學童估測長度、面積與體積的表現與策略使用之探討

黃幸美 長度、面積與體積估測 131 教育科學研究期刊 第六十一卷第三期 2016 年，61（3），131-162 doi:10.6209/JORIES.2016.61(3).05

學童估測長度、面積與體積的表現與

策略使用之探討

黃幸美

* 臺北市立大學 學習與媒材設計學系

摘要

本研究發展一套估測評量以檢測學童在長度、面積與體積的估測能力與策略使用情形。 研究對象為臺北市及新北市國小五～六年級學童 948 位。研究結果發現：學童的估測表現與 使用策略的數量，皆受年級與測量性質影響；87%以上的學童能使用策略估測，尤以身體部位 與方便使用的物件為單位做估測的人次較高。整體而言，六年級學童的估測表現優於五年級， 學童在不同的估測分測驗的表現亦呈現差異，他們在估測長度的表現優於估測面積與體積的 表現。此外，使用於估測體積的策略數量高於估測面積與長度的策略數量，使用於估測面積 的策略數量高於估測長度的數量；但策略數量的年級差異只呈現在面積估測問題；六年級學 童的策略數量也高於五年級。 關鍵詞：長度、面積、測量估測、策略、體積 通訊作者：黃幸美，E-mail: hhuang22@utaipei.edu.tw 收稿日期：2015/07/06；修正日期：2015/10/29、2015/11/25；接受日期：2015/12/09。

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壹、緒論

測量估測（measurement estimation）（簡稱估測或估量）係指未使用測量工具而找出基準 點（benchmark）或使用心理單位處理測量的估計。此估測能力包含：測量知識、量的單位化 概念及推理思考等數項知能（Joram, Subrahmanyam, & Gelman, 1998; Van de Walle, Karp, & Bay-Williams, 2013），也是需藉由課程與教學養成的一種心理估計與推理的數學能力（教育 部，2010）。

長度、面積與體積屬於物理量測度的範圍，此三種測量皆與幾何的空間特性有關，具有 幾何量的性質（朱建正，1999；Owens & Outhred, 2006），亦為國小測量課程的重要內容（教 育部，1975，1993，2010）。檢視國內、外學者探討估測長度、面積與體積的文獻，普遍發現 學童處理估測的表現比實測作業差，並且有能力不足的現象（Clayton, 1988; Montague & Van Garderen, 2003; Siegel, Goldsmith, & Madson, 1982）。王選發（2002）也指出學童在前述三種量 的估測解題通過率皆低於 50%。近期內雖有些新進的估測研究報告，但多數學者專注於探討 長度估測（例如：Jones, Taylor, & Broadwell, 2009; Jones, Forrester, Gardner, Andre, & Taylor, 2012）或長度與容量估測（例如：Ruwisch, Heid, & Weiher, 2015），較少同時檢視學童於估測 長度、面積與體積能力的報告。學校的測量課程與教學在發展學童估測能力上扮演非常重要 的角色（Huang, 2015a; Jones et al., 2009）。當前的九年一貫課程綱要（教育部，2010）（簡稱 九年一貫課綱）承自 2000 年的暫時綱要（教育部，2000），施行至今已逾十餘年，接受依據 此課綱發展的數學教科書之學童，其在上述三種測量的估測能力如何，值得探究。 學童的估測表現可能因接受測量課程時間長短不同而呈現差異（Crites, 1992），學者們 （Joram et al., 1998）認為學童隨著年級遞升，估測能力也可能隨著學習測量課程與測量經驗 增多而提升。當前的九年一貫課綱（教育部，2010, pp. 26, 27, 207）闡明於第一學習階段（一 ～二年級）發展簡單的長度估測能力（N-1-09）及其他估測能力養成的重要性（N-2-26）。 長度、面積與體積的測量性質不同，學童在此三種測量的估測能力及使用策略的數量受年級 與測量性質（估測性質）的影響為何，值得進一步檢視。而且，瞭解學童使用策略估測的類 型與表現，對於提升或改善估測課程與教學具有意義。 綜而言之，本研究目的在於發展一份具有信度與效度的長度、面積與體積估測評量，並 使用以檢測國小高年級（五～六年級）學童的估測能力與策略使用情形，研究問題包含三方 面： 一、學童的估測表現是否因年級與測量性質不同而呈現差異？ 二、學童使用於估測長度、面積與體積的策略類型為何？ 三、學童的估測策略數量是否因年級與估測性質不同而呈現差異？

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貳、理論架構

一、測量估測的認知思考

測量估測所需的認知心理運作包含下列四項要素：（一）知覺（perception）：視覺觀察為 實測與估測的基礎（O’Daffer, 1979）。估測者需借助視覺觀察、空間知覺與操作動作，做直接 與粗略比較（Van den Heuvel-Panhuizen & Buys, 2008）。（二）口語：使用口語報告或描述估 計結果（朱建正，1999；Montague & Van Garderen, 2003）。（三）心理意象：回想先前的測量 經驗並找出測量基準點，利用心理單位對待測物進行心理截割或推論（Joram, 2003; Joram et al., 1998）。此心理運作功能包含：估測者認識某測量單位，將它儲存於記憶系統中成為心理 單位，並將它建構成意象（images），再使用此心理單位對待測物做分解與重組，這些運作皆 借助心理意象表徵系統（imagery representational system）來操作（Kosslyn, Reiser, Farah, & Fliegel, 1983）、推論（Forrester, Latham, & Shire, 1990）與推理思考（Towers & Hunter, 2010）。 （四）計數：運用點算或加法、乘法計算所截割的數量，描述待測物的估計結果（Joram, 2003; Joram et al., 1998）。簡言之，估測是一種統合知覺、記憶、心理意象、推論與推理等多項認知 運作的活動。Joram 等（1998）認為上述要素與合理估測的邏輯推理能力之發展息息相關。

此外，估測與測量知能密切相關，下列四項測量概念為處理各類估測不可或缺的知能： （一）認識待測量的性質及測量程序：認識所欲測量的是什麼性質（例如：距離、面積、體 積各指什麼），以及如何測量待測物（Van de Walle et al., 2013）。（二）單位化（unitizing）概 念：測量單位為估計各種測量的要素（O’Daffer, 1979），因此，單位化猶如一種心理運算，乃 為處理數量情境的重要思考。個體熟悉測量單位，其所建構的心理單位可作為估測的參照基 準，也是發展量感的重要基礎（Bright, 1976）。（三）使用非標準與標準單位分解與重組待測 物：將待測物依所選定的單位大小做切割，然後再重組與計數所切割出的份數（Siegel et al., 1982）。Carter（1986）認為分解／重組的概念與保留概念，皆在估計處理時扮演重要角色。 （四）誤差的容忍度：認識所有的測量皆源自於單位的比較，誤差為測量的常存現象（黃毅 英，2012）。估測活動在於找出一個合理、可接受的數量範圍，估計值為一個接近於待測物的 量，因此，誤差是存在的。（五）估測的語詞：「大約」、「接近」、「大於…..但小於……」（介 於……之間）為常用的語詞（Towers & Hunter, 2010）。

歸納上述，估測意義的瞭解與估測能力的養成，需借助測量活動熟悉測量步驟與方法。 實測與估測學習，兩者相互為用，也相輔相成。

二、長度、面積、體積概念與測量

134 長度、面積與體積估測 黃幸美 線段（一維空間）的屬性；面積為平面（二維空間）的屬性；而體積則指物質在三維空間所 占有的量，描述有範圍的三維空間區域，在國小數學的體積指固體物件占有的空間的量（朱 建正，1999；黃幸美，2015）。雖然長度、面積與體積分別測量不同的幾何空間量，三種測量 的性質不同，但是皆可透過感官直接接觸物件而感覺一個量（朱建正，1999；Wilson & Rowland, 1993）。此外，當面臨不能疊合以直接比較的情境時，上述三種性質的量皆可透過測 量操作（單位複製與累加計算單位數量）得知量的大小。

