0927 第一冊解答

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0927 第一冊 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.若 A(1,3)、B(  4,7)及 C(x,y)為平面上三點,且3BC2AC,則(x,y)為何? (A)(15,  14) (B)(  15,14) (C)(  14,15) (D)(14,  15)

【092 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ A(1,3)、B( 4,7)、C(x,y) ( 4, 7) ( 1, 3) BC x y AC x y      又3BC2AC (3x 12,3y  21)  (2x 2,2y  6) 3 12 2 2 3 21 2 6 x x y y         x  14,y  15 ∴ (x,y)  (  14,15) ( )2.設△ABC三內角 A、 B、 C 的對應邊分別為a、b、c,且 a23bc b c﹐求 A 之值為 (A) 2  (B)2 3  (C)3 4  (D)5 6  【105 年歷屆試題.】 解答 B 解析 a23bc b c  平方

2

2 2 3 abcbc  2 2 2 3 2 abcbbccb2c2a2 bc 由餘弦定理: 2 2 2 1 cos 2 2 2 b c a bc A bc bc        ∵ cos120 1 2    ∴ 120 2 3 A     

( )3.已知 tan22  k,則 sin2002  (A) 2 1 1 k  (B) 2 1 1 k   (C) 2 1 k k  (D) 2 1 k k   【091 年歷屆試題.】 解答 D 解析 由題目中:tan 22 1 k k    可得下圖

所求 sin2002 sin(360 5  202)  sin202 sin(180 22)  sin22(由圖中) 2 1 k k    ( )4.設 a、b 為實數,若坐標平面上的拋物線 y  x2  ax  b 的圖形與 x 軸的交點為(  1,0)、(2,0),如圖所示, 則 a  b  (A)2 (B)3 (C)  2 (D)  3 【096 年歷屆試題.】

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解答 D 解析 y x2 ax b (  1,0)代入得 0  1  a b… (2,0)代入得 0  4  2a b… 由  得 0  3  3a a  1 a  1 代入得 b  2 ∴ a b  3 ( )5.設直線 L1的斜率為  2 且通過點(0 ,  4),又直線 L2的 x、y 軸截距分別為 1、2,則下列敘述何者正確? (A)L1與 L2相交於點(2 ,  8) (B)L1與 L2相交於點(4 ,  6) (C)L1與 L2平行且兩線相距 2 5 (D)L1與 L2平行且兩線相距 6 5 【100 年歷屆試題.】 解答 D 解析 L1:y  (  4)  2(x  0)  2x y  4  0 L2: 1 1 2 x y 2x y  2  0 ∵ L1與 L2的係數比: 2 1 4 2 1 2 ∴ L1//L2,而 L1與 L2的距離 2 2 4 ( 2) 6 5 2 1      ( )6.設三角形的三邊長為 7 、 24 、 25 ,其內切圓半徑為 r ,外接圓半徑為 R ,求r R  (A) 0.12 (B) 0.24 (C) 0.25 (D) 0.48 【106 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (1)三角形的面積: ∵ 72242252 ∴ 此三角形為直角三角形 面積為1 24 7 84 2   (2)三角形的外接圓半徑R: 由正弦定理可知: 25 2 sin 90 R  25 2 1  R  25 2 R (3)三角形的內切圓半徑r: 令 1

7 24 25

28 2 s     三角形面積rs  84 r 28  r3 由(2)和(3)可知:

(3)

3 6 0.24 25 25 2 r R    ( )7.設 為實數,若sin cos 1 3

   ,則 tan  cot  (A) 5 4  (B) 9 4  (C)5 4 (D) 9 4 【094 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ sin cos 1 3    (sin cos )2 ( )1 2 3      1 1 2sin cos 9      sin cos 4 9      ∴ tan cot 1 9 sin cos 4         ( )8.設兩向量 a 、 b 的夾角為,且| a || b |,| ab |4,| ab |3,則 cos  (A) 7 25 (B) 5 13 (C) 3 5 (D) 4 5 【092 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ | ab |2| a |2| b |22 ab 16 又 2 2 2 | ab | | a | | b | 2 ab 9 由  得 2 2 2(| a | | b | )25 已知 2 | a || b |  4 | a | 25 | |2 25 4 a   由  得4 7 7 4      a b a b ∴ 2 cos | || | | | a b a b a b a     (∵ | a || b |) 7 7 4 25 25 4  

( )9.設 a、b、c 為實數,且二次函數 y  ax2  bx  c 的圖形如圖所示,則點 P (b2  4ac , abc)在第幾象限?

