的 4 (3)X 6 時 (4)P(X 8) 正的出確 ﹕項選 期望值為 於大差準標 的機率最大 P(X 10) (5)P(X 7) P(X 5)﹒ 134 解答 解 (1)X的 E(X) np 20 0.3 6﹒ 析 期望值為 (2)X的 ( )X np(1 p) 20 0.3 0.7 4.2 4 ﹒ 標差準 (3) 由 X 6 時 機率分布圖知 的機率最大﹒ (4) 由 P(X 8) P(X 10)﹒ 機率分布圖知 (5) 由 P(X 7) P(X 5)﹒ 機率分布圖知 故 (1)(3)(4)﹒ 選 （ 4.丟 10 次 n 次 pn﹐選 (1) 5 ） 均硬幣枚一勻 ﹐恰好出現 為率記機的面正 出正確的選項﹕ 1 2 p (2)p0﹐p1﹐p2﹐ ﹐p… 10 中 p5 (3)p3 p7 (4)p3 p5 (5)p0﹐p1﹐p2﹐ ﹐p… 10 值的最大是 的 0.5﹒ 平均值為 234 解答 解 (1) 析 10 5 5 10 252 1 2 1024 2 C p ﹒ (2) 10 10 10 2 1024 i i i C C p ﹐ 其 i 0 1 2 … 10﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹒ 中 p0﹐p1﹐p2﹐ ﹐p… 10分 210 1024﹐ 而 母皆為 分子以 10 5 C 最 p5﹒ 大﹐故最大值為 (3) 10 10 3 7 3 210 210 7 C C p p ﹒ (4) 由 (2) 知p5最 p3 p5﹒ 選項 大﹐所以 (5)p0﹐p1﹐p2﹐ ﹐p… 10 的 平均為 10 10 10 10 10 0 1 2 10 0 1 2 10 2 1 11 11 1024 11 1024 11 p p p p C C C C ﹒ [ 另 ] 解 p0﹐p1﹐p2﹐ ﹐p… 10代 p0 p1 p2 … p10 1﹐ 因為 的機率﹐所以形情可有所表能 0 1 2 10 因此﹐ 1 11 11 p p p p ﹒
故 (2)(3)(4)﹒ 選 （ 5.關 (1) 擲 1 ） ﹕項選的正確選﹐述敘的值望期於出 一個公正骰子 次 (2) 擲 2 數﹐點 數均平術算的數的現等期出值望於所有可能點 一個公正骰子 次 (3) 丟 1 數﹐點 數均平術算的和數和現等的期出值望於所有可能點 一枚均勻硬幣 次 ﹐正面出現次數的期望值是 1 2 (4) 丟 2 次 1﹒ 勻幣均一枚硬 期是值望次的數現出正﹐面 1234 解答 解 (1) 因 1 次 種 析 為擲一個公骰子正 ﹐出現每一 點 數 的 機 率 皆 為 1 6 ﹐ 點數的期望值為 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 ﹐ 能數均平術算的數點現出可所有所於等值望期的數點以﹒ (2) 因 2 次 X 的 為擲一個公正骰子 和數點﹐ 可能取值與機率分布如下﹕ 期望值為 1 2 3 4 5 6 5 4 3 ( ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 36 36 36 36 36 36 36 36 36 E X 2 1 252 11 12 7 36 36 36 ﹐ 可能出現點數和的算術平均數為 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 11 ﹒ (3) 因 1 次 X 的 丟一枚均勻硬幣為 現數次出面正﹐ 可能取值與機率分布如下﹕ 所以期望值為 1 1 1 ( ) 0 1 2 2 2 E X ﹒ (4) 因 2 次 X 的 丟一枚均勻硬幣為 現數次出面正﹐ 可能取值與機率分布如下﹕ 所以期望值為 1 2 1 ( ) 0 1 2 1 4 4 4 E X ﹒ 故 (1)(2)(3)(4)﹒ 選 （ 6.想 ） 要了 解 對 議 持 的支 所度程 作 ﹐所得區結果如下表分﹕ 臺 的 某 題 查﹐調抽的樣 依性別 灣 民公
請 問 論 ﹖推 從 此 些哪列下得到以可果結樣抽次 (1) 全臺 灣 男 公民 贊 性 成 此 議 成此 議 題的比例大於 女性 公民 贊 例比的題 (2) 在95%的 臺 信心水準之下﹐全 灣 女 公民 贊 性 成 此 議 計 捨入五 的信賴例比之題區 [0.48,0.56] （ 算到 ） 間 小 為 數 後第二位﹐以下四點 (3) 此 次抽樣的 女 性 公民數 於 別 ﹐性 樣抽次此 成此 議 少 男性 公 數民 (4) 如 贊 題的例比 p 區不果分 介 於 性別 ﹐樣抽此次 0.52與0.59之 (5) 如 p 的 p(1 p) 間 區分果不 差準標 n 介 於 0.02與0.04 之 間﹒ 24 解答 解 (1) 不 析 正確﹒ (2)95% 的 [0.52 2 0.02,0.52 2 0.02] [0.48,0.56]﹒ 信心水準之下﹐信賴區間為 (3) 設 女性 公 民 的 知﹕ 抽 樣 人為數 n1﹐男 公民 n2﹐由 意 性 的 題 抽 為數人樣 1 1 0.52(1 0.52) 0.02 n 624 n （ 2 人）﹐ 2 0.59(1 0.59) 0.04 n 151 n （ 人）﹐ 女性 公民數多於 所以抽樣的 男 性 公民數﹒ (4) 不 區分 性 別 ﹐此次抽樣 成此 議 贊 題的比例為 p ﹐ 624 0.52 151 0.59 0.52 0.59 624 151 p ﹒ (5) 由 (4) 知 ﹐ 0.52 p 0.59 ﹐ 0.41 1 p 0.48 0.52 0.41 p(1p) 0.59 0.48 ﹐ p 的 (1 ) (1 ) (1 ) 0.59 0.48 0.02 差準標 624 151 775 775 p p p p p p n ﹒ 故 (2)(4)﹒ 選 （ 7.國 ） 一 人 智 配 智 學 ﹐ 生 30 萬 商驗的測 100﹐ 標 15 」 態 分常 ﹒若以 商130 結 差準 的 果 數平「是均 以 上 做 甄 為 選 一學生 斷 下判 項﹖的確正是些哪﹐述敘的中選列 國 資優 生的 門檻 ﹐則 根據 這果結的驗測次 (1) 約 5% 的 有 國 通 優 生資 選 名 學生一 智 的 學一 過 甄 門檻 (2) 約 15 萬 國 商在 100 以 (3) 生 有 上 超 過 名 一學生 商 於 國 20 萬 國 智 介 85 至 115 之 (4) 隨 1000 名 一學 25 間 機抽出 生 ﹐ 可期望有 名 資 生 偏遠 學校 只 一生學 那麼 該不校會有 優 ﹐ (5) 如 有 14 名 國 資優 生﹒ 某果 的 234 解答
解 (1) 平 100﹐ 標 15﹐ 智 析 均數 準差 商 平均數 130 以 距 2 個 上 標準差﹐ 常態 分布 68-95-99.7 規 由 則 知 約 有 1 (1 0.95) 2.5% 2 通 過 ﹒ (2) 智 商 在 100 以 上約占 1 2 ﹐ 約有 1 30 15 2 （ 萬 人） ﹒ (3) 區 [85,115] [100 1 15,100 1 15]﹐ 約 68%﹐有30 68% 20.4（ 間 占 萬 人） ﹒ (4) 由 (1) 知 1000 名 選項 ﹐隨機抽出 國 資 生﹒ 優 一學 1000 2.5% 25 名 生 ﹐ 可期望有 (5) 不 一定﹒ 故 (2)(3)(4)﹒ 選 （ 8.投 ） 擲 一 枚 現率機的面正﹐出幣硬勻均不為 3 4 ﹐ 出現反面的機率為 1 4 ﹒ 今 丟擲 5 次 X 此 ﹐若 硬 幣 表 示 出現 (1)X 1 的 正 率機為 面 ﹐則下列數述何者正確﹖ 次的敘 15 512 (2)X 2 的 X 機率小於 3 的 (3)X 3 的 (4)X的 機率 機率最大 期望值為 15 4 (5)X的 標準差為 15 4 ﹒ 245 解答 解 析 令 機隨 X 為 X 的 變 次則數﹐的面正現出 取值與機率分布如下﹕ 數 期 望值為 1 15 90 270 405 243 15 ( ) 0 1 2 3 4 5 1024 1024 1024 1024 1024 1024 4 E X ﹐ 變 異 數為 2 2 2 2 2 2 15 90 270 405 243 15 15 ( ) 1 2 3 4 5 ( ) 1024 1024 1024 1024 1024 4 16 Var X ﹐ 標 ( )X Var X( ) 1615 415 ﹐ 準為差 故 (2)(4)(5)﹒ 選