長度、面積與體積的測量皆包含兩項核心概念（Huang, 2014a, 2015a; Lehrer, 2003）：（一） 使用測量單位（例如：個別單位與公制單位）透過不留空隙且不重疊地複製單位歷程，將待 測物進行等量切割。（二）運用加法（或乘法）計數單位數量與測量結果。因此，認識與熟悉 測量單位為測量課程與教學的核心，也是發展量感的重要基礎。 除了實測操作以獲得待測物的量之外，當個體未能直接接觸實物（或實測）而需使用想 像與記憶來表徵測量的量時，其所表徵者即為表徵的量（Battista, 2003）。例如：在有（或無） 測量工具但無提供具體物件的情況下，請學童製作或描繪一條長七公分線段，類似地，在未 展示八平方公分長方形的情況下，要求繪製一個面積為八平方公分的長方形表徵。欲完成上 述作業，無論是否提供測量工具，學童皆需認識測量的屬性─長度與面積，並將指定的量表 徵出來。在表徵長方形面積的情境，學童尚需認識圖形，思考如何使用平方單位製作八平方 公分的長方形─多少單位長的長邊和寬邊所組成的長方形矩陣結構方能表徵八平方公分等問 題。 能運用心理表徵解讀圖像，進而在無提供具體物的情況下，運用心理表徵解決測量問題， 也是一種量的表徵能力（Battista, 2003; Joram et al., 1998），此能力的發展需奠基於充分的測量 操作與圖形製作經驗。尤其當無測量工具且無呈現具體物的情況下，要求解題者繪製圖形以 表徵指定的量，解題者需先運用心理單位估測，根據個人對測量單位所建構的心理意象─量 感，使用心理單位進行估計，產出估測結果後，並將估測結果表徵成圖，此種包含多認知處 理步驟的表徵能力發展，尤需植基於圖形認知、測量的單位化概念及充分的測量經驗。倘若 解題者能記憶「一公尺＝100 公分」但缺乏 100 公分的長度量感，當面臨無測量工具可用時， 表徵一公尺長度將產生困難（Swan & Jones, 1971）；解題者缺乏一平方公分量感，也可能於面 積估測時產生高估或低估現象（王選發，2002）。因此，量的表徵與估測皆需借助心理意象運 作，其抽象運思的程度也較實測活動高。 比較長度、面積與體積測量的概念與測量技能的複雜程度，Lehrer（2003）指出長度概念 為面積與體積概念的基礎，而且面積與體積測量需整合空間測量及乘法概念（例如：不同向 度的邊長測量及公式）。因此，面積的概念與測量比長度複雜，體積概念與測量的複雜程度又 高於面積和長度（黃幸美，2015；Huang, 2015a）。上述三種測量的複雜程度差異，亦可從國 小測量課程內容的安排次序窺知─先學習長度實測與估測，繼而面積，後而體積（教育部，

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2010）。有關三種測量的估測解題之相關研究，容後文討論。

三、影響估測解題表現的因素

估測解題表現受多種因素影響，包含：測量經驗的多寡（Crites, 1992; Forrester et al., 1990; Joram et al., 1998）、估測問題特性（例如：測量的屬性、情境是否熟悉、是否呈現單位及待測 物的尺寸大小等）（莊維展，2001；Clayton, 1988; Forrester et al., 1990; Joram et al., 1998）、使 用策略的能力（Crites, 1992; Hildreth, 1983）、測量課程與教學（Jones et al., 2009; Joram, Gabriele, Bertheau, Gelman, & Subrahmanyam, 2005）等因素。值得一提的是，我國自施行 1975 年、1993 年的國小數學課程標準（教育部，1975，1993）（前者簡稱 1975 課標；後者簡稱 1993 課標）至九年一貫課綱（教育部，2010）的課程以來，估測活動即包含於測量課程，因此， 測量課程與教學因素非本研究焦點。此外，當前的課綱強調數學課程需與學童的生活經驗結 合，以達到「學生要能將數學運用在日常生活中」（教育部，2010, p. 22）。因此，本研究的估 測問題皆取自學童熟悉的情境與生活物品，此章節於探討問題特性與估測表現的關係上，乃 聚焦於測量性質及是否呈現單位。以下就測量經驗、測量性質及使用策略的能力，探討其與 估測表現的關係。

（一）測量經驗的多寡

Forrester等（1990）及 Joram 等（1998）認為學童隨著年級的遞升，有較多的機會從事測 量活動與熟悉單位化概念，裨益估測能力的提升。由於學童測量知能的學習主要來自學校課 程與教學（Huang, 2015a），有的學者（例如：Crites, 1992; Montague & Van Garderen, 2003）以 學童接受學校教育的時間長短（年級高低）分析年級與學童估測能力的關係。本研究亦以年 級高低表徵測量經驗的多寡，探討年級變項對學童估測表現的影響。 在分析年級與學童估測表現的關係方面，Crites（1992）使用兩套估測評量（兩套的問題 內容皆相同，各包含 24 題），調查三個年級學童估測能力─接受開放式問題者為三年級生（N ＝76）、五年級生（N＝72）及七年級生（N＝71）；接受選擇題題型者為三年級生（N＝87）、 五年級生（N＝68）及七年級學童（N＝27）的能力。此份研究的評量包含估測數量、長度、 容量與時間，並報告各年級學童於估得合理答案的平均數，惟未進一步使用統計方法分析。 Crites的資料顯示：五年級與七年級生在兩份不同題型的評量上，其估得合理答案的平均數高 於三年級生。此外，Montague 與 Van Garderen（2003）統合多種工具（表徵一般數學成就評 量的計算與應用問題及量化概念題組、估測定義評量與 Crites 的估測選擇題）及晤談等工具， 調查三種不同能力（資優、中等及學習困難）的四年級生（N＝45）、六年級生（N＝45）及八 年級生（N＝45）共 135 位學生的估測表現，其結果發現：年級的差異現象只呈現在估測晤談 的分數上，八年級生的能力優於六年級與四年級生，但是四年級與六年級無顯著差異。此份 研究顯示學童的估測表現存有年級差異，但兩者的關係非穩定地具有高度關聯性。

136 長度、面積與體積估測 黃幸美 類似地，Siegel 等（1982）使用 24 題長度估測問題並呈現實物或圖示待測物，評量二～ 八年級各 20 位學童及 10 位成人估測日常生活物件長度與物件數量（例如：瓶罐內的豆子數 量等等）的表現，其結果發現：年級的差異僅呈現在可直接對應長度基準點估測的題型，例 如：將所熟悉的球棒長度直接對應與回答待測球棒長度。同時，在可直接將已知的參照量對 應估計的情境，年級高的學童及成人的估測表現皆優於年級低的學童；在使用不等長的條狀 物連結製作指定的長度之情境（例如：若將這些長短不一的義大利麵條相接起來，長度有多 長？），二～五年級生的表現低於六～八年級生；但成人的表現未優於八年級生。由此可見， 年級與估測表現存有關聯性，但其關係並非廣泛且一致地呈現在各類問題情境。繼而， Forrester等（1990）分析三個年級組別（5.5～6.5 歲、6.5～7.5 歲及 7.6～8.6 歲）的學童各 22 位在長度估測問題（三題）、面積（二題）與體積（一題）的高估與低估表現，結果發現：在 長度估測上，不同年級學童的表現相近，且呈低估現象；但在估測面積與體積上，年級高的 學童比年級低的學童多有高估表現，Forrester 推測高年級學童的高估現象可能受乘法學習（應 用乘法公式）影響。上述研究也說明，除了年級以外，測量性質亦為影響估測表現的可能來 源。 綜觀上述研究，有的研究可能因所比較的各年級受試樣本數不高，影響量化分析的變異 性（郭生玉，2012）。值得注意的是，有研究者指出：在學校的數學教學，相較於數的運算與 測量的實測操作，教師對估測教學的關注程度呈現不足（Huang, 2015a; Towers & Hunter, 2010）。教學的匱乏亦可能造成年級與學童估測表現的關係缺乏一致性。

