99學年度高一上第一次定期考

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定期考優良試題推介

99

學年度高一第一次定期考

教育部高中數學學科中心試題研發小組

指導教授:國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、 國立臺灣師範大學數學系洪有情教授、 國立臺灣師範大學數學系張幼賢教授、 國立臺灣師範大學數學系朱亮儒教授 小組成員:臺北市立建國高中曾政清老師、 國立基隆女中沈燈賢老師、 臺北市立北一女中蘇麗敏老師、 國立竹南高中李政豐老師、 國立臺中一中李吉彬老師、 國立北港高中蕭民能老師、 國立新豐高中王人傑老師、 報告撰寫:國立臺中一中李吉彬老師

一、前言

  面臨課綱改變,教學現場第一線的數學教師們,受到的影響也最直接,有 許多事項面臨改變;新的教材內容,針對新教材的試題設計也是大家關注的一 環。新課綱已實施一年多,各校在這段期間,都有了新課綱的一年份定期考試 題,其中有許多各校教師精心設計的題目。   數學學科中心試題研發小組為擴充高中數學教學資源,廣邀全國各高中上 網分享定期考試題,學科中心並依據學校特性隨機抽樣 20 所學校,邀請學者專 家、第一線高中教師與種子教師,分年級挑選優良定期考試題,供教師們參考, 希望藉此拋磚引玉,讓各校試題品質更上層樓。   命題教師命一份試題需考量的因素很多,包含:命題範圍、配分方式、考 試時間、難易度、辨別度、平均成績…等等。考量各校的校情不同,此次的選 題工作,並未考慮試卷的題型或難易度等的整體因素,而將焦點擺在題目的個 別設計。   本次選題主要原則為選出基礎觀念的重要考題或新穎創意考題。因為總題 數有所限制,難免有遺珠之憾;各位先進如有興趣,可自行上學科中心網頁下 載各校的完整試題,可一窺全貌。   選題過程中,配合敘述一致性,部分試題有作一些敘述的些微修改或選項 的更動。另外,某些考題在多個學校均出現相似題型,僅列舉部分校名,如有 疏漏,敬請見諒!   以下為本次選出的參考試題:

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二、基礎考題

1. 若函數 f n 表「

 

4 7 化成小數,小數點後第 n 位數」, 則 (1)ff(2) f(3)  f(123)=__________。 參考答案:553 出處:苑裡高中 2. 若 a 為 1 至 9 的正整數,且13 0.1 2 14 99 a 99,則a__________。 參考答案:3 出處:台中一中 3. 下列哪些有理數可化成有限小數? (A) 1 10 (B) 1 1024 (C) 1 125 (D) 23 14 (E) 51 12。 參考答案:(A)(B)(C)(E) 出處:精誠中學 4. 試問下列敘述哪些正確? (A)0.215 71 330  (B)203 140可以化為有限小數。 (C)若a b, 為正實數,且a b 為有理數,a b 為無理數,則a2b2必為無理數。 (D)若a b, 為實數,則 a2ba 3b (E)若a b, 為實數且滿足 a < b,則 2 3 6 a b a   。b 參考答案:(A)(B)(C)(D) 出處:建國中學 5. 介於 1 2 3與 11 13 4 3 之間的整數共有__________個。 參考答案:4 出處:金門高中

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6. 如圖,數線上兩點 ( ), ( )A a B b ,設直線 L 通過 A 點,且直線 L 上有 C, D, E, F, G, H六點,滿足 AC CD DE EF FG GH     ,連接BH ,依尺規作圖 方式,過 C, D, E, F, G 分別作BH 的平行線與直線 AB 交出 5 個點,則此 5 個 點之坐標可為下列哪些選項? (1)2 3 6 ab  (2) 2 a b  (3) 2 3 ab  (4)5 6 a b  (5) 3 6 ab 。 參考答案:(2)(3)(4) 出處:基隆女中 7. 如 圖, 平面 上有 共線 三相 異 點 A, B, C, 其中 B 介於 A, C 之間 , 已 知 3 2 3 AB  , BC  9 14 3。以 AC 為直徑作一半圓,過 B 作 AC 垂直線 交半圓於 D,若BD的長度可化簡為a b 3(其中a b, 都為正整數),則數 對( , )a b =______。 參考答案:(3, 4) 出處:武陵高中 8. 下列各敘述何者正確? (1)若a b, 為有理數,則a b ab , 均為有理數 (2)若a b a b ,  為有理數,則a b, 均為有理數 (3)若a b, 為有理數,且a b ,則 3 2 5 a + b a < < b (4)設a b, 為實數,若a +b 2 0= ,則a = b =0 (5) 3 14  4 13。 參考答案:(1)(2)(3) 出處:新豐高中 9. 已知0 x 1且 2 2 2 2 1 1 2 2 10 x x x x       ,則 x 之值為__________。

