0109 第三冊解答

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0109 第三冊

姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.設i 1,若級數 50 3 1 ( )n n i a bi   

,則 a  2b  (A)  1 (B)  3 (C)1 (D)3 【095 年歷屆試題.】 解答 B 解析 50 50 3 2 3 50 1 1 ( )n ( )n ( ) ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i             

 [(  i)  (  1)  i  1]  [(  i)  (  1)  i  1]  …  [(  i)  (  1)  i  1]  (  i)  (  1)  0  0 … 0  i  1   1  i  a  bi 即 a   1,b   1 ∴ a  2b   3 ( )2.設 47x  423y  81,則1 1 x y (A)  1 (B) 1 2  (C)1 2 (D) 2 3 (E)1 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析 4 4 47 81 log 47 log81 log 47 log 3 4log 3 423 81 log 423 log81 log 423 log 3 4log 3

x x y y x y                       ∴ 1 log 47 4 log 3 1 log 423 4 log 3 x y        故 1 log

1 1 log 47 log 423 log(47 423) 9 2log 3 1 4log 3 4log 3 4log 3 4log 3 4log 3 2 x y           ( )3.設 a、b、c、d 四正數成等比數列,若 a  b  8,c  d  72,則公比為 (A)2 (B)3 (C)4 (D)6 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 設四數為 a﹐ar﹐ar2﹐ar3 2 3 8 72 a ar ar ar        2 (1 ) 8 1 72 9 (1 ) a r ar r ∴ r   3(負不合) ( )4.設某班統計學平時考試成績分別為 x1,x2,…,xn,其平均數與變異數分別為 X 與 S2,統計學老師認為測驗卷的題目太難,每人都 加 10 分,則加分後的平均數與樣本變異數將改變為 (A) X ,S2 (B) 10 X,S2 (C) X ,100S2 (D) 10 X,S2  10 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 每人都加 10 分,則加分後的平均數會增加 10 分,即 yi  xi  10,YX 10。 (加分後的平均數Y n X n 10 X 10 n n    加分後的總分    ) 每個人分數都加 10 分,並不會改變樣本變異數的值。 ( 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( 10 10) ( ) 1 1 1 n n n y i i i x i i i S y Y x X x X S n n n          

( )5.有八個數值資料如下:15,73,x,65,42,83,50,87,已知它們的中位數是 60,則 x  (A)60 (B)57.5 (C)55 (D)50 【龍騰自命題.】

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解答 C 解析 由中位數為 60 可知 x 介在 50 及 65 之間,故將資料由小至大排列得: 15,42,50,x,65,73,83,87 中位數為最中間兩項相加除以 2,即 65 60 2 x  x  55 ( )6.若 2 2 1 x a   ,求 3x 3x x x a a a a      (A) 2 2 1 (B) 2 2 1 (C)2 (D) 2 2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 2 3 3 4 2 2 1 ( 2 1) 3 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 ( 2 1) 1 2 x x x x x x x a a a a a a a                    ( )7.設 log5[log3(log2x)]  0 之解為 (A)2  x  8 (B)1  x  8 (C)0  x  8 (D)5  x  125 【龍騰自命題.】 解答 A

解析 log5[log3(log2x)]  0  0  log3(log2x)  1  1  log2x  3

∴ 2  x  8 ( )8.已知 42x  5,則 3 3 2 2 2 2 x x x x     之值為 (A) 4 5 5  (B)6 5 5 5  (C)4 5 5 5  (D)5 5 4 5  【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ 42x  5 ∴ 24x  5,(2x)4  5 且 2 (2 )x  5 故原式 4 2 2 1 5 2 2 5 6 5 5 5 2 1 5 1 x x x          ( )9.設 1 1 2 2 4 aa  ,則 1 1 2 2 2 (aa ) 3之值為 (A)13 (B)15 (C)17 (D)19 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 1 1 2 2 4 aa   1 1 1 1 2 2 2 ( ) 2 16 2 14 aa  aa     故 1 1 2 1 1 2 2 (aa )  3 aa  1 14 1 15  ( )10.設三數成等比數列,其和為 63,其乘積為 1728,其公比大於 1,則公比為 (A)3 (B)7 (C)9 (D)4 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 設三數為x r ﹐x﹐xr ∵ 其乘積為 1728 ∴ x3  1728,得 x  12 ∵ 其和為 63 ∴ x x xr 63 r     12 12 12r 63 r     4r 2  17r  4  0  r  4 或1 4(不合) ( )11.A、B、C…等 6 人排成一列,規定 A 不排首、B 不排末,但 C 必排第二,其排法共有 (A)66 種 (B)78 種 (C)84 種 (D)96 種 【龍騰自命題.】 解答 B

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解析 排法  C 排第二方法  A 排首且 C 排第二方法  B 排末且 C 排第二方法  C 排第二,A 排首且 B 排末方法  5!  4!  4!  3!  120  24  24  6  78 ( )12.用 100 元購買 5 元、10 元及 20 元的郵票,每一種郵票至少買 1 張,100 元全部用完,則購買方法有 (A)16 種 (B)20 種 (C)27 種 (D)35 種 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 設 5 元 x 張,10 元 y 張,x、y 為正整數 20 元 1 張,5x  10y  80 x 14 12 10 8 6 4 2 y 1 2 3 4 5 6 7 共 7 種 20 元 2 張,5x  10y  60 x 10 8 6 4 2 y 1 2 3 4 5 共 5 種 20 元 3 張,5x  10y  40 x 6 4 2 y 1 2 3 共 3 種 20 元 4 張,5x  10y  20 x 2 y 1 共 1 種 ∴ 7  5  3  1  16 ( )13.已知 4 0 ( ) 25 k ak b   