（二）估測問題的特性

1. 測量的屬性

估測問題的特性可因測量性質、待測物大小、是否提供測量單位等不同而呈現差異，前 述因素變異也成為影響學童估測表現的可能來源。長度、面積與體積的測量性質不同，學童 在解決此三類測量問題的難度亦不相同，其差異亦可見之於估測情境。 在不同測量性質的估測研究上，Pike 與 Forrester（1997）以 6～11 歲學童（N＝62）為研 究對象，檢視數感與測量估測的關係，其研究指出學童估測長度的表現優於面積估測，而且 數感與估測面積的表現相關但與長度估測無關，因為處理面積估測需要以視覺掃描空間平面 範圍，並使用心理單位將待測的平面區域以心理意象進行切割與組合，後者處理即為數感的 成分。王選發（2002）分析六年級學童（N＝374）估測面積的表現，也發現學童估測規則形 狀的圖形（例如：長方形）面積時，大都先使用估測長度的策略，估得長與寬邊長度，再使 用公式計算面積。因此，當估測者缺乏長度量感，其在估測待測物二維邊長產生誤差，再經 使用面積公式，將導致估測誤差愈大。Hildreth（1983）也指出當估測者對面積測量存有迷失 概念而錯誤使用面積公式，亦可導致估測結果不準確。 在體積估測的研究方面，Forrester 等（1990）指出學童在面積與體積估測的表現遜於長度

黃幸美 長度、面積與體積估測 137 估測表現。莊維展（2001）檢視五年級學童（N＝411）在長度、面積、容量及重量的估測表 現，發現：學童估測長度的表現優於估測面積，其面積估測也表現得比估測容量、重量差。 此份研究雖檢視學童的容量估測能力，惟其問題情境皆為估測裝滿容器的內容物數量（例如： 估計裝滿杯子的水量或紅豆數量等等），缺乏討論估計固體物件所占空間的體積問題。新近的 研究 Ruwisch 等（2015）檢視四年級學童（N＝130）在長度與容量的估測表現，也發現長度 估測表現優勢的現象。

2. 是否呈現測量單位

長度、面積與體積測量皆需使用單位，於估測情境亦然。估測情境有否呈現特定的測量 單位之物件（後文簡稱參照單位），例如：有否呈現一個邊長 2 公分的正方形紙卡為參照單位， 如何影響面積估測表現？根據 Bright（1976）及 Joram 等（1998）的觀點，於估測情境，若只 描述但未呈現參照單位，估測者需回憶先前對於該單位的認識，此提取記憶所需的心理運作 需求，也可能使估測難度增高，產生誤差的可能性，尤其當所指定的測量單位為估測者不熟 悉者（例如：慣用單位或公制單位），估測者可能因需再想像所指定的單位，其所產生的誤差 將導致估測結果的準確性降低。據此推論，呈現指定的測量單位時，估測者可藉觀察與感官 比較單位，助益估測結果的合理性，減少誤差。 檢視先前的研究，有的學者於估測情境提供待測物件（實物或圖示）及參照單位，例如： Forrester等（1990）、Jones 與 Rowsey（1990）及 Siegel 等（1982）的研究；相對地，有的學 者則提供待測物件但無呈現參照單位，例如：Swan 與 Jones（1971）使用英吋（呎）為測量單 位，但無提供表徵此單位量的物件；有的研究（例如：莊維展，2001）提供前、後測的情境， 但僅於後測呈現參照單位，比較學童在前測（無參照單位）與後測（有參照單位）的估測表 現差異。 在探討有無呈現參照單位對估測準確性的影響上，莊維展（2001）及 Jones 與 Rowsey （1990）的研究發現，呈現參照單位與估測準確性兩者之間，未必呈穩定相關，估測表現尚 可能受估測者是否熟悉參照單位影響。若參照單位為估測者所熟悉，則於短時間內呈現該單 位與估測準確性無顯著相關，此現象可見之於長度估測情境。若參照單位為估測者不熟悉者， 則呈該單位有助於估測表現，此現象可見之於面積估測情境（莊維展，2001）。此亦呼應估測 教學的觀點，雖然測量性質及問題情境可能影響估測表現，但是估測者熟悉較多的參考量（對 熟悉的事物具有量感），將有利於估得正確（合理）（李源順、王美娟、蘇意雯、陳怡仲， 2009）。

3. 待測物的大小

Siegel等（1982）認為待測物的大小是影響估測表現的來源。當待測物長度愈長，個體使 用心理單位對待測物進行截割的次數愈多，後續的計算步驟也愈多，因而解題難度增高。 Joram等（1998）認為估測者於處理估測時需視覺掃描整體物件，以及使用心理單位截割與組

138 長度、面積與體積估測 黃幸美 合運算，隨著待測物的尺寸遞增，掃描與截割／組合運算的次數增加，其完成估測所需的時 間也將增長。 Clayton（1988）分析接近 1,000 位學童的估測表現，指出估測結果的數量大小會影響學童 的估測表現，當估測數量小於 100 時，學童皆可以估得誤差值為±20%的估測結果，但是當估 測數量大於 100 時，則估測表現即相當低落。 由此可見，估測與實測皆需使用測量單位與計算，待測物件的大小涉及複製測量單位的 次數多寡與數量運算的大小，可能影響測量結果的準確性。

四、學童的估測策略與表現

在估測策略分析方面，不同學者因研究主題差異，對策略的分類不盡相同。例如：Siegel 等（1982）將學童使用的估測方法分類出 10 個種類，繼而依各類的相似性歸併為四大範疇： 以知覺為本的策略（perceptually-based）（包含：不知道、猜測、用眼睛看、提出數量範圍、 參照物比較）、使用參照物（benchmark）、使用假想將待測物分割成部分但未再組合應用以估 測，以及使用一個假想的單位將待測物分割成數個部分與再組合以估測。Siegel 發現估測者的 策略常因問題不同而差異互見，雖然策略類型與估測結果的準確性未有強的連結關係，但高 年級學童與成人比幼童善於使用分割與組合策略。惟研究者認為「不知道」的類型，其表示 估測者無法明瞭估測或不曉得估測的結果，Siegel 將此類納入以知覺為本的策略，其適當性值 得商榷。 Hildreth（1983）將估測長度與面積的策略，區分為適當與不適當的類型，前者包含：使 用單位複製、取用問題情境的長度訊息並切分成單位以處理單位複製、使用先前的測量經驗、 取用物件比對與切分某單位為區段並比較比例關係（chunking）、估計區間範圍估計，以及使 用單位面積累加計算或「長×寬」公式（或切割圖形與重組）估測面積。Hildreth 指出，不適 當的策略容易導致估測結果錯誤或誤差過大，包含：長加寬、錯用單位面積的長邊與寬邊估 測面積、亂猜及其他（計算錯誤、單位的大小錯誤）。 在國內探討學童估測策略的研究方面，黃幸美（2004）觀察兩班二年級學童的長度測量， 其為接受依 1993 年課標編製的教科書教學，發現學童善於使用身體部位、周遭易於取得的物 件為參照單位測量與估測長度，根據自己的測量經驗與熟悉的短尺長度，回答他人有關測量 誤差的提問。莊維展（2001）分析使用依 1993 年課標編製的教科書之五年級學童的估測策略， 指出六種常用的策略（猜測、普遍單位直接比較、個別單位直接比較、使用參照單位分解與 重組、數學公式及不知道）。細究莊維展的策略分類定義及其所列舉的例子，雖有少數類型定 義尚待釐清（例如：在「分解／重組」策略包含使用面積公式；但在「數學公式」策略則指 不同測量單位的轉換，是否包含使用面積或體積公式，陳述不明確），但其類型與 Hildreth （1983）及 Siegel 等（1982）的策略類型相似。

黃幸美 長度、面積與體積估測 139 綜合上述，估測者常因問題情境不同而使用不同的策略或結合使用多重策略解決問題， 但是有關估測策略使用數量與不同年級和估測性質之間的關係如何，尚缺乏文獻分析。本研 究根據文獻探討，提出兩個研究假設：（一）不同的年級與測量性質影響學童的估測表現。 （二）不同的年級與測量性質影響學童估測策略使用的數量。

