高一下第二次學藝競試數學題庫(40)

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1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P1/26

單元 1~單元 5

一、單選題

1. ( )設<an>、<bn>都是等差數列,試問下列何者是等比數列? (A)<an + 2> (B)<3an> (C)<an + bn> (D)<2an> (E)<an2>

【龍騰自命題】

解答 D

解析 設 an = a1 + (n − 1)d,bn = b1 + (n − 1)t。 (A)an + 2 = (a1 + 2) + (n − 1)d,首項 a1 + 2,公

d (B)3an = 3a1 + (n − 1)3d,首項 3a1,公差3d (C)an + bn = (a1 + b1) + (n − 1)(d + t),首項 a1 + b1,公差d + t (D)2an2a1 (n1)d2a1(2 )d n1是首項2a1,公比2d的等比數列

(E)若<an> = <n>,則<an2> = <n2>,顯然<an2>非等比數列

2. ( )有 8 個座位排成一排,今甲、乙、丙三人選完全不相連(即兩兩分開)的位子而坐,則 有多少種坐法? (A)4! (B)5! (C)6! (D)7! (E)8! 【龍騰自命題】 解答 B 解析 甲、乙、丙一人先拿走一張椅子,再將 3 人的椅子插入剩下的 5 張椅子的 6 個空隙, 故所求 6 3 120 5! P    (種) 3. ( )設(1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn,且2a4 = 3an − 6,則正整數n 為何值? (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 (E)12 【龍騰自命題】 解答 B 解析 4 4n aC6 n 6 6n n n aC C , 所以2C4n 3 C6n⇒2 ! 3 ! ( 4)! 4! ( 6)! 6! n n n n        ⇒ 2 3 (n4)(n5)6 5 ⇒ n 2 − 9n = 0 ⇒ n = 9(0 不合) 4. ( )一列火車有 7 節車廂,車廂號碼 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,今有兩對夫婦同時上火車。此四人剛 好選坐兩節車廂而且是一對夫婦在一節車廂,另外一對夫婦選坐另一節車廂,則共有多 少種選法? (A)49 (B)21 (C)42 (D)84 (E)13 【龍騰自命題】 解答 C 解析 所求P72  7 6 42(種) 5. ( )有 6 位旅客欲參加旅遊,一共有五家旅行社及四種路線可以選擇,每個人都必須選一家 旅行社及一種路線,則此6 位旅客共有幾種不同的選擇? (A)69 (B)96 (C)56 × 46 (D)65 × 46 (E)56 + 46 【龍騰自命題】 解答 C 解析 由乘法原理知:共有 56 × 46種選擇

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1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P2/26 6. ( )將 5 種不同的酒,倒入 4 個不同的酒杯,每杯都要倒酒,且只准倒入一種酒,則有多少 種倒法? (A)9 (B)20 (C)625 (D)1024 (E)24 【龍騰自命題】 解答 C 解析 每一個酒杯有 5 種酒可選擇, 故倒法有5 × 5 × 5 × 5 = 54 = 625 種 7. ( )5 男 4 女排成一列,且 4 位女士完全不相鄰的排法共有多少種? (A)9! (B)5! × 4! (C) 5 4 5! P (D) 6 4 5! P (E) 9 4 5! P 【龍騰自命題】 解答 D 解析 先排男生,再將女生插空隙, 故所求 6 4 5! P   (種) 8. ( )將三個 0,三個 1 以及二個 2 作成八位數,則共可排出多少個八位數? (A)350 (B)400 (C)450 (D)500 (E)550 【龍騰自命題】 解答 A 解析 (任意排列) − (0 在首位) 8! 7! 560 210 350 3! 3! 2! 2! 3! 2!          9. ( )A = {(x , y) | 3x − y = 1 且 2x + y = 4},B = {(x , y) | x − y = a 且 2x − y = b},若 A = B,下列 何者為真? (A) a = − 1 (B) b = 1 (C) a + b 為偶數 (D) a + b > 0 (E) a − b > 0 【龍騰自命題】 解答 A 解析 3 1 2 4 x y x y        ,所以(x , y) = (1 , 2),因此 A = {(1 , 2)},B = {(1 , 2)}, 又 1 2 1 2 2 2 0 a x y b x y             

 ,故a = − 1,b = 0,a + b = − 1 為奇數,a + b < 0,a − b = − 1 < 0

10. ( )將 abscissa 八個字排成一列,若 b, c, i 的順序不變,則排法共有多少種? (A)240 (B)360 (C)560 (D)720 (E)1440 【龍騰自命題】 解答 C 解析 將 b, c, i 先看成同一字,記為□, 再將aasss□□□排成一列, 故排法有 8! 560 2! 3! 3!   種 5 5 5 5

(3)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P3/26 11. ( )設 A = {(x , y) | x + y = 3},B = {(x − y , x + y) | 2x − y = 5},則 A ∩ B = (A){7, 1 2 2} (B){(2, 2 7  )} (C){(1 , − 2)} (D){( 7 1 , 2 2)} (E){( − 1 , − 2)} 【龍騰自命題】 解答 D 解析 令 x − y = a, 2 a b x   y b x  , 2 b a y  , 代入2x − y = 5 得 3a + b = 10, B = {(a , b) | 3a + b = 10} = {(x , y) | 3x + y = 10}, 解 3 7 3 10 2 x y x x y          , 1 2 y  ,故A B {(7, 1 2 2)} 12. ( )設 A = {x | f (x) = 0},B = {x | g (x) = 0},C = {x | h (x) = 0},D = {x | k(x) = 0},則聯立方 程式

   

   

0 0 f x g x h x k x         之解集合為 (A) ~ (A ∪ B) ∩ (C ∩ D) (B) ~ (A ∪ B) ∪ (C ∩ D) (C) ~ (A ∩ B) ∩ (C ∩ D) (D) ~ (A ∩ B) ∪ (C ∩ D) (E) ~ (A ∪ B) ∩ (C ∪ D) 【龍騰自命題】 解答 E 解析 f (x) × g (x) ≠ 0 為 f (x) × g (x) = 0 之反面,故其解為~ (A ∪ B),而 h (x) × k (x) = 0 之解為 C ∪ D,故原聯立方程式之解集合為~(A ∪ B) ∩ (C ∪ D) 13. ( )下列各命題,何者是正確的? (A)四邊形 ABCD 中,若AB CD// ,則此四邊形為一平行 四邊形 (B)一直線與一圓至少會有一個交點 (C)若△ABC 為等腰三角形,則ABAC

(D)若△ABC 為正三角形,則∠A = 60° (E) x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3