, 5 2 ( ) 24 k ak b   

,則 a  (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 10 5 25 14 4 24 a b a b       a  2,b  1 ( )14. 1 n n i i S a  

,若 Sn  n2  3n,則 an  (A)2n  2 (B)2n  1 (C)2n  2 (D)2n  4 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 an  Sn  Sn  1  n2  3n  (n  1)2  3(n  1)  2n  2 ( )15.已知 2 10 (a x ) x展開式中,x 11的係數為  960,則 a 值為 (A)6 (B)4 (C)3 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ( 2 10) 100 ( )10 107 ( ) (3 2 7) a a a x C C x x  x    x   ∴ 10 3 7 960 C a      120a3  960 a3  8 ∴ a  2 ( )16.設 n、r 為自然數,若Pnr 272, 136 n r C,則 r  (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 D

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解析 Pnr 272  ! 272 ( )! n n r  … 136 n r C   ! 136 !( )! n r n r  …   得 r!  2 ∴ r  2

( )17.log9(log63)  log9(3  log38)之值為 (A)1

2 (B)2 (C)  2 (D) 1 2  【龍騰自命題.】 解答 A

解析 log9(log63)  log9(3  log38)

 log9[(log63)(3  log38)]  log9(3log63  log68)  log9(log6216)  log93 1

2 ( )18.由「1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐6﹐7﹐8﹐9」九個數字中任取二個數相乘,其積為 6 的倍數之情形有 (A)14 種 (B)13 種 (C)12 種 (D)11 種 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ 6  2  3 2 的倍數有 2﹐4﹐6﹐8 3 的倍數有 3﹐6﹐9 將 6 另外考慮 一數取 2 倍數(2﹐4﹐8),另一數取 3 倍數(3 , 9)方法 3  2  6 一數取 6 另一數可取 1﹐…﹐5﹐7﹐8﹐9 方法 1  8  8 ∴ 6  8  14(種)

( )19.已知 log2  0.3010 和 log3  0.4771,若 1  3  32 … 3n  106,則 n 最小整數值為 (A)12 (B)13 (C)14 (D)15

【龍騰自命題.】 解答 B 解析 1 2 3 1 6 1 3 3 3 10 3 1 n n         3n  1  2  106  1  (n  1)log3  log2  6 0.4771(n  1)  6.301  n  1  13.21  n  12.21 ∴ n 最小整數值為 13 ( )20.在邊長為 6 的正三角形內部任取一點 P,則 P 到三頂點的距離皆大於 3 的機率為 (A)12 3 18   (B)15 3 18   (C)18 3 18   (D)9 3 9   【龍騰自命題.】 解答 C 解析 以 3為半徑,A、B、C 為圓心畫弧(如圖),則空白部分即是大於 3的部分 △ABC 面積9 3,空白部分面積 9 3 3 2    ∴ 機率 3 9 3 18 3 2 18 9 3    ( )21.某人投籃平均每五次投中三次,設此人在 n 次投籃中至少投中一次的機率大於 0.999,則 n 之最小值為(已知 log2  0.3010) (A)12

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(B)10 (C)9 (D)8 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 投中一次的機率大於 0.999 相當於投不中的機率小於等於 0.001,投不中的機率每次為2 5 2 ( ) 0.001 5 n 2 log( ) log 0.001 5 n  n(log2  log5)   3  n(2log2  1)   3  3 3 7.5 2log 2 1 0.398 n      ≒ ∴ n 之最小值為 8 ( )22.6 件不同的禮物分給甲、乙、丙 3 人,其中 1 人得 1 件、1 人得 2 件、另 1 人得 3 件,則全部方法有 (A)480 種 (B)360 種 (C)120 種 (D)60 種 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 6 1 2 3 1 2 3 3 6! 3! 60 6 360 1! 2!3!     件分成 、 、 件方法 、 、 件分給甲、乙、丙 人之方法 ( )23.依下列各條件將甲、乙、丙、丁、戊等五人排成一列,何種條件下的排法最多? (A)甲、乙相鄰 (B)丙、丁不相鄰 (C)戊排首 位 (D)乙不排首位 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (A)4!  2!  48 (B) 4 2 3! 72 P   (C)4!  24 (D)5!  4!  120  24  96 ( )24.四對夫婦圍圓桌而坐,每對夫婦相對而坐的方法有 (A)120 種 (B)96 種 (C)72 種 (D)48 種 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 4 4! 1 1 2 6 16 48 4      2 2 可翻轉 夫先入座 (種) 每對夫婦均可交換 ( )25.三位正整數中,恰含有一個數字 2 的有 (A)220 個 (B)225 個 (C)240 個 (D)262 個【龍騰自命題.】 解答 B 解析 (1)百位數字為 2 的個數有 9  9  81 個(數字可重複) (2)十位數字與個位數字為 2 的個數均為 8  9  72(個)(0 不可為百位) ∴ 81  72  72  225(個)

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