參、研究方法

本研究以兩個階段蒐集資料，再結合量化與質性分析方法分析資料。第一階段為發展估 測評量工具，分析工具的信度、效度、試題難度與鑑別度，以及學童的估測策略初步分析； 第二階段為使用估測評量對較大規模的高年級學童施測，繼而分析學童的估測表現與策略使 用情形。兩階段的資料蒐集與分析方法，分別陳述如下。

一、第一部分－估測評量工具的發展與試題分析

本估測評量試題之發展，主要依據九年一貫課綱（教育部，2010）與教科書（例如：南 一書局企業股份有限公司，2013；康軒文教集團，2010，2013；翰林出版事業股份有限公司， 2009，2012），並參考王選發（2002）與莊維展（2001）的估測問題編製而成。試題發展過程 包含評量的初試與預試兩個階段，以下分別說明之。

（一）第一階段－估測評量的問題類型、初試與預試及評分方式

1. 估測評量的問題類型

使用於初試的估測評量為一套包含估測長度（五題）、面積（七題）、體積（五題）共 17 題問題的紙筆評量。問題所包含的待測物與參照單位，皆以實物或圖示呈現（Forrester et al., 1990; O’Daffer, 1979），並以 A3 紙印製問題。估測類型包含兩種：(1)定量估計：解決此題型 需依呈現的圖或實物對待測物進行估測。問題形式包含選擇題（六題）、填充題（四題）及繪 圖題（一題）。繪圖題乃要求將所估測的量繪製成圖，例如：畫出一個 20 平方公分的長方形。 (2)區間估計：此題型皆為選擇題（六題），解題者需先估測待測物，並從估測區間的三個選項 中，選擇最合理的答案。例如：這個清潔袋單面的面積約有多少平方公分？（①小於 1,800 平 方公分；①大於 1,800 平方公分但小於 2,100 平方公分；①大於 2,100 平方公分） 在估測單位方面，本評量問題的測量單位包含兩種：(1)公制單位：測量單位為公制單位 （公分；平方公分；立方公分）。(2)參照單位：指使用指定單位估測。例如：54 公分大約是幾 根粉筆的長？ 施行評量時，提供每位學童一包實物袋，內容物為較小且方便拿取、展開以估測之物件 為主。在待測物與參照單位的呈現方式上，為避免學童將前述兩物直接比對與計數，未能有 效測得運用心理單位估測的能力，乃將多數參照單位展示於黑板與講桌上，學童可以觀看與

140 長度、面積與體積估測 黃幸美 觸摸，但是不能移動位置。亦即，不同時提供待測物與參照單位給個別受試者。物件呈現的 原則說明如下：(1)包含圖示的待測物，以圖示為主，不另提供實物。(2)待測物的提供：若待 測物面積較大、較不方便展開觀看者（例如：5,260 平方公分的塑膠紙面），則提供每人一份 參照單位，並將該待測物標註題號，展示於黑板。若待測物較小、便於觀看者（例如：立方 體紙盒、小橡皮擦等等），則提供給每人一份，並將該題的參照單位標註題號，展示於黑板。 同時，彩色粉筆盒與白色粉筆盒皆各展示三份於黑板（或講桌上），取代個別提供。由於邊長 一公分的小白積木、粉筆及八開圖畫紙，皆為學童於課室常使用的物品，故於初試評量時不 呈現。施測時所提供的所有物件，皆於完成施測後回收。

2. 試題計分方式

在估測評量的計分方面，Siegel 等（1982）提出「正確」與「合理性」的語彙，將估測的 誤差程度做分類，但兩者的誤差指標設定並非一致，例如：估測值介於實際值的±50%之內者， 歸為「正確」；誤差超過待測物實際值 75%者，為「不正確」亦「不合理」。Siegel 認為「合理 性」的範圍乃依估測值與待測物實際值的差距是否在一個合理範圍，但有些指標範圍相當粗 略、寬廣，非屬一個連續性的誤差百分比來評量其正確性，因此，其研究乃將估測結果區分 為「正確」與「不正確」。 由於估測結果存有誤差，Coburn（1987）針對誤差程度與估測表現的評等，提出三種等 級：誤差約為+10%～-11%之內者為「最好」（super）；誤差約為-12%～-17%與+11%～+16%兩 區間範圍內者為「好」（great）；誤差約為-18%～-23%及+17%～+22%兩區間範圍內者為「可 接受」（OK）；而且 Jones 等（2009）設定誤差約為±10%之內者為兩分、超過 10%為一分、 無回答者為零分。本研究參考 Siegel 等（1982）的部分計分理念與分類語彙，以及 Coburn 和 Jones等人的多重評等方式，使用「合理」、「可接受」及「不合理」區分估測結果的誤差程度。 在估測誤差的設定方面，由於本評量的待測物都是學童熟悉的生活物品，而且估測者皆可接 近觀察待測物與所提供的測量單位，除了一題面積估測（舉出教室內一項最接近一平方公尺 的東西）以外，所有題項評分乃設定誤差值在±10%之內者，表示估測得「合理」，給予兩分； 誤差值介於±10%～±25%的正、負兩區間範圍內者，表示「可接受」，給予一分；若誤差值 超過±25%，為「不合理」，給予零分。可見本研究的「合理」定義與 Siegel 的定義不同。 有關「舉出一平方公尺的東西」題項的評分，因解決該題需運用心理估計待測的面積， 結合觀察、目測以對應教室內的物件面積，估測時可能因觀察位置與視角誤差，而產生較大 的估測誤差，因此，此題的評分標準設定為誤差值在±25%之內，表示「合理」，給予兩分； 若誤差值介於±25%～±50%的正、負兩區間範圍內，表示「可接受」，給予一分；若誤差值 超過±50%，表示「不合理」，給予零分。 在面積繪圖題的評分上，包含三個檢核步驟：(1)檢視學童繪製的四邊形是否符合長方形 （或正方形）的特徵。(2)實測所繪製圖形的邊長與計算其面積，再依前述的估測值評分原則

黃幸美 長度、面積與體積估測 141 評分。惟考量學童答題時不能使用尺規，難以精準地繪出直線與直角，因此，只要學童所繪 製的四邊形圖近似指定圖形（非梯形），即依評分原則評分。

3. 估測評量工具的初試與預試

評量問題設計完成後，先邀請三位有經驗的小學教師針對問題內容、圖示與陳述方式， 評核是否切合高年級學童的測量經驗。繼而，為瞭解試題對於評量學童估測能力的適當性， 乃以便利取樣方式，從臺北市與新北市小學選取 79 位高年級學童進行初試，並記錄學童完成 解題的時間。同時，為瞭解學童的估測策略類型，並以一對一晤談方式及使用錄音與錄影方 法，蒐集學童的估測策略說明資料，並將晤談資料轉成逐字稿，初步分析策略類型。經此初 試的施測觀察分析，發現多數學童可於 40-45 分鐘完成解題，並將學童對問題文字陳述的閱讀 理解情形、如何使用所提供的待測物及參照單位進行估測，以及實物展示位置等觀察紀錄， 以作為調整評量問題與施測之參考。

（二）第二階段－估測評量的預試及信度與效度分析

初試評量經修改後，研究者將試題設計成專家評量問卷，邀請四位數學教育學者及一位 心理與測驗評量的學者，逐題評核其評量學童在估測長度、面積與體積能力的有效程度，評 審者以同意的程度（非常同意；同意；不同意）評核試題可有效評量的程度；當有不同意的 看法時，則陳述意見與建議。經專家評審結果分析，顯示：所有題項皆有 80%～100%的專家 評核為同意或非常同意。針對少數題項有部分專家表示不同意之處，乃在於專家們建議：1. 提供受試者待測物與展示參照單位實物（例如：八開圖畫紙）。2.估測體積的題項皆以長方體 實物取代二維立體圖示，避免觀察時因視角誤差，干擾估測。3.增刪修改少數問題的文字陳述， 使題意更明確。例如：估測圖示的面積題項，建議增加「面積」的陳述。 研究者參考專家建議修改試題，同時，為瞭解學童表徵長度估測的表現，增加一題繪製 長度線段的問題，並於較大的長度（78 cm 繩子）、面積（1,500 cm2）、體積（544 cm3）估測 問題，各增加一次題項─陳述估測方法的說明題，以瞭解學童使用於各類估測的策略。此經 調整後的試題成為預試評量，其中長度、面積與體積估測問題分別為六題、七題與五題，共 18題，以及三個描述估測方法的次題項。此預試問題以 A3 紙印製，並增供參照單位─八開圖 畫紙。 為瞭解預試評量試題之信度與難度、鑑別度，乃以便利取樣方法從臺北市與新北市各兩 所公立國小，各校分別選取五年級與六年級學童各一班，共 201 位接受預試（男生 100 位、 女生 101 位），平均年齡為 11.30 歲（M＝138.58 個月，SD＝6.96），其中五年級學童為 102 位 （男生 50 位、女生 52 位）；六年級學童為 99 位（男生 50 位、女生 49 位）。施測時間約為 40-45 分鐘。 在試題分析方面，乃使用臨界比（critical ration）的方法，用 t 檢定比較各題在高、低分