三
填
充 題
、
1.已 加工 某一 零件 共 知 需 道檢 驗程 序 淘汰 ﹐進不 第 ﹐ 示 如 圖 所 兩 第﹐ 1 道 不 合驗 格 即 入 2 道 若﹒第 1 2﹐ 檢 道 驗不 合格 率分 別 檢 為 各 互 影響 ﹐則 加工 出 的 ﹖ 5% 和 3%﹐ 且 檢 驗道 不 來 零件 是不 合格 品的機率是多 少零件 第1道 淘汰 淘汰 第2道 合格 0.0785 解答 解 析 零 是不 合格 品的 事件 為第﹕ 合格 但第 件 1 道 驗不 合格 或第 1 道 驗 2 道 驗不 合格 ﹐其機率為 5% (1 檢 檢 檢 5%) 3% 0.0785﹒ 2.丟 7 次 求 一均勻的硬幣 ﹐ 恰 出 現 4 次 正面的機率﹒ 解答 35 128 解 析 出率機的面正現幣﹐硬的勻均一丟為 1 2 ﹐ 出現反面的機率為 1 2 ﹐ 丟7 次 4 次 C74 種 出現恰中 正的情形有面 ﹐ 每一 種 又 情形的機率都 是 4 3 1 1 ( ) ( ) 2 2 ﹐ 所 7 次 4 次 丟一個公正的硬幣以 現中出恰 正面的機率為 7 4 3 4 1 1 35 ( ) ( ) 2 2 128 C ﹒ 3.數 SAT考 規 學 試 定 ﹐ 該 分果如 過 律 知﹒已 項 測 的驗 總 超 800 分 以800 分 錄 年今 SAT ﹐一 記 考 呈 試 現 求 比的考生會例 收 績 常態 分均平其﹐布 560﹐ 標 120﹒ 試 約﹕ 少 到800 分 單﹖ 數 差準 有 的成 多 2.5% 解答 解 800 560 2 120 為 m 2 的 析 位置﹐所以有 1 (1 0.95) 0.025 2 的 考生 原 是 過 始成 績 超 800 分 2.5% 的 收 的﹐即約有 考生會 到 績 800 分 單﹒ 的成 4.設 某 射飛鏢 射 靶 人 時 中 面的機率是 1 4 ﹐ 射了 4 次 求 他連續 ﹒ (1) 直 到 才射 中 的率機﹒面 中 面 第 四 次 靶 (2) 恰 射 靶 2 次 好 的機率﹒ (1) 解答 27 256 ;(2) 27 128 解 (1) 直 析 到 才射 中 面的機率為 第 四 次 靶 3 3 1 27 ( ) ( ) 4 4 256 ﹒ (2) 恰 射 好 中 面 靶 2 次 42 2 2 的機率為 1 3 27 ( ) ( ) 4 4 128 C ﹒ 5.保 公 險 司 推 出一 年 生 獲賠理 只費保 需 的 住期 屋火險房宅 ﹕在一「 屋房發內年 災 可火 100 萬 ﹐ 2000 元
元 ﹒ 根據資 ﹐ 生 張保 單中﹐ 獲 利司 值是期的多望 ﹖ 」 料 顯 示 宅住發屋房 災 的火 為率機 0.0015﹐試 保險 公 少 每問 500 元 解答 解 析 令 隨機 X 變 數 為 保 公 所得利 因為﹒ 年內 可有能平 安 發 火災 兩 ﹐果結 平 安若 保險 公 險 司 潤 房屋 一 或 生 種 又 度過﹐ 司賺 2000 元 ﹐ 則 ﹐ 所 以 否 賠要 (1000000 2000) 元 X 的 機率分布如下﹕ 故 保 公 險 司獲 利的期望值 E(X) 2000 0.9985 ( 1000000 2000) 0.0015 2000 (0.9985 0.0015) 1000000 0.0015 2000 1500 500 （ 元 ）﹒ 6.某 簡居民之百分比（以下稱當為「知名度」）﹒結果地占廠調商委託民調機構在甲地查民聽過該品牌洗衣粉的居在 95%信 [0.608,0.672]﹒ 試 地為間區賴信之度名心的知甲﹐水準在下之該品牌洗衣粉 問此次民調中﹐ (1) 該 品牌洗衣粉在甲地的知名度為多 少 差為何 ﹖ ﹖(2) 抽 誤 樣 (3) 共 成功 訪 幾 ﹖多有其中 聽人過該產品﹖ 問 民地甲位 眾 少 (1)64%;(2)3.2個 ;(3)900 位 576 人 解答 百分點 ﹐ 解 (1) 區 [0.608,0.672] 的 p 是 析 間 中心數值 0.608 0.672 0.64 2 ﹐ 示 表 有 受 者聽過 訪 該 產 名為度品知即﹐ 64%的 64%﹒ (2) 因 [0.608,0.672] [0.64 0.032,0.64 0.032]﹐ 為 抽樣 誤 差為 0.032﹐ 即 3.2 個 百分點﹒ (3) 設 成 訪 差 功 問n 人 根據 抽樣 誤 2 p(1 p) ﹐ n 公 2 0.64 (1 0.64) 0.032 式﹐得 n ﹐ 化 簡為 0.48 0.016 n ﹐ n 900﹒ 解得 又 64 900 576 100 ﹐ 訪 即成功 問 ﹐過中其聽 該 產 品者有 900 位 眾 576 人 民地甲 ﹒ 7.某 班表下如數人生學的班各﹐四校愛﹑仁﹑孝﹑忠有共三高﹕ 欲 8 名 從中抽選 學生 接 受 數能學 各 的樣抽中﹐愛班方法 檢 定力 班忠在﹐ 阿 被 求 種 阿 雄 形﹐下情的到抽 珠 也 被抽到的機率﹒ (1) 以 2 名 班級為單位﹐每班抽出 ﹒ (2) 先 隨 機 抽 出抽中生學班該從再﹐級班個一出 8 名 ﹒ (3) 先 180 名 將 學生 加 編 以 號﹐再隨機抽 8 名 出 ﹒ (1) 解答 1 30 ;(2)0;(3) 7 179
解 析 設 示 示 A 表 阿 被 事件 ﹐B 表 阿 被 事件 雄 的到抽 珠 抽到的 (1) 以 阿 被 阿 也 班班的忠﹐位單為級 雄 愛的班情﹐下形的到抽 珠 被抽到的機率為 2 2 ( ) 30 60 1 ( | ) 2 ( ) 30 30 P A B P B A P A ﹒ (2) 先 隨 機 抽 班出抽中生學該從再﹐級班個一出 8 名 阿 被 阿 ﹐的班忠 雄 抽到的情形下﹐愛班的 珠 也 0﹒ 被抽到的機率為 (3) 隨 8 名 阿 被 阿 也 機抽出 班忠﹐的 雄 愛的班形﹐下情的到抽 珠 被抽到的機率為 8 7 ( ) 180 179 7 ( | ) 8 ( ) 179 180 P A B P B A P A ﹒ 8.袋 子 裝 編 ﹐ 兩出抽 若﹐ 示 求 中 有 號1 2 3 4﹑ ﹑ ﹑ 的 張卡 自袋 中隨 意 張 X 表 所抽 卡片 兩號碼的平均﹐ X 四 片 出 的 的 期望值與標準差﹒ 解答 期望值 5 2 ﹐ 標準差 15 6 解 張卡片 析 因為四 隨 抽出兩 ﹐有 意 張 4 2 6 C 種 情 示 形 ﹒ 隨機變數 X 表 所抽 卡片 兩均﹐號碼的平 X 出 的 的 取值與機率分布如下﹕ X 的 期望值為 3 1 1 5 2 1 7 1 5 ( ) 2 3 2 6 6 2 6 6 2 6 2 E X ﹐ 變 異 數為 2 2 2 2 2 3 5 1 5 1 5 5 2 5 1 7 5 1 5 ( ) ( ) (2 ) ( ) (3 ) ( ) 2 2 6 2 6 2 2 6 2 6 2 2 6 12 Var X ﹐ 標 ( )X Var X( ) 125 615 ﹒ 準為差 9.某 社 拔 候 支 民 意做 ﹕現 支 為度 本樣為 團 持 持 將 團 隊 行 社進 長 選 ﹐ 人 阿選 的 調查 發 阿 的 55%﹐接 調查 效 美 美 受 的 有 99 人 ﹒ (1) 求 在 誤 95%的 差﹒ 信心水準下﹐此抽樣的 (2) 求阿 所 美 獲 支 持 率的 95%信 賴區間﹒ (1)10%;(2)[0.45,0.65] 解答 解 (1) 在95%的 析 信心水準下﹐ 誤 差是