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參考答案:0.2 出處:小港高中 10.若 ( ) 5 210 3 f xx ,則 (1911) (2010) 2010 1911 ff之值為__________。 參考答案: 5 3  出處:台中一中 11.已知二次函數 f x( )ax2bx a x2時有最大值 6,則ab________ 參考答案:16 出處:蘭陽女中 12.二次函數 f x( )ax2bx c ,其中 1 x 4    ,若在x2時有最小值5,且 圖形與 y 軸交於點(0,3),則此函數之最大值為__________。 參考答案:13 出處:新竹高中、屏東女中等 13.設 x 為任意實數,則下列哪些恆為正數? (A)x22x (B)x22x2 (C)x24x9 (D)  x2 x 1 (E) x2 3x4 參考答案:(B)(C) 出處:屏東女中 14.如圖y ax 2bx c ,且知 ( )f x 有最大值 6,

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則下列哪些關係式是正確的? (1)a0, b24ac0 (2)a b c  0 (3) (1) 6f  (4) (2)ff( 2) (5) (2)ff(3) 參考答案:(1)(2)(3) 出處:馬公、小港、衛理、新店、淡江、基女、金門、新豐、精誠、苑裡等 15.下列各圖中,哪些可同時表示直線y ax b  與拋物線y ax 2b的圖形? 參考答案:(D)(E) 出處:屏東女中 16.本校舉辦高一成長營,參加者每人費用 700 元,此時平均每班有 40 人參加, 但根據過去的經驗,若將費用每提高 50 元,則每班將會減少 1 人參加,試 問:將費用定為__________元時,會使每班的總費用最多。 參考答案:1350 出處:新豐高中、新店高中、苑裡高中、台中一中等 17.設學校游泳池在某天開放 t 小時後的溫度變化函數為 ( ) 1 2 4 20 2 f t   t  t

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其中1 t 10,則這段時間內游泳池的最大溫差為__________。 參考答案:18 出處:淡江高中、蘭陽女中等 18.如圖是一座拋物線形的拱橋,寬AB為 12 公尺,最高點 S 離地面 4 公尺,中 間有一根垂直支撐柱PQ的高度為 2 公尺,求此支撐柱與拱橋邊緣較近的距 離AP之長。 參考答案:6 3 2 出處:小港高中 19.已知垂直拋體運動的高度 h 與時間 t 的關係為 2 0 0 ( ) 4.9 h t   tv t s , 0 t a  (a為拋體到達地面的時間),其中v 為物體的初速(朝上為正,朝下為負),0 0 s 為物體原本離地面的高度。現在若於距離地面 24.5 公尺處垂直朝上發射一 顆石頭,初速為 49(公尺/秒),試問: (1)石頭經過多少秒後達到最高點?此時距離地面幾公尺? (2)經過多少秒落回地面? 參考答案:(1)5 秒,147 公尺 (2)5 30秒 出處:武陵高中 20.有關單項函數的敘述,下列選項何者正確? (1)二次單項函數圖形必過原點。 (2)三次單項函數圖形對稱於原點。 (3)四次單項函數圖形對稱於 x 軸。 (4)單項函數圖形經過平移後亦為單項函數。 參考答案:(1)(2) 出處:蘭陽女中 21.如圖為 3 3 4 1 , 2( 7) , 3( ) y a xy a x  y a x h  三個函數的圖形,選出正確的選

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項: (1) 為1 3 1 y a x 的圖形 (2)a10 (3)a2 0 (4)a30 (5)h0。 參考答案:(3)(5) 出處:新店高中、金門高中 22.設 f x( ) ( x8x74x22)10,若展開式的各項係數和為 a,常數項為 b,則 數對( , )a b =__________。 參考答案:(0, 1024) 出處:苑裡高中 23.已知二次函數y f x( ) 2( x1)2 ,若將 ( )8 f x 沿y2x 方向,向右上方1 移動2 5單位長,得另一拋物線方程式為yp x q(  )2 ,則數組( , , )r p q r =__________。 參考答案:(2, 3, 4) 出處:道明中學 24.小草 作乘法運算:將一正數 a 乘以0.35,但小草看錯,將 a 誤乘以0.35,結 果得到的值比正確值少1 6,則 a 之值為__________。 參考答案:30

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出處:新竹女中、台中一中等 25.某遊樂區門票每張 250 元,但團體票 50 張以上可以打八折,100 張以上可以 打七折。現在有一旅遊團,人數不超過 100 人,但是該旅行團購買 100 張團 體票會比較便宜。 試問,此旅行團最少有多少人? 參考答案:88 出處:新店高中 26.某城市夏季用電計費標準如下表。例如:若用電 200 度,電費為

110 2  200 110  3 490元。 假設若某家庭七月(夏季)電費為 1000 元,則 該家庭七月用電度數為__________度。 參考答案:360 出處:台南一中 27.設a b c, , 為實數,且 ( )f xa x( 1)(x 1) bx x(  1) cx x(  ,1) 2 ( ) 3 2 7 g xxx 都是 x 的多項式,若 ( )f xg x( ),求數組( , , )a b c =______ ____。 參考答案:( 7, 4, 6) 出處:苑裡高中