142 長度、面積與體積估測 黃幸美 （前 25%與後 25%）之間的差異，並以 Person 相關法檢驗各試題與總分之間的相關程度。在 依臨界比檢定選擇題項方面，所選擇的題項需同時滿足以下兩個考量：1.臨界比值≧2.00 且 t 檢定結果達 0.05 顯著水準者；2.各試題與總分之間的相關係數，達 0.20 以上者為考量。 在試題的難度與鑑別度方面，分別使用難度指標（P）與鑑別度指標（D）（郭生玉，1988） 進行分析。同時，郭生玉（2012, p. 189）建議：一般可接受的試題鑑別力之最低標準在 0.25 以上；測驗試題難度以 0.20～0.80 為宜。然而，郭生玉也說明：「試題鑑別力未必就能表示試 題的效度」且「低的鑑別力未必就表示試題欠佳」，有些試題鑑別力低的結果可能「由於教學 未重視此能力，因而分析結果鑑別力可能很低」。因此，為更深入瞭解學童的估測能力，部分 試題具有專家效度但難度較高或鑑別力略低者，也予以保留（楊志堅、蘇啟明、沈文娟，2006）。 預試的題項難度、鑑別度及 Person 相關法檢驗分析結果，以及題項的刪除或保留，參見附錄 所示。 依據預試的試題分析結果，試題的刪除與保留情形說明如下。1.刪除一題（第 8 題），其 臨界比值（0.97）、試題與總分的相關值（0.11）偏低，以及其鑑別度（0.09）均未達選取標準。 2.第 4-1 題的臨界比值（4.27）、試題與總分的相關值（0.37, p ＜ .001）及鑑別度（0.26）皆 達選取標準，其難度（0.13）雖略低於 0.20，此題仍予保留。3.第 9-1 題的臨界比值（4.82）、 試題與總分的相關值（0.34, p ＜ .001）及鑑別度為 0.32，皆達選取標準，其難度（0.18）雖 略低於 0.20，此題仍予保留。4.第 11 題的臨界比值（3.87）、試題與總分的相關值（0.27, p ＜ .001）及難度為 0.51，皆達選取標準，其鑑別度（0.21）雖略低於 0.25，此題仍予保留。 預試評量經刪除一題之後，試題的臨界比值為 3.05～8.27；各試題與總分的相關值為 0.26～ 0.54；試題鑑別度為 0.21～0.65；試題難度為 0.13～0.69（長度、面積、體積估測分測驗的平 均難度分別為 0.50、0.37 及 0.47）；整份評量的折半信度為 0.74。由此可見，此份包含估測長 度（六題）、面積（六題）與體積（五題）共 17 題項的正式評量試題，具有可接受的鑑別度 與信度，也正式使用於調查學童估測能力。此份正式評量之各分測驗、試題、估測類型與單 位、題型、待測物與參照單位的尺寸及答案，如表 1 所示。在評分方法上，乃依前文之原則 評分，最高總分為 34 分；估測方法說明題項只做策略分類處理，不予計分。

（三）估測策略類型

在估測策略分類方面，本研究參考先前研究對學童估測策略的分類（Huang, 2014b, 2015b） 及初試的策略晤談與預試資料分析，將估測策略分為以下八種： 1.目測：指使用視覺感官估測。例如：「用眼睛看」。 2.使用身體部位估測：指使用非視覺的身體各部位為參照單位進行估測，例如：手或手指 （寬或長）、手指第一節的長、一扠手、庹長、腳步長、身高、腰圍、手掌掌幅等。 3.使用先前的經驗：指使用以前的測量經驗或記憶或直接使用公式（面積或體積公式）計 算。

黃幸美 長度、面積與體積估測 143 表 1 各類估測試題、估測類型與單位、題型、待測物與參照單位的尺寸及答案 估測 性質 試題與題號 估測類型 估測單位 題型 實物或圖示 待測物、參照單位 尺寸及答案 1. 毛毛蟲的身長有多長 定量估計 公制單位 填充 圖示 1. 毛毛蟲身長約為 7 公分 _{2. 答：7 公分} 2. 吸管約有多長 定量估計 _{（參照單位）}單位數估計 選擇 圖示 1. 吸管 12 公分；參照單位：邊長 1 公分的小白積木 2. 答：(2)12 個 12-1.繩子約有多長 定量估計 公制單位 填充 實物 1. 繩子長度為 78 公分 _{2. 答：78 公分} 12-2.估測方法說明 － － 說明 － 說明估測方法 13. 畫出 25 公分的直線 定量估計 公制單位 繪圖 － 畫出 25 公分的直線 14. 54 公分是約幾枝粉 筆的長 定量估計 （參照單位）單位數估計 選擇 實物 1. 繩子為 54 公分；參照單位：粉筆長 8 公分 2. 答：(2)7 根 長度 15. 皮帶約有多長 區間估計 _{（參照單位）}單位數估計 選擇 圖示 1. 皮帶約為 19 公分；參照單位：3 公分小緞帶 2. 答：(3)大於 6 條但小於 6.5 條 7. 甲圖的面積約是多少 定量估計 公制單位 填充 圖示 1. 甲圖面積為 10×10＝100（cm_{2. 答：100 平方公分} 2） 8-1. 這一張紙的面積約 是多少 定量估計 公制單位 填充 實物 1. 紙張面積 30×50＝1,500（cm 2_） 2. 答：1,500 平方公分 8-2. 估測方法說明 － － 說明 － 說明估測方法 9. 找出教室內一件最接 近 1 平方公尺的東西 定量估計的對應物 公制單位 填充 － 列舉教室內面積約為 1 平方公尺的物件 10. 清潔袋的面積約是 多少 區間估計 公制單位 選擇 實物 1. 清潔袋面積為 43×56＝2,408（cm2_） 2. 答：(3)大於 2,200 平方公分但小於 2,500 平方公分 11. 約多少張 8 開圖畫紙 可蓋滿 5,260 cm2_塑 膠紙 單位量的 區間估計 （參照單位）單位數估計 選擇 實物 1. 5,260 平方公分塑膠紙；參照單位： 八開圖畫紙面積為 39.5×27＝1,066.5 （cm2_） 2. 答：(1)大於 5 張但小於 5.5 張 面積 16. 畫出 16 平方公分的 長方形（或正方形） 定量估計 公制單位 繪圖 － 畫出 16 平方公分的長方形（正方形） 3. 小橡皮擦的體積大約 是多少 定量估計 公制單位 選擇 實物 1. 橡 皮 擦 體 積 為 4.4×1.2×1.7 ＝ 8.98 （cm3_{）；單位：1 立方公分} 2. 答：(2)大於 8 個但小於 9 個 4-1. 大彩色粉筆盒的體 積大約是多少 定量估計 公制單位 填充 實物 1. 大彩色粉筆盒的體積為 5×8.5×12.8 ＝544（cm3_） 2. 答：544 立方公分 4-2. 估測方法說明 － － 說明 － 說明估測方法 5-1. 乙盒子的體積大約 是多少 定量估計 公制單位 填充 實物 1. 乙盒子的體積為 4×2×2＝16（cm 3_） 2. 答：16 立方公分 5-2. 大約多少個積木可 堆成乙盒子 定量估計 （參照單位）單位數估計 填充 實物 1. 乙盒子的體積為 4×2×2＝16（cm3_）； 參照單位 2×1×1＝2（cm3_） 2. 答：8 個 體積 6. 白色粉筆盒的體積大 約是多少 區間估計 公制單位 選擇 實物 1. 白 色 粉 筆 盒 的 體 積 12×9×8 ＝ 864 （cm3_） 2. 答：(1)大於 800 立方公分但小於 900 立方公分

