0927 第一冊 班級 姓名 座號
一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)
( )1.若 A(1,3)、B( 4,7)及 C(x,y)為平面上三點,且3BC2AC,則(x,y)為何? (A)(15, 14) (B)( 15,14) (C)( 14,15) (D)(14, 15)
【092 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ A(1,3)、B( 4,7)、C(x,y) ( 4, 7) ( 1, 3) BC x y AC x y 又3BC2AC (3x 12,3y 21) (2x 2,2y 6) 3 12 2 2 3 21 2 6 x x y y x 14,y 15 ∴ (x,y) ( 14,15) ( )2.設△ABC三內角 A 、 B 、 C 的對應邊分別為a、b、c,且 a23bc b c﹐求 A 之值為 (A) 2 (B)2 3 (C)3 4 (D)5 6 【105 年歷屆試題.】 解答 B 解析 a23bc b c 平方
2
2 2 3 a bc bc 2 2 2 3 2 a bcb bcc b2c2a2 bc 由餘弦定理: 2 2 2 1 cos 2 2 2 b c a bc A bc bc ∵ cos120 1 2 ∴ 120 2 3 A ( )3.已知 tan22 k,則 sin2002 (A) 2 1 1 k (B) 2 1 1 k (C) 2 1 k k (D) 2 1 k k 【091 年歷屆試題.】 解答 D 解析 由題目中:tan 22 1 k k 可得下圖
所求 sin2002 sin(360 5 202) sin202 sin(180 22) sin22(由圖中) 2 1 k k ( )4.設 a、b 為實數,若坐標平面上的拋物線 y x2 ax b 的圖形與 x 軸的交點為( 1,0)、(2,0),如圖所示, 則 a b (A)2 (B)3 (C) 2 (D) 3 【096 年歷屆試題.】
解答 D 解析 y x2 ax b ( 1,0)代入得 0 1 a b… (2,0)代入得 0 4 2a b… 由 得 0 3 3a a 1 a 1 代入得 b 2 ∴ a b 3 ( )5.設直線 L1的斜率為 2 且通過點(0 , 4),又直線 L2的 x、y 軸截距分別為 1、2,則下列敘述何者正確? (A)L1與 L2相交於點(2 , 8) (B)L1與 L2相交於點(4 , 6) (C)L1與 L2平行且兩線相距 2 5 (D)L1與 L2平行且兩線相距 6 5 【100 年歷屆試題.】 解答 D 解析 L1:y ( 4) 2(x 0) 2x y 4 0 L2: 1 1 2 x y 2x y 2 0 ∵ L1與 L2的係數比: 2 1 4 2 1 2 ∴ L1//L2,而 L1與 L2的距離 2 2 4 ( 2) 6 5 2 1 ( )6.設三角形的三邊長為 7 、 24 、 25 ,其內切圓半徑為 r ,外接圓半徑為 R ,求r R (A) 0.12 (B) 0.24 (C) 0.25 (D) 0.48 【106 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (1)三角形的面積: ∵ 72242252 ∴ 此三角形為直角三角形 面積為1 24 7 84 2 (2)三角形的外接圓半徑R: 由正弦定理可知: 25 2 sin 90 R 25 2 1 R 25 2 R (3)三角形的內切圓半徑r: 令 1
7 24 25
28 2 s 三角形面積rs 84 r 28 r3 由(2)和(3)可知:3 6 0.24 25 25 2 r R ( )7.設 為實數,若sin cos 1 3
,則 tan cot (A) 5 4 (B) 9 4 (C)5 4 (D) 9 4 【094 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ sin cos 1 3 (sin cos )2 ( )1 2 3 1 1 2sin cos 9 sin cos 4 9 ∴ tan cot 1 9 sin cos 4 ( )8.設兩向量 a 、 b 的夾角為,且| a || b |,| a b |4,| a b |3,則 cos (A) 7 25 (B) 5 13 (C) 3 5 (D) 4 5 【092 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ | a b |2| a |2| b |22 a b 16 又 2 2 2 | a b | | a | | b | 2 a b 9 由 得 2 2 2(| a | | b | )25 已知 2 | a || b | 4 | a | 25 | |2 25 4 a 由 得4 7 7 4 a b a b ∴ 2 cos | || | | | a b a b a b a (∵ | a || b |) 7 7 4 25 25 4
( )9.設 a、b、c 為實數,且二次函數 y ax2 bx c 的圖形如圖所示,則點 P (b2 4ac , abc)在第幾象限?
