臺北市立建國高級中學數學科
問題編號912601
(1)試判斷 2003x2004x泊的x2006+1 是否為完 全平方數?請詳述。 (2) 若一個數如上題形式(例 :4的 x6x7+1,
"的9x100x lO1+ 1) ,試證明此數是否為完全平方數。
參考解答一:
(1)
2003x2004x2005x2006+1
=(2004
2
-1
)x(2005
2明1)+ 1
=2004
2
x2005
2
-(2004
2
+2005
2
)+2
2004
2
+2005
2
=(2005-2004) 2+2x2004x2005
=1+2x2004x2005代入上式得 2004
2x2005
2-(2004
2
+2005
2
)+2
=2004
2
x2005
2
“(1+2x2004x2005)+2
=2004
2x2005九2x2004x2005+1
=(2004x2005-1 )2
所以 2003x2004x2005x2006+1 是完全平方數。(2)
令 a,b 為整數且 b=a+l '將上題形式改寫為(a-l )x(b-l )x(a+ 1)x(b+ 1)+ 1
依(1)作法得(a
2-1 )x(b
2
-1)+ 1
主a
2xb
2-(a2+b2)+2
= a2xb2-((b-a)2+2ab)+2
=a
2
xb
2
-
(1
+2ab)+2
= (ab)2-2ab+l=(ab-l)2
得5費
所以形如 kx(k+1)x(k+2 )x(
k+
3)+
1 的數(k 為整 數)為完全平方數O參考解答二:
(1)
2003x2004x2005x2006+1
=(2003
2
+ 3x2003 )x(2003
2
+3x2003+2)+ 1
=(2003 2+3x2003)2+2(2003
2
+3x2003)+ 1
=(2003 2+ 3x2003+ 1)2
所以 2003x2004x2005x2006+1 是完全平方數。
(2)
設止七形式為kx(k+l)x(k+2)x(k+3)+1'
k 為整數kx(k+ l)x(k+2)x(k+3)+ 1=k
4+6k
3+ llk
2
+6k+ 1
設一整數為 k
2+ak+l
'
a為整數
得( k2+a
k+
1)2=k
4+2ak
3+(2+a
2
)k2+2ak+
1 為完
全平方數
若 k
4+6k
3+ 11 k2+6k+ 1 為完全平方數,
則a有解且k
4+2ak
3+(2+l)k
2+2ak+1 與其對應
的各項係數相等=>
a=3
所以 kx(k+1)x(
k+
2)x(k+3)+
1 為k
2+3k+ l 的完
全平方數。
推廣:設 n 為首數, m 為公差, n ,m 為整數nx(n+m)x(n+2m)x(n+3m)+m
4=(n
2
+3nm)x(n
2
+ 3nm+2m
2
)+m
4=(n2+ 3nm)2+2m2(n
2+3nm)+m
4=(n2+3nm+m2)2
則符合上述形式者皆為完全平方數。 解題重點: 展開後用平方不口的形式來觀察是否為一完全 平方數,再以未知數帶入整理出完全平方數 -44 一的樣子,反向來推敲若為一平方數則形式必 相同(如解二)亦可。 評析: 本題徵答人數共有 194 人,答對者共 141 人, 平均得分為 6.34 分。其中答題優良或解法富 參考價值者有台北市興雅國中盤且至同學、 台北縣江翠團中蛙主畫同學、區建主同學、 積穗國中重區去同學、福和國中重呈恆星同 學、基隆市銘傳國中盟且里同學。 問題編號
912602
在數線上取出 2003 個相異點,使這些點 皆落在 O 到 1 之間,為了方便起見,小武便 將第 1 個點編號為aj' 第 2 個點編號為a2'...