2 (1 ) 2 0.55 (1 0.55) 2 0.05 0.1 99 p p n ﹐ 此 誤 抽樣的 差 為 10%﹒ (2)95% 信 [0.55 0.1,0.55 0.1] [0.45,0.65]﹒ 賴區間為 10. 民 意 將 國 號 成 下如果結的號」 訪 ﹕ 「 功成共 調查 贊 成否 民 年 改 年元西 問900 位臺 地 20 「 灣 區 是 歲 以 ﹐其中不 贊 眾 據 此根 一結調查 上 果 民 ﹐ 眾 民成的 有576 人 求 ﹒」 (1) 受 者中 訪 不 贊 改 國 號 少 的 比 多為例 成 民 年 ﹖(2)95% 的 信賴區間﹒ (1)0.64;(2)[0.608,0.672] 解答 解 (1) 在 900 位 析 受 者當中 不 不﹐成 成例的比為 訪 ﹐ 有 576 位 示 贊 贊 表 576 0.64 900 p ﹒ (2) 在95%的 信心水準下﹐ 誤 範圍 是 差 2 (1 ) 2 0.64 (1 0.64) 2 0.016 0.032 900 p p n ﹐ 誤 這次調查的抽樣 差 為 3.2 個 百分點﹒ 95%信 賴區間為 [p 2 p(1 p),p 2 p(1 p)] [0.64 0.032,0.64 0.032] [0.608,0.672] n n ﹒ 11. 丟 4 次 令 一均勻的硬幣 ﹐ 隨 機 變 示 數 X 表 出現 的 正 面數﹐ (1) 求 X 所 (2) 列 X 取 可能的取值﹒有 出 各值時的機率﹒ (1) 見 解答 解 解 析 析 ;(2) 見 解 」 」 析 用「 表出現正面﹐「 則間空本樣表﹐面反現出為 S {(,,,),(,,,),(,,,),(,,,),(,,,),(,,,),(,,,),(,,,),(,,,), (,,,),(,,,),(,,,),(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)}﹐ 其 序對 裡面的位 依 中 置 ﹐ 代表 次 出 現 的 結 果 ﹒ 則 X 0﹐ 表 示 有出現 沒 正 面 ﹐即 事件 {(,,,)}﹐ X 1﹐ 表 示 出現 事件 {(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)}﹐ 一 個 正面﹐即 X 2﹐ 表 示 出現 事件 {(,,,),(,,,),(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)}﹐ 二 個 正面﹐即 X 3﹐ 表 示 出現 事件 {(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)}﹐ 三 個 正面﹐即 X 4﹐ 表 示 出現 事件 {(,,,)}﹐ 四 個 正面﹐即 所 X 所 0 1 2 3 4﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹒ 以隨機變數 有可能的取值為 將X 取 P 列 各值的機率 表如下﹕ 12. 投 擲 獎金 獎金 四 個 的完公正骰可﹐同相全得數四子點﹒若時個出子現骰 2160 元 出若 ﹔ 現 點 數四連號時﹐可得為 648 元 若出 種 ﹔ 現 兩 點 數 且 獎金 ﹒ 此 兩個時﹐可得各 216 元 求 獎金 的期望值﹒
61 元 解答 解 析 投 擲四 4 個 均 數為率機的同相全完點勻現子骰個四﹐子骰出 6 6 ﹐ 獎金 2160 得 元 出現 4 ﹔ 點 數 為四連號的機率為 3 4! 6 ﹐ 獎金 648 元 得 ﹔ 出 現兩 種 各兩 粒 點數 且 的機率為 6 4 2 2 2 2 4 6 C C C ﹐ 獎金 216 元 得 ﹐ 故 期望值為 6 4 2 2 2 2 4 4 4 6 3 4! 2160 648 216 61 6 6 6 C C C （ 元 ）﹒ 13. 在 箱 一 子 中 裝 白 及若 干 黑球 ﹒ 從 一取中子任 後 取 球 有 32 個 個 今 箱 視檢球 放回 ﹐如此反 覆 n 次 球 計 白球球 之後 算取得 為值望期的數 16 個 2.4 個 ﹐ ﹐標準差為 ﹒試問﹕ (1) 共 球幾 次﹖ (2) 袋 取 中 幾 黑球 ﹖ 有 個 (1)25 次 ;(2)18 個 解答 解 (1) 設 析 抽 白球 的機率為 中 p﹒ 因 E(X) np 16﹐ 又( )X np(1p) 2.4 1 p 0.36﹐ 為值望期 得 p 0.64﹐ 代 回 球 得n 25﹒ 故 25 次 共取 ﹒ (2) 設 黑球 有 x 個 ﹐則 32 0.64 32 x ﹐ x 18﹒ 故 得 袋 黑 ﹒ 球 中有 18 個 14. 丟 300 次 Y 表 兩枚均勻硬幣 ﹐以隨機變數 示 出現 2 個 正面的比率﹒ (1) 求 Y 的 期望值和標準差﹒ (2) 試 估 約 計 95%的 Y 所 比率 在的區間﹒ (1) 期 解答 望值 1 4 ﹐ 標準差 1 40 ;(2)[0.2,0.3] 解 (1) 丟 2 個 析 現出﹐時幣硬勻均枚兩 正面的機率為 1 4 p ﹒ 隨 Y 表 機變數 示 現出 2 個 望差準標與值﹐期則率比的面正為 ( ) 1 4 E Y p ﹐ 1 3 (1 ) 4 4 1 ( ) 300 40 p p Y n ﹒ (2) 約 95%的 Y 所 有 比率 在區間為
[p2 p(1np),p2 p(1np)] [ 41 2 40 41 1, 2 401 ] 4 6 [ , ] [0.2,0.3] 20 20 ﹒ 15. 甲 ﹑乙兩人相約 玩 遊 戲 數﹐則可得到該點數 的正公個一﹐擲乙由骰 質 3 子 ﹒ 為數點的擲乙若出 倍 的 若出現其他 此問試﹒甲 金額 的期望多為值 少 點 數 ﹐則 額金 要付 該的數點 額給金 戲 乙遊 得所 ﹖ ﹔ 解答 19 6 元 解 析 令 金額 ﹐ 隨機 X 為 X 的 變 乙所得的 分下如布取率機與值﹕ 數 乙 所得 金 額 的期望值為 1 1 1 1 1 1 19 ( ) 6 9 15 ( 1) ( 4) ( 6) 6 6 6 6 6 6 6 E X （ 元 ）﹒ 16. 擲 k 時 k 100 元 正骰個公為和數點兩出若﹐子現 ﹐可得 ﹐ 所得 金額 的期望值﹒ 求 700 元 解答 解 析 表下如率機其與和數現點出﹐子骰正公個兩擲﹕ 期 望值為 1 2 1 200 300 1200 700 36 36 36 （ 元 ）﹒ 17. 設 在 滿意 度比例 不 同 樣抽查中﹐分調的 別訪 問 1200 人 樣本得﹐ 1 0.3 p ﹐ 2 0.5 p ﹐ 3 0.8 p ﹒ 95% 在 的 誤 信心水準下﹐何者的抽樣 差 不 超 過3%﹖ 解答 每一個的抽樣 誤 超 差皆不 過 3% 解 誤 析 從信賴區間公式知﹐抽樣 差 為 2 p(1 p) n ﹐ 計 算各 p 值 2 p(1 p) 的 n ﹕ 1(1 1) 0.3 (1 0.3) 0.3 0.7 21 27 3 2 2 2 1200 1200 30000 30000 100 p p n ﹐ 2(1 2) 0.5 (1 0.5) 0.5 0.5 25 27 3 2 2 2 1200 1200 30000 30000 100 p p n ﹐ 3(1 3) 0.8 (1 0.8) 0.8 0.2 16 27 3 2 2 2 1200 1200 30000 30000 100 p p n ﹐
