Unit 15 立體圖形的基本性質 能力指標：◎（A-3-09）能瞭解幾何量不同表徵模式之間的關係。 ◎ (N-3-13）能理解容量和容積(體積)之間的關係，並利用此關係計 算大容器(如游冰池)之容量。 ◎（N-3-14）能將各種柱體變形成長方柱而計算其體積，形成柱體之 體積計算公式。 ◎（S-3-11）能操作圖形之間的轉換組合。 能力一：立體圖形的性質 一、立體圖形的定義 立體圖形（solid figure）：係指三維空間中的有界體積，或包圍該體積的封閉曲面 所成的幾何學圖形。 二、立體圖形的性質 （一）角柱體（設角=n 個） 性質：（1）體積：底面積╳高V = 。 A h （2）側面有 n 個矩形。 （3）共有 n+2 個平面。 （4）共有 2n 個頂點。 （5）共有 3n 個邊。 （二）圓柱體 性質：（1）體積：底面積╳高
( )
2 V = r h。 （2）表面積：V =2r2 +hl ,(
l =2r)
。 （三）圓錐體 性質：（1）體積：底面積╳高╳1 3 1 3 V = 。 A h （2）底圓周長：l =2 r 。 （3）錐體斜邊長：R= h2 +r2 。 （四）角錐體（設角=n 個） 性質：（1）體積：底面積╳高╳1 3 1 3 V = 。 A h （2）側面有 n 個等腰三角形。 （3）平面與頂點皆有 n+1 個。（4）共有 2n 個邊。 三、正多面體（Regular polygonal） （一）多面體的定義 ◎多面體係指由四個或更多個多邊形圍成的立體圖形，亦即相鄰面交於一邊，每 個頂點有三條或多條邊相交。 ◎正多面體又稱為柏拉圖立體（Platonic solids）只有五種，其所有的面都是等角 的全等正多邊形，每一頂點都會聚集相同的稜，且各頂點的多面角相等，計有 下列五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。 （二）正多面體的性質 （三）正六面體的展開圖 【多面體的性質】 講解一： （1）有一個十二角柱有 a 個頂點、b 個邊、c 個面。請問：
(
a+ − = ？ c)
b （2）若有一個七角錐的邊數比正六面體的邊數多 x 個，五角柱有 y 個面，則 x+ = ？ y Sol) （1）十二角柱有 24 個頂點、36 個邊、14 個面，(
24 14 - 36+)
= 。 2- 2 7 - 4 3 2 5 2 7, 2 7 9 x y x y = = = = = + = + = + = 七角錐邊數 正六面體邊數 五角柱面數 （2） 練習一： 有一個五角錐形的巧克力，今天在角錐上切一刀，不可切到頂點也不可切到底 面，可將巧克力分成兩個部份，請問共有多少個頂點、面與邊呢？ Sol) 【展開圖的判別】 講解二： 下列的展開圖中，何者不是正方體的展開圖呢？ sol）（D）無法形成正方體。 練習二： 下圖是一個正方體的展開圖，將它折成正方體之後的圖形是下列何者呢？ sol) 選（A） 【體積的計算】 講解三： 請求出下列各柱體的體積： 五角錐 頂點 面 邊 上半部 6 6 10 下半部 10 7 15 總 計 16 13 25 (1) (2) (3)
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
2 2 3 2 120 1 6 6 20 240 360 1 2 4 4 - 2 2 10 16 - 10 160 -10 4 3 3 5 27 5 135 o o = = = = = 單位 單位 單位( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