144 長度、面積與體積估測 黃幸美 4.使用心理尺：指使用心中想像的尺或標準單位（1 cm 或 1 m 或 1 cm2或 1 cm3）比較待 測物、複製單位與計算。例如：知道 5 cm（或 10 cm）的長度，並想像為心理單位、複製單位 與計算估測結果。 5.使用物件為參照：指取用物件的長度（面積或體積）為參照，比對待測物或使用此物件 為單位，複製單位與計算。例如：知道自己的鉛筆的長度，並使用為單位估測。 6.猜測：指使用猜想，未陳述估測的單位與方法。例如：「直覺」、「感覺」或「憑空想像」。 7.不知道或策略不明：此類包含陳述「不知道」或簡要文字陳述，但所陳述的估測方法不 明確或訊息不完整，例如：陳述「長、寬、高」、「大約」或「拉長繩子」。 上述「猜測」與「不知道或策略不明」的例隅，分別如圖 1 所示。 8.空白未答：指無回答任何策略。 1. 「猜測」例隅： 2. 「不知道或策略不明」例隅： 圖1. 學童的猜測與不知道或策略不明策略之例隅

二、第二部分－估測評量的正式施測

在學童的估測能力調查方面，使用上述的估測評量與便利取樣方法，對臺北市與新北市 14所公立國小五～六年級學童進行施測。施測樣本的取樣包含兩步驟：（一）徵詢參與研究之 學校與教師：從臺北市 12 個行政區及新北市的板橋市、中和市各一所公立國小，徵詢曾接受 研究者任教的研究所課程之在職教師（或校友）、其所服務學校之行政單位及任教高年級教師 參與施測之意願；（二）經徵詢學校行政單位、班級教師之同意參與，14 所同意參與施測的學 校（臺北市各區與板橋市、中和市各一所學校），除了北投區參與學校的五、六年級各有一班 參與之外，其他 11 校的五年級與六年級各有兩班學童共 948 位，學童經父母親同意後接受施 測（男生 486 位、女生 462 位），平均年齡為 11.58 歲（M＝138.96 個月，SD＝7.68），其中五 年級學童為 483 位（男生 250 位、女生 233 位）；六年級學童為 465 位（男生 236 位、女生 229 位）。

三、資料處理

學童的估測能力乃依評分原則評閱及受試學童於評量的解題表現，分別計算三種估測分 測驗之總分及整體總分。由於三個分測驗的題數不相等，因此，比較學童在三類估測問題的 解題表現時，皆以各分測驗的一題平均分數進行分析。 在策略分析方面則依學童在三個說明題項所敘寫的策略分類。在策略使用的數量上，乃

黃幸美 長度、面積與體積估測 145 將學童的策略分類後，逐題計數策略數量並以「1」（單一策略）、「2」（併用兩種策略）、 「3」（併用三種策略）記錄策略數量。 在評分者一致性分析方面，兩位評分員分別評閱 26 份填答試卷，兩者評分一致性達 100%。在策略類型分類之一致性分析方面，兩位評分員分別對 26 份填答試卷的三題估測策略 進行分類與 Kappa 分析，分析結果為 0.85，p ＜ .01。

肆、研究結果

一、不同年級學童在各類估測的解題表現與比較

各年級學童於解決各估測分測驗的一題平均得分與標準差及通過率，如表 2 所示。從表 2 可發現：在整體估測的通過率上，五年級與六年級學童約為 43%與 49%；在長度估測上，五 年級學童的通過率接近 50%，六年級學童為 56%。在面積估測上，五、六年級學童的通過率 皆低，分別為 35%與 40%；在體積估測的通過率上，五年級學童為 45%，六年級學童則為 50%。 表 2 各年級學童於整體及分測驗的一題平均分數、標準差、通過率及策略數量之平均數與標準差 五年級（n＝483） 六年級（n＝465） 估測性質 平均數 標準差 通過率 平均數 標準差 通過率 F 估測解題表現 整體 0.86 0.26 43% 0.97 0.31 49% 34.72*** 長度 0.98 0.39 49% 1.11 0.41 56% 26.41*** 面積 0.70 0.33 35% 0.80 0.41 40% 19.14*** 體積 0.90 0.41 45% 0.99 0.42 50% 10.75*** 策略使用數量 整體 1.08 0.01 1.13 0.01 7.55*** 長度 1.02 0.14 1.04 0.19 2.15*** 面積 1.07 0.26 1.13 0.34 8.98*** 體積 1.13 0.38 1.17 0.38 2.60*** **p ＜ .01. ***p ＜ .001. 為瞭解不同年級學童在三類估測表現的差異情形，使用二因子（2×3）混合設計的變異 數分析，以估測性質為重複量數。分析結果顯示：年級與估測性質的交互作用效果未達顯著 水準，F(2, 1892)＝1.05，p＝ .35；年級與估測性質的主要效果皆達顯著水準，年級的效果為 F(1, 946)＝34.72，p ＜ .001，η2＝0.04，顯示學童的表現呈年級差異；估測性質的效果為

146 長度、面積與體積估測 黃幸美 F(2, 1892)＝185.36，p ＜ .001，η2＝0.16，表示學童的表現因估測性質不同而呈現差異。 經事後分析，年級差異展現於三類估測的表現分別為：長度為 F(1, 946)＝26.41，p ＜ .001，η2＝0.03；面積為 F(1, 946)＝19.14，p ＜ .001，η2＝0.02；體積為 F(1, 946)＝10.75， p ＜ .001，η2＝0.01，且六年級學童在三類估測的解題表現皆優於五年級。在六年級學童於不 同估測性質的表現，呈顯著差異，F(2, 1892)＝97.83，p ＜ .001，η2＝0.09，類似地，五年級 學童於不同的估測表現，亦呈顯著差異，F(2, 1892)＝88.40，p ＜ .001，η2＝0.09。兩個年級 學童的長度估測表現皆優於其他兩種估測表現，而且他們的體積估測表現也優於面積估測表 現。

二、學童在各類估測的策略類型

學童使用的策略類型與人次如表 3 所示。在估測策略分析方面，學童使用的單一策略包 含八種類型，除了空白與不知道或策略不明為訊息不足的策略，其他六種則為可完成估測解題的 方法。從施測觀察與評閱學童答題發現，部分學童取用施測時提供的物件為參照估測解題。此 外，有的學童結合使用兩種或三種策略。學童的併用策略多樣化，但傾向使用目測、身體部 位、心理尺、物件和先前經驗併用。以下各列舉一個併用二或三種策略的例隅─「結合心理 尺與以前經驗」的併用兩種策略及「結合目測、身體部位與以前經驗」的併用三種策略，分 別如圖 2 所示。 圖2. 學童併用兩種或三種策略之例隅 從表 3 可見，除了訊息不足的策略之外，使用六種單一策略的總人次由高而低排列為：使用身 體部位、物件、目測、心理尺、猜測及以前的經驗。同時，於去除訊息不足的策略者，約 87%～ 91%的學童能明確陳述一種或以上的策略；其中，在體積估測上併用兩種或三種策略的人次最 高（140/948），次為面積估測（93/948），最低為長度估測（27/948）。相對地，空白未答之人 次也以體積估測最高，次為長度估測，最低為面積估測。