【龍騰自命題】

解答 D

解析 (A)另一雙對邊亦須平行,才能是一平行四邊形 (B)一直線與一圓可能有 0 個、1 個、2

個交點 (C)等腰△ABC 中,∠B =∠C 時,才能得ABAC

(E) x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3 或 x = −1

14. ( )一等差數列<an>中,a8 = 65,a20 = − 31,令 Sn = a1 +…+ an,且Sn有最大值時,n 值為 (A)15 (B)16 (C)17 (D)18 (E)20 【龍騰自命題】 解答 B 解析 設公差是 d, 8 1 20 1 7 65 19 31 a a d a a d           ,得 1 121 8 a d       , 故an = 121 + (n − 1) × ( − 8) = 129 − 8n, Sn有最大值時,an ≥ 0 且 an + 1 < 0,即 129 − 8n ≥ 0 且 129 − 8(n + 1) < 0 ⇒ n = 16

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1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P4/26 15. ( )數列<an>,滿足 a1 = 2,an + 1 = 1 1an ,則a1000的值為 (A) 2 (B) − 1 (C) 1 2 (D) 0 【龍騰自命題】 解答 A 解析 a1 = 2,a2 = − 1,a3 =1 2,a4 = 2,a5 = − 1,a6 = 1 2,…, 由循環性知每3 個一循環,1000÷3 = 333…1,故 a1000 = 2 16. ( )實數等比數列<an>的前 n 項和為 Sn,且S9S357 倍,試問公比 r 的值可為下列哪一 個數? (A)2 (B) − 2 (C)3 (D) − 3 (E) − 4 【龍騰自命題】 解答 B 解析 (I)若 r = 1 ⇒ S9S3的3 倍,不合。 (II)r ≠ 1 ⇒ 1 9 9 (1 ) 1 a r S r    , 3 1 3 (1 ) 1 a r S r    ⇒ 9 1 3 1 (1 ) 1 57 (1 ) 1 a r r a r r     ⇒ 3 3 6 3 (1 )(1 ) 57 1 r r r r    ⇒ r6 + r3 − 56 = 0 ⇒ (r3 + 8)(r3 − 7) = 0 ⇒ r3 = − 8 或 r3 = 7, r∈ℝ ⇒ r = − 2 或37 17. ( )圖中 A、B、C 表示三集合,U 是宇集,試問灰色的區域是哪一選項?

(A)A′∩B∩C (B)A∩B′∩C (C)A∩B∩C′ (D)A′∩B′∩C′ (E)A′∩B′∩C

【龍騰自命題】 解答 C 解析 灰色區域為 A∩B∩C′ 18. ( )小華、小明兩人各擲一顆公正的骰子,並約定如下:若小明只要丟出 6 點就算小明獲 勝,小明丟出非6 點且兩人同點數時小華獲勝,其餘的情形以點數大者獲勝,則小華獲 勝的情形有幾種? (A)20 (B)21 (C)22 (D)23 (E)24 【龍騰自命題】 解答 A 解析 小華獲勝的情況有以下二種情形: (I)兩人同點數且非 6 ⇒ 5 種; (II)小華點數比小明大 ⇒6 5 15 2  , 故共有5 + 15 = 20 種情形小華獲勝 A B C

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1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P5/26 19. ( )級數1 (1 1 ) (1 1)(1 2 ) (1 2 )(1 3 ) (1 29)(1 30) 30 30 30 30 30 30 30             的和為 (A)890 99 (B) 899 90 (C) 899 99 (D) 89 90 (E) 89 99 【龍騰自命題】 解答 B 解析 原式 1 30 30   (30 × 29 + 29 × 28 + 28 × 27 +…+ 2 × 1 + 1 × 0) 1 (29(29 1) 28(28 1) 27(27 1) 1(1 1)) 30 30           1 2 2 2 [(29 28 1 ) (29 28 1)] 30 30          1 (29 30 59 29 30) 899 30 30 6 2 90        20. ( )設 A = {x | x2 − 3x + 2 > 0},B = {x | x2 + ax + 1 > 0},若 A ∪ B = R,試求實數 a 的範圍為 何? (A) a > 1 (B) a > 0 (C) a > 2 (D) a > − 2 (E) a > 3 【龍騰自命題】 解答 D 解析 由 x2 − 3x + 2 > 0 ⇒ x > 2 或 x < 1, 所以A = {x | x > 2 或 x < 1}, 今欲使A ∪ B = R 則 B 中必包含 1 ≤ x ≤ 2, {x | 1 ≤ x ≤ 2}⊂ B = {x | f (x) > 0}, 所以f (1) > 0 且 f (2) > 0, f (1) > 0 且 f (2) > 0 ⇒ a > − 2 且 5 2 a  ⇒ a > − 2 為所求 21. ( )設 A = {2x + 6y | x, y∈ℤ},B = {x + 7y | x, y∈ℤ},C = {4x + 8y | x, y∈ℤ},則 (A) A ⊃ B ⊃ C (B) C ⊃ A ⊃ B (C) B ⊃ C ⊃ A (D) B ⊃ A ⊃ C (E) A ⊃ C ⊃ B 【龍騰自命題】 解答 D 解析 A 為 2 的整數倍數所成的集合,B 為所有整數的集合,C 為 4 的整數倍數所成的集合, B ⊃ A ⊃ C 22. ( )等差數列< an >的前 n 項和 Sn的最大值為S7,且| a7 | < | a8 |,則使 Sn > 0 的 n 的最大值為 (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 (E) 16 【龍騰自命題】 解答 B 解析 依題意,顯然 a1 > 0,d < 0, 因為| a7 | < | a8 |,所以 a8 ≠ 0,又 Sn的最大值為S7,所以a7 ≥ 0,a8 < 0 ⇒ 1 1 1 1 6 0 7 0 6 ( 7 ) a d a d a d a d              ⇒ 13 1 6 2 a d     ,

(6)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P6/26 Sn = [2 1 ( 1) ] 2 n and = na1 + 2 n (n−1)d = 2 d n2 + (a1− 2 d )n > 0 ⇒ n2 + (2a1 1 d)n < 0,因為 n ≥ 1,所以 n + ( 1 2 1 a d  ) < 0 ⇒ n < 1−2a1 d ,又 1 13 6 2 a d     ,所以12 ≤ 2a1 13 d   ⇒ 13 ≤ 1−2a1 14 d  ,故n 的最大值為 13 23. ( )A、B 皆為有限集合,n(A) = m,n(B) = n,若 n (A ∪ B)的最大值為 p,最小值為 q,n (A ∩ B)的最大值為 r,最小值為 s,則 p + q + r + s = (A) m + n (B) m2 + n2 (C) mn (D) m2n2 (E) 2(m + n) 【龍騰自命題】 解答 E 解析 由題意知,s = 0,p = m + n,q = m + n − r, 所以p + q + r + s = (m + n) + (m + n − r) + r = 2(m + n)