所 誤 以每一個的抽樣 差 皆 不 過 超 3%﹒ 18. 班 聯 卷 不「可以 服制穿 議 效 卷 ﹐ 者成 ﹒ 其 中 以會 全生學校調查 對 到」校 題的 支持 度﹐ 回收 有 問 400 張 贊 320 張 問 (1) 求 這 成的比例﹒ 次 調 查中 贊 (2) 在95%的 誤 信心水準下﹐這次調查的抽樣 差 是 多 個百分點﹖ 少 (3) 計 算 95%的 信賴區間﹒ (1)0.8;(2)4 個 ;(3)[0.76,0.84] 解答 解 (1) 在 400 張 析 有 問 當中﹐有 表 贊 效 卷 320 張 示贊 成﹐即 成的比率 320 0.8 400 p ﹒ (2) 在95%的 信心水準下﹐抽樣 誤 差是 2 (1 ) 2 0.8 (1 0.8) 2 0.02 0.04 400 p p n ﹐ 誤 這次調查的抽樣 差 為 4 個 百分點﹒ (3)95% 信 [p 2 p(1 p),p 2 p(1 p)] [0.8 0.04,0.8 0.04] [0.76,0.84] 賴為間區 n n ﹒ 19. 一 袋 裝 和 次每﹐ 袋 ﹐ 示 從 取 完 中 有2 顆 1 顆 出取機隨中 2 球 放回 ﹐共取 4 次 X 表 取到 2 球紅 白球 ﹒ 的 球 都 紅球 的次數﹐ 求 數差準標與﹒ 是 X 的 異 變﹑值期望 解答 期望值 4 3 ﹐ 異 變 數 8 9 ﹐ 標準差 2 2 3 解 袋 析 從 中 隨 機 ﹐ 球 取 兩 出 2 球 都是 紅球 的機率為 2 2 3 2 1 3 C C ﹐ 這是一個參數是 1 (4, ) 3 的 設X 二項分布﹒ 表 示 都是 紅球 的次數﹐則 取到 球 的 兩 (1)X的 期望值 1 4 ( ) 4 3 3 E X np ﹒ (2)X的 異 變 數 1 2 8 ( ) (1 ) 4 3 3 9 Var X np p ﹒ (3)X的 ( )X np(1p) 89 2 23 ﹒ 標差準 20. 魏式 成人 智 力 量 遍種普 以 上 的 其﹐人 一表是 用使的 IQ 測 16 歲 IQ 分 100﹐ 標 15 驗﹐ 約平均數布為 準差 的 常 分布﹒ 則 答下列 態 利 問 用 題 ﹕ 68-95-99.7 規 回 (1) 隨 機選 擇 以 少 上 的 人﹐他的 個一 16 歲 IQ 分 130 以 ﹖ 在數 上的機率是多 (2)1000 個 16 歲 以 的人 上 的 人中﹐約有多 少 IQ 分 85 以 數在 上﹖ (1)0.025;(2)840 人 解答 解 (1)130 100 15 2 為 m 2 的 析 位置﹐所以隨機選 擇 以 上 的 人﹐他的 一個 16 歲 IQ 分 130 數在 以 上的機率是 1 (1 0.95) 0.025 2 ﹒ (2)85 100 15 為m 的 IQ 分 85 以 以所﹐置位 數在 上的機率是 1 1 0.68 0.84 2 2 ﹐ 1000 個 16 歲 因此 以 上 的 人﹐約有 1000 0.84 840 人 IQ 分 85 以 的 數在 上﹒
21. 某 電 獎戲遊 準 的抽 獎箱 裡 置 四個分 標有 視 臺 舉辦 抽 ﹐現 場 備 放 了 別 1000 800 600 0﹑ ﹑ ﹑ 元 獎 額 的 球 者 行從抽 摸 （即後取 回 ）放 ﹐ 主辦 單位即 字數上等 額 金 ﹐獎 並 規 摸 ﹒參 加 自 獎箱 裡 一 球取 送 與贈 此 球 的 定 取到 0 元 的 次得是但﹐所一 摸 人 可 再以 摸 獎金折半 （若再 到0 元 就 有第三 得可者 次 機 一個參問試﹒）會 沒 加 獎金 的期望值是多 少元 ﹖ 675 元 解答 解 析 由題 意 加 自 獎箱摸 情為分可形﹐ 球 一摸 次和 知參﹐ 者 抽 一 球取 摸球 兩次﹐ 令 隨 機 變 數 X 為 獎金 ﹐X 的 的得所 取值與機率分布如下﹕ 故 加 參 者 可 得 獎金 的期望值為 1 1 ( ) (1000 800 600) (500 400 300 0) 675 4 4 4 E X （ 元 ）﹒
第
二
章
一
、
單
選
題
（ 1.在 ） 複數平面上﹐所有 滿 足 方程式 麼 圖什 ﹖形 | z 1 i | 2的 z﹐ 會 (1) 點 (2) 直 (3) 數複 形成 線 圓 ﹒ (4) 橢 (5) 拋 圓 物線 3 解答 解 析 設 將 A(1 i) 為 式程方 | z 1 i | 2改 為| z (1 i) | 2﹒ 一﹒上面平數複點 寫 就 幾 意義來 程表式點方此﹐ 距 為 滿足 方式複的程 說 離 數 何 P(z) 到 A 的 2﹒ 故 z﹐ 會 A 有所 形成以 為 圓 圓 ﹒ 心﹐ 半徑 為2 的 ﹐即 圓 所 成 圖形為一 [ 另 ] 解 設z x yi﹐x﹐y為 | z 1 i | 2﹐ 所 | (x 1) (y 1)i | 2﹒ 實數﹒因為 以 由 複數 絕 對 值的定 ﹐得 義 2 2 2 2 (x1) (y1) 2 (x1) (y1) 4 ﹒ 因 (x 1)2 (y 1)2 4的 為 圖形為一 圓 足 方滿 數的式程複 圓 有所以﹐所 z 形 ﹒ 成的圖形為一 故 (3)﹒ 選（ 2.選 接近 2 的 (1) sin 44 3 cos 44 (2)sin54 3 cos54 (3)sin64 3 cos64 ） 最值出 ﹕選項
(4) sin 74 3 cos74 (5)sin84 3 cos84 ﹒
解 析 利用 疊
合 的方法﹐得 sinx 3 cosx2( sin21 x 23cos ) 2sin(x x 60 ) ﹒
因 別化 簡為 此﹐各選項可分
(1)2sin(44 60) 2sin104 2sin76 (2)2sin(54 60) 2sin114 2sin66 (3)2sin(64 60) 2sin124 2sin56 (4)2sin(74 60) 2sin134 2sin46 (5)2sin(84 60) 2sin144 2sin36 又
因 接 為 近 2sin 45 2 22 2 ﹐ 2sin46 最 2 ﹐ (4)﹒ 以所 故選
（ 3.下 (1)sin10° cos10° (2)sin20° cos20° (3)sin30° cos30° (4)sin40° cos40° ） 列各數何者最小﹖
(5)sin50° cos50°﹒ 1 解答 解 析 利用 疊 合 的方法﹐得 1 1
sin cos 2( sin cos ) 2 sin( 45 )
2 2 x x x x x ﹒ 因 別化 簡為 此﹐各選項可分 (1) 2 sin 55 ﹒ (2) 2 sin 65 ﹒ (3) 2 sin 75 ﹒ (4) 2 sin85 ﹒
(5) 2 sin 95 2 sin(180 85 ) 2 sin 85 ﹒ 又 因 度為 銳角 時﹐ 愈近接 值 所以大﹐ 為 當 角 90° 其 弦 愈 2 sin 55 值 (1)﹒ 正 最小﹐故選 （ 4.已 a sin5﹐ 選 (1) ） 知 正確的選項﹕ 出 1 1 2 a (2) 1 0 2 a (3)0 1 2 a (4)1 1 2 a ﹒ 1 解答 解 a sin5 知 析 由 道 在 點 (5,a) 落 y sinx 的 圖形上﹒ 因 3.14﹐ 為 3 4.71 2 ﹐ 11 5.76 6 ﹐ 所 (5,a) 約 以點 略 示 位置 ﹕ 如 圖 所 由 (5,a) 比 圖知﹐點 點 3 ( , 1) 2 高 ﹐但比點 11 1 ( , ) 6 2 低 ﹐ 因 此 ﹐ 1 1 2 a ﹐ 故選 (1)﹒
（ 5.如 ） 圖是下列哪個
函 數的圖形﹖ (1)y sinx (2)y 3sinx (3)y 3sinx (4)y 3sin2x (5)y