黃幸美 長度、面積與體積估測 147 表 3 整體學童使用於估測長度、面積與體積的策略類型與人次 策略數量 策略 長度次數 面積次數 體積次數 總計 目測 151 140 124 415 單一身體部位 243 208 210 661 以前的經驗 10 67 75 152 心理尺 97 62 100 259 物件 218 206 125 549 猜測 82 84 72 238 策略不明 46 25 14 85 空白 74 63 88 225 一種 小計 921 855 808 2,584 目測和身體部位 4 4 12 20 目測和先前經驗 － 11 20 31 目測和心理尺 － 1 2 3 目測和物件 6 3 4 13 目測和猜測 4 4 3 11 兩種身體部位 4 1 2 7 身體和先前經驗 1 21 24 46 身體和心理尺 1 2 － 3 身體和物件 2 4 10 16 身體和猜測 1 － 1 2 心理尺和物件 1 1 1 3 心理尺和先前經驗（公式或計算） － 14 20 34 心理尺和猜測 － 1 － 1 先前經驗和物件 2 22 31 55 先前經驗和猜測 － 2 4 6 併用兩種 小計 26 91 134 251 目測和單一身體部位和物件 1 － 2 3 單一身體部位和物件及先前經驗 － 1 3 4 心理尺和物件及先前經驗 － 1 1 2 併用三種 小計 1 2 6 9 總計 948 948 948 2,844

148 長度、面積與體積估測 黃幸美

三、年級與估測類型對學童使用策略數量的影響

學童在三種估測分測驗所使用策略數量的平均數與標準差，如表 2 所示。在分析年級與 估測性質於策略使用數量的影響上，使用二因子（2×3）混合設計的變異數分析，以估測性 質為重複量數。結果發現：年級與估測性質的交互作用效果未達顯著，F(2, 1892)＝1.74，p ＝ .18；年級的主要效果為 F(1, 946)＝7.55，p ＜ .01，η2＝0.01，顯示學童使用的策略數量呈 年級差異；估測性質的主要效果為 F(2, 1892)＝60.27，p ＜ .001，η2＝0.06，表示學童的策略 數量因估測性質不同而呈差異。 經事後比較之結果，發現於整體的策略使用數量上，六年級學童的數量高於五年級學童。在 各類分測驗的比較上，五年級與六年級學童使用策略數量的差異僅呈現在面積估測，F(1, 946) ＝8.98，p ＜ .01，η2＝0.01；在長度與體積估測所使用的策略數量分別為 F(1, 946)＝2.15，p＝ .14 和 F(1, 946)＝2.60，p＝ .11，顯示學童的策略數量在長度與體積估測上無年級差異。而且，五年 級學童與六年級學童所使用的策略數量皆因估測性質不同而呈現差異，五年級為 F(2, 1892) ＝25.18，p ＜ .01，η2＝0.03；六年級為 F(2, 1892)＝36.61，p ＜ .01，η2＝0.04，他們使用於體積 估測的策略數量皆高於估測面積與長度的數量，且使用於估測面積的策略數量高於估測長度 的數量。

伍、討論、結論與建議

一、討論

本研究發展並使用一套具有信度與效度的估測長度、面積與體積的紙筆評量工具，檢驗 國小五～六年級學童的估測能力及策略使用情形。研究結果發現：學童的估測能力及策略使 用的數量皆受年級與估測性質影響，但是年級與估測性質之間無交互作用效果。整體而言， 六年級學童的估測能力優於五年級；學童在長度的估測表現最高，而且體積的估測表現優於 面積估測，上述現象可分別見之於六年級與五年級學童在不同估測性質問題的表現情形。在 估測策略使用數量比較方面，六年級學童使用策略的數量高於五年級學童；學童的策略使用 數量也因估測性質不同，呈現顯著差異。兩個年級的學童皆於體積估測時，所使用的策略數 量最高，而且使用於面積估測的策略數量高於長度估測的策略數量。在策略使用數量上的年 級差異，僅呈現於面積估測問題；在長度與體積估測的策略使用數量，則無年級差異。根據 上述，顯示本研究結果支持研究假設：（一）學童的估測表現因年級與估測性質不同而呈現顯 著差異；（二）學童的估測策略使用數量因年級與估測性質不同而呈現顯著差異。 分析學童估測策略類型，包含八種：目測、使用身體部位、以前的經驗、心理尺、物件、 猜測、不知道與策略不明，以及空白未答，且學童亦能併用兩種或三種可產出估測結果的策 略。約 87%以上的學童能明確陳述使用的估測方法，結合單位複製與計算的歷程，解決估測

黃幸美 長度、面積與體積估測 149 問題。上述結果，呈現當前高年級學童估測長度、面積與體積的能力與策略使用情形，也說 明了年級與測量性質對學童估測表現的影響。

（一）年級與估測性質對估測表現的影響

估測為一種使用心理意象運思的估計能力，此種認知處理需要充分地測量知識與測量經 驗。學童從學校的測量課程與活動學習測量知識與技能，他們的測量知能也隨著年級的遞增 而提升，進而促進估測能力的成長（Montague & Van Garderen, 2003）。上述觀點也獲得本研究 結果的支持。同時，本研究結果也與 Montague 與 Van Garderen（2003）及 Siegel 等（1982） 的研究結果相似。

相較於先前研究（例如：Forrester et al., 1990; Hildreth, 1983），根據少量的受試對象（各 年級受試學童低於 100 人）資料分析，未發現年級高低與學童的估測表現存有高度關聯性， 其結果可能受研究對象有限，推論性也受限制（郭生玉，2012）。本研究使用具有信度與效度 的估測評量工具，在考量適於國小學生完成解題的時間長度下（40-45 分鐘），使用多樣化的 問題表徵形式與題型（包含：定量估計與區間估計、估測繪圖，以及舉出對應指定量的物品 等問題）評量學童的估測能力，誠如郭生玉（1988）指出問題數量多且性質多元，更能適當 地探求學童的能力。同時，本研究資料乃蒐集自都市不同區域的公立學校的較大數量五～六 年級學童的評量表現，所得的結果具有推論力。另一方面，從本研究結果─年級高的學童估 測表現優於年級低的學童，也說明測量知識與經驗多寡對學童估測幾何量的重要性。 除了年級因素之外，研究結果也顯示學童的估測能力也因測量性質差異而有不同的表 現。五～六年級學童在長度估測的能力最高，其比處理面積與體積估測的能力高，此現象也 與莊維展（2001）及 Ruwisch 等（2015）的研究結果相似。學童在不同測量性質上所表現的 估測差異，可從兩方面提出說明：1.由於長度問題僅需處理一維空間量的估計，估測性質比面 積、體積估測單純（Lehrer, 2003），因此，學童也有較高的表現（Pike & Forrester, 1997）；2. 本評量的長度分測驗所包含的待測長度量，其數值皆比待測的面積量與部分的體積量數值 低，學童可能因待測量較小，其估測難度較低（Forrest et al., 1990），估測表現優於其他兩類 估測表現。 上述因待測量的大小所產生的估測難度變異對學童估測表現的潛存影響，也可見之於本 研究結果─學童在體積的估測表現優於面積估測。本研究為避免繁複計算干擾學童的估測表 現，評量問題所包含的待測物，其一維長度皆在二位數以內；但在面積估測問題所包含的待 測面積量比待測的體積量大，且此分測驗題型多元且具有難度（例如：指出對應特定量的物 品及繪製圖形），因此，三個分測驗的平均難度不同，由前文的試題分析可見─面積分測驗的 難度高於體積分測驗，體積分測驗的難度微高於長度分測驗。學童在難度較高的面積分測驗 上表現低落，也遜於體積與長度估測表現。 本研究結果呈現學童於體積估測的得分高於面積估測得分，其可能導因於評量工具的三

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個分測驗難度未完全一致，此限制也使研究結果未盡符合學者們（Lehrer, 2003; Van de Walle et al., 2013）所提的「待測物件空間向度數量愈高，測量難度愈高」的觀點。然而，從學童在 體積與面積分測驗的表現差異，顯示待測物大小與問題類型（例如：繪圖與指出對應特定量 的物品）為可能影響學童估測表現的因素。究竟待測物大小、問題類型和測量性質對學童估 測的影響程度，孰重孰輕，值得後續研究進一步檢視。