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【100 年歷屆試題.】 解答 A 解析 對於 y ax2 bx c 的圖形 開口向上  a  0 頂點在 y 軸右側 a、b 異號 b  0 與 y 軸的交點(0 , c)在 y 軸的負向 c  0 與 x 軸有 2 個交點 b2 4ac 0

因此 abc 0,故 P (b2 4ac , abc)在第一象限

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(C) 8 52 17 (D)36 【099 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (4,8) (1, 4) (5,12) ACAB AD    ( ) (1, 4) (4,8) ( 3, 4) BDBC CD AD BA AD ABAD AB      而 2 2 |AC| 5 12 13,|BD| ( 3) 2 ( 4)2 5 故|AC||BD| 13 5 18   故選(B) ( )11.設 A (  13 ,  19)、B (x , y)為平面上相異兩點。若向量 AB 與向量 u (5,12)同方向且|AB|26,則 3x  4y  (A)  103 (B)  29 (C)29 (D)103 【100 年歷屆試題.】 解答 B 解析 AB(x ( 13),y ( 19))(x13,y19) ∵ |AB|26, 2 2 | u | 5 12 13 且ABu 同方向, ∴ AB2 u (x 13 , y  19)  2(5 , 12)  (10 , 24)  x  3,y  5 因此 3x 4y  3  (  3)  4  5  29 ( )12.下列選項何者正確? (A) cos( ) cos

6 6     (B)cos2 cos 3 3   (C) sin( ) sin 4 4   (D)sin2 sin 3 3   【097 年歷屆試題.】 解答 D

解析 (A)cos( ) cos

6 6



(B)cos2 cos( ) cos

3 3 3

 

(C)sin( ) sin

4 4

  

(D)sin2 sin( ) sin

3 3 3

( )13.若在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中,點 A、B、C 的坐標分別為(5,2)、(1,3)、(  4,3),則 D 點之坐標為何? (A)(1,8) (B)(0,2) (C)(2,7) (D)(3,9)

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解答 B 解析 利用平行四邊形對角線互相平分 設 D 點坐標為(x,y) 又 A(5,2)、B(1,3)、C(  4,3) ∵ AC中點BD中點 5 ( 4) 2 3 1 3 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 x y         x 0,y  2 ∴ D 點坐標為(0,2) 《另解》 設 D 點坐標為(x,y) 又知 A(5,2)、B(1,3)、C(  4,3)  x  5  (  4)  1  0  y  2  3  3  2 ∴ D 點坐標為(0,2) ( )14.設 x  4 與 3x  4y  0 兩直線所夾的銳角為,則 sin  (A)1 5 (B) 2 5 (C) 3 5 (D) 4 5 【093 年歷屆試題.】 解答 D 解析 如下圖所示 設 3x 4y  0 斜角為,則 tan 3 4 m   ∵  為銳角 cos 4 5    又 90

∴ sin sin(90 ) cos 4 5       ( )15.設 A(2,5)、B(4,3)、C(5,1)為坐標平面上之三點,若 AB 在 AC 上的正射影為 AD ,則|AD:| |AC| (A)7:5 (B)14:5 (C)7:25 (D)14:25 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ A(2,5)、B(4,3)、C(5,1) AB(2, 2) ,AC(3, 4) ABAC上的正射影為 2 ( ) | | AB AC AD AC AC   ∴ 2 2 2 |AD:| |AC||AB AC :| |AC|     | 2 3 ( 2)( 4) | (3:  ( 4) ) 14 : 25

( )16.求函數 f (x)  (cos x  3sin x)(cos x  sin x)之最小值為何? (A) 2 5 (B)  4 (C) 7 2

 (D) 5 1

【099 年歷屆試題.】 解答 D

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解析 f (x)  cos2x 2sinxcosx  3sin2x  (1  sin2x) sin2x  3sin2x