3sin2x﹒ 5 解答 解 函 析 由圖形得知﹐此 數 的 週 期為 ﹐ 3﹐ 最 3﹒ 最大值為 小值為 又 當 0 x 2 時 ﹐圖形的 y 坐 標 負 數值為 ﹒ 為 ﹐即 函 負 在 只 選項中 有 y 3sin2x 符 上述 條件 ﹐故選 (5)﹒ 合 （ 6.設 a cos1﹐ 選 (1) 1 a 0 (2)0 a 12 (3)2 a 1 2 (4)2 2 a 2 23 ） ﹕項選的確正出 (5) 23 a 1﹒ 3 解答 解 4 1 3 析 利用 ﹐ y cosx 的 及 部 分圖 形 （ 如下圖）﹐得
cos cos1 cos
4 3 ﹐ 即 22 a 12 ﹒ (3)﹒ 故選 （ 7.把 數y sinx 的 ） 函 圖形 向 右 平 移 2 單 位﹐所得 新 形 ﹖數的圖 形為下列哪圖 函 (1)y cos(x 2 一 個 ) (2)y cos(x 2
) (3)y sin( x) (4)y cosx (5)y cosx﹒
5 解答
解 移 析 利用平
的 圖形的 數為 性質 ﹐得 新 函 y sin(x 2)
﹒
又y sin(x 2) sin(2 x) cosx
﹐ 故選
二
、
多
選
題
（ 1.關 函 ） 於 數 f (x) 2sin3x﹐ 選 (1) 2 f (x) 2 (2)f (x)在x 6 出正確的選項﹕ 時 有最大值 (3)f (x) 的 週 期為 2 3 (4)y f (x) 的 圖形 對 稱於 直線 x 2 (5)f (2) 0﹒ 1234 解答 解 析 先 作 y f (x) 2sin3x 的 圖形﹐如圖﹕ 3 2 y x O 1 2 1 2 2 x= (2, f (2)) 2 3 6 (1) 因 1 sin3x 1﹐ 所 2 f (x) 2﹒ 為 以 (2) f( ) 2sin6 2 2 為 最大值﹒ (3) 由 上圖知﹕ 週 期為 2 3 ﹒ (4) 因 為以 直 線 x 2 為 折 ﹐ 左右 圖形會重 合 函 於稱 線 對折 後 所﹐以 數圖形會 對 x 2 ﹒ (5) 由 (2,f (2)) 落 上圖知﹕點 在 下 方 ﹐ 故 x 軸 f (2) 0﹒ 故 (1)(2)(3)(4)﹒ 選 （ 2.如 ） 圖﹐ 矩 邊 標 心中﹐在 原 形ABCD 的 行 坐平 軸 點O﹐A 點 對應 的複數為 z﹒ 選 (1)B 所 出正確的選項﹕ 點 對應 的複數是 (2)C點 應 的對 數複為 z (3)D點 對應 的為數複 z 的 軛 所 一 所 所 共 個 數 實 複 數 z (4)OA| |z (5)AD |z z| ﹒ 2345 解答 解 析 設 z x yi﹐x﹐y為 實數﹒ (1) 因 B 點 x 軸 為 不在 上 對應 的複數不是一個 ﹐ 實 所 數 以 (2) 因 C 與 A 的 O﹐所 C( x yi) C( z) 為 中點為 以 (3) 因 D 與 A 對 為 稱 ﹐ 所 以 x 軸 D x yi( )D z( )(4) 由 複數 絕 對 值的定 ﹐得 義 2 2 | | OA x y z (5) 因 |z z | 等 z 與z 兩 為 於 點的 距 離 ﹐所以 AD |z z| 故 (2)(3)(4)(5)﹒ 選 （ 3.關 函 ） 於 數 期 為 y f (x) 4sinx 3cosx 的 (1) 週 (2) 振 為5 (3) 與 選的﹕ 確正出選﹐形圖項 幅 y 軸 的 有 稱 線直 交 於 點 為 (0, 1) (4) 與 x 軸 無限 多交點個 (5) 對 x 2 ﹒ 24 解答 解 析 將 數 為正 弦函 數的形式﹐得 函 化 4 3
5( sin cos ) 5sin( )
5 5 y x x x ﹐ 其 sin 3 中 5 ﹐cos 4 5 ﹐0 2 ﹒ 由 圖形的平 移 伸縮概念 其可形圖﹐知得 鉛直 方 後 移 ﹐ 再 與 將y sinx 的 伸拉向 5 倍 向右 平 形圖 單 位得到﹒如下圖所 示 ﹕ x y O 5 -5 2 + (1) 週 期 為 2﹒ (2) 振 為5﹒ 幅 (3) 因 f (0) 4sin0 3cos0 3﹐ 所 y 軸 為 以與 的 交 點 為 (0, 3)﹒ (4) 由 x 軸 圖知﹐圖形與 有 無限 多個交點 ﹒ (5) 因 直線 x 2 為 不 通 是 過 最 高 低 ﹐形圖以所 有 稱此 直線 ﹒ 點 或 最 的 鉛點 直線 沒 對 故 (2)(4)﹒ 選 （ 4.已 12 23i為 ） 知複數 六 ﹐ 式程方此的 根 應 點對 分 別 對 應 方次 z6 a 的 根 且 6 個 到複數平 為 程 一 面 式 上 的 A﹐B﹐C﹐D﹐E﹐F﹒ 選 (1)a 1 (2) 這 6 個 出正確的選項﹕ 對 點恰有 應 2 個 落 點 在 第 二 象限 (3) 複 12 23i 也 根 (4) 複 數 是此方程式的一 數 1 3 ( )(cos120 sin120 ) 2 2 i i 也 根 是此方程式的一 周 為 長 (5) 六 形 ABCDEF 的 6﹒ 邊 1345 解答
解 (1) 將12 23icos60 isin 60 ﹐ 入z6 a﹐ 得 a cos360 isin360 1 析 代
(2)1 的 6 個
六 恰好是 圓 頂 為點 方 根次 內接 於單位 的正 六邊 形之 6 個 點﹐ 頂 1﹐ 其 中 一個
如 圖所
(3) 因 12 23icos120 isin120 ﹐ 六邊 形的 6 為 所以是此正 個 頂 根 點之 一 ﹐ 因此也此方程式的一個是 (4) 因 幾 為此複數的 何 意義 就是 將 1 1 3 2 2 z i 繞 點 原 旋 轉 120﹐ 所 六邊 形的 6 以仍是此正 個 頂 根 點之 一 ﹐ 因此也此方程式的一個是 (5) 因 △Oz0z1 是 為 邊 為 角 長 1 的 ﹐以所形 六邊 形的 周長 為6 三正 此 正 故 (1)(3)(4)(5)﹒ 選 （ 5.下 落 ） 列哪些選項的點 在 橢圓 2 2 1 16 9 x y 上 (1)(0, 3) (2)(12 125 5 (3)(4,3) (4), ) ﹖
(4cos5,3sin5) (5)(4cos110,3sin110)﹒
1245 解答 解 析 將 入橢圓 式﹐得 各點 方程式的 左 代 (1) 0 9 1 16 9 (2) 144 144 9 16 25 25 1 16 9 25 25 (3) 16 9 2 1 16 9 (4) 2 2 2 2 16cos 5 9sin 5 cos 5 sin 5 1 16 9 (5) 2 2 2 2 16cos 110 9sin 110 cos 110 sin 110 1 16 9 故 (1)(2)(4)(5)﹒ 選 （ 6.關 函 ） 於 數 f (x) 3cos2x﹐選 (1) 2 f (x) 2 (2) f (x) 在x 2 出正確的選項﹕ 時 (3) f 有最大值 (x) 的 週 對 期為 (4)y f (x) 的 稱於 直線 x 2 圖形 (5) f (1) 0﹒ 34 解答
解 析 函 數 f (x) 3cos2x 的 圖形如下﹐得 (1) 3 f (x) 3﹒ (2)f (x)在x 2 時 3﹒ 有最小值 (3)f (x)的 週 期為 ﹒ (4) 因 f (x) 在x 2 為 時 對 有最小值﹐所以圖形 稱 於 直線 x 2 ﹒ (5) 因 (1, f (1)) 在 x 軸 為點 下 方 ﹐ 所以 f (1) 0﹒ 故 (3)(4)﹒ 選 （ 7.下 落 ） 列哪些選項的點 在 橢圓 2 2 1 9 16 x y 上 (1)(0, 4) (2)(12 125 5 (3)(3,4) (4), ) ﹖
(3cos20,4sin20) (5)(3cos215,4sin215)﹒
