臺北區
105 學年度 學測聯合模擬考 第一次
第壹部分:選擇題(佔60 分) 一、單選題(佔25 分) 1. 在數線上,滿足 x 且2 x 3 9 x 的整數總共有多少個? 2 x 3 2 (1) 5 個 (2) 6 個 (3) 7 個 (4) 8 個 (5) 9 個 2. 已知 k、t 均為實數,k 且 84t 6 k t 30,則t的值為下列何者?(1) log 2 (2) 5 log 4 (3) 5 log 5 (4) 2 log 5 (5) 4 log 10 5
3. 某綜藝節目中,挑戰者可選擇一個特製的公正骰子,與主持人持有的公正骰子(點數為 1、2、3、 4、5、6)同時擲出,觀察兩人擲出的點數。若挑戰者骰子點數為主持人骰子點數之倍數時,則挑 戰者獲勝!試問挑戰者選擇的特製骰子為下列哪一個時,獲勝機率最高? (1) 點數為 1、2、3、4、4、4 (2) 點數為 1、1、2、2、3、3 (3) 點數為 1、1、1、2、2、2 (4) 點數為 1、1、2、3、4、5 (5) 點數為 2、2、3、3、3、3 4. a、b 為整數,若方程式x3ax2bx15 0 有三個整數根,則 a 可能情形有多少種? (1) 4 種 (2) 6 種 (3) 7 種 (4) 8 種 (5) 9 種 5. 茜茜是個喜愛烹飪的高中生,有一天她將一條鮭魚從冷凍庫拿出來解凍。茜茜希望在烹煮時,魚的 溫度至少為20 C 以上,因此茜茜以「小時」為單位,紀錄解凍後的時間與溫度,如下表所示: 時間(小時) 0 1 2 4 魚的溫度( C ) –4 –3 –2 1 舉例來說,拿出來解凍2 小時後,魚的溫度為2 C 。茜茜利用此4 筆資料來做一個次數為 3 次 的插值多項式,用來模擬真實的溫度函數。試利用此三次多項式來估計,拿出來解凍至少幾小時 (整數)後,茜茜就可以開始調理鮭魚? (1) 6 小時 (2) 7 小時 (3) 8 小時 (4) 9 小時 (5) 10 小時 二、多選題(佔35 分) 6. 三次多項式y f x
的圖形如右圖所示,已知A 點坐標為
2,0 ,B 點坐標為
1,0
,請問下列哪些選項正確? (1) f
(2) 1 0 1 2 3 3 f f (3) f x
的解為0 x 1 (4) f
的解為x 0 x 1 (5) x f x
的解為0 1 x 0 。 7. 已知數列 a 為每項皆為正數的等差數列,且公差n d 0,數列 b 為每項皆為正數的等比數n 列,且公比r ,請問下列哪些選項正確? 1 (1) 3a 為公差是 3d 的等差數列 (2) n an 為公差是 d+5 的等差數列 5(3) 3b 為公比是 3r 的等比數列 (4) n
bn 3 為公比是r 的等比數列 3 (5) logb 為公差是 r 的等差數列 n 8. 觀察下列各圖形,第(一)圖為 6 根邊長為 1 的磁條圍成的正六邊形,第(二)圖用了 15 根邊長為 1 的磁條圍成3 個邊長為 1 的正六邊形,第(三)圖用了 27 根邊長為 1 的磁條圍成 6 個邊長為 1 的 正六邊形。依此規則增加,請問下列哪些選項正確? (1) 第(四)圖有 10 個邊長為 1 的正六邊形 (2) 第(四)圖用了 45 根邊長為 1 的磁條 (3) 第(五)圖有 15 個邊長為 1 的正六邊形 (4) 第(五)圖用了 64 根邊長為 1 的磁條 (5) 從第(一)圖到第(十)圖共有 220 個邊長為 1 的正六邊形 9. 設三次多項式 f x
ax3bx2cx d ,請問下列哪些選項正確? (1) 若 a、b、c、d 為實數,i 1,且 f
1 ,則i
3 f