（二）學童使用於長度、面積與體積估測的策略類型

從估測策略類型分析，可發現目測、使用單一的身體部位、以前的經驗（使用公式或計 算等）、心理尺、物件、猜測等六種策略，為可完成估測的方法（Hildreth, 1983）。本研究發現， 高年級學童傾向使用身體部位，取用估測情境中的物件為參照單位及目測進行估測，三者皆 比使用心理尺的人次高，此現象可能受測量課程強調使用身體部位或物件為參考單位處理估 測影響（教育部，2010）。另外，本評量於施測時，提供學童待測物或測量單位，在不移動展 示物件的條件下，允許估測者觀看與使用身體部位或物件比對待測物，因此，學童也多有應 用先估後測經驗─使用身體部位或物件為參照單位，比對待測物與估算結果的表現，此種估 測方法亦見之於 Jones 等（2009）所觀察的六～九年級學童使用的估測方法。雖然使用身體部 位為參照的策略可以有效完成估測，但成長中的學童需注意─身體部位的長度隨著身體成長 而改變，參照單位大小亦需隨成長調整，方能估得合理（Huang, 2014b, 2015b）。此外，測量 估測亦指使用心理單位（或表徵）對待測物進行心理性地截割與運算，此心理運作歷程需借 助心理尺與熟悉較多的參考量，建立量感以助益心理估測（李源順等，2009）。本研究學童使 用心理尺的人次尚少於前述三種策略，鼓勵學童建構較多參考量與量感，乃值得估測教學參 考。 在面積與體積估測上，學童傾向使用以前的經驗為單一策略或將此策略與其他策略併用 （例如：先估測一維長度，繼而使用面積公式或體積公式），此現象也呼應 Hildreth（1983） 的研究結果。同時，本研究發現使用以前經驗的策略人次也不高，此可能由於本研究之策略 分類僅以敘寫的文字為分類依據，從資料分析過程也發現不少學童使用公式計算的紀錄，但 未以文字陳述使用公式，因此，未予歸類。為能更深入且確實瞭解學童使用策略的想法與併 用策略的情形，未來研究於蒐集策略資料宜輔以晤談資料參考。值得注意的是，學童在整體 的估測得分低於 50%，此顯示學童的估測能力有待再強化。同時，於測量教學中學生投入估 測活動與策略使用的情形如何，亦值得後續研究進一步觀察與檢視。 欲得合理的估測結果，需注意選用單位的合理性（教育部，2010），以及判斷待測物的大 小並選用有效的估測策略。雖然本研究的多數學童能使用策略估測，然而，從各類策略與人 次的統合資料也發現：約 11%（310/2844）的學童無法明確陳述方法或策略訊息不明，另有約 15%（415/2844）的學童使用目測為單一策略及約 8%（238/2844）的學童使用猜測。目測為估 測必要的視覺感官處理，若學童具有量感，則使用眼睛測量時，亦同時兼用心理單位處理估

黃幸美 長度、面積與體積估測 151 計與心理運算；但若缺乏量感，則估測結果的準確性也較低（黃幸美，2004）。猜測雖可完成 估測，但是憑直覺猜測，若對測量單位缺乏明確掌握，則產生誤差的可能性也較高（Bright, 1976）。 上述研究結果，也提醒教學者於施行測量與估測課程時，進一步詢問學童使用目測時， 是否也同時思考取用已知的單位進行分割、組合待測物及運算，同時，檢視學童表達與陳述 有效產出合理估測方法的能力，取代使用猜測、不知道或不明確的策略，值得重視。

（三）年級與估測性質對學童的估測策略使用數量的影響

本研究發現，有的學童結合兩種或三種策略處理估測問題。此種併用策略情況多見之於 體積估測情境，次而面積估測情境；使用於長度估測情境的次數最低。此現象顯示─學童常 因估測問題情境不同，使用不同的策略或併用數種策略完成估測作業（Joram et al., 1998）。上 述結果也間接呼應─不同的測量性質，其所測量的空間向度不同，估測體積需測量物體的長、 寬與高，其向度比估測面積、長度複雜，因而併用策略估測的需求也較高。 同時，本研究發現年級愈高的學童其策略使用數量愈多，此結果呼應表徵測量知識與經 驗多寡的年級因素，其與學童使用的策略數量具有關聯性。而且，五、六年級學童皆於體積估測 時，使用的策略數量最高，且使用於面積估測的策略數量也高於長度估測的數量，此結果反 映─當測量性質愈複雜，學童傾向使用較多的策略處理估測。誠如前文所述，由於測量體積 與面積所需的步驟較測量長度多且複雜，估測者常需先估測物件各向度的長度之後，再正確 地使用加法或乘法公式運算估測值（Hildreth, 1983），因此，在估測體積與面積時，使用的策 略數量也較高。 估測策略的使用常隨問題情境變化而改變，教學者宜提供多元的估測問題情境與機會， 讓學童察覺與判斷不同策略的適用性，進而能因應問題情境選用有效且適當的估測策略，以 獲得合理的估測結果。

二、結論與建議

本研究結果顯示高年級學童隨著年級遞升，所接受的測量知識與經驗愈多，裨益其整體 的估測表現得分及策略使用數量，此也賦予數學教育學者努力於估測課程與教學的正向教育 意義。另一方面，從整體與分測驗的解題通過率分析結果，顯示高年級學童的長度估測通過 率最高，約為 49%～56%；整體的解題通過率僅為 43%～49%。雖然學童的估測能力受問題情 境與特性影響（Jones et al., 2009; Jones et al., 2012），但就解決本研究的日常生活物件的長度、 面積與體積估測問題而言，學童的估測能力尚未盡理想，宜再強化與落實估測課程與教學， 提升學童的估測能力。同時，大多數學童能明確陳述使用一種策略解決估測問題，使用身體 部位與方便使用的物件為參照單位估測的人次最多；惟尚有少數學童使用猜測或無法明確陳 述策略，此乃值得教學者關注估測課程，強化學童對熟悉物件的量感與使用有效的估測策略。

152 長度、面積與體積估測 黃幸美 本研究的三種估測分測驗難度不盡一致，此限制也導致學童在體積估測分測驗的表現優 於面積估測分測驗─不完全符合「待測物件的空間向度數量愈高，測量難度愈高」的觀點。 未來研究，建議在適宜國小學童的評量時間長度考量下，調整部分試題，使分測驗難度相同， 並針對不同測量性質及待測量的大小，探討其對學童估測表現與策略使用的影響。 最後，雖然學童常利用長度估測結果與公式計算，估測面積與體積（Hildreth, 1983），但 Bright（1979）指出長度的估測表現未必正向遷移到解決估測面積問題的表現。換句話說，學 童在長度估測情境有較高的表現，但未必直接助益提升面積或體積的估測表現，因為學童對 面積與體積概念的理解，亦可能影響其是否能正確使用測量公式以產出合理的估計結果。誠 如本研究結果，當面積估測問題難度較高時，長度估測表現對於面積估測的助益有限。未來 的研究可進一步探討學童將長度估測的能力遷移於估測面積與體積的情形，以瞭解長度、面 積與體積估測能力的遷移解題關係，以及分析學童如何遷移長度、面積與體積估測能力， 以解決估測問題。

誌謝

本研究為科技部補助之專題研究（計畫編號：MOST102-2511-S-133-003-MY3）之部分成 果，本研究論點不代表科技部。本研究之完成，特別感謝兩位匿名審查委員之審查建議，也 感謝研究助理吳幸真與謝嫣然在研究歷程中的協助。此外，研究者感謝參與本研究的國小教 務處、班級教師及參與施測的學生，使資料蒐集得以順利完成。於此向協助教師：謝佳純、 鄭如玉、吳喜慧、萬鍾盈、陳芳姿、康宛如、吳欣悅、林佩瑩、邱怡君、吳娜慧、康銘媚、 張琤偵、駱美如、江欣穎、黃美月、張齡云、廖美紅、鄭雅菱、石玫芳、徐淑靜、錢熙瑤、 馮佳恩、黃于真、郭孟珊、李雅雯、張偉哲、郭明讓、鄭雅文、曾瑞錦、林淑貞、王盈文、 周宛瑜、李瓊恩、呂紹賢、賴桂玉、張桓睿、張麗蓮、黃淑雲、陳玉珊及壽靜婕，謹致謝忱。

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