24. ( )若數列<an>的定義如下:a1 = 5,an + 1 = 2an + 3,則 a12為下列哪一個數? (A)1021 (B)2045 (C)4093 (D)8189 (E)16381 【龍騰自命題】 解答 E 解析 設 an + 1 + k = 2(an + k) ⇒ an + 1 = 2an + k ⇒ k = 3, 所以原遞迴關係式可改為(an + 1 + 3) = 2(an + 3), 令bn = an + 3 ⇒ bn + 1 = 2bn, 即<bn>為等比數列且公比為 2,首項 b1 = a1 + 3 = 5 + 3 = 8 ⇒ bn = b1 × 2n − 1 = 8 × 2n − 1 = 2n + 2an = bn − 3 = 2n + 2 − 3 ⇒ a12 = 214 − 3 = 16381 25. ( )由 1~12 的十二個數字中,任取三個相異數,則此三數恰成等差數列的取法有多少種? (A)20 (B)26 (C)30 (D)32 (E)36 【龍騰自命題】 解答 C 解析 設此三數為 a,b,c 成等差 ⇒ a + c = 2b 為偶數, 所以a,c 二數為二奇或二偶(此時 b = 2 ac ) ⇒ 取法有 6 6 2 2 CC = 15 + 15 = 30 種 26. ( )U = {x | 20 ≤ x ≤ 100, x 為正整數},A = {2x | x 為正整數},B = {3x | x 為正整數},C = {5x | x 為正整數},且 A ⊂ U,B ⊂ U,C ⊂ U,則 n (A ∪ B ∪ C) = (A)58 (B)59 (C)60 (D)61 (E)62

【龍騰自命題】

解答 D

解析 因為 A ⊂ U,所以 20 ≤ 2x ≤ 100 ⇒ 10 ≤ x ≤ 50 ⇒ n(A) = 41, 同理n(B) = 27,n(C) = 17,

因為A ⊂ U,B ⊂ U,C ⊂ U,所以(A∩B) ⊂ U,(B ∩ C) ⊂ U,(A ∩ C) ⊂ U,

(A ∩ B ∩ C) ⊂ U,A ∩ B = {6x | 20 ≤ 6x ≤ 100} ⇒ n (A ∩ B) = 13, 同理n (B ∩ C) = 5,n (A ∩ C) = 9,n (A ∩ B ∩ C) = 3,

(7)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P7/26 二、多選題 1. ( )下列哪一個數列是等比數列? (A) < − 2 , 4 , − 8 , 16 , − 32> (B) <5 , 5 , 5 , 5 , 5> (C) <1 , − 1 , 1 , − 1 , 1> (D) <16 , 24 , 36 , 54 , 81> (E) <2 , 4 , 6 , 8 , 10> 【龍騰自命題】 解答 ABCD 解析 (A)公比= − 2 (B)公比= 1 (C)公比= − 1 (D)公比 3 2 

2. ( )設數列<an>滿足 an + 1 = 2an + 1,試問下列哪些選項是正確的? (A)若 a1 < − 1,則 a3 < − 1 (B)若 an = 1,則 an + 2 = 7 (C)若 a1 ≠ 1,則數列< − 1 + an>是一個等比數列 (D)若 a1 ≠ − 1,則數列<1 + an>是一個等比數列 (E)數列<an + 1 − an>是一個等差數列

【龍騰自命題】

解答 ABD

解析 設 an + 1 + k = 2(an + k) ⇒ an + 1 = 2an + k ⇒ k = 1,即原遞迴關係式可改為 an + 1 + 1 = 2(an +

1)。 (A)a3 + 1 = 2(a2 + 1) = 2[2(a1 + 1)] = 22(a1 + 1),所以當 a1 < − 1 時 ⇒ a3 + 1 < 0,a3 < − 1 (B)an + 2 + 1 = 22(an + 1) = 8 ⇒ an + 2 = 7 (C)舉反例:取 a1 = 2 ⇒ a2 = 5,a3 =

11,此時 − 1 + 2,− 1 + 5,− 1 + 11 非等比數列 (D)an + 1 + 1 = 2(an + 1),令 bn = an + 1

⇒ bn + 1 = 2bnb1 = a1 + 1 ≠ 0,所以<bn>為等比數列,即<an + 1>為等比數列 (E)舉反

例:取a1 = 2 ⇒ a2 = 5,a3 = 11,a4 = 23 ⇒ <an + 1 − an> = <5 − 2,11 − 5,23 − 11,…> =

<3,6,12,…>,此時<an + 1 − an>不是等差數列 3. ( )從 1, 2, 3, 4, …, 20 等 20 個數中,取出 3 個相異數,試問下列的選法,哪些是正確的? (A)任意選的選法有 1140 種 (B)三數都不是相鄰的整數的選法有 816 種 (C)三數為連 續的三個整數的選法有18 種 (D)三數由小到大排列成等差數列的選法有 90 種 (E)三數中,恰有兩個數為連續的整數的選法有 306 種 【龍騰自命題】 解答 ABCDE 解析 (A)○: 203 20 19 18 1140 3 2 1 C       (B)○: 18 3 18 17 16 816 3 2 1 C       (C)○:C181 18 (D)○:a, b, c 成等差 ⇔ 2b = a + c,故 a + c 要為偶數 ⇒ 選法有 10 10 2 2 45 45 90 CC    種 (E)○: 18 2 2 1 306 CC4. ( )設三相異實數 a, b, c 成等差數列,三相異實數 d, e, f 成等比數列,試問下列哪些選項必 為真? (A)2020a × 2020c = 20202b (B)若 d > 0,e > 0,f > 0,則e df (C)若 d, e, f 三數中的 f 為最大,則 d 為最小 (D)若 a + b > 0,則 b + c > 0 (E)若 d + e + f < 0,則 d < 0 【龍騰自命題】 解答 ABE 解析 (A)真:因為 a, b, c 成等差,所以 a + c = 2b,故 2020a × 2020c = 2020a + c = 20202b (B) 真:因為d, e, f 成等比,所以 e2 = df,又 d > 0,e > 0,f > 0 ⇒e df (C)假:舉反例:令 d = 2,e = − 4,f = 8,此時 e = − 4 為最小 (D)假:舉反例:令 a = 3,b = − 1,c = − 5,此時 a + b = 2 > 0,但 b + c = − 6 < 0 (E)真:證明如下:設公比為 r ⇒ d + e + f = d + dr + dr2 = d(1 + r + r2),又因為 1 + r + r2恆正,且d(1 + r + r2) < 0,故 d < 0