,
第 2003 個點編號為 a2003(這些點是隨機取出 的,所以此編號沒有按照大小順序) ,小雄想 了想文將這 2003 個點從小排到大再編號,形 成一組新的點列 bl
'b2 ' '"
,
b2003
'且滿足 。<bj<b2<...<b2003<1
0 這時一旁的小民說 :r 你 們知道嗎?這兩組的數列所包含的數是一樣 的。」大家都點點頭,小民接著文說: r 而且一定可以找到一個an及b
k
使得
( l-b
k
)xa
n
星
j
晴 ! J 哇!大家都愣住了,過一會兒大家都 露出恍然大悟的表情。 請問:他們的理由是什麼呢?試證明之。(提 示:此題可用鴿籠原理)參考解答一:
先將 O 到 l 的數線等分作兩段 AB 去討論。A
B
o
1/2
45
中學生通訊解題第二十六期題目參考解答與評析 (1)若 2003 個點在 AB兩段中皆有分布,則可 取 A 段中的一點 an 及 B 段中的一點 bk
=>
(l-b
k
)州三 j 成立。
(2) 若 2003 個點皆分布在A段中,則可取an=bk
1 ,1 . . ?=>
(l-bk
)xan
星 (1 -bk
)xbk
=
"4 -
(2" -
bkY
豆 j =>(1.bdxan 手 i 成立。
(3) 若2003 個點皆分布在 B段中,則同
(2)
=>
(1
-b
州至
i
成立。
由
(1 )(以3)
,
(1 -bk)xan 豆 j ,得證。
參考解答二: 、erJ 、3 AU AU 司L LU 吋 FL 但 LU LU ra. , 4 ‘.' 一=一 、erJ 3 仇U AU 司 La
'
弓 La
'a
r--'
,‘ .. 從 aj ,鈍,... ,
a2003 中任取→數丸,必可從數 列bj
,
b2' ...
,
b2003
中找到一數坑,使得比這丸, 1三 k 三三2003'
1 手 n 三至 2003 (1卜-屯仇州仿b川川k
kρ吵州,»0 三 (Gt -→吭
b
k
)2
...
(什l卜.巾仇州
川kρ)
b
k
以糾an 手寸j
,
得證
O 解題重點: 可用鴿籠原理分堆判斷,取得適當點予以證 明。 評析: 本題徵答人數共有 27 人,其中全對者共 13 人。平均得分為 5.03 分 O 其中答題優良或解 法富參考價值者有北市興雅國中挂E歪歪同 學、基市銘傳國中盟盟里同學。問題編號
912603
四邊形 ABCD 內接於一圖 '0 為lit圓圓心 'M
為對角線 AC 與 BD 之交點 'N 為對邊中點 連線的交點,如圖~ 0 試證明 OM 孟 ON 。B
圖一 參考解答: 作AC 與 BD 中點 E 、 F 連接四邊形 PQRS 與 QESF 三>PQRS 與 QESF 皆為平行四邊形 =>N 為 EF 的中點=> OE +OF
三三 20N 一---(1) 連接OE 與OF AC 與 BD 為圖上兩弦且 E 、 F 分別為AC 與 BD 之中點=> AC
-.t OE 且 BD-.t
OF
=> OM
三三 OE' OM
二三 OF=>20M
孟 OE+OF
----一一一一一---(2) 由(1 )(2)=>
20M 全 OE +OF 孟 20N=>
OM 這 ON '得5墅。D
B
圖
解題重點: 以弦心距為最短距離可觀察出 OM 、 OE OF 三者間的大小關係'後由中點連線段平行底邊且為底邊長的一半得知 N 為 SQ 及
PR 的中點,再製造出平行四邊形並利用其 特性得到 N 為 EF 的中點,得出 ON 、 OE OF 三者間的關係。 評析:本題徵答人數共有 4 人,其中全對者共 2 人。
平均得分為 3.50 分。其中答題優良或解法富 參考價值者有台北縣福和國中單盟主同學。 問題編號912604
若1為一正整數, a,、 a2 、...、 an為n{固不同的數。 老將a,、 a2 、...、亂重新排列成,b ,、 h 、...、恥,試問:應女回可#防止持自吏 I bl-~
I
+
I
~-b3
I
+
I
br b
4I
+...+
I
bn-1-
br,
I
+
I
bn-bl
I 之值為最大?
參考解答: 將 a ,、 a2 、...、 an按遞增順序重新排列成 Cl 、 C2 、...、丸,flDcl <C2 <...
<Cn且 {a ,、 a2 、-46
an}={Cl 、 C2 、...、 Cn}