1 i 3 (2) 若 a、b、c、d 為有理數,且 f
132
,則0 f
132
0 (3) 若 a、b、c、d 為整數,且2x4為 f x 之因式,則 2 a 且 4 d
(4) 若 a、b、c、d 為正整數,則方程式 f x
至少有一負實數根 0 (5) 若 f x
有三相異正實數根,則方程式0 f x
3 亦有三相異正實數根 0 10. 請問下列哪些選項正確? (1) y2x的函數圖形與 1 2 x y 的函數圖形對稱於y 軸 (2) 當x0時, 2 10x x 恆成立(3) 設0 x ,則1 x2 log 1 log 2 log 1 2
2 2
x x x x
(4) 方程式xlogx 恰有一實根 0 (5) 方程式2x log2x 恰有一實根
11. 坐標平面上以原點為中心,半徑為 1 的圓上有一個內接正六邊形,已知P1
1,0 為其中一個頂 點,順時針方向頂點依序為P 、2 P 、3 P 、4 P 、5 P 。今在6 P 上放置一個棋子,並擲一顆公正的骰1 子若干次,若每次點數出現k 點,則棋子就依順時針方向往相鄰頂點跳動 k 步,例如:第一次擲 出2 點,則棋子將從P 移動到1 P ;第二次擲出 5 點,則棋子接著從3 P 移動到3 P ,……,依此類2 推,請問下列哪些選項正確? (1) 棋子從P 開始,擲兩次骰子,則最後的位置在1 P 的機率為1 1 6 (2) 棋子從P 開始,擲兩次骰子,則最後的位置在1 P 的機率為2 1 6 (3) 棋子從P 開始,擲三次骰子,則最後的位置在1 P 的機率為1 1 36 (4) 棋子從P 開始,擲 n 次骰子(1 n2),令最後的位置在P 的機率為1 a ,則n 1 1 6 n n a a (5) 棋子從P 開始,擲六次骰子,則最後的位置在1 P 的機率為1 1 6 12. 孝順的阿文想在父親節時幫老爸的手機換新的資費,他將原方案與新方案第一年每月月租費做了 比較,如下表所示,試問下列敘述哪些是正確的? 方案 第1 個月 第2 個月 第3 個月 第4 個月 第5 個月 第6 個月 第7 個月 第8 個月 第9 個月 第10 個月 第11 個月 第12 個月 原方案 239 269 279 289 289 289 339 339 359 359 389 389 新方案 219 239 259 279 289 299 309 309 339 369 399 399 (1) 僅考慮第一年所花費的金額,新方案的費用較原方案划算 (2) 新方案之標準差小於原方案之標準差 (3) 新方案之標準差大於原方案之標準差 (4) 在原方案中,中位數>平均數>眾數 (5) 在原方案中,中位數>平均數=眾數 第貳部分:選填題(佔40 分) A. 多項式 f x 除以
x1的餘式為2,除以x2的餘式為5,假設
x1
f x 除以
x1
x2
的餘 式為ax b ,則數對
a b, ______。 B. 據報導某實驗室發現一種新細菌,此種細菌每經過一天後,細菌的數量會增加為原來的 r 倍,已 知從一開始經過3 天後細菌數為 4000 個,接著再經過 3 天後細菌數為 256000 個,若以這樣的速 度繁殖,則從一開始經過______天後,細菌個數開始超過10 個。 8 C. 已知a b 1,求 5 4 logb loga b a a b 的最大值為______。D. 甲、乙、丙、丁、戊五人參加歌唱比賽,評審團三位評審在賽後講評時透露了以下訊息: 評審A:「甲不是最差的。」評審 B:「乙唱得比丙來的好些。」評審 C:「冠軍不是乙、丁。」 試求在沒有名次相同,且符合評審講評的條件下,有______種不同名次的排列情況。 E. 估算