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1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P8/26

單元 6

一、單選題 1. ( )在同一個樣本空間中,甲事件發生的機率為 0.7,乙事件發生的機率為 0.5,甲或乙發生 的機率為0.9,則甲和乙同時發生的機率為下列哪一個數? (A)0.1 (B)0.3 (C)0.35 (D)0.45 (E)0.5 【龍騰自命題】 解答 B 解析 P(甲∪乙) = P(甲) + P(乙) − P(甲∩乙) ⇒ 0.9 = 0.7 + 0.5 − P(甲∩乙) ⇒ P(甲∩乙) = 1.2 − 0.9 = 0.3 2. ( )有 5 本相異的書,其中英文課本 2 本,數學課本 2 本,國文課本 1 本,若將其隨意疊在 一起,試問同一科目的書都不相鄰的機率為下列哪一個數? (A)1 5 (B) 2 5 (C) 3 5 (D)4 5 (E) 1 10 【龍騰自命題】 解答 B 解析 設英文課本相鄰的事件為 A, 數學課本相鄰的事件為B, ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 4! 2! 4! 2! 3! 2! 2! 5! 5! 5! P ABP AP BP AB        48 48 24 3 120 120 120 5     , 故所求 1 ( ) 1 3 2 5 5 P P AB    3. ( )作某項科學實驗共有三種可能結果 A,B,C,其發生的機率分別為 PA = loga, 1 2 log B Pa , 1 3 log C Pa ,其中a > 0,試問 PA的值為下列哪一個選項? (A) 6 11 (B) 3 11 (C) 2 11 (D) 5 6 (E) 2 3 【龍騰自命題】 解答 A 解析 a10PA, 1 2 10PB a  , 1 3 10PC a  ⇒ 2 3 10PA 10PB 10PC a   ⇒ PA = 2PB = 3PC, 又PA + PB + PC = 1 ⇒ 1 1 1 2 3 A A A PPP  ⇒11 1 6PA ⇒ 6 11 A P4. ( )將 5 個不同的球,全部任意投入 3 個不同的籃框,則恰有一個籃框沒有球的機率為下列 哪一個數? (A)10 81 (B) 32 81 (C) 5 27 (D) 10 27 (E) 32 243 【龍騰自命題】 解答 D 解析 3 5 1 5 5 (2 2) 3 30 10 3 3 27 C P     

(9)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P9/26 二、填充題 1. A,B 表樣本空間S中的二事件,且 ( ) 1 4 P AB  , ( ) 3 4 P AB  , ( ) 2 3 P A  ,求 (1) P(A′) = ____________。 (2) P(B) = ____________。 【龍騰自命題】 解答 (1)1 3 (2)1 3 解析 (1) ( ) 1 ( ) 1 2 1 3 3 P A  P A    。

(2) 由於 P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) ⇒3 2 ( ) 1

4 3 P B 4⇒ 1 ( ) 3 P B  。 2. 設樣本空間 S = {1,2,3,4,5,6,7},事件 A = {1,2,3},則 S 的事件中與 A 互斥的有____________個。 【龍騰自命題】 解答 16 解析 與 A = {1,2,3}互斥的事件為 S − A = {4,5,6,7}的子集, 故有 4 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4 2 16 CCCCC   個。 3. 一粒不公正的骰子上的點數為 1,1,1,2,2,3,連續擲此骰子兩次,則兩次點數和為 4 的機率 為____________。 【龍騰自命題】 解答 5 18 解析 將樣本空間列舉出來,如下: 1 1 1 2 2 3 1 2 2 2 3 3 ④ 1 2 2 2 3 3 ④ 1 2 2 2 3 3 ④ 2 3 3 3 ④ ④ 5 2 3 3 3 ④ ④ 5 3 ④ ④ ④ 5 5 6 故機率為10 5 3618。 4. 若袋中有同式樣的黑襪與紅襪各三雙,自袋中任取 6 隻,則 6 隻恰可成兩雙的機率為 ____________(同色不分左右隻)。 【龍騰自命題】 解答 118 231 解析 6 隻恰可成兩雙:取到「5 黑 1 紅」或「3 黑 3 紅」或「1 黑 5 紅」, 故 6 6 6 6 6 6 5 1 3 3 1 5 12 6 472 118 924 231 C C C C C C P C         。

(10)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P10/26 5. 投擲一粒公正的骰子二次,設第一次出現 a 點,第二次出現 b 點,則聯立方程式 2 1 3 4 x ay bx y        有唯 一解的機率為____________。 【龍騰自命題】 解答 8 9 解析 因為樣本空間 S 中的元素有 6 × 6 = 36 個, 當聯立方程式有唯一解時,得2:a ≠ b:3,即 ab ≠ 6, A 表聯立方程式有唯一解的事件,則 A = S − {(1,6),(2,3),(3,2),(6,1)}, 因為n(A) = n(S) − 4 = 36 − 4 = 32,故所求機率 ( ) 32 8 36 9 P A   。 6. 若將「probability」這個字的字母任意排列,則 (1) 兩個 b 相鄰的機率為____________。 (2) 相同字母都不相鄰的機率為____________。 【龍騰自命題】 解答 (1) 2 11 (2)37 55 解析 (1) 任意排列的排列數 = 11! 2!2! ,兩個b 相鄰的排列數 = 10! 2! , 所以兩個b 相鄰排列的機率 = 10! 2! 11! 2!2! = 2 11。 (2) 設 b 相鄰的排列形成 A 集合,i 相鄰的排列形成 B 集合, n(A) = n(B) =10! 2! ,n(A ∩ B) = 9!, 所以n(A ∪ B) = 2 ×10! 2! − 9! = 10! − 9! = 9 × 9!, 故相同字母都不相鄰排列的機率 = 1 − ( 9 9! 11! 2!2!  ) = 1 −18 55= 37 55。

(11)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P11/26

單元 7

一、單選題 1. ( )設袋中有 2 紅球,3 白球。自袋中每次取一球,取後再放回。若連續取球 6 次,取到紅 球時每次均有100 元獎金,則得獎金的期望值為何? (A)600 元 (B)400 元 (C)240 元 (D)200 元 (E)120 元 【龍騰自命題】 解答 C 解析 E 100 2 6 240 5     2. ( )某種彩券每張售價為 100 元,總共發行 10000 張,其中有 1 張獎金 200000 元,有 100 張獎金1000 元,有 1000 張獎金 100 元,則買彩券 1 張,可得獎金期望值為 (A)40 元 (B)60 元 (C)80 元 (D)100 元 (E)120 元 【龍騰自命題】 解答 A 解析 200000 1000 100 1 100 1000 10000 10000 10000 獎金 機率 1 100 1000 200000 1000 100 20 10 10 40 10000 10000 10000 E          (元) 3. ( )丟一顆不公正的四面體骰子,上面的點數分別為 1,2,3,4,且各點數出現的機率如 表,若丟擲一次,出現的點數期望值為47 20,則b 的值為下列哪一個數? 1 2 3 4 1 1 3 5 a b 點數 機率 (A)11 60 (B) 13 60 (C) 17 60 (D) 19 60 (E) 23 60 【龍騰自命題】 解答 B 解析 (I)1 1 1 7 3      5 a b a b 15, (II) 1 1 2 1 3 4 47 3 4 97 3 5 20 60 E     ab  ab , 由(II) − (I) × 3 97 21 13 60 15 60 b    