1245 解答 解 析 將 入橢圓 式﹐得 各點 方程式的 左 代 (1) 0 16 1 9 16 (2) 144 144 16 9 25 25 1 9 16 25 25 (3) 9 16 2 1 9 16 (4) 2 2 2 2 9cos 20 16sin 20 cos 20 sin 20 1 9 16 (5) 2 2 2 2 9cos 215 16sin 215 cos 215 sin 215 1 9 16 故 (1)(2)(4)(5)﹒ 選
三
填
充 題
、
1.求 8 8 3i 的 根 四次方 ﹐ 並 將 在複數平面上﹒ 它們描 解答 見 解析解 析 設 ﹐即 z r(cos isin )為 8 8 3i 的 根 四次方 4 8 8 3 z i ﹒ 因 8 8 3i16( 12 23i) 16(cos 23 isin23) ﹐ 為 所 4 4 以 2 2
(cos 4 sin 4 ) 16(cos sin )
3 3 z r i i ﹒ 因 向徑 相等 且 為兩複數相等其 輻 同 ﹐ 角 界 所 以 4 16 2 4 2 , 3 r k k 為整數﹐ 即 2 2 , 6 4 r k k 為整數 ﹒ 仿 照課 本 例 題 明 為 10 之 說 ﹐取 k 0 1 2 3﹐ ﹐ ﹐ 就 4 個 根 中解的 得出可 四次方 2 2 2(cos( ) sin( )) 6 4 6 4 k k k z i ﹐k 0 1 2 3﹐ ﹐ ﹐ ﹐ 即 8 8 3i 的4 個 根 四次方 為 0 2(cos sin ) 3 6 6 z i i ﹐ 1 2(cos2 sin2 ) 1 3 3 3 z i i ﹐ 2 7 7 2(cos sin ) 3 6 6 z i i ﹐ 3 2(cos5 sin5 ) 1 3 3 3 z i i ﹒ 而 且 為 圓點 這4 個 根z0﹐z1﹐z2 及z3恰 原 心﹐ 半徑 為2 方次四 好是一個以 的 圓 點所圖如﹐ ﹒ 內 接 之形方正 頂 示 四 個 2.如 圖是 函 分﹐ 求 函 期﹒ 數y asinx bcosx 圖 部 (1) 此 的 週數 (2) 實 a﹐b 的 形一的 數 值﹒ (1)2 ;(2)a 3 ﹐b 1 解答 解 (1) 由 週 析 圖知﹐ 期 為 5 2 2( ) 2 3 3 ﹒
(2) 因 (0, 1) 與(2 ,2) 為過點 3 ﹐ 所以 sin 0 cos0 1 2 2 sin cos 2 3 3 a b a b 1 3 1 2 2 2 b a b a 3 ﹐ b 1﹒ 解得 3.如 z 在 對應 的點 A 在 ﹐複數圖 平上面數複 單位 圓 外 ﹒ 下列 左邊 O 的 部 將 6 個 複數連到 它 們 在複數平面上所 對應 的點﹕ 解答 見 解析 解 析
設 z x yi r(cos isin )﹐x﹐y 為 r 1﹒ 實數﹐
(1) 因 z x yi﹐ 所 對應 的點為 D﹒ 為 以 (2) 因 z x yi ﹐ 為 所以 對 應 的點為 E﹒ (3) 因 為 1 1 (cos( ) isin( )) z r ﹐ 且 1 0 1 r ﹐ 所以 對 應 的點為 F﹒ (4) 因 z2 r2(cos2 isin2 )﹐ 且 r2 1﹐ 所 對應 的點為 B﹒ 為 以
(5) 因 i 1 (cos90 isin90)﹐ 所 i z r(cos(90 ) isin(90 ))﹐ 為 以
對應 的點為 C﹒ 因此﹐ 即 對 的關 係 示 應 如圖所 ﹕ 4.設 2 2 cos sin 5 5 z i ﹐ 求 z5 z6 z7 … z25 的 值﹒ 1 解答 解 析 利用等比級數公式﹐得 原 式 5(1 21) 1 z z z ﹒ 因 z5 cos2 isin2 1﹐ 所 原 為 以 式 1 (1 ) 1 1 z z ﹒
5.已 知 5 6 x 6 ﹐ 求 數 函 y cos2x sinx 1 的 最大值與最小值﹒ 解答 最大值 1 4 ﹐ 0 最小值 解 係 析 利用平方關 式 ﹐ 將函 數 改寫 為
y (1 sin2x) sinx 1 sin2x sinx (sinx 1 2 )2 1 4 ﹒ 因 為 5 6 x 6 ﹐ 所以 1 sin 1 2 x ﹒ 故y 有 最大值 1 4 ﹐ 最小值 2 1 1 (1 ) 2 4 0﹒ 6.已 4 2 知 ﹐ 且 25 sec csc 12 ﹐ 求 下列 各 式 的值﹕
(1)sin cos﹒ (2)sin3 cos3﹒
(1) 解答 1 5 ;(2) 37 125 解 (1) 因 析 為 25 sec csc 12 ﹐ 倒 所以由 數 關 係 式﹐得 1 1 25 cossin 12 12 sin cos 25 ﹒ 入 代
恆 等式 (sin cos )2 1 2sin cos﹐ 得
2 12 1 (sin cos ) 1 2 25 25 ﹒ 又 因為 4 2 ﹐ sin cos﹐因 所以 此 1 sin cos 5 ﹒ (2) 利 乘 用 法 公 式 ﹐ 得
sin3 cos3 (sin cos )(sin2 sin cos cos2 )
1 12 37 (1 ) 5 25 125 ﹒ 7.設 0 x 2﹐ 求 數y 2cos(3 x) 2cosx 3 函 的 最大值與最小值﹒ 1﹐ 最 5 解答 最大值 小值 解 析 將 數 為正 弦函 數的形式﹐得 函 化
2(cos cos sin sin ) 2cos 3
3 3
y x x x
3 sinxcosx3 2( 23sinx12cos ) 3x
2(sin cosx 6 cos sin ) 3x 6
2sin( ) 3 6 x ﹒ 因 0 x 2﹐ 所 2 1 3 1﹐ 最 2 ( 1) 3 5﹒ 為 為大最以值 小值為 8.描 下列 繪 各
函 其 最﹕值小最及值大﹑期 數並﹐形圖的 求 週 (1)y | sinx | (2)﹒ y cosx | cosx |﹒
(1) 圖 解答 見 週 見 週 析解 期﹐ 1﹐ 最 0;(2) 圖 解析 期 2﹐ 最 2﹐ 最 0 ﹐ 為值大最 為值小 ﹐ 大值為 小值為 解 (1) 因 析 為 sin , sin 0 | sin | sin , sin 0 x x y x x x 若 若 ﹐ y | sinx | 的 所以 圖形如圖﹕ 故其 週 期為 ﹐ 1﹐ 最 0﹒ 最大值為 小值為 (2) 因 為 2cos , cos 0 cos | cos | 0, cos 0 x x y x x x 若 若 ﹐ y cosx | cosx | 的 所以 圖形如圖﹕ 故其 週 期為 2﹐ 最 2﹐ 最 0﹒ 大值為 小值為 9.在 0 x 2 的 範 求 圍 內 ﹐ 方程式 sinx 3 cosx 的1 解﹒ 2 解答 或 7 6 解 析 將 式 成正 弦函 數的形式﹐得 方程 左 化 式 的 1 3
sin 3 cos 2( sin cos ) 2(sin cos cos sin ) 2sin( )
2 2 3 3 3 x x x x x x x ﹒ 代 回 方程式 原 ﹐ 得 2sin(x 3) 1 ﹐ sin( ) 1 即 3 2 x ﹒ 因 0 x 2﹐ 即 為 5 3 x 3 3 ﹐ 所以 3 6 x 或5 6 ﹐ x 2 解得 或7 6 ﹒ 10. 求 4 4 3i 的3 個 根 三次方 ﹐ 並 求 根 圍 面 積形 這3 個 在複 三 角的 ﹒ 數 平 所上面 解答 2 2(cos 9 2 sin ) 9 i ﹐2(cos8 9 8 sin ) 9 i ﹐2(cos14 9 14 sin ) 9 i ﹐ 3 3
解 析
設 ﹐中其 z r(cos isin )為 4 4 3i 的 根 r 0﹒ 方次三
因 4 4 3i 8( 12 23i) 8(cos 23 isin23) ﹐ 為
所 3 3 以
2 2
(cos3 sin 3 ) 8(cos sin )