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【100 年歷屆試題.】 解答 A 解析 對於 y ax2 bx c 的圖形 開口向上 a 0 頂點在 y 軸右側 a、b 異號 b 0 與 y 軸的交點(0 , c)在 y 軸的負向 c 0 與 x 軸有 2 個交點 b2 4ac 0
因此 abc 0,故 P (b2 4ac , abc)在第一象限
(C) 8 52 17 (D)36 【099 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (4,8) (1, 4) (5,12) ACAB AD ( ) (1, 4) (4,8) ( 3, 4) BDBC CD AD BA AD AB AD AB 而 2 2 |AC| 5 12 13,|BD| ( 3) 2 ( 4)2 5 故|AC||BD| 13 5 18 故選(B) ( )11.設 A ( 13 , 19)、B (x , y)為平面上相異兩點。若向量 AB 與向量 u (5,12)同方向且|AB|26,則 3x 4y (A) 103 (B) 29 (C)29 (D)103 【100 年歷屆試題.】 解答 B 解析 AB(x ( 13),y ( 19))(x13,y19) ∵ |AB|26, 2 2 | u | 5 12 13 且AB與 u 同方向, ∴ AB2 u (x 13 , y 19) 2(5 , 12) (10 , 24) x 3,y 5 因此 3x 4y 3 ( 3) 4 5 29 ( )12.下列選項何者正確? (A) cos( ) cos
6 6 (B)cos2 cos 3 3 (C) sin( ) sin 4 4 (D)sin2 sin 3 3 【097 年歷屆試題.】 解答 D
解析 (A)cos( ) cos
6 6
(B)cos2 cos( ) cos
3 3 3
(C)sin( ) sin
4 4
(D)sin2 sin( ) sin
3 3 3
( )13.若在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中,點 A、B、C 的坐標分別為(5,2)、(1,3)、( 4,3),則 D 點之坐標為何? (A)(1,8) (B)(0,2) (C)(2,7) (D)(3,9)
解答 B 解析 利用平行四邊形對角線互相平分 設 D 點坐標為(x,y) 又 A(5,2)、B(1,3)、C( 4,3) ∵ AC中點BD中點 5 ( 4) 2 3 1 3 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 x y x 0,y 2 ∴ D 點坐標為(0,2) 《另解》 設 D 點坐標為(x,y) 又知 A(5,2)、B(1,3)、C( 4,3) x 5 ( 4) 1 0 y 2 3 3 2 ∴ D 點坐標為(0,2) ( )14.設 x 4 與 3x 4y 0 兩直線所夾的銳角為,則 sin (A)1 5 (B) 2 5 (C) 3 5 (D) 4 5 【093 年歷屆試題.】 解答 D 解析 如下圖所示 設 3x 4y 0 斜角為,則 tan 3 4 m ∵ 為銳角 cos 4 5 又 90
∴ sin sin(90 ) cos 4 5 ( )15.設 A(2,5)、B(4,3)、C(5,1)為坐標平面上之三點,若 AB 在 AC 上的正射影為 AD ,則|AD:| |AC| (A)7:5 (B)14:5 (C)7:25 (D)14:25 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ A(2,5)、B(4,3)、C(5,1) AB(2, 2) ,AC(3, 4) AB在AC上的正射影為 2 ( ) | | AB AC AD AC AC ∴ 2 2 2 |AD:| |AC||AB AC :| |AC| | 2 3 ( 2)( 4) | (3: ( 4) ) 14 : 25
( )16.求函數 f (x) (cos x 3sin x)(cos x sin x)之最小值為何? (A) 2 5 (B) 4 (C) 7 2
(D) 5 1
【099 年歷屆試題.】 解答 D
解析 f (x) cos2x 2sinxcosx 3sin2x (1 sin2x) sin2x 3sin2x
1 4sin2x sin2x 1 4(1 cos 2 ) sin 2 2 x x sin2x 2cos2x 1 故 f (x)的最小值為 2 2 1 2 1 5 1 故選(D) ( )17.有一隻螞蟻在平行四邊形 ABCD 的平面上從 A 點出發,行走至 C 點覓食,若ABC 150,AB16,BC15 8 3 ,則螞蟻由 A 點行走至 C 點之最短距離為何? (A)16 (B)17 (C)18 (D)19 【097 年歷屆試題.】 解答 B 解析 在△ABC 中,由餘弦定理知: 2 2 2 2 cos AC AB BC AB BC B 2 2 3 16 (15 8 3) 2 16 (15 8 3) ( ) 2 162(15 8 3) 216 3(15 8 3) 162(15 8 3)[(15 8 3) 16 3] 162(15 8 3)(15 8 3) 162[152(8 3) ]2 256 225 192 289 ∴ AC 28917 ( )18.