1109 式的運算 聯立方程式 不等式與應用 解答

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1109 式的運算 聯立方程式 不等式與應用 班級 姓名

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.設x、 y 、k均為實數,若x 1 2x   y 4 x 3y k 0,則k之值為何? (A) 3 (B)1 (C) 4 (D) 5 【103 年歷屆試題.】 解答 D 解析 從題意可知 1 0 2 4 0 3 0 x x y x y k              由 得x 1 1 x  代入 得2

 

   1 y 4 0  y2 1 x  、y2代入 得    1 3 2 k 0  k 5 ( )2.用 x2  x  1 去除 2x3  3x2  2x  5,得到的餘式為何? (A)  x  4 (B)x  4 (C)  x2  5 (D)x2  5 【091 年歷屆試題.】 解答 A 解析 2 1 1 1 1 2 3 2 5 2 2 2 1 0 5 1 1 1 1 4                 ∴ 餘式為  x  4 ( )3.解 1 5 7 2 3 12 x y x y           ,則 9x  2y  (A)1 (B) 5 6  (C)  2 (D)0 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 1 5 7 2 3 12 x y x y           2     13 26 y   13  26y  1 2 y 代入 1 5 7 1 2 x   1 10 7 x   1 3 x   1 3 x  ∴ 9x 2y  2 ( )4.設 f (x)  x2  2x  5,g(x)  a(x  1)(x  2)  b(x  2)(x  3)  c(x  5)(x  1),若不論 x 為任意實數,恆使 f (x)  g(x),求 a  b  c  (A)  2 (B)2 (C)  1 (D)1 【龍騰自命題.】 解答 D ( )5.設 x  1 和 x  1 為多項式 x5  ax4  bx3  5x2  2x  5 的因式,則 3a  b 之值為何? (A)  3 (B)1 (C)3 (D)6 【101 年歷屆試題.】 解答 A 解析 令 f (x) x5 ax4 bx3 5x2 2x  5 ∵ x 1 為 f (x)的因式 ∴ f (1)  0

(2)

 1  a b  5  2  5  0  a b  3…… ∵ x 1 為 f (x)的因式 ∴ f (  1)  0   1  a b  5  2  5  0  a b  3…… 由與得 a  0,b  3,故 3a b  3  0  (  3)  3 ( )6.設 1 2 1 5 3 5 xx   ,求 2 1 3 4 5 x x  之值  (A)  56 (B)76 (C)36 (D)  46 【龍騰自命題.】 解答 B ( )7.化簡 8 1 3 1 i i          (A) 8 8 3i (B) 8 8 3i (C) 8 8 3i  (D) 8 8 3i  【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 所求

8 8 2 cos120 sin120 2 cos 195 sin 195 2 cos315 sin 315 i i i                      

 

2 8 cos

195 8

sin

195 8

16 1 3 8 8 3 2 2 iii                ( )8.某二位數的十位數比其個位數的兩倍多 1,若將此二位數的個位數與十位數對調後,新數比原數少 27,試求原數為何? (A)37 (B)73 (C)25 (D)52 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 設此二位數的十位數為 a,個位數為 b 2 1 10 10 27 a b a b b a           2 1 3 a b a b         a 5,b  2 故原數為 52 ( )9.複數 6(cos7 sin7 ) 4 4 z  i的標準式為 (A) 3 3 2i (B) 3 3 2i  (C) 3 3 2i  (D) 3 2 3 2i 【龍騰自命題.】 解答 D ( )10.若 4 3 2 2 4 2 2 x x x px q x x       能化簡為 x 之二次式,則 p  q 之值為 (A)  3 (B)  1 (C)3 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 x2 x  2  (x 2)(x  1) ∵ 能化為 x 的二次式 ∴ (x 2)、(x 1)為 x4 4x3 2x2 px q 之因式 16 32 8 2 0 1 4 2 0 p q p q              得 p 5,q  2,故 p q  3 ( )11.若 3 1 1 x x ax    不是最簡分式,則 a  (A)2 (B)1 (C)  1 (D)  2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 x3 ax 1 有因式 x  1  1  a  1  0  a  2 ( )12.設 f (x)  (a  1)x2  (a  b  2)x  (b  c  3),若 f (0)  f (3)  f (5)  0,求 2a  b  c  (A)  5 (B)  3 (C)  1 (D)0 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ f (0) f (3) f (5)  0

(3)