 1  4sin2x sin2x 1 4(1 cos 2 ) sin 2 2 x x      sin2x 2cos2x  1 故 f (x)的最小值為 2 2 1 2 1 5 1       故選(D) ( )17.有一隻螞蟻在平行四邊形 ABCD 的平面上從 A 點出發,行走至 C 點覓食,若ABC  150,AB16,BC15 8 3 ,則螞蟻由 A 點行走至 C 點之最短距離為何? (A)16 (B)17 (C)18 (D)19 【097 年歷屆試題.】 解答 B 解析 在△ABC 中,由餘弦定理知: 2 2 2 2 cos ACABBCAB BC  B 2 2 3 16 (15 8 3) 2 16 (15 8 3) ( ) 2          162(15 8 3) 216 3(15 8 3) 162(15 8 3)[(15 8 3) 16 3]   162(15 8 3)(15 8 3)  162[152(8 3) ]2  256  225  192  289 ∴ AC 28917 ( )18.設 a , b , c 為平面上的三個向量且「」表向量的內積,若 a(3 bc )9且 ab 6,則 ac ? (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 【097 年歷屆試題.】 解答 D 解析 a(3 bc )9 3 abac 9 3 6  ac 9 18 9 9 ac    ( )19.設三直線 L1:x  3y  2  0,L2:3x  y  2  0,L3:x  y  2  0,且 L1與 L2相交於 A 點,則過 A 點且與 L3平行的直線,不通過 哪一個象限? (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【099 年歷屆試題.】 解答 D 解析 3 2 0 3 2 0 x y x y            3  得 x  1,代回得 y  1  A 點坐標為(  1,1) 設過 A 點且與 L3平行的直線為 L:x y k  0 A( 1,1)代入 L: 1  1  k  0  k  2 則 L:x y  2  0,圖形如下,不通過第四象限

(7)

故選(D)

( )20.在△ABC 中,設A、B﹑C 之對應邊長分別為 a、b、c,若B  120,a  5,c  3,則△ABC 的外接圓面積為何? (A) 7 3 (B)49 3 (C) 7 3 (D) 49 3  【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 b2 c2 a2 2cacosB  32 52 2  3  5  cos120 9  25  (  15)  49 49 7 b    又 2 sin b R B  7 2 sin120 R    7 2 3 2 R   7 3 R   ∴ △ABC 的外接圓面積為 2 7 2 49 ( ) 3 3 R     

( )21.已知△ABC 中,AB4,AC5,BC6,則 sinA  (A) 63 8  (B) 7 8  (C)7 8 (D) 63 8 【093 年歷屆試題.】 解答 D 解析 △ABC 中,AB c 4,AC b 5,BC a 6 由餘弦定理知 2 2 2 52 42 62 1 cos 2 2 5 4 8 b c a A bc          又A 為△ABC 的內角  0A  180 ∴ 2 1 2 63 63 sin 1 cos 1 ( ) 8 64 8 A  A    ( )22.已知 ( ,1)P a 、 ( 1, )Qb 為平面上兩點。若 P 為直線 : 3L x4y2上 一點,且直線 PQ 與直線 L 垂直,則a b (A) 7 (B) 9 (C)11 (D)13   【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ P a( ,1)為L: 3x4y2上一點 ∴ 3   a 4 1 2  a2,則P(2,1) 直線PQ的斜率 1 1 2 ( 1) 3       PQ b b m 直線L的斜率 3 3 4 4     mPQLmPQ  m 1  1 3 1 3 4 b  b5 故a b   2 5 7 ( )23.已知平面上四點坐標為 (57,23)A 、 (7, 2)B  、 (5,12)C 、 ( , )D x y 。若向量 7 3 4 4   AD AB AC,則x y (A) 4 (B) 2 (C) 2

(8)

(D) 4 【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 AD(x57,y23) (7 57, 2 23) ( 50, 25)        AB (5 57,12 23) ( 52, 11)       AC 7 3 4 4   AD AB AC 7( 50, 25) 3( 52, 11) 4 4       ( 350, 175) ( 156, 33) 4 4 4 4       ( 97, 71) 2 2    由 與 : 則 57 97 2    x  17 2  x 71 23 2    y  25 2   y 故 17 ( 25) 4 2 2       x y 〈另解〉 7 3 4 4   AD AB AC 4   4AD7AB3AC  4(DA)7(BA) 3( CA)  4D7B3C7(7, 2) 3(5,12)  (49, 14) (15,36)  (34, 50) 4   (17, 25) 2 2   D  17 2  x , 25 2   y 故 17 ( 25) 4 2 2       x y ( )24.已知平面三向量 a

 

3, 4 , b

x, 9

c  

8,y

。設 abb// c ,則yx之值為何? (A) 18 (B) 6 (C) 6 (D)18 【103 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ abab 0 

  

3, 4  x, 9 

0  3x  4

 

9 0  3x360  x12 則 b

x, 9 

 

12, 9

b// cc  

8,y

∴ 12 9 8 y  

 ( )25.設sin

 45 sin15

  k cos 45 cos

 15

,則k之值為何? (A) 0 (B)1 2 (C) 2 2 (D) 3 2 【103 年歷屆試題.】  12y72  y6 故y  x 6 12 6

(9)

解答 B

解析 ∵ sin

   45

sin 45,cos

  15

cos15 ∴ 原式可化簡如下

 sin 45 sin15   k cos45 cos15 

kcos45 cos15  sin 45 sin15 cos 45

  15

cos 60 1 2   

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