(12)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P12/26 4. ( )某賭博遊戲的獎金期望值為 5 美元,若換成新臺幣(1 美元換成 30 元新臺幣),則期望 值為新臺幣多少元? (A)5 (B)150 (C) 5 30 (D)25 (E)無法確定 【龍騰自命題】 解答 B 解析 設原來的期望值 E = x1 × P1 + x2 × P2 + … + xk × Pk = 5(美元), 其中xi美元為獎金,Pi為其機率 ⇒ 新臺幣獎金的期望值 E′ = 30x1 × P1 + 30x2 × P2 + … + 30xk × Pk = 30(x1 × P1 + x2 × P2 + … + xk × Pk) = 30 × 5 = 150(元) 5. ( )對於三位數 abc,定義|a − b| + |b − c|為此三位數的長度,例如:132 的長度為 3。將 1, 2,3 三個數字隨機排成三位數(數字不重複),則此三位數長度的期望值為下列哪一個 數? (A)2 (B)7 3 (C) 8 3 (D)3 (E) 10 3 【龍騰自命題】 解答 C 解析 123 2 132 3 213 3 231 3 312 3 321 2 三位數 長度 所以 2 2 3 4 8 6 6 3 E     6. ( )箱中有三顆紅球與三顆白球。一摸彩遊戲是從箱中隨機同時抽出兩顆球。如果抽出的兩 球顏色不同,則得獎金100元;如果兩球顏色相同,則無獎金。請問此遊戲獎金的期望 值為何﹖ (A)20元 (B)30元 (C)40元 (D)50元 (E)60元 【SUPER 講義,99 學測】 解答 E 解析 期望值 3 3 1 1 6 2 100 C C 60 E C     (元)

(13)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P13/26 7. ( )袋中有 4 紅球 3 白球,一次取一球,取後不放回,今逐一取到紅球取完為止,則取球次 數的期望值為下列哪一個數? (A)5.8 (B)6 (C)6.2 (D)6.4 (E)6.6 【龍騰自命題】 解答 D 解析 (I)RRRR ⇒ 4 3 2 1 1 7 6 5 4 35 P        , (II) ⇒ 4 3 3 1 7 5 4! 4 35 C C P P     (III) ⇒ 5 3 3 2 7 6 4! 10 35 C P P P     (IV) ⇒ 6 3 7 7 4! 3! 20 35 C P P     所以 4 1 5 4 6 10 7 20 4 20 60 140 224 6.4 35 35 35 35 35 35 E              (次) 二、多選題 1. ( )編號 1 的 2 個球,編號 2 的 2 個球,編號 3 的 2 個球置於同一袋內(這 6 個球大小相 同)。今自袋中一次任取3 球,x 表取出的 3 球編號的和,下列何者正確? (A)滿足 x = 3 的機率為 0 (B)滿足 x = 4 的機率為 0.1 (C)滿足 x = 5 的機率與滿足 x = 7 的機率相等 (D)滿足 x = 8 的機率為 0.2 (E)x 的期望值為 6 【龍騰自命題】 解答 ABCE 解析 1,1,2,2,3,3 (A)無法取 3 次,號碼和 = 3,所以 P = 0 (B)x = 4:(1,1,2), 2 2 2 1 6 3 2 1 0.1 20 10 C C P C     (C)x = 5:(1,1,3)或(1,2,2), 2 2 2 1 6 3 2 2 10 C C P C     x = 7:(2,2,3)或(1,3,3), 2 2 2 1 6 3 2 2 10 C C P C     所以機率相等 (D)x = 8:(2,3,3), 2 2 1 2 6 3 2 1 0.1 20 10 C C P C      (E)x = 6:(1,2,3), 2 2 2 1 1 1 6 3 4 10 C C C P C     4 5 6 7 8 1 2 4 2 1 10 10 10 10 10 號碼和 機率 1 2 4 2 1 4 10 24 14 8 4 5 6 7 8 6 10 10 10 10 10 10 E                R 3R1W R 3R2W R 3R3W

(14)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P14/26 三、填充題 1. 一副 52 張的撲克牌中(共四種不同花色,每種花色有 13 張,點數分別是 A,2,3,…,10,J, Q,K), (1) 任意抽出 3 張,則此 3 張為同花色的機率為____________。 (2) 若每次只抽一張,抽出後又放回去,如此抽了 5 次,則紅心抽出次數的期望值為____________ 次。 【龍騰自命題】 解答 (1) 22 425 (2)5 4 解析 (1) 機率 4 13 1 3 52 3 22 425 C C C    (2) 每種花色機率都相等,為1 4, 所以期望值 5 1 5 4 4    。 2. 袋中有編號 1,2,3,…,20 號的球各 1 顆,共 20 顆,每一顆球被取出的機會均等,今自袋中 任取2 球,則取出 2 球編號差之絕對值的期望值為____________。 【龍騰自命題】 解答 7 解析 20 20 20 20 2 2 2 2 1 2 3 19 19 18 17 1 P C C C C 差的絕對值 20 20 20 20 2 2 2 2 19 18 17 1 1 2 3 19 E C C C C           又1 × 19 + 2 × 18 + 3 × 17 + … + 19 × 1 = 1 × (20 − 1) + 2 × (20 − 2) + 3 × (20 − 3) + … + 19 × (20 − 19) = 20(1 + 2 + 3 + … + 19) − (12 + 22 + 32 + … + 192) 19 (1 19) 19 (19 1) (38 1) 20 3800 2470 1330 2 6             , 所以 20 2 1330 1330 7 190 E C   