∴ 3 0 9( 1) 3( 2) ( 3) 0 25( 1) 5( 2) ( 3) 0                       b c a a b b c a a b b c 得 a  1,b 3,c  6,故 2a b c  5 ( )13.多項式 x20  4x10  x  3 除以 x2  1 得餘式為 (A)9 (B)x  8 (C)3x  2 (D)8x  1 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 令 f (x) x20 4x10 x  3  (x2 1)  p(x) (ax b) 又 f (1) 9,f (  1)  7  9 7 a b a b        得 a 1,b 8,故餘式為 x  8 ( )14.下列敘述何者正確? (A) 2 ( 2) 2 (B) 2 6 3 3  i  (C)    2 3 6 (D) 2  3 6i 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (A)(2)2 ( 2 )i 2     2 ( 1) 2 (B) 2 2 2 3 6 3 3 3 3 3 i i i i i        (C)    2 3 ( 2 ) ( 3 )ii   6 (D) 2  3 2 ( 3 ) i  6i ( )15.解根式方程式 4x 7 3x 2 3得 (A)x  2 (B)x  134 (C)x  2 或 134 (D)無解 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 4x  7 3 3x2,兩邊平方  4x  7 9 6 3x 2 3x2 14 6 3 2 x x      ,兩邊平方  x2 28x 196 36(3x 2) x2 136x  268  0  (x 2)(x  134)  0 ∴ x  2 或 134(不合),故解為 x  2

( )16.下列何者不是 4 4 3i 的立方根? (A) 2(cos sin ) 9 i 9   (B)2(cos5 sin5 ) 9 i 9   (C)2(cos11 sin11 ) 9 i 9   (D)2(cos17 sin17 ) 9 i 9   【龍騰自命題.】 解答 A 解析 44 3i8(1 3 ) 2 2 i  5 5 8(cos sin ) 3 i 3  ∴ xk 3 5 5 2 2 3 3 8(cos sin ) 3 3 k k i        ,k  0,1,2  x0 5 5 2(cos sin ) 9 i 9  x1 5 5 2 2 3 3 2(cos sin ) 3 i 3       2(cos11 sin11 ) 9 i 9  x2 5 5 4 4 3 3 2(cos sin ) 3 i 3       2(cos17 sin17 ) 9 i 9 

(4)

( )17. 8 2 15  8 2 15  (A)2 (B) 2 3 (C) 2 5 (D)8 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 8 2 15  5 3, 8 2 15  5 3 ∴ 82 15 82 15 ( 5 3)( 5 3)2 3 ( )18.設 32 2 1 1 1 A Bx C x x x x        ,則 B 為 (A) 2 3  (B) 1 3  (C)1 3 (D) 2 3 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 原式同乘x3 1

x1

x2 x 1

2



 

2

2A x   x 1 BxC x 1 AB x    A B C x A C 0 2 0 3 2 A B A B C A A C                , 2 3 B  , 4 3 C( )19.x3  2x2  4x  a 除以 x  1 的餘式為 2,則 a 之值為 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 (E)1 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 利用餘式定理 被除式中的 x 以 1 代入,得值 2 即 13 2  12 4  1  a  2  a  3 ( )20.解方程式2 3 1 22 1 1 1 x x x x x     ,x (A) 2 (B)1 (C) 2 或 1 (D) 1 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 原式同乘x2 1

x1



x1



 

2 2x3 x  1 x 1  2

2

 

2

2x x 3 x 2x 1 2         2 2 0 x x     1 x   或2 又x 1 0 ∴ x 2

( )21.(4i  3)2展開後的虛部為 (A)  24 (B)  4i (C)  12 (D)  12i (E)16

【課本練習題-自我評量.】 解答 A

解析 (4i  3)2 (4i)2 2  4i  3  32 16i2 24i  9  7  24i 故(4i  3)2展開後的虛部為 24

( )22.已知z1 3iz2  1 i,其中i 1,則 2 4 1 2

z z 可表示為下列哪一個? (A)16 cos 240

 isin 240

(B)16 cos 300

 isin 300

(C)16 cos 60

 isin 60

(D)16 cos120

 isin120

【105 年歷屆試題.】 解答 A

解析 (1)z1 3i的極式:

(5)

 

2 2 3 1 2 r   ,  30 則z12 cos 30

 isin 30

(2)z2  1 i的極式: 令

   

x y,  1,1 ,如圖: 2 2 1 1 2 r   , 45 則z2  2 cos 45

 isin 45

由(1)和(2):

2 2 1 2 cos 2 30 sin 2 30 z   i    4 cos 60

 isin 60

 

4

4 2 2 cos 4 45 sin 4 45 z   i    4 cos180

 isin180

故 2 4 1 2 z z   4 4 cos 60

 180 

isin 60

 180

16 cos 240 isin 240     ( )23.設k為實數,若x24x k 0有實根,則k的範圍為 (A)k4 (B)k4 (C)k4 (D)k4 【隨堂測驗.】 解答 B 解析 ∵ x24x k 0有實根 ∴ 判別式42   4 1 k 0  16 4 k0  k4 ( )24.方程式 4 81 0 x   的虛根為 (A) i (B) 3i (C) 3i (D) 3 3i 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 x4 81 2 9 x     x  9或x  9 3 x    或x 3i ( )25.設k為實數,若方程式 2 8 0 xx k 的兩根為共軛複數,則k值的範圍為 (A)k 16 (B)k 16 (C)k 16 (D)k 16 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 D 

 

8 2    4 1

 

k 0 64 4k 0     4k 64  k 16

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