3 3 z r i i ﹒ 於 是 3 8 2 3 2 3 r k 2 2 2 9 3 r k ﹐k 為 整 數﹒ 故 4 4 3i 的 根 三次方 為 2 2 2 2 2(cos( ) sin( )) 9 3 9 3 k k k z i ﹐ k 0 1 2﹐ ﹐ ﹒ 即 0 2 2 2(cos sin ) 9 9 z i ﹐ 1 2(cos8 sin8 ) 9 9 z i ﹐ 2 2(cos14 sin14 ) 9 9 z i ﹒ 三 根 圓 個三之形 頂 內 接 在複 徑 為半 2 的 正三 角 點﹒ 數 平 是恰上面 故 積 面 為 0 1 1 3 3 3 2 2 sin120 6 3 3 2 2 Oz z ﹒ 11. 在 0 x 4 範 圍內 ﹐ 方程式 求 1 sin 2 x 的 解﹒ 6 解答 ﹐ 5 6 ﹐ 13 6 ﹐ 17 6 解 析 由於「方程式 1 sin 2 x 的 根 實 數 」 與 「 y sinx 與 1 2 y 兩 圖形的交點數」相等﹐ 且 交點的 x 坐 標 根 就 是 方程式的實 ﹒ y = sinx y x 1 1 2 3 4 O y = 1 2 x1 x2 x3 x4 於 是由圖知﹕ (1) 因 0 x 4 範 y sinx 與 為在 圍內 1 2 y 兩 圖形有 4 個 交點﹐
所以方程式 1 sin 2 x 有 4 個 根 實 ﹒ (2) 由 x 坐 兩圖形交點的 標 根 ﹐ 得 4 個 為 x1 6 ﹐ 2 5 6 6 x ﹐ 3 2 13 6 6 x ﹐ 4 2 5 17 6 6 x ﹒ 12. 已 tan 與 cot 為 3x2 11x k 0 的 根 知 方程式 兩 ﹐ 求 (1) 實 k 的 (2)sin cos 的 數 值﹒ 值﹒ (1)3;(2) 解答 3 11 解 (1) 由 析 根 係 與 數﹐得 11 tan cot 3 ﹐tan cot 3 k ﹒ tan cot 1﹐ 所 k 3﹒ 因為 以 (2) 因 為 1 tan cot sin cos ﹐ sin cos 3 所以 11 ﹒ 13. 如 ABCD 的 下圖﹐已知正方形 邊 為 別 圓 半 畫弧 ﹐兩 弧 長 徑 1﹐ 分 以A 和 B 為 ﹑心 1 為 交於 E 點 求 ﹐ 鋪 色 區 的面 積 域 ﹒ 4312 解答 解 接AE ﹐BE ﹒ AE BE AB1﹐ 析 連 為因 所以 △ 角 ABE為 形﹐即 正三 ∠EAB 60°﹐∠DAE 90° 60° 30°﹒ 故 鋪 區 的面 積 色 域 為 扇
形 形 積 △ 積 ADE 的 積 ( 扇 BAE面 ABE面 ) 面
2 2 2 1 1 3 1 ( 1 1 ) 2 6 2 3 4 3 4 12 . 14. 在 複數平面上﹐所有 滿 足 方程式 什麼 圖形﹖ | z i | | z 1 |的 z﹐ 會 複數 形成
直線 解答 一 解 析 設 A(i) 與B( 1)為 複數平面上兩點﹒ 將 方 程 式 | z i | | z 1 |改 為| z (0 i) | | z ( 1 0i) |﹐ 寫 就 幾 意義來 表點﹐此方程式 點 距 故﹒所 足 方滿 數複的式程 說 離 有 何 P(z) 到AB 的 端 A﹐B 等 z﹐ 兩 會 AB 的 垂 形成 中 線 ﹐即所成 直線 ﹒ 圖 形 為一 [ 另 ] 解 設z x yi﹐x﹐y為 | z i | | z 1 |﹐所 | x (y 1)i | | (x 1) yi |﹒ 實數﹒因為 以 由 複數 絕 對 值的定 ﹐得 義 2 ( 1)2 ( 1)2 2 x y x y ﹐ 等 號兩 邊 整 得 方後﹐平 理 x2 y2 2y 1 x2 2x 1 y2 x y 0﹒ 再 因 x y 0 的 為 圖形為一 直 線 ﹐所以所有的複 直線 ﹒ 數 z 形 成的圖形為一 15. 求cos103 sin101 的 值﹒ 4 解答 解 析 原 式 3 1 2( sin10 cos10 ) 3 sin10 cos10 2 2
sin10 cos10 sin10 cos10
2(sin10 cos30 cos10 sin 30 ) 2sin( 20 )
1 1 sin 20 sin 20 2 2 4﹒ 16. 求 下 列 各 式的值﹕ (1)( 1 3 )i10 ﹒(2) 12 1 ( ) 3 i i ﹒(3)(1 3 )i 6 (1 3 )i 6 ﹒ (1)512 512 3i ;(2) 解答 1 64 ;(3) 1 32 解 (1) 因 1 3i 2( 12 23i) 2(cos 23 isin23) ﹐ 析 為 10 10 10 所以 20 20 2 2
( 1 3 ) 2 (cos sin ) 2 (cos sin )
3 3 3 3
i i i
(2) 因 為 1 1 2( ) 1 2 2 2(cos 45 sin 45 ) 2(cos30 sin 30 ) 3 3 1 2( ) 2 2 i i i i i i 2 (cos15 sin15 ) 2 i ﹐ ( 13ii)12 ( 22) (cos18012 isin180 ) 641 ( 1 0 ) i 641 ﹒ 所以 (3) 因 1 3i2(12 23i) 2(cos60 isin 60 ) ﹐ 為 1 3i2(21 23i) 2(cos( 60 ) isin( 60 )) ﹐ 所以
原 式 2 6(cos( 360) isin( 360)) 2 6(cos360 isin360)
1 1 1 (1 0 ) (1 0 ) 64 i 64 i 32 ﹒ 17. 求 下 列 各 式的值﹕ (1)cot3 (2) ﹒ 2 sec 3 (3) ﹒ 3 csc 2 ﹒ (1) 33 ;(2) 2;(3) 1 解答 解 析 利用 倒 式 算如下﹕ 數關 係 計 (1)cot3 的 意 是 思 cot(3 ) 弧度 ﹒ 因 3 弧 為
度 且 3 (180 ) 60 ﹐ tan3 tan 60 3 ﹒ cot3 13 33 ﹒ 以所
(2) 因 為 2 1 cos 3 2 ﹐ 所以 2 sec 2 3 ﹒ (3) 因 為 3 sin 1 2 ﹐ 所以 3 csc 1 2 ﹒ 18. 某 工 電 電 安 ）與時 秒 函 間 廠使 流 的 強 度流 y （ 培 t （ 可） 數 用 用 交 2 20sin(100 ) 3 y t 表 示 求 ﹒ (1) 當 7 120 t （ 秒 電 的 度﹒ 流 度 化 週 強 時） 流 強 (2) 電 y 變 的 期﹒ ﹐ (1)20 安 解答 培 ;(2) 1 50秒 解 (1) 將 析 7 120 t 代 入 2 20sin(100 ) 3 y t 中 ﹐得 35 2 13
20sin( ) 20sin 20sin 20 1 20
6 3 2 2 y ﹐ 即當 7 120 t （ 秒 電 的 度為 培 ）時 流 強 20 安 ﹒ ﹐
(2) 因 為此 函 期為 數的 週 2 1 100 50 ﹐ 所以 電 化 週 流強 度y 變 的 期為 1 50 秒 ﹒ 19. 下 圖為 函 部 數y asin(bx) c 的 分圖 a 0﹐b 0﹐ 求 數a﹐b﹐c 的 形 常 值﹒ ﹐ 中其 a 2﹐b 2﹐c 2 解答 解 函 析 由已知 數 圖 形 得 知 函 期為 ﹐ 數的 週 ﹒ 又 數y asin(bx) c 的 函 週 期為 2 b ﹐ 因此 2 b b 2﹐
即y asin(2x) c﹐ 因 1 sinx 1﹐且 a 0﹐ 所 a c asin2x c a c﹒ 為 以