3 3 3 3 1 2 8 16 , 16 2 8 , = 8 8 8 512 2 1 9 25 35 , 1 , 3 = 0.8 2.5 0.6 0.6 2 0.6 3 0.6 4 12 cm cm cm cm = = = + + = + + + = 半徑 體積 塊 每塊 共計35 體積 練習三： 請求出下列圖形的體積： sol) 【十分鐘即時練習】 （C）1.下圖是正方體的一個展開圖，當用它合成原來的正方體時，與甲邊重合 的是哪一邊？（A）乙（B）丙（C）丁（D）戊。 （C）2.下列有關角柱的敘述哪一個不正確？ （A）有兩個全等的底面（B）側面與底面垂直（C）側面是等腰三角形 （D）邊的個數是底面邊數的 3 倍。 （A）3.小華畫了一個圓柱，但是他覺得柱高太高了，於是把柱高變為原柱高的 1 4，如果使體積不變，則底圓半徑為原半徑的多少倍？（A）2（B） 1 2 （C）4（D）1 4。 （B）4.小明將一蛋糕切成 8 等分，重新排列如下圖，並用尺量出 a、b 長度，則 b÷a 最接近哪一個數？（A）2（B）3（C）4（D）5。 每個圓弧 2cm 每塊正方體 1cm3 （1） （2） （3）2 3 2 3 40 32000 , = 20 10 8000 20 , = 80 > cm cm = = = Q甲 80=2 r, r=40 體積 10 乙 2 r, r= 體積 甲 乙 （A）5.如下圖，有兩張相同的長方形厚紙板，分別對長、寬捲起成圓柱體而成 為兩實體圓柱，若長方形紙板的長、寬分別為 80cm、 20cm ,則甲、乙 兩圓柱體哪一個體積較大？（A）甲（B）乙（C）一樣大（D）無解。 Sol) 能力二：容積與容量 一、容積 一個容器內裝滿液體時，液體所占的體積，稱為容積。 二、容量 一個中空容器能容物的量，稱為容量。 三、體積與容積單位換算表 四、不規則物體的體（容）積求法 不規則物體的體積 = 增高部分水量 = 柱體內部底面積 × 水面上升高度。 五、其它基本常識 （一）l 度水的水量 = l 立方公尺（ 3 cm ）的水 = 1000 公升（ l ）的水量。 （二）降雨量：即一次下雨，從開始到結束所累積降雨的高度，通常以毫米
( )
mm 表示。 （三）雨水：雨量 × 面積。 六、長方體容器的容積 容積 = (內部的長) × (內部的寬) × (內部的高) （一）有蓋的長方體容器： 內部的長、寬、高 = 外部的(長)、(寬)、(高)－2×容器壁的厚度。 （二）無蓋的長方體容器： 內部的長、寬 = 外部的(長)、(寬)－2×容器壁的厚度。 內部的高 = 外部的高－容器壁的厚度。( ) (
) (
) (
)
( )
( )
( )
( )
3 3 1 102 - 2 52 - 2 46 -1 100 50 45 225000 225 2 102 52 46 - 225000 243984 - 225000 18984 cm cm = = = = = l(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
3 100 65 50 5 31 50375000 50375 50375 1000 10 503.75 504 cm = = = = = l B 總用水量 水費 元 元( )
(
)
( )
( ) (
)
( )
3( )
(
)
11 82 160 742, =38+742 1+3% 802.26 802 11 50 25 1.8 2250 2250 , 2250 84 26 26 14 m = − = = = = = B B 1 用水費 水費 元 2 度 個游泳池 【容積的計算】 講解一： 有一正方體的水槽，已知邊長為 30 公分，先注入深 20 公分的水，再放入一長方 體的鐵塊 15 公分、12 公分、l0 公分，則水上升多少公分呢？ sol）上升高度=(
15 12 10 ) (
30 30)
=1800 900 =2 cm( )