(15)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P15/26

單元 8

一、單選題 1. ( )附圖為臺灣某年 SARS 疫情病例累計趨勢統計圖(3 月 31 日到 5 月 31 日)﹕ 從4 月 22 日到 5 月 14 日共 23 天的每日平均新增病例數,最接近下列哪一個值﹖ (A)11 (B)14 (C)17 (D)20 (E)23 【SUPER 講義】 解答 C 解析 由表中資料看出,4月22日與5月14日累計病例數約為100與500(略少),共增加約400 人。 因此每日平均增加病例數為400 17 23  2. ( )有三組學生,各包括 4、3、2 人,其平均身高分別為 164、169、170 公分,則這三組學 生的平均身高為多少公分? (A)166 (B)167 (C)168 (D)169 (E)170 【龍騰自命題】 解答 B 解析 4 164 3 169 2 170 656 507 340 167 4 3 2 9             (公分) 3. ( )若有一組資料 x1x2x3x44,其 μ = 8,標準差 = 6。若將資料 4 除去,剩下四個數 的標準差為σ,則下列哪一個選項是正確的? (A)3 ≤ σ < 4 (B)4 ≤ σ < 5 (C)5 ≤ σ < 6 (D)6 ≤ σ < 7 (E)7 ≤ σ < 8 【龍騰自命題】 解答 D 解析 (I)x1 + x2 + x3 + x4 + 4 = 5 × 8 ⇒ x1 + x2 + x3 + x4 = 36, 所以x1,x2,x3,x4的算術平均數 36 9 4    , (II)x12 + x22 + x32 + x42 + 42 = 5(82 + 62) ⇒ x12 + x22 + x32 + x42 = 484, (I)(II) ⇒ x1,x2,x3,x4的標準差 2 484 4 9 160 40 4 4       , 即6 ≤ σ < 7

(16)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P16/26 4. ( )有 8 個數的全距、算術平均數、中位數及唯一的眾數皆為 8,則下列何數不可能為此 8 個數中最大的數?(全距為資料中最大數與最小數的差) (A)11 (B)12 (C)13 (D)14 (E)15 【龍騰自命題】 解答 E 解析 (A)舉例:3,7,8,8,8,9,10,11 (B)舉例:4,6,7,8,8,9,10,12 (C)舉 例:5,6,7,8,8,8,9,13 (D)舉例:6,6,6,8,8,8,8,14 (E)若最大數為 15,則最小數為 7,又唯一的眾數為 8 ⇒ 8 至少有 2 個,所以 8 個數由小到大為 7,a, b,8,8,c,d,15,但 7 + a + b + 8 + 8 + c + d + 15 > 64,故算術平均數大於 8,不合 5. ( )某班 41 位學生數學段考成績不佳,平均分數 48 分,標準差 8 分,老師決定將成績以 y = ax + b 的方式加分(其中 x 為原分數,y 為加分後分數,a > 0),將成績提高到平均分 數60 分,標準差 9 分,按照這個計算方式,該班學生小熹加分後分數將超過 100 分, 則小熹原分數至少為多少分?(原分數皆為整數) (A)76 (B)78 (C)82 (D)84 (E)88 【龍騰自命題】 解答 D 解析 設 Y X Y X a b y ax b a              ,因為σX = 8,σY = 9,所以 9 9 8 8 a a      , 但a > 0,所以 9 8 a , 又μX = 48, 60 60 9 48 6 8 Y b b         ,所以 9 6 8 yx , 設原分數x 分(x 為整數), 依題意 9 6 100 8x    9 94 83.56 8x x     ,取x = 84 即為所求 6. ( )某班 15 位同學某次小考的數學平均為 50 分,標準差為 20 分。數學老師決定每位同學 增加20 分,但其中兩位同學的原始分數為 90 分及 100 分,調整後皆以 100 分計算,而 其餘同學調整後都未超過100 分,則調整後的標準差 σ 滿足下列哪個選項? (A)15 < σ ≤ 16 (B)16 < σ ≤ 17 (C)17 < σ ≤ 18 (D)18 < σ ≤ 19 (E)19 < σ ≤ 20 【龍騰自命題】 解答 A 解析 (I)15 × (50 + 20) − (10 + 20) = 1020, 所以調整後平均為1020 ÷ 15 = 68, (II)因為 2 (x12 x22 xn2) n 2 n         , 所以x12 + x22 + … + xn2 = n(μ2 + σ2), 故調整後15 位同學分數的平方和為 15(702 + 202) − 1102 − 1202 + 1002 + 1002 = 73000, 故調整分數後 73000 15 682 3640 728 243 15 15 3        , 即15 < σ < 16

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1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P17/26 二、多選題

1. ( )一組資料 x1x2,…,xn的算術平均數為μx,標準差為σx,若yi = axi + b,a ≠ 0,且資y1y2,…,yn的算術平均數為μy,標準差為σy,則下列敘述哪些是對的? (A)x1 + x2 + … + xn = n × μx (B)|x1 – μx| + |x2 – μx| + … + |xn – μx| = 0 (C)x12 + x22 + … + xn2 = n × (μx2 + σx2) (D)σy = |a| × σx (E)μy = a × μx + b

【龍騰自命題】 解答 ACDE 解析 (A) 1 2 1 ( ) x x x xn n      ⇒ x1 + x2 + … + xn = n × μx (B)當 xi不全相等時 ⇒ |x1 – μx| + |x2 – μx| + … + |xn – μx| ≠ 0 (C) 2 2 2 2 2 ( 1 2 n ) x x x x x n n         ⇒ x12 + x22 + … + xn2 = n(μx2

+ σx2) (D)因為 yi = axi + b ⇒ σy = |a| × σx (E)因為 yi = axi + b ⇒ μy = aμx + b

三、填充題 1. 十位學生在罰球線上投籃 10 次,投中次數分別為 3,2,8,5,7,2,3,4,9,5,此組數據的 中位數為____________次。 【龍騰自命題】 解答 4.5 解析 由小到大依序排列為 2,2,3,3,4,5,5,7,8,9, 所以中位數 4 5 4.5 2    (次)。 2. 九位學生的抽考成績分別為 30,40,60,50,70,80,60,90,60, (1) 這九個分數的中位數為____________。 (2) 這九個分數的標準差為____________。 【龍騰自命題】 解答 (1)60 (2)20 7 3 解析 (1) 分數由小至大排列:30,40,50,60,60,60,70,80,90, 所以中位數 = 60。 (2) 算術平均數 1 (30 40 60 50 70 80 60 90 60) 60 9            , 所以標準差 1 2 2 2 [(30 60) (40 60) (60 60) ] 9        1 (900 400 0 100 100 400 0 900 0) 9           2800 20 7 9 3   。