設 a , b , c 為平面上的三個向量且「」表向量的內積,若 a(3 b c )9且 a b 6,則 a c ? (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 【097 年歷屆試題.】 解答 D 解析 a(3 b c )9 3 a b a c 9 3 6 a c 9 18 9 9 a c ( )19.設三直線 L1:x 3y 2 0,L2:3x y 2 0,L3:x y 2 0,且 L1與 L2相交於 A 點,則過 A 點且與 L3平行的直線,不通過 哪一個象限? (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【099 年歷屆試題.】 解答 D 解析 3 2 0 3 2 0 x y x y 3 得 x 1,代回得 y 1 A 點坐標為( 1,1) 設過 A 點且與 L3平行的直線為 L:x y k 0 A( 1,1)代入 L: 1 1 k 0 k 2 則 L:x y 2 0,圖形如下,不通過第四象限
故選(D)
( )20.在△ABC 中,設A、B﹑C 之對應邊長分別為 a、b、c,若B 120,a 5,c 3,則△ABC 的外接圓面積為何? (A) 7 3 (B)49 3 (C) 7 3 (D) 49 3 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 b2 c2 a2 2cacosB 32 52 2 3 5 cos120 9 25 ( 15) 49 49 7 b 又 2 sin b R B 7 2 sin120 R 7 2 3 2 R 7 3 R ∴ △ABC 的外接圓面積為 2 7 2 49 ( ) 3 3 R
( )21.已知△ABC 中,AB4,AC5,BC6,則 sinA (A) 63 8 (B) 7 8 (C)7 8 (D) 63 8 【093 年歷屆試題.】 解答 D 解析 △ABC 中,AB c 4,AC b 5,BC a 6 由餘弦定理知 2 2 2 52 42 62 1 cos 2 2 5 4 8 b c a A bc 又A 為△ABC 的內角 0A 180 ∴ 2 1 2 63 63 sin 1 cos 1 ( ) 8 64 8 A A ( )22.已知 ( ,1)P a 、 ( 1, )Q b 為平面上兩點。若 P 為直線 : 3L x4y2上 一點,且直線 PQ 與直線 L 垂直,則a b (A) 7 (B) 9 (C)11 (D)13 【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ P a( ,1)為L: 3x4y2上一點 ∴ 3 a 4 1 2 a2,則P(2,1) 直線PQ的斜率 1 1 2 ( 1) 3 PQ b b m 直線L的斜率 3 3 4 4 m ∵ PQL ∴ mPQ m 1 1 3 1 3 4 b b5 故a b 2 5 7 ( )23.已知平面上四點坐標為 (57,23)A 、 (7, 2)B 、 (5,12)C 、 ( , )D x y 。若向量 7 3 4 4 AD AB AC,則x y (A) 4 (B) 2 (C) 2
(D) 4 【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 AD(x57,y23) (7 57, 2 23) ( 50, 25) AB (5 57,12 23) ( 52, 11) AC 7 3 4 4 AD AB AC 7( 50, 25) 3( 52, 11) 4 4 ( 350, 175) ( 156, 33) 4 4 4 4 ( 97, 71) 2 2 由 與 : 則 57 97 2 x 17 2 x 71 23 2 y 25 2 y 故 17 ( 25) 4 2 2 x y 〈另解〉 7 3 4 4 AD AB AC 4 4AD7AB3AC 4(DA)7(BA) 3( CA) 4D7B3C7(7, 2) 3(5,12) (49, 14) (15,36) (34, 50) 4 (17, 25) 2 2 D 17 2 x , 25 2 y 故 17 ( 25) 4 2 2 x y ( )24.已知平面三向量 a
3, 4 , b
x, 9
, c
8,y
。設 a b 且 b// c ,則yx之值為何? (A) 18 (B) 6 (C) 6 (D)18 【103 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ a b ∴ a b 0
3, 4 x, 9
0 3x 4
9 0 3x360 x12 則 b
x, 9
12, 9
∵ b// c 且 c
8,y
∴ 12 9 8 y ( )25.設sin
45 sin15
k cos 45 cos
15
,則k之值為何? (A) 0 (B)1 2 (C) 2 2 (D) 3 2 【103 年歷屆試題.】 12y72 y6 故y x 6 12 6解答 B
解析 ∵ sin
45
sin 45,cos
15
cos15 ∴ 原式可化簡如下 sin 45 sin15 k cos45 cos15
kcos45 cos15 sin 45 sin15 cos 45