平面應變 虎克定律與平面應力

§ Hooke’s Law for Plane Stress 1.x、y、z 方向上的合應變： x 1 ( x y) E      ； y 1 ( y x) E      ； z ( x y) E       Hooke’s law in shear：

G

xy xy

  

The stresses in terms of the strains：

( ) 1 2 x y x E _{ }      ； ( ) 1 2 y x y E _{ }      ； xy Gxy

Ref：Mechanics of Materials by James M.Gere & Barry J. Goodno, 7th ed. 2.G 與 E 之關係 ) 1 ( 2   E G 一般材料 2 1 ~ 0   ，∴一般而言 3 ~ 2 E E G

3.Special Cases of Hooke’s Law

(1)雙軸向應力(biaxial stress)：_xy 0  x 1 ( x y) E      ； y 1( y x) E      ； z ( x y) E        ( ) 1 2 x y x E _{ }      ； ( ) 1 2 y x y E _{ }      (2)單軸向應力(uniaxial stress)：_y 0  E x x    ； E x z y      ； _x E_x (3)純剪應力(pure shear)：_x _y 0 _x _y _z 0 ； G xy xy   

4.Volume Change

(1)volume change：V V₁V₀ abc(_x _y _z)V₀(_x _y _z)

(2)unit volume change： _{x y z}

V V e     0 以應力表示單位體積變化(biaxial stress)： 1 2 ( ) 0 y x E V V e       5.Strain-energy Density 應變能密度u為單位體積之應變能： 0 V U u   u



_x_x _y_y _xy_xy



2 1 以應力表示應變能密度：





G E u x y x y xy 2 2 2 1 2 2    2  以應變表示應變能密度：





2 2 ) 1 ( 2 2 2 2 2 xy y x y x G E u           

§ Hooke’s Law for Triaxial Stress

1.三軸向應力的應變方程式： x ( _{y z}) x E E         ； _y y ( _{z x}) E E         ； z ( _{x y}) z E E        

The stresses in terms of the strains：



(1 ) ( )



) 2 1 )( 1 ( x y z x E _{    }          ；



(1 ) ( )



) 2 1 )( 1 ( y z x y E _{    }         



(1 ) ( )



) 2 1 )( 1 ( z x y z E _{    }          2.Volume Change(三軸向應力)

unit volume change： x y z

V V e     0 以應力表示單位體積變化(triaxial stress)： 1 2 ( ) 0 z y x E V V e        3.Strain-energy Density(三軸向應力) 應變能密度u為單位體積之應變能： 0 V U u   u



_x_x _y_y _z_z



2 1 以應力表示應變能密度：



_{x y z}

 

_{x y x z y z}



E E u  2 2 2        2 1 以應變表示應變能密度：









x y z

 

x y x z y z





E u                       1 2 ) 2 1 )( 1 ( 2 2 2 2

§ Plane Strain

1.平面應力與平面應變之比較：

Ref：Mechanics of Materials by James M.Gere & Barry J. Goodno, 7th ed.

2.應變符號與正負慣例： (1)正向應變(normal strain)：_x指作用在元素的x方向上；_y指作用在元素的 y 方向上。 拉伸(拉應變)為正，壓縮(壓應變)為負。 (2)剪應變( )的正負慣例：兩正面(或兩負面)之間的夾角減小時，元素內的剪應變為正；兩正 面(或兩負面)之間的夾角增大時，元素內的剪應變為負。 ※正面：某一面的向外法向量朝向座標軸的正方向稱之為正面，反之則稱為負面。 3.平面應變變換方程式：( 逆時針轉為正)         sin2 2 2 cos 2 2 1 xy y x y x x      ；      cos2 2 2 sin 2 2 1 1y x y xy x     _x _y _x_y 1 1 4.主應變(principal strains)：最大與最小的正向應變稱為主應變。 2 2 2 , 1 2 2 2 _                x y x y xy  1  、2：稱為最大與最小主應變

5.最大剪應變(maximum shear strain)： x y xy _   R

              2 2 2 2 2 1 2 2 max       6.最大剪應變方向上的(平均)正向應變： 2 y x aver     

7.主角(principal angle)_p：與主平面或主軸線之夾角。 y x xy p       2 tan 8._p與_s之關係：_s _p 45 9.平面應力變換方程式與平面應變變換方程式之對應變數

stresses strains

x   x y   _y xy   _xy/2 1 x   1 x  1 1y x   /2 1 1y x  Sol：

Ref：Mechanics of Materials by James M.Gere & Barry J. Goodno, 7th ed.

Sol：

Sol：

Sol：

Sol：