(18)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P18/26 3. 有一數列 10,2,5,2,17,2,x。若將此數列的算術平均數、中位數及眾數依照大小次序排 列,恰好形成一公差大於0 的等差數列,試問所有可能的 x 之總和為____________。 【龍騰自命題】 解答 22 解析 數列:2,2,2,5,10,17,x, (I)x < 2 ⇒ 算術平均數 38 7 x   , 2 2     中位數 眾數 相等,所以不合, (II)2 ≤ x ≤ 5 ⇒ 算術平均數 38 7 x   ,中位數 = x,眾數 = 2, 所以2,x,38 7 x  成等差數列 ⇒2 2 38 7 x x   ⇒ x = 4, (III)x > 5 ⇒ 算術平均數 38 7 x   ,中位數 = 5,眾數 = 2, 所以2,5,38 7 x  成等差數列 ⇒10 2 38 7 x    ⇒ x = 18, 故由(I)(II)(III) ⇒ 所求 = 4 + 18 = 22。

(19)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P19/26

單元 9

一、單選題 1. ( )兩變量xy的數據如下表: x 1 2 3 4 y 2 4 6 8 則xy的相關係數為 (A)0 (B)0.8 (C)1 (D)0.8 (E)1 【SUPER 講義】 解答 E 解析 因為xy的散布圖皆落在直線y 2x上,所以xy的相關係數為1 2. ( )全班 50 位同學的第一次月考與第二次月考數學分數的相關係數為 0.86。因為第二次月 考的分數普遍偏低,且最高分不超過80 分,因此老師決定每人加 20 分,再重新計算相 關係數,則新的相關係數為 (A)0.86 + 20 (B)0.86 20 50  (C)0.86 × 20 (D)0.86 20 50  (E)0.86 【龍騰自命題】 解答 E 解析 設第一次月考成績為 x, 第二次月考原成績為y,加分後為 z ⇒ z = y + 20, 所以 20 x x z y       ,故rxz = rxy = 0.86 3. ( )圖中去掉哪一點後,其相關係數會變大? (A)A (B)B (C)C (D)D (E)E 【龍騰自命題】 解答 B 解析 去掉 B 點後,其餘 4 點比較接近一直線,則相關係數變大

(20)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P20/26 4. ( )某飲料店根據過去的銷售紀錄,當每日最高氣溫在22 C 到39 C 時,該日飲料的銷售量與 當天的最高氣溫之相關係數為0.99,部分紀錄如下表: 最高氣溫C 25 27 29 31 33 35 銷售量(杯) 205 257 303 356 408 464 已知某日最高氣溫為38 C ,依據上述的資訊推測,試問該日飲料的銷售量應接近下列哪 個選項? (A)490杯 (B)520杯 (C)542杯 (D)616杯 【SUPER 習作簿】 解答 C 解析 若以最高氣溫當橫軸,銷售量當縱軸,作散布圖時,因為相關係數為0.99,所以散布圖 的所有點會相當靠近一條斜率為正的直線L。觀察紀錄表中銷售量的變化: 最高氣溫C 25 27 29 31 33 35 銷售量(杯) 205 257 303 356 408 464 52  46 53 52 56 得知:最高氣溫每增加2 C ,銷售量約增加52杯。 因此,直線L的斜率約為52 26 2  。 令38 C 時的銷售量為x杯。由直線斜率的定義,得 464 26 38 35 x  , 解得x542 5. ( )下圖為變數 X 與 Y 的散布圖,試問下列哪個選項的直線最有可能是依最小平方法所得 YX 的迴歸直線? (A) (B) (C) (D) (E) 【龍騰自命題】 解答 D 解析 由散布圖來看可知應是負相關,故迴歸直線的斜率應為負;再考慮滿足平方和最小的條 件

(21)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P21/26 6. ( )關於散布圖的敘述,選出正確的選項。 (A)若各數據點全落在一直線上,表示兩變量呈 現完全正相關或完全負相關 (B)若以

 x, y

當作原點,各數據點多半集中在第一、三 象限,表示兩變量呈現正相關 (C)若各數據點散布上、下、左、右均成對稱,表示兩變 量為零相關 (D)若各數據點散布在一平行x軸的直線上,表示兩變量呈現完全正相關 (E)散布圖上各數據點的迴歸直線,其斜率恰等於相關係數 【SUPER 習作簿】 解答 C 解析 (A)錯誤:若為鉛直線或水平線,則為零相關 (B)錯誤:反例: x 1 2 1 2 10 10 y 2 1 2 1 10 10 0 x y    ,第一、三象限的數據點比第二、四象限的數據點多,但是兩變量呈現負相 關 (C)正確 (D)錯誤:若平行x軸,表示兩變量為零相關 (E)錯誤:當兩變量的標準 差相等時方有此性質 二、多選題 1. ( )某校高一共有500位學生,數學科與英文科的第一次段考成績分別以xy表示,且每位 學生的成績用0至100評分。已知這兩科成績的相關係數為0.03,選出正確的選項。 (A)xy的相關情形可以用散布圖表示 (B)這兩科成績適合用直線yax b 表示xy 的相關情形(ab為常數,a0) (C)x5與y5的相關係數仍為0.03 (D)5x5y 的相關係數仍為0.03 (E)若 x x x x      y y y y      ,其中x,y分別為xy的平均 數,x,y分別為xy的標準差,則x與y的相關係數仍為0.03 【SUPER 講義】 解答 ACDE 解析 (A)○ (B)╳:相關係數太低,∴不適合 (C)○:rx5,y5 rx y,  0.03 (D)○:r5 ,5x yrx y, 0.03 (E)○ 三、填充題 1. 若有一組(xi,yi),i = 1,2,…,10,算出標準差 σ x = 1, σ y = 5,若 y 對 x 的迴歸直線方程式為 y = 3x + 5,則 x 與 y 的相關係數 r = ____________。 【龍騰自命題】 解答 0.6 解析 因為 y 對 x 的迴歸直線為 y y ( x) x yrx        即y = 3x + 5,所以 y 3 x r     σx = 1,σy = 5,所以 5 3 1 r  ⇒ 3 0.6 5 r  。

(22)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P22/26 2. 有 A,B,C,D 四位學生參加性向測驗與成就測驗,其成績如表,求 代 號 A B C D 性向測驗(x) 1 8 4 7 成就測驗(y) 2 4 2 8 (1) 兩者的相關係數 r = ____________。(求到小數第二位) (2) y 對於 x 的迴歸直線方程式為____________。 【龍騰自命題】 解答 (1)0.67 (2)y = 0.6x + 1 解析 (1) 1

