3-4-3圓與球面-球面方程式

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(1)第三冊 4-3 圓與球面-球面方程式【定義】球面的定義：空間中與一定點(球心)等距離(半徑)的點所成的圖形。球面的方程式-標準式：給定球心 O( x0 , y 0 , z 0 ) ，半徑正數 r ，則球面方程式為 ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = r 2 。球面的方程式-一般式：球面方程式 ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = r 2 均可化成型如. x 2 + y 2 + z 2 + dx + ey + fz + g = 0 ，稱為球面的一般式。注意此種形式並不一定為球面。 d 2 + e2 + f 2 − 4g ，則：若球面 x 2 + y 2 + z 2 + dx + ey + fz + g = 0，設判別式為 ∆ = 4 1. 若 ∆ < 0 ，則表一球面。 2. 若 ∆ = 0 ，則表空間中一點。 3. 若 ∆ > 0 ，則無圖形。球面的方程式-直徑式：以 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y 2 , z 2 ) 為直徑之球面方程式為 ( x − x1 )( x − x2 ) + ( y − y1 )( y − y 2 ) + ( z − z1 )( z − z 2 ) = 0 。球面的方程式-直徑式：球面 ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = r 2 的參數式為. ⎧ x = x0 + r cos θ cos φ ⎪ ⎨ y = y 0 + r sin θ cos φ ,0 ≤ θ < 2π ,0 ≤ φ < 2π ，其中 θ 表經度， φ 表緯度。 ⎪ z = z + r sin φ 0 ⎩ 球面的方程式-球面系：過兩球面 S1 , S 2 交點之球面之方程式可以表為 m( S1 ) + n( S 2 ) = 0 。當取 ( S1 ) − ( S 2 ) = 0 時，表示為兩球面 S1 , S 2 的根平面。【問題】 1. 從球外一點可以作出幾條切線？切平面？所有切點的集合形成何種圖形？ 2. 已知方程式 ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = r 2 的圖形為空間中的球面，而 ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2 的圖形為平面上的圓，那麼 ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2 的圖形為空間中的何中形狀？ 3. 空間中的圓要用何種方程式表示？ 4. 任給空間中的四個相異點，何種條件之下，可以求出過此四點的球面方程式？ 5. 給四平面，如何求出此四平面所圍四面體的內切球方程式？ 6. 如何求出兩圓的外公切線長、內公切線長、外公切線方程式、內公切線方程式、外公切線交點、內公切線交點？【性質】點與球面的關係：設球面的方程式 S : ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = r 2 ，點 P( x1 , y1 , z1 ) ：.

(2) 1.. 若 ( x1 − x 0 ) 2 + ( y1 − y 0 ) 2 + ( z1 − z 0 ) 2 > r 2 ，則點在球面外。. 2.. 若 ( x1 − x 0 ) 2 + ( y1 − y 0 ) 2 + ( z1 − z 0 ) 2 = r 2 ，則點在球面上。. 3. 若 ( x1 − x 0 ) 2 + ( y1 − y 0 ) 2 + ( z1 − z 0 ) 2 < r 2 ，則點在球面內。【問題】 2. 1.. 點 A( 2,1,3) 在球面 S : ( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 + ( z ) 2 = 10 外部，則 (1)從點 A 可引出多少條直線與球面 S 相切(恰交於一點)？ (2)這些從 A 引出的切線，可以形成何種幾何體？ (3)這些切點(在 S 上)，可以形成何種幾何圖形？ (4)如何計算 A 點到球面 S 的切線長？. 2.. S : ( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 + ( z ) 2 = 10 在空間中的圖形是球面，則. 2. 2. (1) ( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 = 10 在坐標平面上的圖形為何？ 2. (2) ( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 = 10 在空間中的圖形為何？ (3)空間中的圓要如何表示呢？【性質】球面與直線的關係： x − x1 y − y1 z − z1 = = 的關球面 S : ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = r 2 與直線 L : a b c 係有三種：無交點、交一點、交兩點。註：利用直線參數式代入球面方程式中求解即可得球面與直線的交點。球面與平面的關係：球面 S : ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = r 2 與平面. E : a( x − x1 ) + b( y − y1 ) + c( z − z1 ) = 0 的關係有三種：相交、相切、相離。【問題】 1. 若球面與直線有交點，試問如何求出交點坐標？ 2. 過球面外一點可作多少切線？ 3. 過球面外一點可作多少切平面？ 4. 過球面外一點作切平面，則所有切點之軌跡在球面上形成截痕，截痕會是什麼圖形呢？會不會是圓呢？ 5. 過球面外一點與球面的最大距離與最小距離分別為何？ 6. 空間中兩球面的關係有哪些？試分成內離、內切、相交兩點、外切、外離等情形分別討論此兩球面半徑之間的關係。【性質】截面圓的性質： 1. 球面被平面切割的截痕是一個圓，這個圓稱為截面圓。 2. 截面圓的圓心 O' 與球心 O 之連線必垂直於截平面。 3. 設球的半徑為 R ，球心與截面的距離為 d = OO' 截面圓的半徑為 r ，則. r = R2 − d 2 。【定義】切平面：當平面 E 和球面 S 只有一個公共點時，我們稱平面 E 和球面 S 相切且平面 E 稱為 1.

(3) 球的切平面，此公共點稱為切點。通過球面 S : x 2 + y 2 + z 2 + dx + ey + fz + g = 0 上一點 P( x0 , y 0 , z 0 ) 的切平面 E 之方程式為 x0 x + y 0 y + z 0 z + d (. x + x0 y + y0 z + z0 ) + e( )+ f( ) + g = 0。 2 2 2. 大圓：通過球心的平面與球面的交圓，稱為大圓。小圓：不通過球心的平面與球面的交圓，稱為小圓。【性質】過球面外一點求切線段長：過球面外一點 P( x1 , y1 , z1 ) 求切線段長為. ( x1 − x0 ) 2 + ( y1 − y 0 ) 2 + ( z1 − z 0 ) 2 − r 2 。(注意平方項係數要為 1) 【定義】球面上兩點最短的距離：任何兩地點 A, B (不與球心在同一直線上)，則 A, B, O 三點決定一平面，此平面與地球相交之圓是一個大圓，此大圓上連接 A, B 較短的圓弧，即為地表上 A, B 兩地間的最短距離。【問題】如何求出地表上兩點 A, B 間的最短距離？. 2.

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