又 由 函 圖 形 可知﹐ 最為大值的形圖數 4﹐ 最 0﹐ 因 a c 4 且 a c 0﹒ 小值為 此 解 a 2﹐c 2﹒ 得 故(a,b,c) (2,2,2)﹒ 20. 將 下 成 （ 輻式 取 輻 ）﹕ 列 各 數複 寫 極 角 主 角 (1)z1 1 3i ﹒ z(2) 2 1 i (3)﹒ z3 3 (4)﹒ z4 2i﹒ (1)2(cos3 isin )3 解答 ;(2) 2 5 (cos 4 5 sin ) 4
i ;(3)3(cos isin );(4)2(cos sin ) 2 i 2 解 (1) 由 z1的 析 圖﹐可得 向 與 輻 分 為 徑 主 角 別 |z1| 12( 3)2 2 ﹐Arg( )z1 3 ﹒ z1的 故 極 式為 1 2(cos sin ) 3 3 z i ﹒ (2) 由 z2的 圖﹐可得 向 與 輻 分 為 徑 主 角 別 |z2| ( 1) 2 ( 1)2 2 ﹐ 2 5 Arg( ) 4 z ﹒ z2的 故 極 式為 z2 2 (cos54 isin54) ﹒
(3) 由 z3的 圖﹐可得 向 與 輻 分 為 徑 主 角 別 2 2 3 |z | ( 3) (0) 3 ﹐Arg(z3) ﹒ z3的 故 極 式為 z3 3(cos isin )﹒ (4) 由 z4的 圖﹐可得 向 與 輻 分 為 徑 主 角 別 |z4| (0)2(2)2 2 ﹐Arg( )z4 2 ﹒ z4的 故 極 式為 4 2(cos sin ) 2 2 z i ﹒ 21. 已 扇 知 形 的 面 為 長 其 心 的 度﹒ 積 1﹐ 弧 為2﹐ 求 圓 角 弧 2 弧 解答 度 解 析 設 心 為 弧 半徑 為 圓 角 （ 度） r﹐ 則 ﹐ 2 1 1 2 2 r r j k 由 j k 得 1 1 1 2r 2 r ﹐ 入得 2 （ 代 弧 度） ﹒ 22. 設0 x ﹐求 數y3cosx 3 sinx5 的 函 最大值與最小值﹒ 8﹐ 最 5 2 3 解答 最大值 小值 解 析 將 數 為正 弦函 數的形式﹐得 函 化
1 3
2 3( sin cos ) 5 2 3(sin cos cos sin ) 5
2 2 3 3 y x x x x 2 3 sin(x 3) 5 ﹒ 因 為 2 3 x 3 3 ﹐ 3 sin( ) 1 所以 2 x 3 ﹒ 故 2 3 ( 23) 5 8 ﹐ 2 3 1 5 5 2 3 ﹒ 最大值為 最小值為 23. 在 0 x 2 範 圍內 ﹐ 求函 數y 2sin(6 x) 2cosx 的 最大值與最小值﹒ 2﹐ 最 2 解答 最大值 小值 解 析 先 角 利用 公式 把2sin(6 x) 差 展 開 ﹐ 得 1 3
2(sin cos cos sin ) 2cos 2( cos sin ) 2cos 3 sin cos
6 6 2 2 y x x x x x x x x ﹒ 然 化 後﹐再 成 正 弦函 數的形式﹐得 3 1
2( sin cos ) 2(sin cos cos sin ) 2sin( )
2 2 6 6 6 y x x x x x ﹒ 因 0 x 2﹐ 即 為 13 6 x 6 6 ﹐ 1 sin(x 6) 1 所以 ﹒ 當x 6 2 ﹐ 即 3 x 時 y 有 2﹒ ﹐ 最小值 當 3 6 2 x ﹐ 4 即 3 x 時 y 有 2﹒ ﹐ 最大值 24. 利 y sinx 的 用 圖形 畫 的並﹐形圖數 求 週 列下出各 函 其 及值小最﹑值大最期﹕ (1)y sinx 1﹒ y= sinx y x 1 1 2 3 4 2 O (2)y sin(x 2) ﹒
y= sinx y x 1 1 2 3 4 2 O (1) 圖 解答 見 期 見 析解 0﹐ 最 2﹐ 週 2 ;(2)圖 解析 1﹐ 最 1﹐ ﹐ 值小為 ﹐ 小值為 最 最 大值為 大值為 週 期 2 解 (1) 如 (x0,y0) 在 y sinx 上 麼 點那 (x0,y0 1) 就 y sinx 1上 析 點果 ﹐ 在 ﹒ 因此 只 要 將 向 y sinx 的 下平 移1 單 y sinx 1的 圖形 到可得就位 圖形﹐如圖﹕ y = sinx y x 1 2 1 2 2 3 4 2 O y = sinx 1 0﹐ 最 2﹐ 週 所以其最大值為 小值為 期 為 2﹒ (2) 如 (x0,y0) 在 y sinx 上 麼 點那 (x0 2, )y0 果點 ﹐ 就 sin( ) 在 2 y x 上 ﹒ 因此 只 要 將 向左 平 y sinx 的 移2 圖形 單 y sin(x 2) 位就可得到 的 圖形﹐如圖﹕ 2 52 2 3 2 3 2 7 2 y = sin x2 y = sinx y x 1 1 2 3 4 2 O 1﹐ 最 1﹐ 週 所以其最大值為 小值為 期 為 2﹒ 25. 求 5 10 ( 3 ) (1 ) i i 的 值﹒ 12 23i 解答
解 3 i 2(cos30 isin 30 ) ﹐1 i 2(cos( 45 ) isin( 45 )) ﹐ 析 為因 所以
原 式 32(cos150 sin150 ) 32(cos( 450 ) sin( 450 )) i i cos600° isin600°
cos240° isin240° 12 23i ﹒ 25. 如 圖﹐ 矩 磚塊斜靠 在 形 牆壁 上﹐ 且AB2 3 ﹐BC2 ﹐ OAB x （0 x 2 ） ﹒ (1) 將C 點 到地面的 距 離 以 示 距離 為 求 x 表 ﹒(2) 已 C 點 2 3 ﹐ x﹒ 知 的面到地 (1)2 3 sinx 2cosx;(2)6 解答 解 (1) 自C 作 OB 的 析 直線 垂 ﹐ 交 線 且 直線 OB 於E﹒ CBE 180 90 (90 x) x﹐ 因為 C 點 所以 到地面的 距 離 為 OE OB BE 2 3 sinx 2cosx﹒ (2) 依 題 ﹐可列 得 意 2 3 sinx2cosx2 3 ﹒ 將 式 成正 弦函 數的形式﹐得 方程 左 化 式 的
2 3 sinx2cosx4( 23sinx21cos ) 4(sin cosx x 6 cos sin ) 4sin(x 6 x6) ﹒
回原 方程式﹐ 4sin(x 6) 2 3 代 得 ﹐ sin( ) 3 即 6 2 x ﹒ 0 x 2 因為 ﹐ 2 即 6 x 6 3 ﹐ x 6 3 所以 ﹐ 解得 6 x ﹒ 27. 已 z 的 知複數 主 角 輻 是 2 3 ﹐ 部 實 為 虛 ﹒ 2﹐ 求 z 的 部 2 3 解答 解 z 的 析 因為 主 角 輻 是 2 3 ﹐ 設 所以可 2 2 (cos sin ) 3 3 z r i ﹐ r 0﹒ 又 因 為 為 z 的 部 2﹐ 所 實 以 2 1 cos 2 ( ) 2 3 2 r r ﹐ 解得 r 4﹒
故z 的 虛 為 部 4sin23 4 23 2 3 ﹒ 28. 已 知 2 ( 4 3 ) (2 )(1 2 ) i z i i ﹐ 求 | z | 的 值﹒ 5 解答 解 極 析 由 式 的 乘 法公式﹐ 推 法與 除 得 2 2 | 4 3 | 5 | | 5 | 2 ||1 2 | 5 5 i z i i ﹒ 29. 如 O 為 圖﹐已知
原 形﹐ 求 標﹒ 點﹐ A(2,1)﹐AOB 60﹐OB2OA ﹐ 且OABC 為 邊 B 點 C 點 坐 四平行 與 的
B(2 3, 1 2 3) ﹐C( 3,2 3) 解答 解 先 析 如圖﹐ 以 點 逆 針 旋向轉 將 延 O 為 將 A(2 i) 依 時 方 60﹐ 得 A﹔再 OA以O 為 長2 中心﹐ 點 中心 倍 後 法的 幾 義 ﹐意 算 ﹐ 就 得可 B 點 乘 何 計 ﹒利用數複 (2 i) 2(cos60 isin 60 ) (2 i) (1 3 ) (2i 3) (1 2 3) i ﹐ 得B 的 坐 標為 (2 3, 1 2 3) ﹒ 又 由 減 向量 的 法﹐得 OC OB OA