練習一： 用 l 公分厚的玻璃做成一個有底無蓋的水箱，從水箱外量得長、寬、高分別為 l02 公分、52 公分、46 公分，則（1）水箱容量是多少公升呢？ （2）水箱本身的體 積是多少立方公分呢？ sol） 【水費的計價】 講解二： 一五口之家，每人每日洗澡一次，每次均要用掉一缸水，浴缸為長方體，內部的 長、寬及水深分別為 100、65 及 50 公分。請問全家 12 月份的洗澡總用水量是多 少公升呢？若以 1 度水收費 10 元計算，這一家 12 月份的洗澡用水，需多少水費 呢（四捨五入取整數）？ (1 度水=1000 公升的水量) sol） 練習二： 台灣省自來水費是兩個月收一次，水價計算如下：用水費=每度水單價×實際用 量累進差額；水費=基本費＋用水費×（1＋3％）；其中兩個月的基本費為 38 元， 另外附加的 3%是營業稅，採四捨五入計算至(元)為準，其每度單價與累進差額 如下表所示： 今天小勳家 10、11 月共用水 84 度，請問應繳水費多少元呢？請問 84 度水可裝 滿幾個游泳池（長=50 公尺、寬=25 公尺、深=1.8 公尺）呢（取整數）？ sol）(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
2 2 2 2 2 2 20 5 2 5 500 20 4 2 4 576 20 2 2 2 512 cm cm cm − = − = − = 甲 乙 丙 由上可知: 乙的容量最大( )
2 2 2 2 , , = , : : : : , : : 2 : 3 : 5 4 : 9 : 25 V r h V V V r r r V V V = = 2 2 2 = = 甲 乙 丙 甲 乙 丙 甲 乙 丙 體積公式 由公式可知 半徑或直徑的平方比 體積比 亦即( )
3 2000公厘 毫米( )=200公分=2公尺, 300 2 =600 m =600度(
)
(
)
(
)
3 2 1.2 =7.2 公秉 =7200 公升 , 7200 24 =300 分鐘 【容量或體積的比較】 講解三： 如右圖，甲、乙、丙均是每邊長 20 公分的正方形厚紙板，分別將其四個角剪去 一個每邊長為 5 公分、4 公分、2 公分大小一樣的正方形後，做成一個沒有蓋子 的紙盒，請問做出來的紙盒哪一個容量最大呢？ sol） 練習三： 如下圖，有 A、B、C 三個圓柱形容器，其直徑比為 2：3：5，某日下雨將三容 器置於雨中，雨停後觀察，三個容器中水的體積比為何呢？ sol） 【十分鐘即時練習】 （B）1.如右圖，有一圓柱形塑膠瓶子，裝了的 60c.c.的膠水，高度為 6cm，若將 此瓶子倒立，瓶嘴部分不能裝膠水，此時膠水距離頂端 4cm，求此瓶子最 多可裝膠水多少 c.c.呢？（A）90（B）100（C）110（D）120。 （A）2.如右圖，長方體內部長 30 公分、寬 25 公分、高 15 公分，把 9 公升的水 倒入此容器裡，水深是幾公分呢？（A）12（B）13（C）14（D）15。 （C）3.自來水廠有一個底面積 300 平方公尺、高 5 公尺的蓄水池，七月颱風來 時降下豪雨，七月總雨量是 2000 公厘，試問七月分此蓄水池儲存的水量 總共可供應民眾幾度的水？(l 度的水=1 立方公尺的水) （A）6 度（B） 60 度（C）600 度（D）6000 度。 Sol) （C）4.一個長 3 公尺、寬 2 公尺、高 l.2 公尺的長方體水塔，底部破了一個大洞 且每分鐘漏出 24 公升的水。若水塔原本裝滿水，則幾分鐘後水會漏光呢？ （A）3 分鐘（B）30 分鐘（C）300 分鐘（D）3000 分鐘。 Sol) （D）5.將甲、乙、丙三種不同物體分別放入大小\相同的 a、b、c 三容器中，水 位高度一樣，再將物體拿出後，水位變成如右圖所示，下列何者為甲、乙、 丙三物體體積的關係呢？（A）甲>乙>丙（B）丙>甲>乙（C）丙>乙>甲 （D）乙>甲>丙。( )