1 8 4 7

5 4 x       , 1

2 4 2 8

4 4 y       , : 4 i x x   ,3,− 1,2,yiy :2,0,− 2,4, 8 0 2 8 18 xy S      ,Sxx    16 9 1 4 30,Syy    4 0 4 1624 所以 18 30 24 r  ≈ 0.67。 (2) 設 y 對於 x 的迴歸直線方程式為 y = mx + k,其中 18 3 30 5 xy xx S m S    又ymxk⇒ 3 4 5 5 k    ⇒k = 1,故 3 1 0.6 1 5 yx  x 。 3. 一行銷顧問公司為了解各商店電視廣告是否對其營業有幫助,所以隨機抽取七家商店得到資料如 表,若廣告次數與營業額的相關係數 b c a  (a,b,c ,且(a,b,c) = 1),則 a + b + c = ____________。 商 店 一 二 三 四 五 六 七 廣 告 次 數 2 5 1 3 4 1 5 月營業額(萬 元) 24 28 22 26 25 24 26 【龍騰自命題】 解答 94 解析 令 x 表廣告次數,y 表月營業額, 2 5 1 3 4 1 5 3 7 x          , 24 28 22 26 25 24 26 25 7 y          , 2 2 2 2 2 2 2 (2 3) (5 3) (1 3) (3 3) (4 3) (1 3) (5 3) 18 xx S                , Syy = (24 − 25)2 + (28 − 25)2 + (22 − 25)2 + (26 − 25)2 + (25 − 25)2 + (24 − 25)2 + (26 − 25)2 = 22, (2 3)(24 25) (5 3)(28 25) (1 3)(22 25) (3 3)(26 25) xy S             + (4 − 3)(25 − 25) + (1 − 3)(24 − 25) + (5 − 3)(26 − 25) = 17, 所以 17 17 17 11 66 18 22 6 11 xy xx yy S r S S       , 所以a = 66,b = 17,c = 11,故 a + b + c = 94。

(23)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P23/26

單元 10

一、單選題 1. ( )設∠A 為銳角,tan 1 3 A ,則 sin 2cos 3sin 4cos A A A A  (A)2 (B) 2 15 (C) 7 15 (D) 7 50 (E) 1 2 【龍騰自命題】 解答 C 解析 由圖 ⇒sin 1 10 A ,cos 3 10 A 所以所求 1 6 7 10 10 3 12 15 10 10    

2. ( )求 tan60°sin45° + cos60°的值為 (A) 3 2

2  (B) 3 1 2  (C) 2 1 2  (D) 6 1 2  (E) 6 2 2  【龍騰自命題】 解答 D 解析 原式 3 2 1 6 1 2 2 2      3. ( )一直角三角形的斜邊長為 1,一內角為 40°,則其斜邊上的高為何? (A)sin240° (B)cos240° (C)tan240° (D)sin40° × cos40° (E)sin40° × tan40°

【龍騰自命題】

解答 D

解析 設△ABC 中,∠A = 90°,∠B = 40°,且ADBCD 點

⇒ 斜邊上的高ADABsin 40 (BCcos 40 ) sin 40   cos 40sin 40

A

(24)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P24/26 4. ( )如圖,AB5,∠BCA =∠CAD = 90°,且∠ABC = α,∠ADC = β,則CD之長為下列哪

一個選項? (A)5sin cos   (B) 5cos sin   (C) 5 tan tan   (D)5sin sin   (E) 5cos cos   【龍騰自命題】 解答 D 解析 (I)AC sin AB   ⇒ACABsin5sin, (II)AC sin CD ⇒ 5sin sin sin AC CD      , 故 5sin sin CD   

5. ( )設 H 為△ABC 三高的交點,若以 b 表CA的長度,則線段AH 的長度等於 (A) cos cos

b A

B

(B)bcosA × cosB (C) cos

sin

b A

B (D)bcosA × tanB (E)bsinA × tanB

【龍騰自命題】 解答 C 解析 △ACD 中,cosA AD b  ⇒AD b cosA, △AHD 中,∠AHD =∠B, sin( AHD) AD AH   ⇒ cos sin b A AH B6. ( )△ABC 中,∠C = 90°,∠A = 40°,CD垂直ABD,已知AB,求CD

(A) α sin40°cos40° (B) α tan40°sin40° (C) α tan40°cos40° (D) α sin240° (E) α cos240° 【龍騰自命題】 解答 A 解析 △ABC 中,sin 40 BC AB   ⇒BC  sin 40, △BCD 中,sin 50 CD BC

  ⇒CDBCsin50 sin 40 sin50  sin 40 cos 40 

A

C B

D

(25)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P25/26 二、多選題

1. ( )設 θ 為銳角,則下列何者正確? (A)sin tan 2 1 tan      (B) 2 tan cos 1 tan      (C)sin 1 2 1 tan     (D) 2 1 cos 1 tan   

 (E)sincos 1 tan 2

【龍騰自命題】 解答 AD 解析 令 tan θ = t,則 2 1 AB t , 2 2 tan sin 1 1 tan BC t AB t         , 2 2 1 1 cos 1 1 tan AC AB t        , 2 1 tan sin cos 1 tan         三、填充題 1. 如圖,坐標平面上一點 P (2 , 3),且PQx軸於Q 點,分別求 (1) sin∠POQ = ____________。 (2) cos∠POQ = ____________。 (3) tan∠POQ = ____________。 【龍騰自命題】 解答 (1)3 13 13 (2)2 13 13 (3)3 2 解析 2 2 2 2 2 2 3 13 OPOQPQ    ⇒OP 13 (1) sin 3 3 13 13 13 PQ POQ OP     。 (2) cos 2 2 13 13 13 OQ POQ OP     。 (3) tan 3 2 PQ POQ OQ    。 x y O Q P(2,3)

(26)

1082 高一數學 第 2 次學藝競試題庫@ MATH-SHINMIN P26/26 2. 如圖,梯形 ABCD 中,AD CD 5,BC10,θ 為銳角,且sin 4 5   ,求cosθ = ____________。 【龍騰自命題】 解答 5 5 解析 如圖,作DEBCE,作AFBCF, 4 sin 5   ⇒DE 4 AFCE3, 所以BF   10 5 3 2, 2 2 2 4 2 5 AB   , 故cos 2 1 5 5 2 5 5    。 3. 長為 5 公尺的竹竿,斜靠在垂直地面而高為 3 公尺的牆頭,有部分伸出牆外。假設竹竿與地面夾 角為 θ ,竹竿伸出牆外部分(牆的厚度不計)於日正當中時,在地面的影長為 a 1 tan + bcos θ, 其中a、b 為常數,則 (1) a = ____________。 (2) b = ____________。 【龍騰自命題】 解答 (1) − 3 (2)5 解析 所求DCFB, △AEC 中,AC5sin, 所以ABACBC5sin3, △AFB 中, 1 tan FB AB  , 所以 1 (5sin 3) 1 5cos 3 1

tan tan tan

FB AB   DC          , (1) a = − 3。 (2) b = 5。 A D B C A D B F E C 2 5 5 2 5 4 4 5 3 牆 =3 C D E A B F 5 3

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參考文獻

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