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中學生通訊解題第十八期題目與參考解答
臺北市立建國高級中學 數學科
問題編號 901801 已知一線段，其長為 a ，請完成下列步 驟： (1)試作線段，使其長 x 滿足1 2 3 =0 + + − a x a x 。 (2)再作另一線段，使其長為 ax。參考解答：
[計算]
已知 1 2 3 =0 + + − a x a x 兩邊同乘以ax(x+a)，得 0 3 ) ( 2 ) (x+a − x x+a + ax= a 整理後得 2x2−2ax−a2 =0 兩邊同除以 2 a ，得2( )2−2( )−( )2=0 a x a x a x 可解得 2 3 1± = a x (負不合)[作圖]
已知：線段 作法：(1)如圖，先作 3a， 再作a+ 3a， 最後平分 a+ 3a， 此線段長即為x
。 (2)作一線段 AB=a+x， 於 AB上取一點C，使 AC=a， x CB= ，以 AB為直徑作一圓O， 過C作直線 l 交圓O於D， 則CD= ax 即為所求。 證明：(略) 問題編號 901802 有 n+1 顆 小 球 ， 球 面 上 分 別 標 有 1,5,52,53,…,5n等數字，現在把這 n+1 顆球 分別放入 A,B,C 三個箱子中，試證：任意 2 個箱子中，小球上的數字和不相等。參考解答：
假設取到 A,B 兩箱，欲檢驗此兩箱中小 球的數字和是否相等，只要觀察兩箱中小球 的數字和相減後是否為 0，而未取到的 C 箱 中之小球數字和則不予計算。 假設 A,B 兩箱中小球的數字和相等，且 a a a a a 2 a 3 a 3a x x x a ax中學生通訊解題第十八期題目與參考解答 − 51 − 標為 n 5 的小球在 A 箱可列出方程式 0 5 5 5 5n+a1⋅ n−1+a2⋅ n−2+⋅ ⋅⋅+an−1⋅ +an= 其中，在 A 箱的係數為 1，在 B 箱的係 數為-1， 在 C 箱的係數為 0 則5n =−a1⋅5n−1−⋅ ⋅⋅−an−1⋅5−an n n n a a a ⋅ +⋅ ⋅⋅ ⋅ + ≤ 5 − −1 5 1 1 1 5 5 1+⋅ ⋅⋅+ + ≤ n− 1 5 1 5 − − = n 1 5 5 − < n 得 0 1 5 ) 2 5 ( 5 < − − n ，矛盾 所以 A,B 兩箱中小球的數字和不相等 同理可知，任意 2 個箱子中，小球上的 數字和不相等。 問題編號 901803 右圖是一組七巧板，其中 E、F、G、H 、 I、J 分別為 AB、AD、EF、BD、BH、DH
的中點，且∆DFJ的面積為 1。今任取幾個區 塊塗黑，假設黑色部分的面積為 a ，白色部 分的面積為 b ，問： 若要使 (1)a=b (2)a=b+1 (3)a=b+2 各有幾種塗法？
參考解答：
七巧板各區塊面積如上圖 可知正方形 ABCD 的面積為 16 (1)a=b： 此時a=8(b=8)，其組成方法有： (a)8=1+1+2+2+2：有 1 種塗法 (b)8=1+1+2+4：有3×2=6種塗法 (c)8=2+2+4：有3×2=6種塗法 (d)8=4+4：有 1 種塗法 由上述知，此情況共有1+6+6+1=14種 塗法 (2)a=b+1： 此時a+b=(b+1)+b=2b+1=16，矛盾 所以此情況共有 0 種塗法 (3)a=b+2： 此時b=7(a=9)，其組成方法有： (a)7=1+2+2+2：有 2 種塗法 (b)7=1+2+4 ：有2×3×2=12種塗法 由上述知，此情況共有2+12=14種 塗 法 問題編號 901804 某校舉辦演講及作文兩項國語文競賽， 一人可同時參加兩項。如果參加演講比賽的 學生中，有 75% 是女生，參加作文比賽的有 60% 是女生。 (1)試證：參加比賽的全體學生中，女生人數 不少於男生人數。 (2)試說明：在什麼情況下，參加比賽的男生 人數和女生人數會相等？參考解答：
女 生 的 英 文 是 〝girl〞， 男 生 的 英 文 是 〝boy〞，那麼我們就作如下的假設吧！ 假設g1是只參加演講比賽的女生人數 A B C D E F G H I J科學教育月刊 第 249 期 中華民國九十一年五月 − 52 −