3 3 3 3 3 11 1331, 12 1728 11 1500 12 , =11, =11 1331, =1500 1331 169 = = = − = ∴ ∴最大正方體的邊長 體積 剩下個數 個 【基本觀念題】 （B）1.如右圖，一階梯共三層，小華的爸爸要在階梯上鋪地毯(如右圖的斜線部 分)。請問小華的爸爸需要面積多少平方公分的地毯呢？（A）1200（B） 12000（C）2400（D）24000（平方公分）。 （C）2.設長方體的體積為 48 立方公分，若其長、寬、高之比為 l：2：3，則此 長方體的表面積為多少平方公分呢？（A）80（B）84（C）88（D）92（平 方公分）。 （D）3.一個五角柱有 a 個頂點、b 個邊，c 個面，則 a+b+c=？（A）29（B）30 （C）31（D）32。 （C）4.小宇用 1500 個大小相同的實心正方體小木塊，緊密地疊成一個最大的實 心正方體，請問疊完後剩下幾個小木塊？（A）0（B）56（C）169（D） 500。【93 基測（2）】 sol) （A）5.小華用 l 公分厚的木板做成沒有蓋的長方體水槽一個，已知從槽外量得 它的長、寬、高分別為 32 公分、27 分分、l9 公分，請問此水槽的容量為 多少公升？（A）13.5（B）14.5（C）16.5（D）17.5（公升）。 sol) 32 1 2− =30, 27 -1 2, 19 -1 18, 30 25 18 = =13500( )
ml =13.5( )
l 。 （D）6.有一個內部長 30 公分、寬 25 公分、高 15 公分的長方體容器，今把 6 公 升的水倒入該容器中，則水深為多少呢？（A）5（B）6（C）7（D）8（公 分）。 （B）7.施老師將 32.4 公升的酒精溶液倒入長、寬各為 30cm、24cm 的長方體容 器中，酒精溶液的高度剛好比容器高度的2 3多 5cm，則此容器的高度為何 呢？（A）45（B）60（C）75（D）90（公分）。 （A）8.有一圓柱體的半徑增加 6cm 時，其體積增加 y 立方公分；若高增加 6cm 時，其體積亦增加 y 立方公分 ，已知原高為 2cm，則原半徑為多少公分 呢？（A）6（B）7（C）8（D）9（公分）。 （A）9.自來水 1 度平均為 7 元，柯南國中游泳池的長、寬、高為 75 公尺、50 公尺、2 公尺，平均 100 天換一次水(換水時將水流光，再重新注入)，每 天平均有 80 位學生游泳，管理費收入至少要多少元才會夠水費的支出 呢？(元以下四捨五入，1 度水=1000 公升) （A）7（B）14（C）21（D） 28（元）。 sol) 75 50 2 7 =52500( ) (
元 , 52500 100)
80B7( )
元 （D）10.如右圖（一）所示的，在圓柱形容器內裝有 2 公分的水，若其底面圓形 半徑 5 公分，柱高 4 公分，將容器豎立後，如圖（二），液面( )
AB 寬多少公分呢？（A）2.5（B）5（C）7.5（D）10（公分）。 【溫故歷屆基測試題】 （A）1.右圖為一柱體，其中上、下兩個 L 型底面全等，且側面皆與底面垂直。 根據圖中的數據，求此柱體的體積為何？（A）120（B）135（C）150（D） 300。【94 基測（2）】 sol) 體積=底面積×高=(3×1+4×1+1×1)×15=8×15=120（單位 ） 2 （A）2.阿俊拼裝完成了直角柱形的燈架，如右圖所示。他共用了 9 支鋼管，其 其中 30 公分長的有 4 支，40 公分長的有 3 支，50 公分長的有 2 支。則此 燈架的三角形底面三邊長分別為多少？（A）30 公分、30 公分、50 公分 （B）30 公分、30 公分、40 公分（C）30 公分、40 公分、50 公分（D） 40 公分、40 公分、50 公分。