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三、新穎創意考題

28. 下圖為三個函數的圖形: ( )f xax b , g x( )c x c( )3, h x( )dx4 ,其eyg x( )y h x ( )交於 A、B 兩點,且 A、B 兩點分別在 x 軸與 y 軸上, 則下列何者正確? (A)a0  (B)b0 (C)c0 (D)e c4 (E)d1 參考答案:(B)(D) 出處:北一女中 29.如下圖,兩數線OX, OY交於 O,今以射線OX, OY為OX, OY兩數線的正 向,O 為兩數線的原點,且兩數線的單位長等長。若AP BQ// 且 A 與 B 於 OX的坐標分別為

與 4.8 ,P 與 Q 於OY的坐標分別為 7.36 與

,其中 ,   均為整數且1   10 則數對

 ,

=__________。 參考答案:(4, 9) 出處:台南一中

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30. (1)作出 ( ) 3 1 3 3 2 2 2 2 f x =x + + x+ x 的函數圖形,並標出此圖形與 x 軸 的  交點坐標以及圖形的轉折點坐標。 (2)承上,若方程式 f x( )a有三個實數解,則 a 的範圍為何? 參考答案:(1)交 x 軸於( 2, 0), (1, 0), (4, 0) ,轉折點( 1, 2), (3, 2)       (2)  2 a 2 出處:北一女中 31.已知 f x( )x26x5,若 f x( ) a x b有 2 個 x 值能使f x( )得到最大 值,則a b=__________。 參考答案:6 出處:北一女中 32. 如圖,設二次函數 f x( )ax2bx c 的圖形交 x 軸於 A, B 兩點,與 y 軸交於 C點。若AC垂直於BC,且AC20, BC15,則實數序對( , , )a b c =_____ _。 參考答案: 1, 7,12 12 12         出處:台中一中 33.如圖所示,正方形 ABCD 的邊長為 4,在AB邊及AD邊上各取一點 E, F,滿AEAF,且使得四邊形 BCFE 之面積最大,則此最大面積為________。

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參考答案:10 出處:基隆女中 34.爬梯旁有一斜坡,與地面成45角,如圖,阿賢站在 O 點,將一籃球向斜坡 上拋,假設籃球飛行路徑方程式為 2 2 3 x yx ,也就是說,籃球與阿賢的 水平距離為 x 公尺時,其高度為 y 公尺,設籃球在斜坡上的落點為 A,則 A 點的高度為__________公尺。 參考答案:3 出處:金門高中 35.如下圖,AB是一條長度為 20 的鐵絲,P 是AB上一點,將AP分為四等分, 使其圍成一正方形 PQRS;將PB分為四等分,使其圍成一正方形 PXYZ,其Q 在PX 上,連RX ,則AP=__________時,RX 的長度有最小值。 參考答案:8 出處:北一女中 36.多項式 f x( )ax8bx6cx4dx 17,已知 (5)f f( 5)   ,則30

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(7) ( 7) ff  之值為__________。 參考答案: 42 出處:台南一中

四、第二章第二節

(部分學校未納入第一次定期考的範圍) 37.設 ( )f x 與 ( )g x 都是五次多項式,而 ( )h x 是四次多項式,下列選項何者正確: (1) ( )f xg x( )的次數超過五次 (2) ( )f xg x( )的次數小於五次 (3) ( )f x 除以 ( )h x 的餘式為三次多項式 (4)若 ( )f x 除以3x1的商式為 ( )q x ,則 f x( )除以6x2的商式為1 ( ) 2q x (5)若 f x( )除以2x1的餘式為 8,則f x( )除以 1 2 x 的餘式為 4。 參考答案:(4) 出處:苑裡高中 38.小花 利用綜合除法計算多項式f x( )除以2x3的商式q x( )及餘式r x( )。她的 過程完全正確(過程如下),但紙張不慎污損,請幫她判斷下列選項何者正 確? (1) 7 2 d h  (2)p e 3 (3) f x

 

2x311x26x4 (4)q x

 

2x28x6 (5)r x

 

5 參考答案:(2)(5) 出處:新竹女中

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39.設 f x( )x34x27x 1 a x( 2)3b x( 2)2c x(   ,試求:2) d (1)常數a b c d, , , 所形成之數組( , , , )a b c d =__________; (2) f x( )除以x2的餘式為__________; (3) f(2 3)=__________; (4) f x( )除以(x2)2的餘式為__________,商式為__________。 參考答案:(1)(1, 2, 3, 5) (2) 5 (3)11 6 3  (4)餘3x1商x 出處:衛理女中等 40.二次函數yf x( )之圖形如下,其中 A 為頂點,若△ABC之面積與△ABD 相等,求: (1) D點的坐標為__________。 (2)若過A B C D, , , 四點之最低次多項函數為   ( )g x ,則 (0)fg(0)=__________。 參考答案:( 5, 0) , 3 4 出處:台南一中

數據

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參考文獻

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