【91 基測（1）】 sol)∵上、下兩個三角形全等。∴40 公分長的有 3 支一定為三個高。另外 30 公 分、50 公分長的等分為兩組為上、下底的三角形，即每個三角形的邊長 為 30 公分、30 公分、50 公分。 （A）3.右圖（一）是由白色紙板拼成的立體圖形，將此立體圖形中的兩面塗上 顏色，如右圖（二）所示。下列四個圖形中哪一個是圖（二）的展開圖？ 【92 基測（1）】 sol)兩個顏色有交點，所以（B）（D）不可能。如果將圖形展開，有顏色的三角 形在正方形的右邊，所以正確的是（A）。 （C）4.下列各圖皆由相同大小的正方形所構成，請問下列哪一個選項是正方體 的展開圖？【90 基測（2）】 （D）5.有一個體積為 5l2 立方公分的正方體，求此正方體的表面積為多少平方 公分？（A）114（B）192（C）256（D）384。【93 基測（1）】 【模擬學力基測試題】 （C）1.長 40 公尺、寬 20 公尺的游泳池，若每分鐘注水 2000 公升，則需幾個小 時才能使水深增加 60 公分？（A）3 小時 50 分鐘（B）3 小時 55 分鐘 （C）4 小時（D）4 小時 5 分鐘。 sol) ∵40 公尺=4000 公分；20 公尺= 2000 公分。總需水量=4000×2000×60= 480000000 立方公分，又 2000 公升水的體積＝2000000 立方公分。
1 1 1 b 2 1 4 , a b= −a a= a = = ∴共需注水 480000000÷2000000=240 分鐘=4 小時。 （B）2.遊樂區興建一座游泳池，內部的長、寬各為 80 公尺、30 公尺，兒童戲 水區水深 1.2 公尺，長度為 20 公尺，成人游泳區水深 2 公尺，長度為 45 公尺，兩區之間以斜坡銜接，則游泳池的容積為多少立方公尺？（A）4040 （B）4140（C）4240（D）4340（立方公尺）。 sol) ∵長方體的容積=30×80×2= 4800 (立方公尺)。梯形面積=[20+(80－45)]×(2－ 1.2)÷2=22(平方公尺)。梯形底面的四角柱容積=22×30= 660 (立方公尺)。 ∴游泳池容積= 4800－660=4140(立方公尺)，故選（B）。 （A）3.將長 60 cm、寬 45 cm 的鋁片，四個角落都減掉一邊長 l0 cm 的正方形， 然後沿虛線摺起成一長方體容器，此容器的容積是多少公升呢？（A）10 （B）100（C）1000（D）10000（公升）。 （C）4.右圖是圓錐的展開圖，扇形的半徑為 8 公分，圓心角為90o，底面圓形的 半徑 2 公分，求這個圓錐的表面積為多少平方公分？（A）12（B）16 （C） 20 （D） 22 （ 2 cm ）。 （C）5.如右圖所示，共若干個正立方體積木所堆成，若小積木每邊長 l 公分， 問圖形的全部表面積為多少平方公分？（A）50（B）62（C）70（D）72 （ 2 cm ）。 【進階練習題】 （B）1.右圖是一個正 20 面體之視圖，請據以觀察其邊數與頂點數的和為多少 呢？（A）32（B）42（C）52（D）62。 （C）2.有一個正立方體盒子，在各面上分別以 1～6 的數字標示不同的顏色，其 展開圖如右圖，請問下面哪一個才是正確的立方體盒子？ （B）3.下列何者為右圖之展開圖？ （C）4.右圖表示一正方體之展開圖，若將此展開圖折回一正方體時，則BC邊與 何邊接合呢？（A）ML（B）LK（C）JI（D）FG。 （B）5.將一個正四面體的四個面上的各邊中點用線段連接，可得一個正八面體， 如右圖所示。令原四面體 ABCD 的體積為 a，新正八面體的體積為 b，則 b a = ？（A） 3 4（B） 1 2（C） 2 3（D） 3 8。 sol)
